离散数学 屈婉玲版 第十一章
07879离散数学-屈婉玲(形式语言与自动机)11.1
Chomsky谱系 谱系
0型语言 0 型文法生成的语言 型语言: 型文法生成的语言 型语言 1型语言 上下文有关语言 如果 型语言(上下文有关语言 可由1型文法 型语言 上下文有关语言): 如果L-{ε}可由 型文法 可由 生成, 生成 则称 L 是1型语言 型语言 2型语言 上下文无关语言 : 2 型文法生成的语言 型语言(上下文无关语言 型语言 上下文无关语言) 3型语言 正则语言 3 型文法生成的语言 型语言(正则语言 型语言 正则语言): 如 {1x00 | x∈{0, 1}*} 是正则语言 (例1) ∈ 例 {anbn | n>0} 是上下文无关语言 (例2,3) 例 2i | i ≥1} 是 0 型语言 (例4) { a 例 型语言 型语言 型语言 定理 0型语言1型语言2型语言3型语言 型语言 型语言 型语言 型语言
2i 2i
2i
(4) 2i 次(7) (8)
*
可以证明: 可以证明 L(G) = { a
2i
| i ≥1}
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形式文法的分类 —Chomsky谱系 谱系
0型文法 短语结构文法 无限制文法 型文法(短语结构文法 无限制文法) 型文法 短语结构文法,无限制文法 1型文法 上下文有关文法 型文法(上下文有关文法 型文法 上下文有关文法): 所有产生式α→β, 满足 |α|≤|β| 所有产生式 ≤ 另一个等价的定义: 另一个等价的定义 所有的产生式形如 ξAη→ξαη 其中A∈ 且 ≠ 其中 ∈V, ξ,η,α∈(V∪T)*,且α≠ε ∈ ∪ 2型文法 上下文无关文法): 型文法(上下文无关文法 型文法 上下文无关文法 所有的产生式形如 A→α 其中A∈ ∈ ∪ 其中 ∈V,α∈(V∪T)*,
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子字符串(子串 子字符串 子串): 子串 字符串中若干连续符号组成的字符串 前缀: 前缀 最左端的子串 后缀: 后缀 最右端的子串 例如 ω =abbaab a,ab,abb是ω的前缀 是 的前缀 aab,ab,b是ω的后缀 是 的后缀 ba是ω的子串 但既不是前缀 也不是后缀 的子串, 是 的子串 但既不是前缀, ω本身也是 的子串 且既是前缀 也是后缀 本身也是ω的子串 本身也是 的子串, 且既是前缀, ε也是 的子串 且既是前缀 也是后缀 也是ω的子串 也是 的子串, 且既是前缀,
离散数学习题答案耿素云屈婉玲_百度文库
离散数学习题答案习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）(⌝p→q)∧(q∧r)解：原式⇔(p∨q)∧q∧r⇔q∧r⇔(⌝p∨p)∧q∧r ⇔(⌝p∧q∧r)∨(p∧q∧r)⇔m3∨m7，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011，111。
6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）(p∧q)∨(⌝p∨r)解：原式⇔(p∨⌝p∨r)∧(⌝p∨q∨r)所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：（1）(p∧q)∨r解：原式⇔⇔(⌝p∨q∨r)⇔M4，此即公式的主合取范式，p∧q∧(⌝r∨r)∨((⌝p∨p)∧(⌝q∨q)∧r)⇔(p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7，此即主析取范式。
主析取范式中没出现的极小项为m0，m2，m4，所以主合取范式中含有三个极大项M0，M2，M4，故原式的主合取范式⇔M09、用真值表法求下面公式的主析取范式：（1）(p∨q)∨(⌝p∧r)解：公式的真值表如下：∧M2∧M4。
由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式⇔m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7习题三及答案：（P52-54）11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
前提：⌝p∨q,⌝q∨r,r结论：s 证明：① p 前提引入②④→s,p⌝p∨q 前提引入⌝q∨r 前提引入③ q ①②析取三段论⑤ r ③④析取三段论⑥15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理：（2）前提：(p∨q)→(r∧s),(s∨t)→u 结论：r→s 前提引入⑦ s ⑤⑥假言推理p→u证明：用附加前提证明法。
① p 附加前提引入②③④⑥⑦p∨q ①附加(p∨q)→(r∧s) 前提引入r∧s ②③假言推理⑤ s ④化简s∨t ⑤附加(s∨t)→u 前提引入⑧ u ⑥⑦假言推理故推理正确。
高教离散数学修订版耿素云屈婉玲Part3代数系统部分
图11
第十三章 习题课
解 图12
图13
图12
解
解：
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第二节 整环与域
第十二章 习题课
第十三章 格与布尔代数
第一节 格的定义与性质
图1
图2
第二节 子格与格同态
图4
第三节 分配格与有补格
图5
图7
图8
图9
第四节 布尔代数
图10
第五节 正规子群与商群
第六节 群的同态与同构
第七节 循环群与置换群
பைடு நூலகம்
图2
第十一章 习题课
解：
解
第十二章 环与域
第一节 环的定义与性质
第三部分 代数结构
第十章 代数系统
第一节 二元运算及其性质
第二节 代数系统
第十章 习题课
解
第十一章 半群与群
第一节 半群与独异点
第二节 群的定义与性质
第三节 子群
图1
第四节 陪集与拉格朗日定理
屈婉玲高教版离散数学部分答案详解2[1]
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第七章部分课后习题参考答案7.列出集合A={2,3,4}上的恒等关系I A ,全域关系E A ,小于或等于关系L A ,整除关系D A .解：I A ={<2，2>,<3,3>,<4,4>}E A ={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<3,2>,<3,3>,<4,2>,<4,3>}L A ={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>} D A ={<2,4>}13.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>} B={<1,3>,<2,4>,<4,2>}求A ⋃B,A ⋂B, domA, domB, dom(A ⋃B), ranA, ranB, ran(A ⋂B ), fld(A-B). 解：A ⋃B={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>} A ⋂B={<2,4>}domA={1,2,3} domB={1,2,4} dom(A ∨B)={1,2,3,4}ranA={2,3,4} ranB={2,3,4} ran(A ⋂B)={4}A-B={<1,2>,<3,3>}，fld(A-B)={1,2,3} 14.设R={<0,1><0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}求R R, R -1, R ↑{0,1,}, R[{1,2}] 解：R R={<0,2>,<0,3>,<1,3>}R -1,={<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>}R ↑{0,1}={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>} R[{1,2}]=ran(R|{1,2})={2,3}16．设A={a,b,c,d}，1R ，2R 为A 上的关系，其中1R ={},,,,,a a a b b d{}2,,,,,,,R a d b c b d c b=求23122112,,,R R R R R R 。
离散数学第三版-屈婉玲-课后习题答案
离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语p q解：设p：王强学过法语；q：刘威学过法语；则命题符号化的结果是（9）只有天下大雨，他才乘班车上班q p解：设p：天下大雨；q：他乘班车上班；则命题符号化的结果是（11）下雪路滑，他迟到了解：设p：下雪；q：路滑；r：他迟到了；则命题符号化的结果是(p q)r15、设p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：(p q r)((p q)r)（4）解：p=1，q=1，r=0，(p q r)(110)1，((p q)r)((11)0)(00)1 (p q r)((p q)r)111 19、用真值表判断下列公式的类型：(p p)q（2）解：列出公式的真值表，如下所示：p p qq(p p)(p p)q0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 01 0 0 1 0 11 1 0 0 0 1由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值：（4）(p q)q解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：p0(p q) 1q0q0成真赋值有：01，10，11。
所以公式的习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）(p q)(q r)解：原式(p q)q r(p p)q rq r，此即公式的主析取范式，m m(p q r)(p q r)37所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）(p q)(p r)解：原式，此即公式的主合取范式，M(p p r)(p q r)(p q r)4所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：（1）(p q)r解：原式p q(r r)((p p)(q q)r)(p q r)(p q)r(p q)r(p q)r(p q)r(pq r(p q r)(p q)r(p q)r(p q)r(pq r，此即主析取范式。
离散数学习题答案(耿素云屈婉玲)
离散数学习题答案习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ⌝→∧∧ 解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取式，所以成真赋值为011，111。
6、求下列公式的主合取式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取式，所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取式，再用主析取式求主合取式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ⇔∧∧⌝∨∧∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧13567m m m m m ⇔∨∨∨∨，此即主析取式。
主析取式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取式024M M M ⇔∧∧。
9、用真值表法求下面公式的主析取式： （1）()()p q p r ∨∨⌝∧ 解：公式的真值表如下：由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取式，故主析取式1234567m m m m m m m ⇔∨∨∨∨∨∨习题三及答案：（P52-54）11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
前提：,,,p q q r r s p ⌝∨⌝∨→结论：s 证明：① p 前提引入 ② p q ⌝∨ 前提引入 ③ q ①②析取三段论 ④q r ⌝∨ 前提引入⑤ r ③④析取三段论 ⑥ r s → 前提引入⑦ s ⑤⑥假言推理15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理： （2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论：p u →证明：用附加前提证明法。
离散数学屈婉玲版课后习题
第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p →q)∧(p →r)⇔(p →(q ∧r))(4)(p ∧⌝q)∨(⌝p ∧q)⇔(p ∨q) ∧⌝(p ∧q)证明（2）(p →q)∧(p →r)⇔ (⌝p ∨q)∧(⌝p ∨r)⇔⌝p ∨(q ∧r))⇔p →(q ∧r)（4）(p ∧⌝q)∨(⌝p ∧q)⇔(p ∨(⌝p ∧q)) ∧(⌝q ∨(⌝p ∧q)⇔(p ∨⌝p)∧(p ∨q)∧(⌝q ∨⌝p) ∧(⌝q ∨q)⇔1∧(p ∨q)∧⌝(p ∧q)∧1⇔(p ∨q)∧⌝(p ∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p →q)→(⌝q ∨p)(2)⌝(p →q)∧q ∧r(3)(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)解：（1）主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p∨(⌝q∨p))∧(⌝q∨(⌝q∨p))⇔1∧(p∨⌝q)⇔(p∨⌝q) ⇔ M1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p→q)∧q∧r⇔⌝(⌝p∨q)∧q∧r⇔(p∧⌝q)∧q∧r⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔⌝(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔(⌝p∧(⌝q∨⌝r))∨(p∨q∨r)⇔(⌝p∨(p∨q∨r))∧((⌝q∨⌝r))∨(p∨q∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r ∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r ∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r ∧﹁r ⑤⑦ 合取由于最后一步r ∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有错误!未找到引用源。
离散数学屈婉玲版课后习题
第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔ 0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数 0r: 2是无理数 1s: 6能被2整除 1t: 6能被4整除 0命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1 所以公式类型为永真式(3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p →q)∧(p →r)⇔(p →(q ∧r))(4)(p ∧⌝q)∨(⌝p ∧q)⇔(p ∨q) ∧⌝(p ∧q) 证明（2）(p →q)∧(p →r)⇔ (⌝p ∨q)∧(⌝p ∨r) ⇔⌝p ∨(q ∧r))⇔p →(q ∧r)（4）(p ∧⌝q)∨(⌝p ∧q)⇔(p ∨(⌝p ∧q)) ∧(⌝q ∨(⌝p ∧q)⇔(p ∨⌝p)∧(p ∨q)∧(⌝q ∨⌝p) ∧(⌝q ∨q) ⇔1∧(p ∨q)∧⌝(p ∧q)∧1 ⇔(p ∨q)∧⌝(p ∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p →q)→(⌝q ∨p)(2)⌝(p →q)∧q ∧r (3)(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r) 解：（1）主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q) ⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p) ⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p∨(⌝q∨p))∧(⌝q∨(⌝q∨p))⇔1∧(p∨⌝q)⇔(p∨⌝q) ⇔ M1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p→q)∧q∧r⇔⌝(⌝p∨q)∧q∧r⇔(p∧⌝q)∧q∧r⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔⌝(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔(⌝p∧(⌝q∨⌝r))∨(p∨q∨r)⇔(⌝p∨(p∨q∨r))∧((⌝q∨⌝r))∨(p∨q∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p →(q →r) 前提引入 ⑤q →r ③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P 中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p →⌝q,⌝r ∨q,r ∧⌝s 结论：⌝p 证明：①p 结论的否定引入 ②p →﹁q 前提引入 ③﹁q ①②假言推理 ④￢r ∨q 前提引入 ⑤￢r ④化简律 ⑥r ∧￢s 前提引入 ⑦r ⑥化简律 ⑧r ∧﹁r ⑤⑦ 合取由于最后一步r ∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有错误！未找到引用源。
离散数学习题答案(耿素云屈婉玲)
离散数学习题答案习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ⌝→∧∧ 解：原式()p q q r⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011，111。
6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式，所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ⇔∧∧⌝∨∧∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧ 13567m m m m m ⇔∨∨∨∨，此即主析取范式。
主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ⇔∧∧。
9、用真值表法求下面公式的主析取范式： （1）()()p q p r ∨∨⌝∧ 解：公式的真值表如下：由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式1234567m m m m m m m ⇔∨∨∨∨∨∨习题三及答案：（P52-54）11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
前提：,,,p q q r r s p ⌝∨⌝∨→结论：s 证明：① p 前提引入 ② p q ⌝∨ 前提引入 ③ q ①②析取三段论 ④ q r ⌝∨ 前提引入 ⑤ r ③④析取三段论 ⑥ r s → 前提引入⑦ s ⑤⑥假言推理15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理： （2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论：p u →证明：用附加前提证明法。
离散数学答案 屈婉玲版 第二版 高等教育出版社课后答案,DOC
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1)⇔0（2）（p?r）∧(﹁q∨s)⇔（0?1）∧(1∨1)⇔0∧1⇔0.（3）（⌝(4)（176能被2q:3r:2s:619（4）(p（5）(p（6）((p答：（pqp→q⌝0011111011011110010011110011所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1)⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P qrp∨qp∧r（p∨q）→(p∧r)0000010010014.(2)(p→(4)(p∧证明（2（45.(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∧p)∨(⌝q∧⌝p)∨(p∧q)∨(p∧⌝q)⇔(⌝p∧⌝q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q)⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p⇔1∧(p⇔(p∨⇔∏(2)⌝(p→q)⇔(p∧(3)⇔⌝⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r)前提引入②⌝q∨⌝r①置换③q→⌝r②蕴含等值式④r⑤⌝q⑥p→q⑦￢p（3证明（4①t②t③q④s⑤q⑥（⑦（⑧q⑨q⑩p15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s附加前提引入②s→p前提引入③p①②假言推理④p→(q→r)前提引入⑤q→r③④假言推理⑥q前提引入⑦r⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p②p③﹁④￢⑤￢⑥r⑦r⑧r3.:(1)均有2=(x+)(x).(2)其中(a)(b)解：F(x):2=(x+)(x).G(x):x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。
离散数学屈婉玲版课后答案
离散数学屈婉玲版课后答案【篇一：离散数学第四版课后答案】xt>第1章习题解答1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。
分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。
本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。
其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。
又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。
（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。
这里的“且”为“合取”联结词。
在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然??，但是??”、“不仅??，而且??”、“一面??，一面??”、“??和??”、“??与??”等。
但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。
例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。
1．2 （1）p: 2是无理数，p为真命题。
（2）p:5能被2整除，p为假命题。
（6）p→q。
其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。
由于p与q都是真命题，因而p→q为假命题。
（7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。
由于p为假命题，q为真命题，因而p→q为假命题。
（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月 13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。
（9）p：太阳系外的星球上的生物。
它的真值情况而定，是确定的。
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案.docx
离散数学答案屈婉玲版第⼆版⾼等教育出版社课后答案.docx离散数学答案屈婉玲版第⼆版⾼等教育出版社课后答案第⼀章部分课后习题参考答案16设p 、q 的真值为0； r 、S 的真值为1,求下列各命题公式的真值。
(1) p ∨ (q ∧ r)⼆ O V (0 ∧ 1) U 0(2) ( p? r )∧ (「q ∨ S)⼆ (0? 1)∧ (1 ∨ 1)⼆ 0∧ 1= 0. (3)( ⼀ p ∧⼀ q ∧ r ) ? (P ∧ q ∧, r)⼆(1∧ 1∧ 1)(0 ∧ 0∧ 0)=0(4) (⼀ r ∧ S )→(P ∧⼀ q) U (0∧ 1)→ (1 ∧ 0) = 0→O= 1 17 .判断下⾯⼀段论述是否为真：“⼆是⽆理数。
并且，如果3是⽆理数，则' 2也是⽆理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p:⼆是⽆理数 1q: 3是⽆理数 0 r:2是⽆理数 1s: 6能被2整除1 t: 6能被4整除 0命题符号化为：p ∧ (q →r) ∧ (t →S)的真值为1,所以这⼀段的论述为真19.⽤真值表判断下列公式的类型: (4) (P → q) → (_q —_ P) (5) (P ∧ r)' (—p ∧⼀q) (6) ((P →q) ∧ (q → r)) →(p →r)(5) 公式类型为可满⾜式(⽅法如上例) (6) 公式类型为永真式(⽅法如上例)答:(4)_ p → q^q 1 1 1POOIOOI 1 1 1 0 所以公式类型为永真式P 1 1 0 0q —_p 1 1 0 1(p → q)→ (—q →-P) 1 1 1 1第⼆章部分课后习题参考答案3. ⽤等值演算法判断下列公式的类型，对不是重⾔式的可满⾜式，再⽤真值表法求出成真赋值?⑴⼀(p∧q→q)(2) (p→(P ∨q))∨(p→r)(3) (P∨q)→(P∧r)答：(2) (p→(p∨q))∨(p→r)：= (⼀p∨(p∨q))∨(⼀p∨r)：= ^ p∨p∨q∨r= 1 所以公式类型为永真式⑶P q r p∨q P ∧r (P∨q)→ (P∧0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满⾜式4. ⽤等值演算法证明下⾯等值式：⑵(P → q) ∧(P → r)⼆(P → (q ∧r))⑷(P ∧- q) ∨ (—p∧q)= (p ∨q) ∧⼀(P ∧q)证明(2)(P →q) ∧(P →r)(^p∨q) ∧( ⼀p∨r)=^p∨(q ∧r))：=p→ (q ∧ r)(4) (P ∧— q) ∨ (—p∧q) = (p ∨ (—p∧q)) ∧(~ q∨ ( —p∧q)⼆(P∨— P) ∧(P∨q)∧(⼀q∨-P) ∧Cq∨q)U 1 ∧(P ∨q) ∧^ (P ∧q) ∧1U (P ∨q) ∧^ (P ∧q)5. 求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1) ( ^P→q)→(⼀q∨P)(2) _(P→q) ∧q∧r(3) (P ∨(q ∧r)) →(P ∨q∨r)解：(1) 主析取范式(-p→ q) → (-q P)--(P q) (⼀q P)=(—P ^q) ( ⼀q P)=(-P ^q) (⼀q P) (⼀q -P) (P q) (P ^q)-(-P ^q) (P ^q) (P q)U m0m2m3U ∑ (0,2,3)主合取范式：(^P→q)→(⼀q P)--(P q) (⼀q P)U ( -p -q) (⼀q P)=(-p ( -q P)) ( -q (-q P))=1 (p — q)-(P _q) - M iU ∏ (1)(2) 主合取范式为：—(P → q) q r = ⼀(⼀p q) q r=(P _ q) q r = 0所以该式为⽭盾式?主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)⽭盾式的主析取范式为0(3) 主合取范式为：(P (q r)) → (P q r)u ⼀(P (q r)) → (P q r)=(⼀p ( ⼀q _ r)) (P q r)U ( ⼀p (P q r)) (( ⼀q ^ r)) (P q r)) =1 1所以该式为永真式?永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在⾃然推理系统P中构造下⾯推理的证明⑵前提：p—；q, —(q r),r结论：_ P(4)前提：q“ p,q s,s I t,t r结论：P q证明：(2)①—(q r) 前提引⼊②—q ⼀r ①置换③ q ? ⼀r ②蕴含等值式④r 前提引⼊⑤⼀q ③④拒取式⑥p— q 前提引⼊⑦」P (3)⑤⑥拒取式证明(4):①t r 前提引⼊②t ①化简律③qι S前提引⼊④SI t 前提引⼊⑤q t ③④等价三段论(q~ t)(t > q) ⑤置换⑦(q T )⑥化简⑧q ②⑥假⾔推理⑨ q—；P 前提引⼊⑩P ⑧⑨假⾔推理(11)p q ⑧⑩合取15在⾃然推理系统P中⽤附加前提法证明下⾯各推理(1)前提：p— (q > r),S > p,q结论：S-；r证明①S 附加前提引⼊②Sr P 前提引⼊③P ①②假⾔推理④P- (q - r) 前提引⼊⑤ q—；r ③④假⾔推理⑥q 前提引⼊⑦r ⑤⑥假⾔推理16在⾃然推理系统P中⽤归谬法证明下⾯各推理：(1)前提：p ■ —q, —r q,r - S结论：- P证明：①P 结论的否定引⼊② p—；「q 前提引⼊③⼚q ①②假⾔推理r q 前提引⼊⑤「r ④化简律⑥r 「S 前提引⼊⑦r ⑥化简律⑧r 「r ⑤⑦合取由于最后⼀步r 「r是⽭盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3.在⼀阶逻辑中将下⾯将下⾯命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意X,均有声-2=(x+ )(x T Q.(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为⾃然数集合.(b) 个体域为实数集合.解：F(x): F=2=(x+遢)(x ：區).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为-XF(X),在(a)中为假命题，在(b)中为真命题。
离散数学屈婉玲课后习题答案
离散数学屈婉玲课后习题答案【篇一：离散数学第四版课后答案】xt>第1章习题解答1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。
分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。
本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。
其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。
又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。
（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。
这里的“且”为“合取”联结词。
在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然??，但是??”、“不仅??，而且??”、“一面??，一面??”、“??和??”、“??与??”等。
但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。
例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。
1．2 （1）p: 2是无理数，p为真命题。
（2）p:5能被2整除，p为假命题。
（6）p→q。
其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。
由于p与q都是真命题，因而p→q为假命题。
（7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。
由于p为假命题，q为真命题，因而p→q为假命题。
（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月 13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。
（9）p：太阳系外的星球上的生物。
它的真值情况而定，是确定的。
离散数学最全课后答案(屈婉玲版)
习题一1.1．略1.2．略1.3．略1.4．略1.5．略1.6．略1.7．略1.8．略1.9．略1.10．略1.11．略1.12．将下列命题符号化, 并给出各命题的真值:(1) 2+2 ＝ 4 当且仅当3+3 ＝ 6. (2)2+2 ＝4 的充要条件是3+3 6. (3)2+2 4 与3+3 ＝ 6 互为充要条件. (4) 若2+2 4, 则3+3 6, 反之亦然.(1) p q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为 1.(2) p q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为0.(3) p q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为0.(4) p q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为 1.1.13．将下列命题符号化, 并给出各命题的真值(1) 若今天是星期一, 则明天是星期二. (2)只有今天是星期一, 明天才是星期二. (3)今天是星期一当且仅当明天是星期二. (4)若今天是星期一, 则明天是星期三.令p: 今天是星期一; q: 明天是星期二; r: 明天是星期三(1) p q 1.(2) q p 1.(3) p q 1.(4) p r 当p 0 时为真; p 1 时为假1.14．将下列命题符号化.(1) 刘晓月跑得快, 跳得高.(2) 老王是山东人或河北人.(3) 因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组.(5) 李辛与李末是兄弟.(6) 王强与刘威都学过法语. (7) 他一面吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他迟到了.(12)2 与4 都是素数, 这是不对的.(13) “或24 是素数, 这是不对的”是不对的.(1) p q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高.(2) p q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人.(3) p q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服.(4) p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题.(5) p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟.(6) p q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语.(7) p q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐.(8) p q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班.(9) p q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨.(10) p q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨.(11) p q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了.12) (p q)或p q, 其中, p: 2 是素数, q: 4 是素数. (13) (p q)或p q, 其中, p: 2 是素数, q: 4 是素数.1.15．设p: 2+3=5.q: 大熊猫产在中国.r: 复旦大学在广州. 求下列复合命题的真值:(1)(p q) r(2)(r (p q)) p(3) r (pq r)(4)(p q r) (( p q) r)(1)真值为0.(2)真值为0.(3)真值为0.(4)真值为1.注意: p,q是真命题r 是假命题.1.16．略1.17．略1.18．略1.19．用真值表判断下列公式的类型:(1)p (p q r)(2)(p q) q(3) (q r) r(4)(p q) (q p)(5)(p r) ( p q)(6)((pq) (q r)) (p r)(7)(p q) (r s) (1) , (4), (6)为重言式.(3) 为矛盾式.(2) , (5), (7)为可满足式1.20．略1.21．略1.22．略1.23．略1.24．略1.25．略1.26．略1.27．略1.28．略1.29．略1.30．略1.31．将下列命题符号化, 并给出各命题的真值:(1) 若3+＝4, 则地球是静止不动的(2) 若3+2＝4, 则地球是运动不止的. (3)若地球上没有树木, 则人类不能生存(4) 若地球上没有水, 则3 是无理数.(1) p q, 其中, p: 2+2＝4, q: 地球静止不动, 真值为0.(2) p q, 其中, p: 2+2 ＝4, q: 地球运动不止, 真值为 1.(3) p q, 其中, p: 地球上有树木, q: 人类能生存, 真值为 1.(4) p q, 其中, p: 地球上有水, q: 3 是无理数, 真值为 1.习题二2.1. 设公式 A = p q, B = p q, 用真值表验证公式 A 和 B 适合德摩根律:(A B) A B.p q A =p q B =p q (A B) A B0 0 1 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 1 0 01 1 1 0 0 0因为(A B)和 AB 的真值表相同,所以它们等值.2.2. 略2.3. 用等值演算法判断下列公式的类型, 对不是重言式的可满足式, 再用真值表法求出成真赋值.(1) (p q q)(2)(p (p q)) (p r)(3)(p q) (p r)(1) (p q q) ((p q) q) ( p q q) p q q p 0 0 0. 矛盾式. (2)重言式.(3) (p q) (p r) (p q) (p r) p q p r 易见, 是可满足式, 但不是重言式. 成真赋值为: 000,001, 101, 111p q r p q p r0 0 0 1 1 1 1 00 0 1 1 1 1 1 00 1 0 1 0 0 0 00 1 1 1 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 01 0 1 0 0 1 1 11 1 0 0 0 0 0 01 1 1 0 0 0 1 12.4. 用等值演算法证明下面等值式:(1) p (p q) (p q)(3) (p q) (p q) (p q)(4) (p q) ( p q) (p q) (p q)(1) (p q) (p q) p (q q) p 1 p.(3) (p q)((p q) (q p)) (( p q) ( q p))(p q) (q p)(p q) (p p) ( q q) ( p q)(p q) (p q)(4) (p q) ( p q)(p p) (p q) ( q p) ( q q) (p q) (p q)2.5. 求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值:(1)( p q) ( q p)(2) (p q) q r(3)(p (q r)) (p q r)(1)( p q) ( q p)(p q) ( q p)pq q pp qq p(吸收律) (p p) q p (q q)pq p q p q p qm10 m 00 m11 m10m0 m2 m3(0, 2, 3). 成真赋值为00, 10, 11.(2) 主析取范式为0, 无成真赋值, 为矛盾式. (3)m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7, 为重言式. 2.6. 求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值:(1) (q p) p(2) (p q) ( p r)(3) (p (p q)) r(1) (q p) p( q p) pq p p q0 0 M0 M1 M2 M3 这是矛盾式. 成假赋值为00, 01, 10, 11. (2)M4, 成假赋值为100.(3) 主合取范式为1, 为重言式.2.7. 求下列公式的主析取范式, 再用主析取范式求合取范式(1)(p q) r(2)(p q) (q r)(1)m1 m3 m5 m6 m7 M0 M2 M4(2)m0 m1 m3 m7 M2 M4 M5 M62.8. 略2.9. 用真值表求下面公式的主析取范式(2) (p q) (p q)p q (p q) (p q)0 0 1 0 0 10 1 1 1 1 01 0 0 1 1 11 1 1 0 0 0(2)从真值表可见成真赋值为01, 10. 于是(p q) (p q) m1 m2.2.10. 略2.11. 略2.12. 略2.13. 略2.14. 略2.15. 用主析取范式判断下列公式是否等值: (1) (p q) r 与q (p r)(2)(p q) r( p q) r( p q) rp q rp q (r r) (p p) (q q) rp q r p q rp q r p q r p q r p q r= m101 m100 m111 m101 m011 m001m1 m3 m4 m5 m7= (1, 3, 4, 5, 7).而q (p r)q ( p r)q p r( p p) q ( r r) p ( q q) ( r r)( p p) ( q q) r( p q r) ( p q r) (p q r) (p q r)( p q r) ( p q r) ( p q r) ( p q r)(p q r) (p q r) (p q r) (p q r)= m0 m1 m4 m5m0 m1 m2 m3m1 m3 m5 m7m0 m1 m2 m3 m4 m5 m7(0 , 1,3, 4, 5, 7).2,两个公式的主吸取范式不同, 所以(p q) r? q (p r).2.16. 用主析取范式判断下列公式是否等值(1)(p q) r 与q (p r)(2) (p q)与(p q)(1)(p q) r) m1 m3 m4 m5 m7q(p r) m0 m1 m2 m3 m4 m5 m7所以(p q) r) ? q (p r)(2)(p q) m0 m1 m2(p q) m0所以(p q) ? (p q)2.17. 用主合取范式判断下列公式是否等值(1)p (q r) 与(p q) r(2)p (q r) 与(p q) r(1)p (q r) M6(p q) r M6所以p (q r) (p q) r(2)p (q r) M6(p q) r M0 M1 M2 M6 所以p (qr) ? (p q) r2.18. 略2.19. 略2.20.将下列公式化成与之等值且仅含{ , } 中联结词的公式(3)(p q) r.注意到 A B (A B) (B A)和 A B ( A B) (A B)以及 A B A B. (p q) r(p q r) (r p q)( (p q) r) (r (p q))(( (p q) r) (r (p q))) 注联结词越少, 公式越长.2.21. 证明:(1) (p q) (q p), (p q) (q p).(p q) (p q) (q p) (q p).(p q) (p q) (q p) (q p).2.22. 略2.23. 略2.24. 略2.25. 设A, B, C 为任意的命题公式.(1) 若 A C B C, 举例说明 A B 不一定成立. (2)已知 A C B C, 举例说明 A B 不一定成立. (3) 已知A B, 问: AB 一定成立吗?(1) 取 A = p, B = q, C = 1 (重言式), 有AC B C, 但A ? B.(2) 取 A = p, B = q, C = 0 (矛盾式), 有AC B C, 但A ? B. 好的例子是简单, 具体, 而又说明问题的. (3)一定.2.26. 略2.27. 某电路中有一个灯泡和三个开关A,B,C. 已知在且仅在下述四种情况下灯亮(1) C 的扳键向上, A,B 的扳键向下.(2) A 的扳键向上, B,C 的扳键向下.(3) B,C 的扳键向上, A 的扳键向下.(4) A,B 的扳键向上, C 的扳键向下.设F 为1 表示灯亮, p,q,r 分别表示A,B,C 的扳键向上. (a) 求 F 的主析取范式.(b) 在联结词完备集{ , } 上构造 F. (c)在联结词完备集{ , , } 上构造 F.(a) 由条件(1)-(4)可知, F 的主析取范式为F ( p q r) (p q r) ( p q r) (p q r) m1 m4 m3 m6m1 m3 m4 m6（b ）先化简公式2.28. 一个排队线路 , 输入为 A,B,C, 其输出分别为 F A ,F B ,F C . 本线路中 , 在同一时间内只能有一个信号通过 ,若同 时有两个和两个以上信号申请输出时 , 则按 A,B,C 的顺序输出 . 写出 F A ,F B ,F C 在联结词完备集 { , } 中的 表达式 .根据题目中的要求 , 先写出 F A ,F B ,F C 的真值表 （自己写） 由真值 表可先求出他们的主析取范式 , 然后化成{ , } 中的公式 F A m 4 m 5 m 6 m 7p（已为{ , } 中公式 ）F Bm 2 m 3pq（已为{, } 中公式 ）F Cm 1p q r（已为{ ,} 中公式 ）2.29. 略 2.30. 略q(( p r) (p r)) q (( p r) (p r)) (q q) (( p r) (pr))(p r) (pr)(( p r)(p r))（已为{ , } 中公式） （c ）(p r) (pr)(p r) ( p r)( p r) ( p r)(p r) ( p r)(r p) (p r)（已为{ , , }中公式 ）q r) (p q r) ( p q r) (p qr)3.1. 略3.2. 略3.3. 略3.4. 略3.5. 略3.6. 判断下面推理是否正确. 先将简单命题符号化, 再写出前提, 结论, 推理的形式结构(以蕴涵式的形式给出) 和判断过程( 至少给出两种判断方法):(1) 若今天是星期一, 则明天是星期三；今天是星期一. 所以明天是星期三. (2)若今天是星期一, 则明天是星期二；明天是星期二. 所以今天是星期一. (3)若今天是星期一, 则明天是星期三；明天不是星期三.所以今天不是星期一. (4)若今天是星期一, 则明天是星期二；今天不是星期一. 所以明天不是星期二.(5)若今天是星期一, 则明天是星期二或星期三. (6)今天是星期一当且仅当明天是星期三；今天不是星期一. 所以明天不是星期三.设p: 今天是星期一, q: 明天是星期二, r: 明天是星期三. (1)推理的形式结构为(p r) p r此形式结构为重言式, 即(p r) p r 所以推理正确. (2) 推理的形式结构为(p q) q p 此形式结构不是重言式, 故推理不正确. (3)推理形式结构为(p r) r p此形式结构为重言式, 即(p r) r p 故推理正确. (4) 推理形式结构为(p q) p q 此形式结构不是重言式, 故推理不正确. (5)推理形式结构为p (q r)它不是重言式, 故推理不正确. (6)推理形式结构为(p r) p r此形式结构为重言式 , 即(p r) p r 故推理正确 .推理是否正确 , 可用多种方法证明 . 证明的方法有真值表法 , 等式演算法 . 证明推理正确还可用构造证明法 下面用构造证明法证明 (6)推理正确3.7. 略 3.8. 略3.9. 用三种方法 (真值表法 , 等值演算法 , 主析取范式法 )证明下面推理是正确的 :若a 是奇数, 则a 不能被 2 整除. 若a 是偶数, 则a 能被 2 整除. 因此, 如果a 是偶数, 则a 不是奇数. 令 p: a 是奇数 ; q: a 能被 2 整除 ; r: a 是偶数 . 前 提: p q, r q.结论 : r p.形式结构 : (p q) (r q) (r p).3.10. 略3.11. 略3.12. 略3.13. 略3.14. 在自然推理系统 P 中构造下面推理的证明 : (1)前 提: p (q r), p, q结论 : r s(2) 前提 : p q, (q r), r结论 : p(3) 前提 : p q结论 : p (p q)(4) 前提 : q p, q s, s t, t r结论 : p q(5) 前提: p r, q s, p q前提 : p r, p 结论 : r 证明 : ①p r ② (p r) (r③ r p④ p⑤ r 所以, 推理正确 .前提引入p) ①置换 ② 化简律 前提引入 ③④拒取式结论: r s(6)前提: p r, q s, p q结论: t (r s) (1) 证明:①p (q r) 前提引入前②p提引入③qr ①② 假言推理④q前提引入⑤r ③④ 假言推理⑥rs ⑤附加律(2) 证明:①(q r) 前提引入②qr ①置换③r 前提引入④q ②③ 析取三段论⑤pq 前提引入⑥p④⑤ 拒取式(3) 证明:①p q前提引入②p q①置换③(p q) ( p p) ②置换④p(p q) ③置换⑤p(p q)④置换也可以用附加前提证明法, 更简单些.(4) 证明:①②st 前提引入①置换(s t) (t s)③ts ②化简前提④tr 引入⑤t ④化简⑥s ③⑤ 假言推理⑦qs 前提引入⑧(s q) (q s) ⑦置换⑨sq ⑧化简⑩q⑥⑥ 假言推理(5) 证明 : ① pr 前提引入 前② qs 提引入③ pq 前提引入④ p ③化简⑤ q ③化简⑥ r ①④ 假言推理⑦ s ②⑤ 假言推理 ⑧ rs ⑥⑦ 合取(6) 证明 :① t 附加前提引入② pr 前提引入③ pq 前提引入④ p ③化简⑤ r ②④ 析取三段论 ⑥ rs ⑤附加说明: 证明中 , 附加提前 t, 前提 q s 没用上. 这仍是正确的推理 .(1) 证明:附加前提引入前提引入○11 ○1 前提引入⑩○11 假言推理⑩○12 合取③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ (q r) ①② 假言推理 前提引入③④ 假言推理 前提引入⑤⑥ 假言推理3.15.在自然推理系统 P 中用附加前提法证明下面各推理(1)前提 : p 结论 : s(q r), s p, q(2)前提: (p 结论 : pq) (r s), (s t) u(2) 证明:(1)前提: p q, r q, r s 结论 : p(2) 前提: p q, p r, q s结论 : r s(1) 证明: ① P 结论否定引入② p q 前提引入③ q①② 假言推理④ r q 前提引入⑤ r③④ 析取三段论 ⑥ r s 前提引入⑦ r⑥ 化简⑧ r r ⑤⑦ 合取⑧为矛盾式 , 由归谬法可知 , 推理正确 .(2)证明:① (r s) 结论否定引入② pq 前提引入③ pr 前提引入④ qs 前提引入⑤ rs ②③④ 构造性二难 ⑥ (r s) (r s) ①⑤ 合取①P 附加前提引入② pq①附加③ (p q) (r s)前提引入④ rs ②③ 假言推理⑤ S ④化简⑥ st ⑤附加⑦ (s t) u 前提引入⑧u ⑥⑦ 假言推理3.16.在自然推理系统 P 中用归谬法证明下面推理⑥为矛盾式, 所以推理正确3.17. P53 17. 在自然推理系统P 中构造下面推理的证明:只要 A 曾到过受害者房间并且11 点以前没用离开, A 就犯了谋杀罪. A 曾到过受害者房间. 如果 A 在11 点以前离开, 看门人会看到他. 看门人没有看到他. 所以A 犯了谋杀罪.令p: A 曾到过受害者房间; q: A 在11 点以前离开了; r: A 就犯了谋杀罪; s:看门人看到 A. 前提: p q r, p, qs, s.结论: r.前提: p q r, p, q s, s; 结论证明:①s 前提引入② q s 前提引入③q ①②拒取④p 前提引入⑤ p q ③④合取⑥ p q r 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理3.18. 在自然推理系统P 中构造下面推理的证明.(1) 如果今天是星期六, 我们就要到颐和园或圆明园去玩. 如果颐和园游人太多, 我们就不去颐和园玩. 今天是星期六. 颐和园游人太多. 所以我们去圆明园玩.(2) 如果小王是理科学生, 他的数学成绩一定很好. 如果小王不是文科生, 他必是理科生. 小王的数学成绩不好. 所以小王是文科学生.(3) 明天是晴天, 或是雨天；若明天是晴天, 我就去看电影；若我看电影, 我就不看书. 所以, 如果我看书则明天是雨天.(1) 令p: 今天是星期六; q: 我们要到颐和园玩; r: 我们要到圆明园玩; s:颐和园游人太多前提: p (q r), s q,p, s.结论: r.①p前提引入②p q r前提引入③qr①②假言推理④s前提引入⑤s q前提引入⑥q④⑤假言推理⑦r ③⑥析取三段论(1)的证明树(2) 令p: 小王是理科生, q: 小王是文科生, r: 小王的数学成绩很好. 前(3) 令p: 明天是晴天, q: 明天是雨天, r: 我看电影, s: 我看书. 前提: p q, p r, r s结论: s q证明:rs④⑤⑥⑦pr ppq q附加前提引入前提引入①②拒取式前提引入③④ 拒取式前提引入⑤⑥析取三段论提: p r, q p, 结论: q 证明:r①p r 前提引入②r 前提引入③p①② 拒取式④q p前提引入⑤q③④ 拒取式习题四4.1. 将下面命题用 0 元谓词符号化 : (1)小王学过英 语和法语 . (2)除非李建是东北人 , 否则他一定 怕冷.(1) 令 F(x): x 学过英语 ; F(x): x 学过法语 ; a: 小王. 符号化为 F(a) F(b).或进一步细分 , 令 L(x, y): x 学过 y; a: 小王; b 1: 英语; b 2: 法语. 则符号化为L(a, b 1) L(a, b 2).(2) 令 F(x): x 是东北人 ; G(x): x 怕冷; a: 李建. 符号化为F(a) G(a) 或 G(a) F(a).或进一步细分 , 令 H(x, y): x 是y 地方人; G(x): x 怕冷; a: 小王; b: 东北.则符号化H(a, b) G(a) 或 G(a) H(a, b).H(a, b) G(a) 或 G(a) H(a, b).4.2. 在一阶逻辑中将下面命题符号化 , 并分别讨论个体域限制为 (a),(b)时命题的真值 :(1)凡有理数都能被 2 整除 . (2) 有的有理数能被 2 整除. 其中(a)个体域为有理数集 合 , (b) 个体域为实数集合 .的 x, 均有 x 2 2=(x+ 2 )(x(2) 存在 x, 使得 x+5=9.其中 (a)个体域为自然数集合(1) (a)中, x(x 2 2=(x+ 2 )(x 2 )), 真值为 1.(b)中, x(F(x) (x 2 2=(x+ 2 )(x 2 )))), 其中, F(x): x 为实数, 真值为1. (2)(a) 中, x(x+5=9),真值为 1.(b)中, x(F(x) (x+5=9)), 其中, F(x): x 为实数, 真值为 1.4.4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化(1)没有不能表示成分数的有理数 (2)在北京卖菜的人不全是外地人(1)(a)中, (b)中, x(G(x) F(x)), 其中, G(x): x 为有理数中, xF(x), 其中, F(x): x 能被 2 整除,(b)中, x(G(x) F(x)), 其中, F(x)同(a)中, 真值为 0. (2)(a) x 为有理数 , 真值为 1.4.3. 在一阶逻辑中将下面命题符号化 并分别讨论个体域限制为 (a),(b)时命题的真值 : (1)对于任意 2 ). , (b) 个体域为实数集合 , 其中, F(x): x 能被 2(3) 乌鸦都是黑色的 . (4)有的人天 天锻炼身体 .没指定个体域 , 因而使用全总个体域 .(1)x(F(x) G(x))或 x(F(x) G(x)), 其中, F(x): x 为有理数, G(x): x 能表示成分数 . (2)x(F(x) G(x))或 x(F(x) G(x)), 其中, F(x): x 在北京卖菜 , G(x): x 是外地人 . (3)x(F(x) G(x)), 其中, F(x): x 是乌鸦, G(x): x 是黑色的 . (4) x(F(x) G(x)), 其中, F(x): x 是人, G(x): x 天天锻炼身体 .4.5. 在一阶逻辑中将下列命题符号化 : (1)火车都比 轮船快 . (2)有的火车比有的汽车快 . (3)不存在 比所有火车都快的汽车 . (4) “凡是汽车就比火 车慢 ”是不对的 .(1) x y z(x y = z);(2) x y(x y = 1).③ “对于任意整数 x 和 y, 都存在整数 z, 使得 x y = z. 选③, 直接翻译 , 无需数理逻辑以外的知识 . 以下翻译意思相 同, 都是错的 :“有个整数 , 它是任意两个整数的差 . ”“存在一个整数 , 对于任意两个整数 , 第一个整数都等于这两个整数相减“存在整数 z, 使得对于任意整数 x 和y, 都有 x y = z.”这 3 个句子都可以符号化为z x y(x y = z).0 量词顺序不可随意调换 .(2) 可选的翻译 :(1) 可选的翻译 : ① “任意两个整数的差是整数 ② “对于任意两个整 第三个整数 , 它等于这两个整数相减 . ” 因为没指明个体域 , 因而使用全总个体域(1) x y(F(x)(2) x y(F(x)(3) 或 x(F(x) x(F(x) G(y) H(x,y)), 其中, F(x): x 是火车 , G(y): y 是轮船 , H(x,y):x 比 火车, G(y): y 是汽车, H(x,y):x 比 y 快. H(x,y))) H(x,y))), 其中, F(x): x 是汽车 , G(y): y 是火车, y(G(y) y(G(y)(4) 或 x y(F(x) G(y) x y(F(x) G(y)(x,y))(x,y) ), 其中, F(x): x 是汽车, G(y): y 是火车 , H(x,y):x 比y 慢. 4.7. 将下列各公式翻译成自然语言y):x 4.6. 略? , 并判断各命题的真假 .① “每个整数都有一个倒数 . ”② “对于每个整数 , 都能找到另一个整数 , 它们相乘结果是零③ “对于任意整数 x, 都存在整数 y, 使得 xy = z.”选③, 是直接翻译 , 无需数理逻辑以外的知识 4.8. 指出下列公式中的指导变元 , 量词的辖域 , 各个体变项的自由出现和约束出现 :(3) x y(F(x, y) G(y, z)) xH(x, y, z)x y( F( x, y) G(y,z)) xH(x,y,z)前件 x y(F(x, y) G(y, z)) 中, 的指导变元是 x, 的辖域是 是(F(x, y) G(y, z)). 后件 xH(x, y, z) 中 , 的指导变元是 x, 的辖域是 H(x, y, z). 整个公式中 , x 约束出现两次 , y 约束出现两次 , 自由出现一次 ; z 自由出现两次 .4.9. 给定解释 I 如下 : (a)个体 域 D I 为实数集合 .(b)D I 中特定元素 a =0. (c)特定 函数 f ( x,y)= x y, x,y ∈D I .(d)特定谓词 F(x,y): x=y, G(x,y): x<y, x,y ∈D I . 说明 下列公式在 I 下的含义 , 并指出各公式的真值 : (1)4.10. 给定解释 I 如下 :(a)个体域 D=? (? 为自然数 ).(b)D 中特定元素 a=2.(c)D 上函数 f (x,y)=x+y, g (x,y)=x ·y. (d) D 上谓词 F (x,y): x=y.说明下列公式在 I 下的含义 , 并指出各公式的真值(1) xF(g(x,a),x)(2) x y(F(f(x,a),y) F(f(y,a),x))(3) x y z(F(f(x,y),z)(4) xF(f(x,x),g(x,x))(2) x y(F(f(x,y),a) G(x,y))(3) x y(G(x,y) F(f(x,y),a))(4) x y(G(f(x,y),a) F(x,y))x y(G(x,y) F(x,y))y(F(x, y) G(y, z)); 的指导变元是 y, 的辖域(1)(2)(3)y(x<y x y), 真值为 1. y((x y=0) x<y), 真值为 0. y((x<y) (x y 0)), 真值为 1 (4) y((x y<0) (x=y)), 真(1) x(x ·2=x), 真值为 0.(2) x y((x+2=y) (y+2=x)), 真值为 0.(3) x y z(x+y=z),真值为 1.(4) x(x+x=x ·x),真值为 1.4.11. 判断下列各式的类型 :(1) F(x, y) (G(x, y) F(x, y)).(3) x yF(x, y) x yF(x, y).(5) x y(F(x, y) F(y, x)).(1) 是命题重言式 p (q p) 的代换实例 , 所以是永真式 .(3) 在某些解释下为假 (举例), 在某些解释下为真 (举例), 所以是非永真式的可满足式(5) 同(3).4.12. P69 12. 设I 为一个任意的解释 , 在解释 I 下, 下面哪些公式一定是命题 ? (1) xF(x, y)yG(x, y). (2) x(F(x)G(x)) y(F( y) H( y)) (3) x( yF(x, y)yG(x, y)). (4) x(F(x)G(x)) H( y).4.15. (1) 给出一个非闭式的永真式 .(2) 给出一个非闭式的永假式 .(3) 给出一个非闭式的可满足式 , 但不是永真式(1) F(x) F(x).(2) F(x) F(x).(3) x(F(x, y) F(y, x)).4.13.略4.14.证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式 : (1) x(F(x) y(G(y) H(x,y)))(2) x y(F(x) G(y) H(x,y)) (2), (3) 一定是命题 , 因为它们是闭x. 数 , H(x,y): x<y 为真命题 , 所以该公式不是矛盾式 . (1) 取个体域为全总个体域 . 解释 I 1: F(x) 在 I 1 下 : x(F(x) 解释 I 2: F(x),G(y)同 I 1, 在 I 2 下 : x(F(x) y(G(y) H (x,y)))为假命题, 所以该公式不是永真式 . (2) 请读者给出不同解释 , 使其分别为成真和成假的命题即可 . : x 为有理数 , G(y): y 为H(x,y5.1. 略5.2. 设个体域 D={ a,b,c}, 消去下列各式的量词 :xF(x) yG(y)(1) x(F(x) G(x))(2) x(F(x) G(x))(1)I 1: F(x):x ≤2G,(x):x ≤3 F(1),F(2),G(1),G(2)均为真, 所以(F(1) G(1) (F(2) G(2))为真.I 2: F(x)同 I 1,G(x):x ≤0 则F (1),F(2)均为真, 而 G(1),G(2)均为假,x(F(x) G( x))为假. (2)留给读者自己 做.5.4. 略5.5. 给定解释 I 如下: (a) 个体域 D={3,4}.(b) f (x)为 f (3)=4, f (4)=3. (c) F(x,y)为F(3,3)= F(4,4)=0, F(3,4)= F (4,3)=1.习题五(1) (1) (2) (3) (4) x y(F(x) x y(F(x) xF(x) x(F(x,y) G(y)) G(y)) yG(y) yG(y))x y(F(x) G(y))(2) (3) (4) (F(a) F(b)) F(c))x y(F(x) G(y)) xF(x) yG(y) (F(a) F(b) F(c)) xF(x) yG(y) (F(a) F(b) F(c)) x(F(x,y) yG(y)) xF(x,y) yG(y)(G(a) (G(a) (G(a) G(b) G(b) G(b) G(c)) G(c)) G(c))(F(a,y) F(b,y) F(c,y)) (G(a) G(b) G(c)) (F(a,y) F(b,y) F(c,y)) (G(a) G(b) G(c))5.3. 设个体域 D={1,2}, 请给出两种不同的解释 I 1 和I 2, 使得下面公式在 I 1 下都是真命题 , 而在 I 2 下都是假命题.x(F(x) G(x))试求下列公式在 I 下的真值 :(1) x yF(x,y)(2) x yF(x,y)(3) x y(F(x,y) F(f(x),f(y))) (1) x yF(x,y) (F(3,3) F(3,4))(F(4,3) F(4,4)) (0 1) (1 0)1 (2) x yF(x,y)(F(3,3) F(3,4))(F(4,3) F(4,4)) (0 1) (1 0) 0(3) x y(F(x,y) F(f(x),f(y)))(F(3,3)F(f(3),f(3))) (F(4,3)F(f(4),f(3))) (F(3,4)F(f(3),f(4))) (F(4,4)F(f(4),f(4))) (0 0) (1 1) (1 1) (0 0)5.6. 略5.7. 略5.8. 在一阶逻辑中将下列命题符号化 , 要求用两种不同的等值形式(1) 没有小于负数的正数 .(2) 相等的两个角未必都是对顶角 .5.9. 略5.10. 略5.11. 略5.12. 求下列各式的前束范式 .(1) xF(x) yG(x, y);(3) xF(x, y) xG(x, y); (5) x 1F(x 1, x 2) (F(x 1)x 2G(x 1, x 2)). 前束范式不是唯一的 .(1) xF(x)yG(x, y) x(F(x) yG(x, y))(1) 令 F(x): x 小于负数 , G(x): x 是正数 . 符合化为 : x((F(x) G(x))x(G(x) G(x)).等的 , L(x, y): x 与 y 是对顶角(2) 令 F(x): x 是角, H(x, y): x 和 . 符合化为 : x y(F(x) F(y) H(x, y) L(x, y))x y(F(x) F(y) H(x, y) L(x, y))L(x, y))). (F(y) H(x, y)(F(x)x 3 x 4(G(x 3, y) F(x 4, y)) G(x 2, y))(G(x 3, y) F(x 4, y))). 5.13. 将下列命题符号化 , 要求符号化的公式全为前束范式(1) 有的汽车比有的火车跑得快 .(2) 有的火车比所有的汽车跑得快(3) 说所有的火车比所有的汽车跑得快是不对的(4) 说有的飞机比有的汽车慢是不对的(1) 令 F(x): x 是汽车, G( y): y 是火车, H(x, y): x 比y 跑得快.x(F(x) y(G( y) H(x, y))x y(F(x) G( y) H(x, y)).(2) 令 F(x): x 是火车, G( y): y 是汽车, H(x, y): x 比 y 跑得快.x(F(x) y(G( y) H(x, y)))5.14. 略(1) 前提 : xF(x) 结论 : xR(x).(2) 前提 : x(F(x) (G(a) R(x))), 结论 : x(F(x) R(x))(3) 前提 :x(F(x) G(x)), xG(x) 结论 : xF(x)(4) 前提 : x(F(x) G(x)), x( G(x) 结论 : xF(x) R(x)), xR(x)xF(x) x y(F(x)G(x, y)). (3) xF(x, y)xG(x, y) ( xF(x, y)xG(x, y)) ( xG(x, y) xF(x, y)) ( x 1F (x 1, y) x 2G(x 2, y)) ( x 3G(x 3, y) x 4F(x 4, y))x 1 x 2(F(x 1, y) G(x 2, y)) x 1 x 2 x 3 x 4((F(x 1, y) y(F(x) (G( y) H(x, y))) xy(F(x)(不是前束范式 ) x y(F(x)(4)令 F(x): x 是飞机, G( y): y 是汽车, H x(F(x) y(G( y) H(x, y)))x y(F (x) G( y) H(x, y)) (不是前束范式 )x y (F(x) x y(F(x) G( y) H(x, y))., y): x 比 y 跑得慢 .G( y) H(x, y))5.15. 在自然推理系统 F 中构造下面推理的证明 :y((F(y) G(y)) R(y)), xF(x)x 0 错误的答案 : x y(F (x)(3)令 F(x): x 是火车, G( y):x) (G( y) H(x, y))). H(x, y)).车, H(x, y): x 比 y 跑得快. y(G( y) H(x, y)))y)) y)). H ( y)① xF(x) y((F(y) G(y)) R(y)) 前提引入② xF(x) 前提引入③ y((F(y) G(y)) R(y)) ①②假言推理 ④ (F(c) G(c)) R(c) ③UI⑤ F(c) ①EI⑥ F(c) G(c) ⑤附加⑦ R(c) ④⑥假言推理 ⑧ xR(x) ⑦EG(2) 证明 :前提引入①UI前提引入③UI前提引入⑤UI④⑥ 析取三段论②⑦ 析取三段论UG5.16. 略① xF(x) 前提引入② F(c) ①EI③ x(F(x) (G(a) (R(x))) 前提引入④ F(c) (G(a) R(c)) ④UI⑤ G(a) R(c) ②④ 假言推理⑥ R(c) ⑤化简⑦ F(c) R(c) ②⑥ 合取⑧ x(F(x) R(x)) ⑥EG(3) 证明:① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ x G(x) G(c) x(F(x) G(x F(c) G(c) F(c) xF(x) 前提引入①置换②UI(4) 证明:前提④UI③⑤ 析取三段⑥EG① x(F(x) G(x)) ② F(y) G(y) ③ x( G(x) R(x)) ④ G(y) R(y) ⑤ xR(x) ⑥ R(y) ⑦ G(y) ⑧ F(y) ⑥ xF(x)5.18. 略5.19. 略5.20. 略5.21. 略5.22. 略5.23. 在自然推理系统 F 中, 证明下面推理 :(1) 每个有理数都是实数 , 有的有理数是整数 , 因此有的实数是整数 .(2) 有理数 , 无理数都是实数 , 虚数不是实数 , 因此虚数既不是有理数 , 也不是无理数(3) 不存在能表示成分数的无理数 , 有理数都能表示成分数 , 因此有理数都不是无理数设: F( x): x 为有理数 , G(x):x 为无理数 , R( x)为实数 , H(x)为虚数前提: x((F(x) G(x)) R(x)), x(H(x) R(x))结论:x(H(x) ( F(x) G(x)))证明:①x((F(x) G(x) R(x)) 前提引入 ②F(y) G(y)) R(y) ①UI ③x(H(x) R(x)) 前提引入 ④H(y) R(y) ③UI ⑤R(y) (F(y) G(y)) ②置换 ⑥H(y) (F(y) G(y)) ④⑤假言三段论 ⑦ H(y) ( F(y) G(y))⑥置换 (1)设 F(x):x 为有理数 , R(x):x 为实数 , G( x): x 是整数 . 前提 结论 证明 ① ②③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑥ x(F(x) x(R(x) x(F(x) F(c) G F(c) G(c) x(F(x) F(c) R(c R(c) ②化简前提引入⑤UI R(c) G(c) ④⑦ 合x(R(x) G(x))⑧ EG (2) x(F(x)) R(x))G(x))(c)R(x)), G(x))前提引入 EI ②x(H(x) ( F(x) G(x)))⑦UG5.24. 在自然推理系统 F 中, 构造下面推理的证明 : 每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车 . 每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车 . 有的人不喜欢乘汽车 所以有的人不喜欢步行 . (个体域为人类集合 )5.25. 略(3) H(x)为有理数 前提: x(G(x) F(x)), x(H(x) F(x))结论: x(H(x) G(x))证明: ① x(H(x) F(x)) 前提引入 ② H(y) F(y)①UI ③ x(G(x) F(x))前提引入 ④G(y) F(y) ③UI ⑤ F(y) G(y) ④置换 ⑥ H(y) G(y) ②⑤ 假言三段论 ⑦ x(H(x) G(x)) ⑥UG设: F( x): x 能表示成分数 , G(x):x 为无理数 , 令 F(x): x 喜欢步行 , G( x): x 喜欢 前提 : x(F(x) 结论 : x F(x). ① x(G(x) H(y))② G(c) H(c③ x H(x)④ H(c)⑤ G(c)⑥ x(F(x)⑧ F(c)前提引入UI 前提引入 ③UI ④析取三段 引入 ⑨ x F(x)行车 , H(x): x 喜欢乘汽车 . G(x)), x(H(y)), x H(x). G(x)) ⑥ ⑦ F(c) G(c)⑤⑦拒取 G6.1. 选择适当的谓词表示下列集合(1) 小于 5 的非负整数(2) 奇整数集合(3) 10 的整倍数的集合(1){ x|x ∈ ? 0≤x<5}(2){ x|x=2k+1 k ∈? } (3) { x|x=10k k ∈? }6.2. 用列元素法表示下列集合 : (1)S 1 ＝ {x|x 是十进制的数字 } (2)S 2＝{ x|x ＝ 2 x ＝5} (3)S 3＝ { x|x ＝ x ∈ ?3<x<12}x 2－ 1 ＝ 0 x>3} (5)S 5＝{ x, y>|x, y ∈? 0≤x ≤2 1≤y ≤ 0}(1) S 1={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}(2) S 2={2,5}(3) S 3={4,5,6,7,8,9,10,11}(4) S 4=(5) S 5={ 0, 1, 1, 1, 2,1,0,0,1,0, 2,0}6.3. 略6.4. 设 F 表示一年级大学生的集合 , S 表示二年级大学生的集合 , M 表示数学专业学生的集合 , R 表示计算机专业学生的集合 , T 表示听离散数学课学生的集合 , G 表示星期一晚上参加音乐会的学生的集合 , H 表示 星期一晚上很迟才睡觉的学生的集合 . 问下列各句子所对应的集合表达式分别是什么 ? 请从备选的答 案 中挑出来 .(1) 所有计算机专业二年级的学生在学离散数学课 . (2) 这些且只有这些学离散数学课的学生或者星期一晚上去听音乐会的学生在星期一晚上很迟才睡觉 .(3) 听离散数学课的学生都没参加星期一晚上的音乐会 .(4)这个音乐会只有大学一 , 二年级的学生参加 . (5)除去数学专业和计算机专业以外的二年级学生都去参 加了音乐会 . 备选答案 :①T G ∪H ②G ∪H T ③S ∩R T④ H ＝G ∪T ⑤T ∩G ＝ ⑥F ∪S G⑦G F ∪S ⑧S (R ∪M) G ⑥G S (R ∩M)答案:(1)③S ∩R T (2)④H=G ∪ T (3)⑤T ∩G= (4)⑦G F ∪S (5) ⑧S (R ∪ M) G6.5. 确定下列命题是否为真 :(1)(2) ∈(3) { }(4) ∈{ }(5) { a, b} {a, b, c, {a, b, c}}习题六(4)S 4＝{x|x ∈(6) { a, b}∈{a, b, c, {a, b }}(7) { a, b} {a, b, {{ a, b}}}(8) { a, b}∈{a, b, {{ a, b}}}(1) 真(2)假(3) 真(4) 真(5) 真(6) 真(7) 真(8) 假6.6. 略6.7. 略6.8. 略6.9. 略6.10. 略6.11. 略6.12. 略6.13. 略6.14. 略6.15. 略6.16. 略6.17. 略6.18. 略6.19. 略6.20. 略6.21. 略6.22. 略6.23. 略6.24. 略6.25. 略6.26. 略6.27. 略6.28. 略6.29. 略6.30. 略6.31. 略6.32. 略6.33. 略6.34. 略6.35. 略6.36. 略6.37. 略6.38. 略6.39. 略6.40. 略6.41. 略6.42. 略6.43. 略6.44. 略6.45. 略习题七7.1. 已知 A={ ,{ }}, 求 A ×P(A).A ×P(A)={ , , ,{ } , ,{{ }} , ,{ ,{ }} , { }, ,{ },{ } , { },{{ }} , { },{ ,{ }} }7.2. 对于任意集合 A,B,C, 若A ×B A ×C,是否一定有 B C 成立? 为什么? 不一定, 因为有反例 : A= ,B={1}, C={2}, B C,A ×B= =A ×C.7.3. 设 A, B, C, D 是任意集合 ,(1) 求证 (A ∩B) ×(C ∩D)=(A ×C)∩B (×D).(2) 下列等式中哪个成立 ? 那些不成立 ?对于成立的给出证明 , 对于不成立的举一反例 . (A ∪B)×(C ∪D)=(A ×C)∪(B ×D) (A B) ×(C D)=( A ×C) (B ×D)(1) x,yx,y ∈(A ∩B) ×(C ∩D) x ∈A ∩B y ∈ (x ∈B y ∈ D) x,y ∈(A ×B) x,y ∈(C ×D) x,y ∈ (A ∩B) ×(C ∩D)=(A ×C) ∩B (×D)A={1,2}, B={2,3}, C={1,2}, D={2,3}(2)都不成立, 反例: (A ∪B) ×(C )={1,2,3} {×1,2,3} (A ×C)∪(B ×D) (AB) ×(C D)={1} ×{1} (A ×C) (B ×D)7.7. 列出集合 A={2, 3, 4} 上的恒等关系 I A , 全域关系 E A , 小于或等于关系 L A , 整除关系 D A . I A ={ 2,2 ,3,3 ,4,4 }E A =A ×A={ 2,2, 2,3 , 2,4 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 4,2 , 4,3, 4,4}L A ={ 2,2 , 2,3 , 2,4 , 3,3 , 3,4 , 4,4 }D A ={ 2,2 , 2,4 , 3,3 , 4,4 }7.8. 列出集合 A={ , { }, { , { }}, { , { }, { , { }}}} 上的包含关系R ={ , , ,{ } , ,{ ,{ }} , ,{ ,{ },{ ,{ }}} ,{ },{ } , { },{ ,{ }} , { },{ ,{ }, ,{ }},{ ,{ }}, { ,{ }} ,{ ,{ }},{ ,{ },{ ,{ }}} , { ,{ },{ ,{ }}},{ ,{ },{ ,{ }}} }7.9. 设 A={1, 2, 4, 6}, 列出下列关系 R: (1) R={ x, y|x, y ∈ A x+y 2} (2) R={ x, y|x, y ∈A |x y|=1}C ∩D (x ∈AA ×B ∩C × D7.4. 略7.5. 设 A, B 为任意集合 , 证明 若 A ×A=B ×B, 则 A=B.x ∈B) (y ∈C ∈A y ∈C)(3) R={ x, y |x, y ∈A x/y ∈A}(4) R={ x, y |x, y ∈A y 为素数 }(1)R={ 1,2 , 1,4 , 1,6 , 2,1 , 2,2 , 2,4 , 2,6 , 4,1 , 4,2 , 4,4 , 4,6 , 6,1 , 6,2 , 6,4 , 6,6 }=E A {1,1} (2)R={ 1,2 ,2,1 } (3)R={ 1,1,2,2, 4,4, 6,6,2,1,4,2,4,1} (4)R={ 1,2,2,2, 4,2, 6,2} 7.10. 略7.11. R i 是 X 上的二元关系 , 对于 x ∈X 定义集合 R i (x)={y|xR i y}.显然 Ri(x) X. 如果 X={ 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4}, 且令 R 1={ x, y |x, y ∈ X x<y} R 2={ x, y |x, y ∈ X y 1<x<y+2}R 3={ x,2y |x, y ∈ X x 1 2≤y}求 R 1(0), R 1(1), R 2(0), R 2( 1), R 3(3).R 1(0)={1,2,3,4}R 1(1)={2,3,4}R 2(0)={ 1,0}R 2( 1)={ 2, 1}R 3(3)=7.12. 设A={0, 1, 2, 3}, R 是A 上的关系 , 且R={0, 0, 0, 3, 2, 0, 2, 1, 2, 3, 3, 2} 给出 R 的关系矩阵和关系图 .7.13. 设A = { 1, 2, 2, 4 , 3, 3}B = { 1, 3, 2, 4 , 4, 2}求 A ∪B, A ∩B, domA, dom(A ∪B), ranA, ranB, ran(A ∩B), fld(A B).R={ 0,1 , 0,2 , 0,3 , 1,2 , 1,3 , 2,3} 求 R ○R,R 1 ,R?{0,1}, R[{1,2}]. R ○R={ 0,2 , 0,3 , 1,3 }1R 1={ 1,0 , 2,0 , 3,0 , 2,1 ,3,1 , 3,2 } R?{0,1}={ 0,1 , 0,2 , 0,3 , 1,2 , 1,3 } R[{1,2}]={2,3}7.15. 设A={ ,{ ,{ }} , { }, }求 A 1,A 2,A 3,A?{ },A[ ],A? ,A?{{ }}, A[{{ }}].1 A 1={ { ,{ }}, , ,{ } },2A 2={ { },{ ,{ }} }, A 3= ,A?{ }={ ,{ ,{ }} }, A[ ]={ ,{ }},A ∪ B={ 1 A ∩B= domA={1,2,3}dom(A ∪B)={1,2,3,4}ranA={2,3,4}ranB={3,4,2}ran(A ∩B)={4} fld(A B)={1,2,3} 4,2}7.14.设, 1,3 , 2,4 ,A? = ,A?{{ }}={ { }, }, A[{{ }}]=7.16. 设A={a,b,c,d}, R 1,R 2 为A 上的关系 , 其中 R 1={ a,a , a,b , b,d } R 2={ a,d 2, b,c 3 , b,d , c,b } 求 R1○R 2,R 2○R 1,R 1 ,R 2 .R 1○R 2={ a,a, a,c , a,d }, R 2○R 1={ c,d },2R 1 ={ a,a , a,b , a,d }, 3R 2 ={ b,c, b,d , c,b }2 37.17. 设 A={ a,b,c}, 试给出 A 上两个不同的关系 R 1 和 R 2,使得 R 1 =R 1, R 2 =R 2.(2) (G ∪H) ○F=G ○F ∪H ○F 任取 x,y ,x,y ∈(G ∪H) ○F t( x,t∈(G ∪H) t,y ∈F) t(( x,t ∈ G t(( x,t ∈ G t( x,t ∈G x,y ∈G ○F x,y∈G ○F ∪H ○F(4) (G ∩H) ○F G ○F ∩H ○F 任取 x,y ,x,y ∈(G ∩H) ○Ft( x,t ∈(G ∩H) t,y ∈ F)t(( x,t ∈G t,y ∈H) t,y ∈ F))t(( x,t ∈ G t,y ∈F) ( x,t ∈H t,y ∈F)) t( x,t ∈G t,y ∈F) t( x,t ∈H t,y ∈F)) x,y ∈G ○F x,y ∈H ○F x,y ∈G ○F ∪H ○F7.19.证明定理 7.5 的(2), (3).(2) F[A ∪B]=F[A]∪F[B] 任取 y,R 1={ a,a , b,b },R 2={ b,c , c,b }7.18.证明定理 7.4 的(1), (2), (4).(1)F ○(G ∪H)=F ○G ∪F ○H 任取 x,y ,x,y ∈ F ○(G ∪H)t( x,t ∈ Ft( x,t ∈ F t(( x,t ∈ F t( x,t ∈ F x, t,y ∈G ∪ H( t,y ∈G t,y ∈H))t,y ∈ t,y ∈ x,y ∈∩F ○H所以有 F ○(G ∩H) F ○G ∩F ○H.x,t,y ∈ H))t,y ∈ H)) F ) ( x, t( x,t ∈ F t,y t,y t,y x,y ∈H) t,y ∈ ∈ F) ( x,t ∈ F) t( x,t ) H t,y ∈F))t,y ∈F))y ∈F[A ∪B] x( x,y ∈F x ∈ A ∪B)x( x,y ∈F (x ∈ A x ∈B))x(( x,y ∈ F x ∈A) ( x,y ∈F x ∈ B)) x( x,y ∈F x ∈ A) x( x,y ∈F x ∈B) y ∈F[A] y ∈F[B] y ∈F[A] ∪F[B]所以有 F[A ∩B]=F[A]∪F[B].(3) F? (A ∩B) F?A ∩F?B任取 x,yx,y ∈ F? (A ∩B)x,y ∈F x ∈(A ∩B) x,y ∈F (x ∈A x ∈B)( x,y ∈F x ∈ A) ( x,y ∈F x ∈ B) x,y ∈F?A x,y ∈F?Bx,y ∈ F?A ∩F?B 所以有 F? (A ∪B) F?A ∩F?B.∈(R 1∩R 2)∈R 1 1 (y,x)∈ R 2) x,y 1 ∈R 2 R 2 所以 (R 1∪R 2) 1=R 1 ∩R 2117.21. 略 7.22. 略 7.23. 略 7.24. 略 7.25. 略 7.26. 略 7.27. 略 7.28. 略 7.29. 略 7.30. 略 7.31. 略 7.32. 略 7.33. 略 7.34. 略 7.35. 略 7.36. 略 7.37. 略 7.38. 略 7.39. 略 7.40. 略7.20.设 R 1 和 R 2 为 A 上的关系 , 证明:(1)( R 1∪ R 2) 1=R 1 ∪R 21 11 1 ∩R 21 (2)( R 1∩R 2) 1=R 1(1)( R 1∪ R 2) 1=R 1 ∪ R 2任取 x,y x, y,x y,x x,y x,y 所以 (R 1∪R 2) (2)( R 1∩ y ∈ (R 1∪R 2)∈(R 1∪R 2) ∈R 1 1 (y,x)∈ ∈R 1 1 x,y 1 ∈ ∈R R 1 21R 1 ∪ R 2 1=R 1∩R 2 1 1R 1R 2 )21任取 x,y1x,y ∈ (R 1∩R 2) 1 y,x y,x x,y x,y∈ R 11∈R7.41. 略7.42. 略7.43. 略7.44. 略7.45. 略7.46. 略7.47. 略7.48. 略7.49. 略7.50. 略若 x 为奇 数 若 x 为偶数求 f(0), f({0}), f(1), f({1}), f({0, 2, 4, 6, ⋯}), f({4, 6, 8}), f({1, 3, 5, 7})(1) f: R (2) f: R (3) f: N (4) f: N (5) f: Z (6) f: S (7) f: S(8) f: S 对以上每一组 f 和 A, B, 分别回答以下问题 :(a) f 是不是满射 , 单射和双射的 ?如果 f 是双射的 , 求f 的反函数 . (b) 求A 在 f 下的像 f(A)和 B 在 f 下的完全原像 f -1(B).8.4. 4.判断下列函数中那些是满射的 ? 哪些是单射的 ? 哪些是双射的 ? 2(1) f: ? ? , f(x) = x 2 + 2(2) f: ? ?, f(x) = (x)mod 3, x 除以 3 的余数.1 若 x 为奇(3) f: ? ? , f (x) 0数 若x0 为偶数若 x 为奇数(4) f: ? {0, 1}, f (x) 1 若x 为偶数(5) f: ? {0} R, f(x)=log 10x (6) f: R R, f(x)=x 2 2x 158.1. 1 设f: ? ? , 且习题八f(0) = 0, f({0}) = { f(0)} = {0}, f(1) = 1, f({1}) = { f(1)} = {1}, f({0, 2, 4, 6, ⋯ = }{)f(0), f(2), f(4), f(6), ⋯ =} {0, 1, 2, 3, =⋯ ?}, f({4, 6, 8}) = { f(4), f(6), f(8)} = {2, 3, 4}, f({1, 3, 5, 7}) = {1, 1, 1, 1} = {1}. 8.2. 2.设A={1, 2}, B={a, b, c}, 求B A . AB A ={ f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6, f 7, f 8, f 9} f 1 = { 1, a, 2, a}, f 2 = { 1, a, 2, b}, f 3 = { f 4 = { 1, b, 2, a}, f 5 = { 1, b, 2, f 7 = { 1, c, 2, a}, f 8 = { 1, c , 2,}, f 6 = { f 9 = { 1, c, 2, c }.1, a , 2, c }, 1, b , 2, c }, f (x)8.3. 3.给定函数 f 和集合 A, B 如下:R, f(x)=x, A={8}, B={4}+R +, f(x)=2x, A={1}, B={1, 2}N N, f(x)= x, x+1}, A={5}, B={ 2, 3 } N,f(x)=2x+1, A={2, 3}, B={1, 3} N, f(x)=|x|, A={ 1, 2}, B={1}S, S=[0, 1], f(x)=x/2+1/4, A=(0, 1), B=[1/4, 1/2] R, S=[0, + ∞f)(,x)=1/(x+1), A={0, 1/2}, B={1/2} R +, S=(0, 1), f(x)=1/x, A=S, B={2, 3}.。
离散数学 屈婉玲版 第十一章
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实例
例2 判断下列偏序集是否构成格，并说明理由. (1) <P(B), >，其中P(B)是集合B的幂集. (2) <Z, ≤>，其中Z是整数集，≤为小于或等于关系. (3) 偏序集的哈斯图分别在下图给出.
(1) 幂集格. x,y∈P(B)，x∨y就是x∪y，x∧y就是x∩y. (2) 是格. x,y∈Z，x∨y = max(x,y)，x∧y = min(x,y)， 图2 (3) 都不是格. 可以找到两个结点缺少最大下界或最小上界
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格的性质：序与运算的关系
定理11.3 设L是格, 则a,b∈L有 a ≼ b a∧b = a a∨b = b
可以用集合的例子来验证 幂集格
<P(B), >，其中P(B)是集合B的幂集. 幂集格. x,y∈P(B)，x∨y就是x∪y，x∧y就是x∩y.
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格的性质：保序
定理11.4 设L是格, a,b,c,d∈L，若a ≼ b 且 c ≼ d, 则 a∧c ≼ b∧d, a∨c ≼ b∨d 证 a∧c ≼ a ≼ b, a∧c ≼ c ≼ d 因此 a∧c ≼ b∧d. 同理可证 a∨c ≼ b∨d 例4 设L是格, 证明a,b,c∈L有 a∨(b∧c) ≼ (a∨b)∧(a∨c). 证 由 a ≼ a, b∧c ≼ b 得 a∨(b∧c) ≼ a∨b 由 a ≼a, b∧c ≼ c 得 a∨(b∧c) ≼ a∨c 从而得到a∨(b∧c) ≼ (a∨b)∧(a∨c) （注意最大下界）
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布尔代数的性质
定理11.8 设<B,∧,∨, , 0, 1>是布尔代数, 则 (1) a∈B, (a) = a . (2) a,b∈B, (a∧b) = a∨b, (a∨b) = a∧b （德摩根律） 证 (1) (a)是a的补元, a也是a的补元. 由补元惟一性得(a)=a. (2) 对任意a, b∈B有 (a∧b)∨(a∨b) = (a∨a∨b)∧(b∨a∨b) = (1∨b)∧(a∨1) = 1∧1 = 1, (a∧b)∧(a∨b) = (a∧b∧a)∨(a∧b∧b) = (0∧b)∨(a∧0) = 0∨0 = 0 a∨b是a∧b的补元, 根据补元惟一性有(a∧b) = a∨b, 同理 可证 (a∨b) = a∧b. 注意：德摩根律对有限个元素也是正确的.
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格的性质：序与运算的关系
定理11.3 设L是格, 则a,b∈L有 a ≼ b a∧b = a a∨b = b
可以用集合的例子来验证 幂集格
<P(B), >，其中P(B)是集合B的幂集. 幂集格. x,y∈P(B)，x∨y就是x∪y，x∧y就是x∩y.
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格的性质：保序
定理11.4 设L是格, a,b,c,d∈L，若a ≼ b 且 c ≼ d, 则 a∧c ≼ b∧d, a∨c ≼ b∨d 证 a∧c ≼ a ≼ b, a∧c ≼ c ≼ d 因此 a∧c ≼ b∧d. 同理可证 a∨c ≼ b∨d 例4 设L是格, 证明a,b,c∈L有 a∨(b∧c) ≼ (a∨b)∧(a∨c). 证 由 a ≼ a, b∧c ≼ b 得 a∨(b∧c) ≼ a∨b 由 a ≼a, b∧c ≼ c 得 a∨(b∧c) ≼ a∨c a∨(b∧c) ≼ (a∨b)∧(a∨c) （注意最大下界）
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有界格中的补元及实例
定义11.8 设<L,∧,∨,0,1>是有界格, a∈L, 若存在b∈L 使得 a∧b = 0 和 a∨b = 1 成立, 则称b是a的补元. 注意：若b是a的补元, 那么a也是b的补元. a和b互为补元.
例7 考虑下图中的格. 针对不同的元素，求出所有的补元.
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解答
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实例
例2 判断下列偏序集是否构成格，并说明理由. (1) <P(B), >，其中P(B)是集合B的幂集. (2) <Z, ≤>，其中Z是整数集，≤为小于或等于关系. (3) 偏序集的哈斯图分别在下图给出.
(1) 幂集格. x,y∈P(B)，x∨y就是x∪y，x∧y就是x∩y. (2) 是格. x,y∈Z，x∨y = max(x,y)，x∧y = min(x,y)， 图2 (3) 都不是格. 可以找到两个结点缺少最大下界或最小上界
(1) L1中 a 与 c 互为补元, 其中 a 为全下界, c为全上界, b 没有 补元. (2) L2中 a 与 d 互为补元, 其中 a 为全下界, d 为全上界, b与 c 也互为补元. (3) L3中a 与 e 互为补元, 其中 a 为全下界, e 为全上界, b 的补 元是 c 和 d ; c 的补元是 b 和 d ; d 的补元是 b 和 c ; b, c, d 每个元素都有两个补元. (4) L4中 a 与 e 互为补元, 其中 a 为全下界, e 为全上界, b 的补 元是 c 和 d ; c 的补元是 b ; d 的补元是 b .
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有界分配格的补元惟一性
定理11.7 设<L,∧,∨,0,1>是有界分配格. 若L中元素 a 存在 补元, 则存在惟一的补元. 证 假设 c 是 a 的补元, a∨c = 1, a∧c = 0, 又知 b 是 a 的补元, 故 a∨b = 1, a∧b = 0 从而得到 a∨c = a∨b, a∧c = a∧b, 由于L是分配格. b=b ∧ (b∨a) = b ∧ (c∨a )= (b ∧ c)∨ (b ∧ a )= (a∨c ) ∧c=c 注意： 在任何有界格中, 全下界0与全上界1互补. 对于一般元素, 可能存在补元, 也可能不存在补元. 如果 存在补元, 可能是惟一的, 也可能是多个补元. 对于有界 分配格, 如果元素存在补元, 一定是惟一的. 12
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有界格的性质
定理11.6 设<L,∧,∨,0,1>是有界格, 则a∈L有 a∧0 = 0, a∨0 = a, a∧1 = a, a∨1 = 1
注意： 有限格L={a1,a2,…,an}是有界格, a1∧a2∧…∧an是L的全下 界, a1∨a2∨…∨an是L的全上界. 0是关于∧运算的零元,∨运算的单位元；1是关于∨运算1 设<L, ≼>是格, 则运算∨和∧适合交换律、结合律、 幂等律和吸收律, 即 (1) a,b∈L 有 a∨b = b∨a, a∧b = b∧a (2) a,b,c∈L 有 (a∨b)∨c = a∨(b∨c), (a∧b)∧c = a∧(b∧c) (3) a∈L 有 a∨a = a, a∧a = a (4) a,b∈L 有 a∨(a∧b) = a, a∧(a∨b) = a
11.1 格的定义与性质
定义11.1 设<S, ≼>是偏序集，如果x,yS，{x,y}都有最小上 界和最大下界，则称S关于偏序≼作成一个格. （偏序关系 P126） 求{x,y} 最小上界和最大下界看成 x 与 y 的二元运算∨和∧， 例1 设n是正整数，Sn是n的正因子的集合. D为整除关系，则 偏序集<Sn,D>构成格. x,y∈Sn，x∨y是lcm(x,y)，即x与y的 最小公倍数. x∧y是gcd(x,y)，即x与y的最大公约数.
注意：一般说来, 格中的∨和∧运算不满足分配律.
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格作为代数系统的定义
定理11.4 设<S,∗,◦>是具有两个二元运算的代数系统, 若对于 ∗和◦运算适合交换律、结合律、吸收律, 则可以适当定义S中 的偏序 ≼,使得 <S,≼> 构成格, 且a,b∈S 有 a∧b = a∗b, a∨b = a◦b. 证明省略. 根据定理11.4, 可以给出格的另一个等价定义. 定义11.3 设<S, ∗, ◦ >是代数系统, ∗和◦是二元运算, 如果 ∗和◦满足交换律、结合律和吸收律, 则<S, ∗,◦>构成格.
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有界格的定义
定义11.6 设L是格, (1) 若存在a∈L使得x∈L有 a ≼ x, 则称a为L的全下界 (2) 若存在b∈L使得x∈L有 x ≼ b, 则称b为L的全上界 说明： 格L若存在全下界或全上界, 一定是惟一的. 一般将格L的全下界记为0, 全上界记为1. 定义11.7 设L是格,若L存在全下界和全上界, 则称L 为有界 格, 一般将有界格L记为<L,∧,∨,0,1>.
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11.2 分配格、有补格与布尔代数
定义11.5 设<L,∧,∨>是格, 若a,b,c∈L,有 a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c) a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c) 则称L为分配格. 注意：可以证明以上两个条件互为充分必要条件 实例
L1 和 L2 是分配格, L3 和 L4不是分配格. 称 L3为钻石格, L4为五角格.