离散数学(第1.6-1.7)陈瑜
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离散数学第一章 命题逻辑
令Q表示：张亮是跳远运动员。
于是命题，张亮可能是跳高或跳远运动员就可以用P∨Q来表示，因为这里的或是可 兼或。 逻辑联结词析取也是个二元运算符。
1.1 命题和联结词
逻辑联结词单条件—“→”
设P是一个命题，Q是一个命题，由联结词→把P、Q连接成P→Q，称P→Q为P、 Q的条件式复合命题，把P和Q分别称为P→Q的前件和后件，或者前提和结论。 P→Q读作“如果P则Q”或“如果P那么Q”。其中P被称为前件，Q被称为为后件。 很多时候联结词→也被称为蕴涵。 P→Q的真值是这样定义的，当且仅当P→Q的前件P的真值为T，后件Q的真值为F
1.1 命题和联结词
逻辑联结词否定—“┓”
设P是一个命题，则联结词┓和命题P构成┓P，┓P为命题P的否定式复合 命题，读作“非P”。联结词┓是自然语言中的“非”、“不”和“没有” 等的逻辑抽象。 其真值是这样定义的，若P的真值是T，那么┓P的真值是F；若P的真值 是F，则┓P的真值是T。命题P与其否定┓P的如表1.1所示。
1.2 合式公式与真值表
例1.4 令P表示：小明现在正在睡觉。
令Q表示：小明现在正在打球。 于是命题，小明现在正在睡觉或者正在打球不能用P∨Q来表示。因为这里自然语言陈述的或是 排斥或，这种意义的或我们用另一个逻辑联结词“异或”“”来表示，后面我们将给出它的 定义。
1.1 命题和联结词
逻辑联结词析取——“∨”
例1.5 将句子“他昨晚做了20或者30道作业题”表示为复合命题。 在此例中，该句子不能被表示成复合命题，因为这里的“或”表示的是近似或者猜 测的意思。 例1.6 令P表示：张亮是跳高运动员。
P F F T T Q F T F T P∧Q F F F T P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∧Q 0 0 0 1
离散数学(第五版)清华大学出版社第
可编辑范本
（1）对（1）采用两种方法判断它是重言式。
真值表法
表1.2给出了（1）中公式的真值表，由于真值表的最后一列全为1，所以，（1）为重言式。
p∨q∨rp→(p∨q∨r)
p q r
0 0 0 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
⇔0↔q（矛盾律）
⇔(p→q)∧(q→0)（等价等值式）
⇔(¬0∨q)∧(¬q∨0)（蕴含等值式）
⇔(1∨q)∧¬q（同一律）
⇔1∧¬q（零律）
6
⇔¬q（同一律）
到最后一步已将公式化得很简单。由此可知，无论p取0或1值，只要q取0值，原公式取值为1，即00或10都为原公式的成真赋值，而01，11为成假赋值，于是公式为非重言式的可满足式。
1．2（1）p:2是无理数，p为真命题。
（2）p:5能被2整除，p为假命题。
（6）p→q。其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真命题，因而p→q为假命题。
（7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命可编辑范本
题，q为真命题，因而p→q为假命题。
（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。（9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。
⇔¬((¬p∧q)∧(¬p∨q)∧(¬q∨p)∧(¬q∨q))⇔¬(1∧p∨q)∧(¬q∨p)∧1⇔¬((p→q)∧(q→p))
可编辑范本
⇔¬(p↔q).
读者填上每步所用的基本的等值式。1.9（1）
（1）对（1）采用两种方法判断它是重言式。
真值表法
表1.2给出了（1）中公式的真值表，由于真值表的最后一列全为1，所以，（1）为重言式。
p∨q∨rp→(p∨q∨r)
p q r
0 0 0 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
⇔0↔q（矛盾律）
⇔(p→q)∧(q→0)（等价等值式）
⇔(¬0∨q)∧(¬q∨0)（蕴含等值式）
⇔(1∨q)∧¬q（同一律）
⇔1∧¬q（零律）
6
⇔¬q（同一律）
到最后一步已将公式化得很简单。由此可知，无论p取0或1值，只要q取0值，原公式取值为1，即00或10都为原公式的成真赋值，而01，11为成假赋值，于是公式为非重言式的可满足式。
1．2（1）p:2是无理数，p为真命题。
（2）p:5能被2整除，p为假命题。
（6）p→q。其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真命题，因而p→q为假命题。
（7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命可编辑范本
题，q为真命题，因而p→q为假命题。
（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。（9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。
⇔¬((¬p∧q)∧(¬p∨q)∧(¬q∨p)∧(¬q∨q))⇔¬(1∧p∨q)∧(¬q∨p)∧1⇔¬((p→q)∧(q→p))
可编辑范本
⇔¬(p↔q).
读者填上每步所用的基本的等值式。1.9（1）
离散数学(第1章习题课)讲解
2019/6/13
计算机学院
9/24
基本蕴含（关系）式
I1：PP∨Q ， QP∨Q ～PP→Q ， QP→Q 扩充法则(析取引入律)
I2：P∧Q P ， P∧QQ ～（P→Q）P ，～（P→Q）～Q 化简法则(合取消去律)
I3：P∧（P→Q） Q 假言推论（分离规则） I4：～Q∧（P→Q） ～P
2019/6/13
计算机学院
14/24
三、典型例题
1、证明 ((P∨Q) ∧～(P∧Q)) ～(PQ) ((P∨Q)∧～(P∧Q)) ((P∨Q)∧(～P∨～Q)) ((P∨Q)～P)∨ ((P∨Q)∧～Q)) ((P∧～P)∨(Q∧～P))∨((P∧～Q)∨(Q∧～Q)) (Q∧～P)∨(P∧～Q) (Q∧～P)∨(P∧～Q) ～(～Q∨P)∨～(～P∨Q) ～((Q→P)∧～(P→Q)) ～(PQ)
P∨Q∨R
～P∧～Q∧R
P∨～Q∨R
～P∧Q∧R P∧～Q∧～R P∧～Q∧R
～P∨～Q∨R P∧Q∧R
主析取范式=（～P∧～Q∧R）∨（～P∧Q∧R）∨
（P∧～Q∧～R）∨（P∧～Q∧R）∨（P∧Q∧R）
主合取范式=（ P∨Q∨R ）∧（ P∨～Q∨R ）∧（～P∨～Q∨R）
2019/6/13
计算机学院
陈瑜
Email：chenyu.inbox@
2019年6月13日星期四
第一章小结
一、基本概念
命题----具有确切真值的陈述句称为命题,该命题可以取一个“值”，
称为真值。
命题的解释----用一个具体的命题代入命题标识符P的过程,称为对
P的解释或赋值(指派)
原子命题、复合命题
逻辑联结词（～、∨、∧、、→、、与非↑、或非↓、条件否
离散数学答案版(全)
则称 G1，G2，…，Gn 蕴涵 H，又称 H 是 G1，G2，…，Gn 的逻辑结果，记作（G1 ∧G2∧…∧Gn） H 或（G1，G2，…，Gn） H。 1.6.2 基本蕴涵式 （1）P∧Q P； （3）P P∨Q； （5） P （P→Q） ； （7） （P→Q） P； （9）P，P→Q Q； （11） P，P∨Q Q； （13）P∨Q，P→R，Q→R R； （15）P，Q P∧Q。 （2）P∧Q Q； (4) Q P∨Q； （6）Q （P→Q） ； （8） （P→Q） Q； （10） Q，P→Q P； （12）P→Q，Q→R P→R； （14）P→Q，R→S （P∧R）→（Q∧S） ；
变元，若将 A 和 A*写成 n 元函数形式，则 （1） A（P1，P2，…，Pn） A*（ P1， P2，…， Pn） （2）A（ P1， P2，…， Pn） A*（P1，P2，…，Pn） 定理（对偶原理）设 A、B 是两个命题公式，若 AÛB，则 A* B*，其中 A*、 B*分别为 A、B 的对偶式。 1.5.2 范式 定义 仅由有限个命题变元及其否定构成的析取式称为简单析取式，仅由有 限个命题变元及其否定构成的合取式称为简单合取式。 定义 仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。仅由有限个简单 析取式构成的合取式称为合取范式。 定理（范式存在定理）任何命题公式都存在着与之等价的析取范式和合取范式。 1.5.3 主范式 定义 在含有 n 个命题变元 P1，P2，…，Pn 的简单合取范式中，若每个命
P
Q
PQ
1 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质： （1）P↓P ﹁（P∨Q） ﹁P； （2） （P↓Q）↓（P↓Q） ﹁（P↓Q） P∨Q； （3） （P↓P）↓（Q↓Q） ﹁P↓﹁Q ﹁（﹁P∨﹁Q） P∧Q。
最新离散数学第10章陈瑜
5) 仅由孤立结点组成的图称为零图；
6) 仅含一个结点的零图称为平凡图；
7) 含有n个结点、m条边的图
称为(n，m)图；
e4
v3 e6
v5 v4
e2 e5
e3
v2
e1
v1
21.01.2021
计算机科学与工程学院
15
图的分类(按边的重数)
1) 在有向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有同始 点和同终点的几条边，则这几条边称为平行边。
2) 关联于同一个结点的两条边称为邻接边；
3) 图中关联同一个结点的边称为环(或自回路)；
4) 图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点；
5) 仅由孤立结点组成的图称为零图；
6) 仅含一个结点的零图称为平凡图；
7) 含有n个结点、m条边的
e2 e5
e3
v2
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计算机科学与工程学院
12
几个概念
1) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的还 是无向的，均称边e与结点vI和vj相关联，而vi和vj称 为邻接点，否则称为不邻接的；
2) 关联于同一个结点的两条边称为邻接边；
3) 图中关联同一个结点的边称为环(或自回路)；
4) 图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点；
2) 若边e与有序结点对<u，v>相对应，则称边e为有向 边，记为e＝<u，v>，这时称u是边e的始点。v是边 e的终点，统称为e的端点；e是u的出边，是v的入边。
3) 每条边都是无向边的图称为无向图； 4) 每条边都是有向边的图称为有向图； 5) 有些边是无向边，而另一些是有向边的图称为混合图。
用小圆圈表示V中的结点，用由u指向v的有向线段表示 <u,v>，无向线段表示(u,v)。
《离散数学》教学大纲(本科)
工科《离散数学》课程教学大纲一、《离散数学》课程说明（一）课程代码：08138010（二）课程英文名称：Discrete Mathematics（三）开课对象：计算机科学与技术专业本科生（四）课程性质：离散数学是数学学科的一门专业教育课。
本课程的目的是传授给学生数理逻辑、集合论、代数结构与布尔代数等方面的知识。
预修课程为：高等代数。
（五）教学目的：使学生系统学习并掌握数理逻辑、集合论、代数结构与布尔代数等方面的知识，培养学生的抽象思维和慎密概括的能力。
（六）教学内容：命题逻辑、谓词逻辑、集合与关系、函数、代数结构、格与布尔代数等（七）学时数、学分数及学时具体分配学时数：54学时学分数：3学分（八）教学方式：以教师讲解为主的课堂教学方式(九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生出勤情况，达到学记管理的旷课量取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40％，期末成绩占60％。
二．讲授大纲与各章的基本要求第一章命题逻辑教学要点：要求学生理解命题、命题公式、真值表等基本概念，掌握重言式与蕴含式、对偶与范式的定义，熟练掌握命题逻辑的推理理论。
教学时数：9课时教学内容：1-1命题及其表示法1-2联结词1-3命题公式与翻译1-4真值表与等价式1-5重言式与蕴含式1-6其他联结词1-7对偶与范式1-8推理理论考核要求：1-1命题及其表示法(识记与领会)1-2联结词(领会)1-3命题公式与翻译(领会与应用)1-4真值表与等价式(领会与应用)1-5重言式与蕴含式(领会与应用)1-6其他联结词(领会与应用)1-7对偶与范式(领会与应用)1-8推理理论(领会与应用)第二章谓词逻辑教学要点：要求学生理解谓词的概念及表示，命题函数与量词的定义。
掌握谓词公式的翻译，谓词演算的等价公式与蕴含式，及前束范式等概念，熟练掌握谓词运算的推理理论。
教学时数：7课时教学内容：2-1谓词的概念2-2命题函数与量词2-3谓词公式与翻译2-4变元的约束2-5谓词演算的等价式与蕴含式2-6前束范式2-7谓词演算的推理理论考核要求：2-1谓词的概念(识记)2-2命题函数与量词(识记)2-3谓词公式与翻译(领会与应用)2-4变元的约束(领会与应用)2-5谓词演算的等价式与蕴含式(领会与应用)2-6前束范式(领会与应用)2-7谓词演算的推理理论(领会与应用)第三章集合与关系教学要点：要求学生理解集合、关系的概念及表示，掌握集合的运算关系的性质及关系的运算。
《离散数学》(左孝凌-李为鉴-刘永才编著)课后习题标准答案---上海科学技术文献出版社
《离散数学》(左孝凌-李为鉴-刘永才编著)课后习题答案---上海科学技术文献出版社————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：21-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
离散数学(第13章)陈瑜研究
2018/10/21 计算机学院 10/98
定理13.1 无向连通图G＝<V，E>是欧拉图当 且仅当G的所有结点的度数都为偶数。 证明： “” 设G是Euler图，则G必然存在一条包含所有 边（也包含所有结点）的回路C，对uV，u必 然在C中出现一次（可出现多次），每出现u一次， 都关联着G中的两条边，而当u又重复出现时，它 又关联着G中的另外的两条边，（为什么？） 因而u每出现一次，都将使得结点u的度数增加 2度，若u在通路中重复出现j次，则deg(u)＝2j。 即u的度数必为偶数。
“” ：
⑴若 G没有奇度数结点，则结论显然成立； ⑵若 G 有两个奇度数结点 u 和 v，则 G+uv是 Euler 图，从 而存在Euler回路 C。从C中去掉边uv，则得到一条简 单道路 L （起点 u 和终点 v ），且包含了 G 的全部边， 即L是一条Euler道路。 注意：若有两个奇度数结点，则它们是 G 中每条欧拉通 路的端点。
“” ：
⑴若 G没有奇度数结点，则结论显然成立； ⑵若 G 有两个奇度数结点 u 和 v，则 G+uv是 Euler 图，从 而存在Euler回路 C。从C中去掉边uv，则得到一条简 单道路 L （起点 u 和终点 v ），且包含了 G 的全部边， 即L是一条Euler道路。 注意：若有两个奇度数结点，则它们是 G 中每条欧拉通 路的端点。
例13.2
V1 V2 V3 V4 V5 V2 V3 V1 V1 V4
(a)
(b)
现在，我们是 V5 不是已经解决 了哥尼斯堡七 V2 V4 桥问题？ (c)
V3
由定理13.1及推论13.1.1容易看出：
a) 是欧拉图；
b) 不是欧拉图，但存在欧拉道路； c) 既不是欧拉图，也不存在欧拉道路。
定理13.1 无向连通图G＝<V，E>是欧拉图当 且仅当G的所有结点的度数都为偶数。 证明： “” 设G是Euler图，则G必然存在一条包含所有 边（也包含所有结点）的回路C，对uV，u必 然在C中出现一次（可出现多次），每出现u一次， 都关联着G中的两条边，而当u又重复出现时，它 又关联着G中的另外的两条边，（为什么？） 因而u每出现一次，都将使得结点u的度数增加 2度，若u在通路中重复出现j次，则deg(u)＝2j。 即u的度数必为偶数。
“” ：
⑴若 G没有奇度数结点，则结论显然成立； ⑵若 G 有两个奇度数结点 u 和 v，则 G+uv是 Euler 图，从 而存在Euler回路 C。从C中去掉边uv，则得到一条简 单道路 L （起点 u 和终点 v ），且包含了 G 的全部边， 即L是一条Euler道路。 注意：若有两个奇度数结点，则它们是 G 中每条欧拉通 路的端点。
“” ：
⑴若 G没有奇度数结点，则结论显然成立； ⑵若 G 有两个奇度数结点 u 和 v，则 G+uv是 Euler 图，从 而存在Euler回路 C。从C中去掉边uv，则得到一条简 单道路 L （起点 u 和终点 v ），且包含了 G 的全部边， 即L是一条Euler道路。 注意：若有两个奇度数结点，则它们是 G 中每条欧拉通 路的端点。
例13.2
V1 V2 V3 V4 V5 V2 V3 V1 V1 V4
(a)
(b)
现在，我们是 V5 不是已经解决 了哥尼斯堡七 V2 V4 桥问题？ (c)
V3
由定理13.1及推论13.1.1容易看出：
a) 是欧拉图；
b) 不是欧拉图，但存在欧拉道路； c) 既不是欧拉图，也不存在欧拉道路。
离散数学电子教案(高等教育出版社第二版)
3
与其他课程的关系
离散数学与计算机科学的其他课程, 如：数据结构、操作系统、编译原 理、算法分析、逻辑设计、系统结 构、容错技术、人工智能等有密切 的联系。它是这些课程的先导和基 础课程。
4
教材与参考书
[离散数学]
高等教育出版社，2005年
李盘林等编著
[Discrete Mathematics（Third Edition）]
步骤如下： ①找出各简单命题，分别符号化。 ②找出各联结词，把简单命题逐个联结起来。
47
§1.2 命题联结词பைடு நூலகம்
例. 将下列命题符号化： （1）李明是计算机系的学生，他住在312室或
313室。 （2）张三和李四是朋友。 （3）虽然交通堵塞，但是老王还是准时到达了
车站。 （4）只有一个角是直角的三角形才是直角三角
第四部分 图论 讲课时数：6学时
7
学习方法
本课程有二个特点： （１）定义、定理多。 本课内容＝定义＋定理＋例题 （２）课外作业较多。
8
学习方法
为了学好这门课，特提出三点要求： （１）弄懂定义、定理，弄懂例题，加 深对定义、定理的理解； （２）在复习基础上，做好课外作业。 同学之间可以讨论，但要弄懂弄通。 （3）做好课堂笔记.
（3）命题所用符号：常用大写２６个英文字母 表示命题。用Ａ、Ｂ、Ｃ．．．．Ｚ表示。
（4）命题中所有的“真”用“Ｔ”表示， 命题中所有的“假”用“Ｆ”表示。
16
§1.1 命题
例：判断下列语句是否为命题。
＊陈述句一般为命题
（1）十是整数。
（Ｔ）
（2）上海是一个村庄。（Ｆ）
（3）今天下雨。
（4）加拿大是一个国家。（Ｔ）
与其他课程的关系
离散数学与计算机科学的其他课程, 如：数据结构、操作系统、编译原 理、算法分析、逻辑设计、系统结 构、容错技术、人工智能等有密切 的联系。它是这些课程的先导和基 础课程。
4
教材与参考书
[离散数学]
高等教育出版社，2005年
李盘林等编著
[Discrete Mathematics（Third Edition）]
步骤如下： ①找出各简单命题，分别符号化。 ②找出各联结词，把简单命题逐个联结起来。
47
§1.2 命题联结词பைடு நூலகம்
例. 将下列命题符号化： （1）李明是计算机系的学生，他住在312室或
313室。 （2）张三和李四是朋友。 （3）虽然交通堵塞，但是老王还是准时到达了
车站。 （4）只有一个角是直角的三角形才是直角三角
第四部分 图论 讲课时数：6学时
7
学习方法
本课程有二个特点： （１）定义、定理多。 本课内容＝定义＋定理＋例题 （２）课外作业较多。
8
学习方法
为了学好这门课，特提出三点要求： （１）弄懂定义、定理，弄懂例题，加 深对定义、定理的理解； （２）在复习基础上，做好课外作业。 同学之间可以讨论，但要弄懂弄通。 （3）做好课堂笔记.
（3）命题所用符号：常用大写２６个英文字母 表示命题。用Ａ、Ｂ、Ｃ．．．．Ｚ表示。
（4）命题中所有的“真”用“Ｔ”表示， 命题中所有的“假”用“Ｆ”表示。
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§1.1 命题
例：判断下列语句是否为命题。
＊陈述句一般为命题
（1）十是整数。
（Ｔ）
（2）上海是一个村庄。（Ｆ）
（3）今天下雨。
（4）加拿大是一个国家。（Ｔ）
离散数学(1.6其他联接词)
(3)(P↑P)↑(Q↑Q) P↑ Q(P∧Q) P∨Q
8
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.6其它
联结词(Other Connectives)
1.6.3 或非联结词(Nor)
定义1.6.3 设P,Q为二命题，复合命题“P或Q的否定” 称为 P与Q的或非式，记作P↓Q ，符号“↓”称为或非联结词. P↓Q为真当且仅当 P与Q同为假. 联结词“↓”的定义真值表
10
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.6其它
联结词(Other Connectives)
1.6.4 条件否定联结词(Non-conditional)
c 定义1.6.4 设P,Q为二命题，复合命题“ P Q” 称为命 题P与Q的条件否定式, Pc Q为真当且仅当P为真且Q 为假. c • 联结词“ ”的定义真值表
6
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.6其它
联结词(Other Connectives) 1.6.2 与非联结词(Nand ↑)
定义1.6.2 设P,Q为二命题，复合命题“P与Q的否定” 称 为 P 与 Q 的与非式，记作 P↑Q ，符号“ ↑ ” 称为与非联 结词. P↑Q 为真当且仅当P和Q不同时为真. 联结词“↑”的定义真值表
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.6其它
联结词(Other Connectives)
(5) (P Q) (PQ) (6) P↑Q (P∧Q) (7) P↓Q (P∨Q) c (8) P Q (P Q) 故任意命题公式都可由仅包含{┐,}或{┐, }的命题 公式等价代换.即9个联结词的集合中至少有七个冗余联 结词. 又注意到联结词{┐,}和{┐, }不再有冗余联结 词, 故{┐,}或{┐, }为最小联结词组.但实际中为了使 用方便, 命题公式常常同时包含{┐,, }.
8
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.6其它
联结词(Other Connectives)
1.6.3 或非联结词(Nor)
定义1.6.3 设P,Q为二命题，复合命题“P或Q的否定” 称为 P与Q的或非式，记作P↓Q ，符号“↓”称为或非联结词. P↓Q为真当且仅当 P与Q同为假. 联结词“↓”的定义真值表
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.6其它
联结词(Other Connectives)
1.6.4 条件否定联结词(Non-conditional)
c 定义1.6.4 设P,Q为二命题，复合命题“ P Q” 称为命 题P与Q的条件否定式, Pc Q为真当且仅当P为真且Q 为假. c • 联结词“ ”的定义真值表
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.6其它
联结词(Other Connectives) 1.6.2 与非联结词(Nand ↑)
定义1.6.2 设P,Q为二命题，复合命题“P与Q的否定” 称 为 P 与 Q 的与非式，记作 P↑Q ，符号“ ↑ ” 称为与非联 结词. P↑Q 为真当且仅当P和Q不同时为真. 联结词“↑”的定义真值表
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.6其它
联结词(Other Connectives)
(5) (P Q) (PQ) (6) P↑Q (P∧Q) (7) P↓Q (P∨Q) c (8) P Q (P Q) 故任意命题公式都可由仅包含{┐,}或{┐, }的命题 公式等价代换.即9个联结词的集合中至少有七个冗余联 结词. 又注意到联结词{┐,}和{┐, }不再有冗余联结 词, 故{┐,}或{┐, }为最小联结词组.但实际中为了使 用方便, 命题公式常常同时包含{┐,, }.
离散数学讲解第一章
B7=B000111={a4,a5,a6} B12=B001100={a3,a4}
2018/12/20 21
集合族: 由集合构成的集合.
{{6}, {1,5} , {2,4}, {1,2,3}} 幂集都是集族.
2018/12/20
22
指标集(index set): 设A是集合族, 若 A = { Ai | iK }, 则K称为A的指标集.
全集是相对的, 视情况而定, 因此不唯一.
2018/12/20
24
1.4集合之间的运算
1. 并集: 设有集合A、B，属于A或属于B的所有元素 组成的集合，称为A与B的并集，记作AB AB = { u | uA 或 uB}
AB
2018/12/20
25
2. 交集：设有集合A、B，属于A同时又属于B的所有 元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A B AB = { u | u A 且 u B }
2018/12/20 15
对任意集合A, A 证明: 反证法（设结论不成立，推出矛盾）
假设空集不是集合A的子集，即 A 根据定义1-2，存在x ， x A， 这与空集的定义矛盾 假设不成立，应有A，原结论成立。
2018/12/20
16
定理: 空集是唯一的.
证明: 设1与2都是空集, 则 12 且 21 1=2 .
2018/12/20
5
2. 集合的表示
列举法:
列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分 开，然后用花括号括起来，例如: A={a,b,c,d,…,x,y,z} B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} C={2,4,6,…}
2018/12/20
6
描述法
给定一个条件P(x) ，当且仅当a使条件P(a)成立 时，a∈A。
2018/12/20 21
集合族: 由集合构成的集合.
{{6}, {1,5} , {2,4}, {1,2,3}} 幂集都是集族.
2018/12/20
22
指标集(index set): 设A是集合族, 若 A = { Ai | iK }, 则K称为A的指标集.
全集是相对的, 视情况而定, 因此不唯一.
2018/12/20
24
1.4集合之间的运算
1. 并集: 设有集合A、B，属于A或属于B的所有元素 组成的集合，称为A与B的并集，记作AB AB = { u | uA 或 uB}
AB
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2. 交集：设有集合A、B，属于A同时又属于B的所有 元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A B AB = { u | u A 且 u B }
2018/12/20 15
对任意集合A, A 证明: 反证法（设结论不成立，推出矛盾）
假设空集不是集合A的子集，即 A 根据定义1-2，存在x ， x A， 这与空集的定义矛盾 假设不成立，应有A，原结论成立。
2018/12/20
16
定理: 空集是唯一的.
证明: 设1与2都是空集, 则 12 且 21 1=2 .
2018/12/20
5
2. 集合的表示
列举法:
列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分 开，然后用花括号括起来，例如: A={a,b,c,d,…,x,y,z} B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} C={2,4,6,…}
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6
描述法
给定一个条件P(x) ，当且仅当a使条件P(a)成立 时，a∈A。
离散数学第151156陈瑜共228页
*>是含幺半群时，上述结论对任意非负整数m和n都
成立。
证明：设m是一个固定的正整数，对n进行归纳。
对于①：
当n=1时，由幂的定义可知结论成立；
设结论对n=k时成立，则
am*ak+1 = am*(ak*a) (由幂的定义)
证明：设m是一个固定的正整数，对n进行归纳。 对于①：
当n=1时，由幂的定义可知结论成立； 设结论对n=k时成立，则
am*ak+1 = am*(ak*a) (由幂的定义) = (am*ak)*a (可结合性） = (am+k)*a （归纳假设） = am+(k+1)
由归纳法可知，结论成立。
17.04.2021
一个小小的计算机)识别并执行，其动作原理就是图
15-1.1(b)所示的状态图，称为一个有限自动机，它反
映了电子表依令而行的规则。语言L被相应地称为这个
自动机所识别的语言。
17.04.2021
计算机科学与工程学院
12
幂
设<S, *>是一个半群,由于*满足结合律， 可定义幂运算，即对xS，可定义：
x¹=x， x²=x*x， x³=x*x²=x²*x=x*x*x，
离散数学第151156陈瑜
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
离散数学(第2.1)陈瑜详解
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12/70
例1.3 如有句子： 张红是一个四川大学的学生； 王南是一个四川大学的学生； 李华是一个四川大学的学生。
则在命题中必须要用三个命题P，Q，R来表示。
但是，它们都具有一个共同的特征： “…是一个四川大学的学生”
P：谓词 x：客体词
因此，若将句子分解成：“主语＋谓语P”(x)：命题函数
2020/9/30
计算机学院
7/70
§2.1 量词化逻辑——谓词和量词
一、谓词 Predicate 在对命题的内部逻辑关系进行研究时，把基本 命题分成客体(个体）和谓词。
客体——命题中所描述的对象。（命题中的主 语，客观实体，可以独立存在的物体）。
谓词——命题中描述的个体性质（特征）或关 系的部分。
谓词——命题中描述的个体性质（特征）或关 系的部分。
谓词一般用大写字母（串）表示; 个体用小写字母表示。
2020/9/30
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§2.1 量词化逻辑——谓词和量词
一、谓词 Predicate 在对命题的内部逻辑关系进行研究时，把基本 命题分成客体(个体）和谓词。
客体——命题中所描述的对象。（命题中的主 语，客观实体，可以独立存在的物体）。
2020/9/30
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例1.2 (著名的苏格拉底三段论) 设自然语言中的三个命题： 1）所有的人都是要死的； 2）苏格拉底是人； 3）所以，苏格拉底是要死的。
解：假设：
P：所有的人都是要死的； Q：苏格拉底是人。 R：所以，苏格拉底是要死的。 显然，无论用什么方法也无法推论出
P，Q R。 但是，这样简单的、凭直觉就知苏格拉底的论证是 正确的推理，命题逻辑却无能为力。这是由命题逻辑的局 限性造成的，因此，需要对命题的内部关系进行研究。
离散数学 辅导
离散数学辅导
离散数学是数学的一个重要分支，它研究的是离散对象（如集合、图、树、逻辑等）的数学结构和性质。
离散数学在计算机科学、电子工程、管理科学等领域有广泛应用。
离散数学的辅导书有很多，以下是一些常见的辅导书：
1. 《离散数学基础》（第二版）张玉清，陈向炜著，科学出版社；
2. 《离散数学》（第五版）耿素云，屈婉玲著，高等教育出版社；
3. 《离散数学导论》（第五版）徐洁著，高等教育出版社；
4. 《离散数学》（第二版）左孝凌，李为鉴，刘永才著，上海科学技术文
献出版社。
这些辅导书都是比较系统地介绍离散数学的各个方面，包括集合论、图论、逻辑、组合数学等。
如果你想进行离散数学的辅导，可以先阅读其中的一本，了解离散数学的基本概念和性质，然后再根据自己的实际情况选择适合自己的辅导书进行深入学习。
同时，也可以参考一些相关的教材和参考资料，如《离散概率论》、《离散概率论习题集》等。
左孝凌离散数学
1.2.1 否定联结词(Negation) ┐ 1.2.2 合取联结词(Conjunction)∧ 1.2.3 析取联结词(Disjunction)∨ 1.2.4 条件联结词(蕴涵联结词Conditional)→ 1.2.5 双条件联结(等值联结词Biconditional)
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2
则上述命题可符号化为：(P∧ Q) ∨( P∧Q)
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
例如： P：罗纳尔多是球星。 Q：5是负数。 P3：明天天气晴。 (2)：太阳从西方升起。
皆为符号化的命题，其真值依次为1、0、1或0、0。 命题标识符又有命题常量、命题变元和原子变元
之分。
命题常量：表示确定命题的命题标识符。
❖ 数理逻辑是用数学方法研究推理的形式结构和推理的 规律的数学学科。它的创始人Leibniz，为了实现把推 理变为演算的想法，把数学引入了形式逻辑。其后， 又经多人努力，逐渐使得数理逻辑成为一门专门的学 科。
❖ 上个世纪30年代以后，数理逻辑进入一个崭新的发展 阶段，逻辑学不仅与数学结合，还与计算机科学等密 切关联。
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
(11). 今天天气多好啊！ 感叹句，不是命题 (12). 请你关上门！ 祁使句，不是命题， (13). 别的星球上有生物。 是命题，客观上能判断真
假。
说明：
（1）只有具有确定真值的陈述句才是命题。一 切没有判断内容的句子，无所谓是非的句子， 如感叹句、祁使句、疑问句等都不是命题。
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2
则上述命题可符号化为：(P∧ Q) ∨( P∧Q)
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
例如： P：罗纳尔多是球星。 Q：5是负数。 P3：明天天气晴。 (2)：太阳从西方升起。
皆为符号化的命题，其真值依次为1、0、1或0、0。 命题标识符又有命题常量、命题变元和原子变元
之分。
命题常量：表示确定命题的命题标识符。
❖ 数理逻辑是用数学方法研究推理的形式结构和推理的 规律的数学学科。它的创始人Leibniz，为了实现把推 理变为演算的想法，把数学引入了形式逻辑。其后， 又经多人努力，逐渐使得数理逻辑成为一门专门的学 科。
❖ 上个世纪30年代以后，数理逻辑进入一个崭新的发展 阶段，逻辑学不仅与数学结合，还与计算机科学等密 切关联。
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
(11). 今天天气多好啊！ 感叹句，不是命题 (12). 请你关上门！ 祁使句，不是命题， (13). 别的星球上有生物。 是命题，客观上能判断真
假。
说明：
（1）只有具有确定真值的陈述句才是命题。一 切没有判断内容的句子，无所谓是非的句子， 如感叹句、祁使句、疑问句等都不是命题。
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
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2016/3/25
计算机学院
15/156
证明： 蕴含关系的性质 由已知条件 AB 且 AC ，可知 : A→B和A→C都是永 ① 自反性 A A 真式，于是(A→B)∧(A→C )也是永真式。 ， (A→B)∧(A→C) (～ ～ A∨C) ～ ②但 反对称性，如果 A BA∨B)∧ ，且B ( A，则必有： A∨(B∧C) A→(B∧C) ；所以A→(B∧C)是永真式， A B 即A B∧C 。■
2016/3/25
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4/156
§1．6 命题公式的蕴涵
定义 1.18 设 A 和 B 是两个合适公式，如果在任 何解释下， A 取值 1 时 B 也取值 1 ，则称公式 A 蕴 涵公式B，并记A B。 定理1.11: AB 当且仅当 A→B为永真式。 注意：蕴含和条件联结词→是完全不同的。 1)→是命题联结词，A→B是一个命题公式； 2)是公式间关系符，AB不是一个命题公 式，仅表示A，B间的蕴含关系。
A∧BC是永真式，从而A∧BC。 ■
2016/3/25
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21/156
蕴含关系的性质
⑦ A∧B C 当且仅当 A B→C 该性质是推理演绎中CP规则的基础 ⑧ A B, iff A∧～B是矛盾式 该性质是反证法的基础 定理1-6.2:AB iff ～B～A 该定理提供了逆向思维的基础
证明： 由AC且BC知道（AC）∧（BC）是永真式；进一 步可变换为永真式(A∨B）C，即A∨BC。 ■
2016/3/25 计算机学院 19/156
蕴含关系的性质
⑦ A∧B C 当且仅当 A B→C 该性质是推理演绎中CP规则的基础 ⑧ A B, iff A∧～B是矛盾式 该性质是反证法的基础 定理1-6.2:AB iff ～B～A 该定理提供了逆向思维的基础
2016/3/25
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蕴含关系的性质
① 自反性 A A ② 反对称性，如果A B，且B A，则必有： A B ③ A B 且A为永真式，则B必为永真式 ④ 传递性，如果A B，B C，则A C ⑤ 如A B，A C，则A B∧C ⑥ 如A C，B C，则A∨B C
2016/3/25
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蕴含关系的性质
① 自反性 A A ② 反对称性，如果A B，且B A，则必有： A B ③ A B 且A为永真式，则B必为永真式 ④ 传递性，如果A B，B C，则A C ⑤ 如A B，A C，则A B∧C ⑥ 证明： 如A C，B C，则A∨B C
2016/3/25
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蕴含关系的性质
① 自反性 A A ② 反对称性，如果A B，且B A，则必有： A B ③ A B 且A为永真式，则B必为永真式 ④ 传递性，如果A B，B C，则A C ⑤ 如A B，A C，则A B∧C ⑥ 如A C，B C，则A∨B C
2016/3/25
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蕴含关系的性质
① 自反性 A A ② 反对称性，如果A B，且B A，则必有： A B ③ A B 且A为永真式，则B必为永真式 ④ 传递性，如果A B，B C，则A C ⑤ 如A B，A C，则A B∧C ⑥ 如A C，B C，则A∨B C
定义1.18 设A和B是两个合适公式，如果在任何 解释下，A取值1时B也取值1，则称公式A蕴涵公 式B，并记A B。（A取0时的情况不考虑） 定理1.11: AB 当且仅当 A→B为永真式。 注意：蕴含和条件联结词→是完全不同的。 1)→是命题联结词，A→B是一个命题公式； 2)是公式间关系符，AB不是一个命题公 式，仅表示A，B间的蕴含关系。
2016/3/25
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蕴含关系的性质
① 自反性 A A ② 反对称性，如果A B，且B A，则必有： A B ③ A B 且A为永真式，则B必为永真式 ④ 传递性，如果A B，B C，则A C 以上三个性质根据定义和定理 1.11 是很容 ⑤ 如A B，A C，则A B∧C 易证明的（这些证明作为课外练习），下面我 们来证明另外五个重要性质。 ⑥ 如A C，B C，则A∨B C
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2Байду номын сангаас/156
蕴含关系的性质
⑦ A∧B C 当且仅当 A B→C 该性质是推理演绎中CP规则的基础 证明： ⑧ A B, iff A∧～B是矛盾式 先设A∧B C，由定理1.11，A∧BC是永真式；但是 该性质是反证法的基础 A∧BC～A∨～B∨C ～A∨（BC）A（BC）， 定理1-5.2:AB iff ～B～A 于是A（BC）是永真式，即有ABC。 该定理提供了逆向思维的基础 其次，设 ABC，则A（BC）是永真式，即
由已知条件 AB 且 AC ，可知 : A→B和A→C都是永 真式，于是(A→B)∧(A→C )也是永真式。 但 ， (A→B)∧(A→C)( ～ A∨B)∧( ～ A∨C) ～ A∨(B∧C) A→(B∧C) ；所以A→(B∧C)是永真式， 即A B∧C 。■
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2016/3/25
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§1．6 命题公式的蕴涵
定义 1.18 设 A 和 B 是两个合适公式，如果在任 何解释下， A 取值 1 时 B 也取值 1 ，则称公式 A 蕴 涵公式B，并记A B。 定理1.11: AB 当且仅当 A→B为永真式。 注意：蕴含和条件联结词→是完全不同的。 注意区别： 定义 1.12 设G、H是公式，如果在任意解释Ｉ下，G与H的 1 )→是命题联结词，A→B是一个命题公式； 真值相同，则称公式G、H是等价的 ，记作GH。 2)是公式间关系符，AB不是一个命题公 定理1.3 公式G、H等价的充分必要条件是公式 式，仅表示 A，B间的蕴含关系。 GH是永真
2016/3/25
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蕴含关系的性质
① 自反性 A A ② 反对称性，如果A B，且B A，则必有： A B ③ A B 且A为永真式，则B必为永真式 ④ 传递性，如果A B，B C，则A C ⑤ 如A B，A C，则A B∧C ⑥ 如A C，B C，则A∨B C
陈瑜
Email：chenyu.inbox@
2016年3月25日星期五
主要内容
1.命题公式的蕴涵 1)九类蕴涵关系 2)蕴涵关系的基本性质 2.推理的基本概念和推理形式 3.推理规则 1)P规则 2)T规则 3)CP规则
2016/3/25
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§1．6 命题公式的蕴涵
公式。
2016/3/25 计算机学院 6/156
§1．6 命题公式的蕴涵
定义 1.18 设 A 和 B 是两个合适公式，如果在任 何解释下， A 取值 1 时 B 也取值 1 ，则称公式 A 蕴 涵公式B，并记A B。 定理1.11: A B 当且仅当 A→B为永真式。 注意：蕴含和条件联结词→是完全不同的。 1)→是命题联结词，A→B是一个命题公式； 2)是公式间关系符，AB不是一个命题公 式，仅表示A，B间的蕴含关系。
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蕴含关系的性质
① 自反性 A A ② 反对称性，如果A B，且B A，则必有： A B ③ A B 且A为永真式，则B必为永真式 ④ 传递性，如果A B，B C，则A C ⑤ 如A B，A C，则A B∧C ⑥ 如A C，B C，则A∨B C
2016/3/25
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证明
根据前提假设，此处 B只可能取1
定理1.11: AB 当且仅当 A→B为永真式。证： 1)因AB，由蕴涵定义知：A取1，B也取1。此 时，由→运算规则知A→B取 1 。此外， A 若为 0 ， A→B也必取1。因此， A→B为永真式。 2)如果A→B为永真式，那么A取1时必有B也取1， 从而AB。（注：此处由假设“A→B为永真式” 也可得出A取0时，B取0或1，A→B也为1的结果， 但根据蕴涵定义，我们不需要判断此情况。）
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蕴含关系的性质
⑦ A∧B C 当且仅当 A B→C 该性质是推理演绎中CP规则的基础 ⑧ A B, iff A∧～B是矛盾式 该性质是反证法的基础 证明： 定理1-5.2:AB iff ～B～A 当A B时，AB是永真式，所以～（AB）是矛盾式， 该定理提供了逆向思维的基础
由已知条件A B 且 B C，可知: (A→B)∧(B→C )应该是永真式；再根据假言三段论， 应有(A→B)∧(B→C ) A→C ；再根据性质3， A→C也必是永真式，即A C 。■
2016/3/25 计算机学院 14/156
蕴含关系的性质
① 自反性 A A ② 反对称性，如果A B，且B A，则必有： A B ③ A B 且A为永真式，则B必为永真式 ④ 传递性，如果A B，B C，则A C ⑤ 如A B，A C，则A B∧C ⑥ 如A C，B C，则A∨B C
2016/3/25
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§1．6 命题公式的蕴涵
定义1.18 设A和B是两个合适公式，如果在任何 解释下，A取值1时B也取值1，则称公式A蕴涵公 式B，并记A B。（A取0时的情况不考虑） 定理1.11: AB 当且仅当 A→B为永真式。 注意：蕴含和条件联结词→是完全不同的。 1)→是命题联结词，A→B是一个命题公式； 2)是公式间关系符，AB不是一个命题公 式，仅表示A，B间的蕴含关系。