上海市行知中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题

上海市行知中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．全集{}1,2,3,4U =，若{}1,2A =，{}1,4B =，则
()U A B =_______ 2．函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的最小正周期是_______ 3．已知1cos 3α=
，则cos2=α__________． 4．已知1tan 2α=，()5tan 2
αβ-=，则tan β=_______ 5．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．
6．边长分别为5、6、7的三角形的最大角的大小是_______
7．若函数()y f x =与2x y e +=的图像关于直线y x =对称，则()f x =______.
8．若线性方程组的增广矩阵为135246⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则该线性方程组的解是______.
9．设函数()21,25,2
x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若有不相等的实数a 、b 、
c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是_______.
10．已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
，将其图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，得到的图象为偶函数，则ϕ的最小值是_______
11．函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，若对任意的(,]x m ∈-∞，都有8()9
f x ≥-，则m 的取值范围是_______ 12．在ABC 中，2AB AC =，AD 是A 的角平分线，AD kAC =，且1ABC S =△，问k =_______时，BC 最短.
13．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是( )
A ．3π
B ．6π
C ．3π-
D ．6
π- 14．关于函数()(0)a f x x a x
=->，有下列四个命题，其中正确的是（ ） A ．()f x 的值域是(,0)
(0,)-∞+∞ B ．()f x 是奇函数
C ．()f x 在(,0)(0,)-∞+∞上单调递增
D ．方程|()f x a =∣总有两个不同的解
15．函数()f x 的反函数()11arcsin arctan 2
f x x x -=+，则()f x 的定义域为（ ） A ．(),ππ- B ．33,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．33,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
16．在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠的对边分别记为,,(1)a b c b ≠，且C A ，sin sin B A
都是方程log (44)b x x =-的根，则ABC ∆（ ）
A ．是等腰三角形，但不是直角三角形
B ．是直角三角形，但不是等腰三角形
C ．是等腰直角三角形
D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形
17．已知sin()cos(2)tan(2)
()3tan()cos 2f παπαπααπαπα+--=⎛⎫---- ⎪⎝⎭
． （1）化简：()f α；
（2）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，若2c =，1()2
f C =-，且ABC
的面积S =a 、b 的值．
18．已知函数12
1()0
10()1
32x f x x R x +=∈．
（1）求不等式()0f x ≤的解集；
（2）若不等式()f x a x ≥-在[2,3]x ∈上恒有解，求实数a 的取值范围．
19．已知函数()()2cos sin cos 1,f x x x x x R =-+∈．
（1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）将函数()y f x =的图象向左平移4
π个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的最大值及取得最大值
时的x 的集合．
20．已知函数21()log (0,1)1
a m mx f x a a x --=>≠+是奇函数，定义域为区间D （使表达式有意义的实数x 的集合）．
（1）求实数m 的值，并写出区间D ；
（2）若底数a 满足01a <<，试判断函数()y f x =在定义域D 内的单调性，并说明理由；
（3）当[,)x A a b ∈=（A D ⊂，a 是底数）时，函数值组成的集合为[1,)+∞，求实数a 、b 的值．
21．
已知函数()f x ，如果存在给定的实数对（,a b ），使得()()f a x f a x b +⋅-=恒成立，则称()f x 为“S -函数”.
（1）判断函数12(),()3x f x x f x ==是否是“S -函数”；
（2）若3()tan f x x =是一个“S -函数”，求出所有满足条件的有序实数对(,)a b ；
（3）若定义域为R 的函数()f x 是“S -函数”，且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4)，当[0,1]x ∈时，()f x 的值域为[1,2]，求当[2012,2012]x ∈-时函数()f x 的值域.
参考答案
1．{}4
【解析】
【分析】
求得结合
U A ，利用交集的定义可求得集合()U A B ⋂. 【详解】
全集{}1,2,3,4U =，{}1,2A =，则
{}3,4U A =， 又{}1,4B =，因此，(){}4U A B ⋂=.
故答案为：{}4.
【点睛】
本题考查交集与补集的混合运算，考查计算能力，属于基础题.
2．π
【解析】
【分析】
根据周期的求法即可得到结果.
【详解】 因为1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，所以最小正周期是22T ππ==， 故答案为：π.
【点睛】
本题主要考查正弦函数的周期公式，属于基础题.
3．79
- 【解析】 1cos 3α=
()217cos 22cos 12199
αα∴=-=⨯-=- 4．89
- 【解析】
【分析】
利用两角差的正切公式可求得tan β的值.
【详解】
1tan 2α=，()5tan 2
αβ-=， 因此，()()()15tan tan 822tan tan 151tan tan 9
122
ααββααβααβ---=--===-⎡⎤⎣⎦+-+⨯. 故答案为：89-
. 【点睛】
本题考查利用两角差的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题.
5．-7
【解析】
分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.
详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.
6．1arccos
5
【解析】
【分析】
直接利用余弦定理，求出最大角的余弦值，即可求出边长分别为5，6，7的三角形的最大角的大小．
【详解】
解：由余弦定理可知：边长分别为5，6，7的三角形的最大角的大小是α， 2225671cos 2565
α+-==⨯⨯， 所以1arccos 5
α=．
故答案为：1arccos
5
． 【点睛】 本题考查余弦定理的应用，注意反三角函数的应用，考查计算能力，属于基础题． 7．ln 2(0)x x ->
【解析】
【分析】
函数()y f x =与2x y e +=的图像关于直线y x =对称，则()y f x =与2x y e +=互为反函数，
求2x y e +=的反函数即可.
【详解】
()y f x =与2x y e +=互为反函数，由2x y e +=得2ln x y ，ln 2x y
∴ ()=ln 2y f x x =-，(0)x >
故答案为：ln 2(0)x x ->
【点睛】
本题考查反函数求法.
求反函数的步骤: (1)从原函数式子中解出x 用y 表示; (2)对换,x y ;(3)标明反函数的定义域.
8．12x y =-⎧⎨=⎩
【解析】
【分析】
根据方程组增广矩阵的含义,写出原二元一次方程组,解方程组即可.
【详解】
因为线性方程组的增广矩阵为135246⎛⎫ ⎪⎝⎭
由增广矩阵的含义,可知原二元一次方程组为
35246x y x y +=⎧⎨+=⎩
,解方程组可得12x y =-⎧⎨=⎩
故答案为: 12x y =-⎧⎨=⎩
【点睛】
本题考查了线性方程矩阵的表示形式,增广矩阵的含义,属于基础题.
9．()18,34
【解析】
【分析】
作出函数()y f x =的图象，设a b c <<，令()()()f a f b f c t ===，求得t 的取值范围，可得出222a b c ++关于t 的表达式，进而可求得222a b c ++的取值范围.
【详解】
作出函数()y f x =的图象如下图所示：
当0x <时，021x <<，则1210x -<-<，此时，()()210,1x
f x =-∈. 设a b c <<，令()()()f a f b f c t ===，由图象可知01t <<，
由()2112a a
t f a ==-=-，可得21a t =-； 由()2121b b
t f b ==-=-，可得21b t =+； 由()5t f c c ==-，可得()54,5c t =-∈，()216,32c
∴∈. 因此，()2222218,34a b c c
++=+∈. 故答案为：()18,34.
【点睛】
本题考查利用函数的零点求代数式的取值范围，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
10．6
π 【解析】
【分析】
先利用两角和的正弦公式化简()f x 的解析式，然后再利用图象平移变换的规律求平移后的解析式，最后由奇偶性可得ϕ的最小值.
【详解】
1()sin 2sin 2sin 2sin 2cos 2322f x x x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝
⎭
3
sin 2cos 22226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝
⎭ ， 将其图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，得
()
22266y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的图象， 由图象为偶函数图象可得262k π
π
ϕπ+=+()k Z ∈ 所以62
k ϕππ=
+ ()k Z ∈ 令0k =，得6π=ϕ. 故答案为：
6π 【点睛】
本题主要考查了三角函数图象的平移变换，以及三角函数的奇偶性，属于中档题. 11．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
【解析】
【分析】
首先根据已知条件依次得到在(0,1]x ∈附近的区间，(1,2]x ∈、(2,3]x ∈对应的函数解析式，然后按其规律画出函数的图像，再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m 的取值范围
【详解】
当10-<≤x 时，011x <+≤，则11()(1)(1)22
f x f x x x =+=+， 当12x <≤时，011x <-≤，则()2(1)2(1)(2)f x f x x x =-=--，
当23x <≤时，021x <-≤，则22()2(1)2(2)2(2)(3)f x f x f x x x =-=-=--，
由此作出()f x 图象如图所示，由图知当23x <≤时，令282(2)(3)9
x x --=-， 整理得：(37)(38)0x x --=， 解得：73x =或83
x =，
要使对任意的(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，必有73
m ≤， 所以m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
， 故答案为：7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
【点睛】
本题主要考查函数的解析式，函数的图象，不等式恒成立问题，考查分类讨论，数形结合的思想，属于中档题.
12．5
【解析】
【分析】
作出图形，设内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，由题意可得出2sin 1b A =，利用余弦定理结合基本不等式可求得a 的最小值及其对应的b 、c ，利用角平分线的性质可求得CD ，利用余弦定理求得cos C ，进而利用余弦定理可求得AD 的长，由此可求得k 的值.
【详解】
在ABC 中，设内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则2c b =，
1
sin 12
ABC
S
bc A ==，可得2sin 1b A =， 由余弦定理得2
2
2
2
2
54cos 2cos 54cos sin sin A a b c bc A b b A A A
=+-=-=
- 2222225cos sin 4cos sin 9sin cos 9tan 1222222222sin cos 2sin cos 2tan 22222
A A A A A A A
A A A A A ⎛
⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==
=
+3≥=，
0A π<<，则022
A π<
<，所以，tan 02A
>，
当且仅当
9tan
122
2tan
2
A
A =
时，即当1
tan
23
A =时，等号成立， 由22sin 12tan 23cos 2sin cos 122sin 02cos 02A A A A A A A ⎧
⎪==⎪
⎪
⎪
⎪⎪+=⎨⎪
⎪>⎪⎪
⎪>⎪⎩
，解得sin 2A =
cos 2A =，
2115
sin 32sin cos 22
b A A A ∴=
==
，则b =
a = 由于
1
2ACD ABD S CD b S BD c ===△△
，则133
CD a ==，
由余弦定理得222cos 25
AC BC AB C AC BC +-==-
⋅， 在ACD △中，由余弦定理可得2
2
82cos 3AD AC CD AC CD C =+-⋅=
，
则3
AD =，
因此，AD k AC =
==
.
. 【点睛】
本题考查利用余弦定理与基本不等式求边的最值，同时也考查了三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于难题. 13．A 【解析】
将表的分针拨慢10分钟，则分针逆时针转过60°，即分针转过的角的弧度数是
3
π. 本题选择A 选项.
14．B 【解析】 【分析】
A 中通过令()0f x =可求得x 的值，可知值域包括0，可判断A ；
B 中根据奇函数的定义可判断B ；
C 中通过反例可确定()f x 在()(),00,-∞⋃+∞上不满足单调递增的定义，可判断C ；
D 中将方程变为a
x a x
-
=±，通过验证两个一元二次方程各有两个不等实根，并且0x =不是其中任何一个的根，即可确定方程共有四个不同解，可判断D.
【详解】
对于A 选项：令0a
x x
-
=，解得：x =()f x 值域含有元素0，则A 错误； 对于B 选项：由解析式可知()f x 定义域为{}
0x x ≠，又
()()a a
f x x x f x x x
-=--
=-+=-- ()f x ∴是奇函数，则B 正确；
对于C 选项：当()x ∈时，()0f x >；当(x ∈时，()0f x <，可知()f x 在
()(),00,-∞⋃+∞上不满足单调递增的定义，则C 错误；
④由()f x a =得：
()f x a =±，即a
x a x
-
=±，整理可得：20x ax a ±-= 240a a ∴∆=+>，20x ax a ∴+-=与20x ax a --=各有两个不等实根，
又0a >，0x ∴=不是两个方程的根，∴方程()f x a =总有四个不同的解，则D 错误； 故选：B. 【点睛】
本题考查函数知识的综合应用，涉及到函数值域、奇偶性和单调性的判断、方程根的分布等知识；易错点是在判断单调性时，忽略函数为分段函数的特点，采用并集符号连接单调区间，造成单调性求解错误，属于基础题. 15．D 【解析】 【分析】 求得函数()1
y f x -=的值域，由此可得出函数()y f x =的定义域.
【详解】 对于函数()1
1
arcsin arctan 2
f
x x x -=
+，该函数的定义域为[]1,1-， 由于函数()1
y f x -=在[]1,1-上单调递增，则()()()11111f f x f ----≤≤，
且()()()1
111arcsin 1arctan 122242
f
πππ-⎛⎫-=
-+-=⨯--=- ⎪⎝⎭， ()1111arcsin1arctan122242f πππ-=+=⨯+=，所以，()122
f x ππ
--≤≤，
因此，函数()y f x =的定义域为,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.
故选：D. 【点睛】
本题考查利用反三角函数的值域求原函数的定义域，考查计算能力，属于中等题. 16．B 【解析】 【分析】 【详解】
log
log (44)b
x =-变形为
2sin 44222,sin C B x x x C A A A
=-∴=∴
==∴= sin 2sin 2B A b a =∴=，
222
222sin sin 22sin cos 22b c a C A A A c a c a c b bc
+-==∴=⨯∴=∴+=
三角形为直角三角形
17．（1）()cos f αα=-；（2）2a b ==． 【解析】 【分析】
（1）根据诱导公式可化简()f α；
（2）由（1）可得3
C π
=，再根据三角形的面积公式和余弦定理可求得22
4
+8ab a b =⎧⎨
=⎩
，解之得答案. 【详解】 （1）因为sin cos (tan )
()cos tan sin f ααααααα
--=
=--，所以()cos f αα=-；
（2）因为1()2
f C =-
，即1
cos 2C -=-，又0C π<<，所以3C π=，
因为ABC 的面积S =
1sin 23
S ab π
=
=4ab =，又
22221
cos 22
a b C ab +-==，所以22+8a b =，
由22
4
+8
ab a b =⎧⎨
=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩，所以2a b ==. 【点睛】
本题考查运用诱导公式化简，三角形的面积公式和余弦定理的运用求解三角形，属于中档题. 18．（1）1(,0),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭；（2）43
a ≤． 【解析】 【分析】
（1）先化简整理()f x 解析式，令()0f x ≤，解不等式即可得解集. （2）不等式()f x a x ≥-在[2,3]x ∈上恒有解，等价于1
2a x x
≤+-在[2,3]x ∈上恒有解，令1
()2g x x x
=+-，只需max ()a g x ≤，即可得a 的取值范围. 【详解】
（1）()121
()0
101
11
1332
2x x x f x x
x
=+⨯-==-+ 令()f x =
1
20x -≤，即()2100
x x x ⎧-≥⎨
≠⎩ ，解得：0x <或12x ≥ 所以不等式()0f x ≤的解集为：1
(,0),2
⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭
（2）()f x =1
2a x x
-≥-在[2,3]x ∈上恒有解， 即1
2a x x ≤+
-在[2,3]x ∈上恒有解， 令1
()2g x x x =+-，只需max ()a g x ≤ ，
因为1
()2g x x x
=+-在[2,3]x ∈单调递增，
所以max 14
()(3)3233
g x g ==+-=
所以43
a ≤
. 【点睛】
本题主要考查了分式不等式的解法，函数有解问题求参数的范围，涉及行列式的计算，对勾函数的单调性，属于中档题. 19．（1）38
8k k k Z π
πππ⎡
⎤-+
∈⎢⎥⎣
⎦，（）；（2） |24x x k k Z ππ⎧⎫
=+∈⎨⎬⎩⎭
（），()g x 的最大值
为
.
【解析】 【分析】 【详解】
（1）先化简()2cos (sin cos )1sin 2cos 224π⎛
⎫=-+=-=- ⎪⎝
⎭f x x x x x x x ，
再由()2222
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈
即得()f x 递增区间为3,()8
8k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
.
（2）由已知()4g x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭
解：（1）()2cos (sin cos )1sin 2cos 224π⎛
⎫=-+=-=- ⎪⎝
⎭f x x x x x x x ，
当222,()2
4
2
π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈k x k k Z ，即3,()8
8
π
π
ππ-
≤≤+
∈k x k k Z ， 因此，函数()f x 的单调递增区间为3,()8
8k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
.
（2）由已知，()4g x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，
∴当4sin 14π⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭x 时，即242
ππ
π+=+x k 则2()4
π
π=+
∈x k k Z ，max ()g x =
∴ 当2(),()4∣π
π⎧⎫
=+∈⎨⎬⎩
⎭
x
x k k Z g x .
20．（1）1m =，(1,1)D =-；（2）单调递增，理由见解析；（3）1,1a b ==．
【解析】 【分析】
（1）由奇函数的性质，可得()()0f x f x +-=，代入函数的解析式，转化为方程
()()0f x f x +-=在区间D 上恒成立，进而求解；
（2）令11x
t x
-=
+，先求出该函数在定义域D 内的单调性，然后利用复合函数的单调性，求出()f x 的单调性．
（3）首先由A D ⊆，求出a 、b 的范围，进而结合（2）中的结论，确定函数()f x 的单调性，然后利用函数的单调性确定函数的最值，结合已知，解方程求出a ，排除1b <的情况，最终确定b 的值． 【详解】 解（1）
()y f x =是奇函数，
∴对任意x D ∈，有()()0f x f x +-=，即2121log log 011a
a m mx m mx
x x
---++=+-．
化简此式，得222(1)(21)10m x m ---+=．又此方程有无穷多解(D 是区间），
必有22
10
(21)10
m m ⎧-=⎨--=⎩，解得1m =． ∴1()log 1a
x
f x x
-=+ 令
101x
x
->+解得11x -<< 所以(1,1)D =-．
（2）当01a <<时，函数()()11,11a x
f x lo
g D x
-==-+在上是单调增函数． 理由：令12
111x t x x
-=
=-+++． 易知1x +在(1,1)D =-上是随x 增大而增大，
2
1x
+在(1,1)D =-上是随x 增大而减小，
故12
111x t x x
-=
=-+++在(1,1)D =-上是随x 增大而减小 于是，当01a <<时，函数()()11,11a x
f x lo
g D x
-==-+在上是单调增函数． （3）
[,)A a b D =⊆，
01a ∴<<，1a b <．
∴依据（2）可知，当01a <<时，函数()11a
x
f x lo
g x
-=+在A 上是增函数，
即1()1,log 11a
a
f a a
-==+，解得1a =，1a =-（舍去）． 若1b <，则()f x 在A 上的函数值组成的集合为11,log 1a b b -⎡
⎫⎪⎢+⎣
⎭，
不满足函数值组成的集合是[1，)+∞的要求．（也可利用函数的变化趋势分析，得出1)b =
∴必有1b =．
因此，所求实数a 、b 的值是1,1==a b ．
【点睛】
本题主要考查对数函数的单调性和奇偶性、求函数值域、恒成立等知识，以及运算求解能力．在解答过程当中，分析问题的能力、运算的能力、问题转换的能力以及分类讨论的能力都得到了充分的体现，值得同学们体会反思． 21．(1)是
(2) 满足3()tan f x x =是一个“S -函数”的常数（a, b ）=,1,4k k Z π
π⎛⎫
±∈ ⎪⎝
⎭
(3)2012
20122
,2-⎡⎤⎣⎦
【解析】 【分析】 【详解】 解：（1）若
是“S -函数”，则存在常数
，使得 (a+x)(a-x)=b.
即x 2=a 2-b 时，对一切实数恒成立.而x 2=a 2-b 最多有两个解，矛盾， 因此不是“S -函数”.………………………………………………3分 若
是“S -函数”，则存在常数a,b 使得
，
即存在常数对（a, 32a ）满足.
因此是“S -函数”………………………………………………………6分
（2）
是一个“S -函数”，设有序实数对（a, b ）满足:
则tan(a-x)tan(a+x)=b 恒成立. 当a=,2
k k Z π
π+∈时，tan(a-x)tan(a+x)= -cot2(x)，不是常数.……………………7分
因此
，
,
则有.
即恒成立. ……………………………9分
即,
当,时，tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1.
因此满足是一个“S -函数”的常数（a, b ）=
.…12分
(3) 函数是“S -函数”，且存在满足条件的有序实数对
和
，
于是
即
,
，.……………………14分
.………16分
因此, …………………………………………17分
综上可知当时函数的值域为.……………18分。