陕西,江西版(第03期)-2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编教师版专题03导数Word版含解析

一．基础题组
1. 【江西省七校2014届高三上学期第一次联考】如图所示，在第一象限由直线x y 2=，x y 21=和曲线x
y 1=所围图形的面积为 。

2. 【江西省七校2014届高三上学期第一次联考】若x x x x f ln 42)(2--=，则0)(>'x f 的
解集为 。

【答案】（2，+∞）
【解析】
试题分析：由x x x x f ln 42)(2
--=得，函数的定义域为()0,+∞，且()()221242242'()2222x x x x x x f x x x x x x
+-----=--===，'()0f x >，解得2x >，故0)(>'x f 的解集为()2,+∞．
考点：函数与导数，解不等式．
3. 【陕西工大附中第一次适应性训练】若209T
x dx =⎰，则常数T 的值为 .
4. 【陕西省西安市第一中学2014届高三上学期期中考试】若曲线4y x =的一条切线l 与直线x 4y 80＋－＝垂直，则l 的方程为
5. 【陕西省西安市第一中学2014届高三上学期期中考试】()3
239x dx --=⎰
6. 【陕西省咸阳市范公中学2014届高三上学期摸底考试数学】 (本小题满分14分)已知函数.,32)(23R x x ax x x f ∈--=
（Ⅰ）当0=a 时，求函数)(x f 的极大值和极小值；
（Ⅱ）当),0(+∞∈x 时，ax x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围.
二．能力题组
1. 【江西省七校2014届高三上学期第一次联考】定义域为R 的连续函数)(x f ，对任意x 都有)2()2(x f x f -=+，且其导函数)(x f '满足0)()2(>'-x f x ，则当42<<a 时，有（ ）
A ．)(log )2()2(2a
a f f f << B ．2(2)(2)(log )a f f f a <<
C ．)2()2()(log 2f f f a a <<
D ．)2()(log )2(2a a f f f <<
2. 【江西省稳派名校学术联盟2014届高三12月调研考试】已知函数1y x
=与1,x y =轴和x e =所围成的图形的面积为M ，N ＝2tan 22.51tan 22.5︒-︒
，则程序框图输出的S 为（ ）
A. 1
B. 2
C. 12
D. 0
【答案】C
【解析】
试题分析：N ＝
2tan 22.5tan 4511tan 22.5︒=︒=-︒，=M 111ln 1e e dx x x
==⎰，=N 11tan 45122
o ⨯=<，所以N M <，又框图的功能是求N M ,中的较小值，故输出的值为12． 考点：正切的二倍角公式，定积分，算法框图．
3. 【长安一中2013-2014学年度高三第一学期第三次教学质量检测】设a R ∈，函数()x x f x e a e -=+⋅的导函数是'()f x ，且'()f x 是奇函数。

若曲线()y f x =的一条切线的斜率是32
，则切点的横坐标为（ ） A.ln 2 B ．ln 2- C ．ln22 D ．ln22-
4. 【江西宜春市二高2014届高三第五次数学月考】已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -，且当2x ≠时其导函数()f x '满足()2(),xf x f x ''>若24a <<则( )
A ．2(2)(3)(log )a f f f a <<
B ．2(3)(log )(2)a f f a f <<
C ．2(log )(3)(2)a f a f f <<
D ．2(log )(2)(3)a f a f f <<
5. 【江西宜春市二高2014届高三第五次数学月考】函数32()1f x x x x =-++在点（1，2）处的切线与函数2()g x x =围成的图形的面积等于 。

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；定积分在求面积中的应用．
6. 【江西省赣州市四所重点中学(赣州一中、平川中学、瑞金中学、赣州三中)2013-2014学年度第一学期期末联考高三数学试题】已知函数f(x)＝ax 3＋
21x 2在x ＝－1处取得极大值，记g(x)＝)('1x f 。

程序框图如图所示，若输出的结果S ＝2014
2013，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是（ ）
A ．n≤2013
B ．n≤2014
C ．n ＞2013
D ．n ＞2014
7. 【江西省稳派名校学术联盟2014届高三12月调研考试】方便、快捷、实惠的电动车是很多人的出行工具。

可是，随着电动车的普及，它的安全性也越来越受到人们关注。

为了出行更安全，交通部门限制电动车的行驶速度为24km/h 。

若某款电动车正常行驶遇到紧急情况时，紧急刹车时行驶的路程S （单位：m ）和时间t （单位：s ）的关系为：
23()5ln(1)8
S t t t t =-+++。

（Ⅰ）求从开始紧急刹车至电动车完全停止所经过的时间；
（Ⅱ）求该款车正常行驶的速度是否在限行范围内?
【答案】（Ⅰ）从开始紧急刹车至车完全停止所经过的时间为3s ；（Ⅱ）在限速范围内．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）紧急刹车时行驶的路程S （单位：m ）和时间t （单位：s ）的关系为：
23()5ln(1)8
S t t t t =-+++，求从开始紧急刹车至电动车完全停止所经过的时间，这需要知道紧急刹车后电动车的速度，由导数的物理意义可知，只需对路程S ：
23()5ln(1)8
S t t t t =-+++求导即可，领导数等于零，求出t 的值，就是从开始紧急刹车至电动车完全停止所经过的时间；（Ⅱ）求该款车正常行驶的速度是否在限行范围内，只需求出紧急刹车是电动车的速度，由（Ⅰ）知，从开始紧急刹车至车完全停止所经过的时间为3s ，又由车的速度1
5143)(+++-=t t t v ，当0t =时，就是车子正常行驶的速度，从而得结论．
8. 【陕西省西安市第一中学2014届高三上学期期中考试】已知()f x 是二次函数，不等式()f x 0<的解集是(0,5)，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12. (1)求()f x 的解析式；
(2)是否存在自然数m ，使得方程37()f x x
+＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ()2
f x 2x 10x(x R)∈＝－． (2)存在唯一的自然数m ＝3，使得方程37f(x)+
=0x
在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根．
9. 【江西宜春市二高2014届高三第五次数学月考】已知函数2()ln(1)f x x kx =++（k R ∈）.
（Ⅰ）若函数()y f x =在1x =处取得极大值,求k 的值;
（Ⅱ）[0,)x ∈+∞时,函数()y f x =图象上的点都在00x y x ≥⎧⎨-≥⎩
所表示的区域内,求k 的取值范围;
（Ⅲ）证明:
12
ln(21)221
n
i n i =-+<-∑，+∈N n
. 试题解析：（Ⅰ）kx x x f 211)('
++=
，由4
1
0)1('-==k f 得 经检验符合题意……（3分）
10.【江西宜春市二高2014届高三第五次数学月考】已知函数2
()ln,()
f x ax x x a R
=+∈
（Ⅰ）当
1
2
a=-时，判断函数()
f x在定义域内的单调性并给予证明；
（Ⅱ）在区间（1，2）内任取两个实数p，q，且p≠q,若不等式
(1)(1)
f p f q
p q
+-+
-
>1恒成
立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求证： 3333ln 2ln 3ln 4
ln 123
4
n
n n e
+++
+
<≤(其中n>1且n N ,e=2,71828) （Ⅱ）
()()
(1)(1)(1)(1)
11f p f q f p f q p q p q +-++-+=
-+-+，表示点
()()1,1p f p ++与点
()()1,1q f q ++连线的斜率，又12p <<，12q <<，所以213p <+<，213q <+<，
即函数图像在区间
()2,3内任意两点连线的斜率大于1，即()2ln 11f x ax x '=++> 在()2,3内
在
()2,e 上单调递减，
当3e x <<时，()'0q x >，()q x 在()2,e 上单调递增，
ln 24≥-
；
三．拔高题组
1. 【江西省七校2014届高三上学期第一次联考】已知函数2
)
1()(x x a x f -=
，其中a>0. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若直线01=--y x 是曲线)(x f y =的切线，求实数a 的值；
（Ⅲ）设)(ln )(2x f x x x x g -=，求)(x g
在区间[]1,e 上的最大值（其中e 为自然对的底数）。

及切点即在直线上，又在曲线上，即为的共同点，联立方程组，解方程组，即可求实数a 的值；
（Ⅲ）求)(x g 在区间[]1,e 上的最大值，可利用导数来求，先求出)(x g 的解析式，由)(x g 的解析式求出)(x g 的导函数，令)(x g 的导函数'()0g x =，解出x 的值，从而确定最大值，由于含有参数a ，因此需分情况讨论，从而求得其在区间[]1,e 上的最大值．
（III ）()ln (1)g x x x a x =-- '()ln 1g x x a =+- 令'()0g x =，则ln 1x a =-，1a x e -=
①当01a <≤时，()g x 在[1,]e 单调增加 max ()()g x g e e ae a ==-+…………9分 ②当12a <≤时，()g x 在1
[1,)a e -单调减少，在1(,]a e e -单调增加；
若11
e a e <≤-时，max
()()g x g e e ae a ==-+；
若
21
e a e <≤-时，max
()(0)0g x g ==；……………………11分
③当2a >时，()g x 在[1,]e 上单调递减，max ()(0)0g x g ==；
综上所述，01
e a e <≤
-时，max
()()g x g e e ae a ==-+；
1
e a e >-时，max ()(0)0g x g ==。

……………………14分
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
2. 【江西省稳派名校学术联盟2014届高三12月调研考试】()(1)ln(1)f x x a x x =-++。

（Ⅰ）求()f x 的极值点；
（Ⅱ）当1a =时，若方程()f x t =在1
[,1]2
-
上有两个实数解，求实数t 的取值范围； (Ⅲ）证明：当0m n >>时，(1)(1)n
m
m n +<+。

试题解析：（Ⅰ）/
()1ln(1)f x a x a =-+-（1分）
①0a =时，/
()0f x >， ∴()f x 在（－1，+∞）上是增函数，函数既无极大值点，也无极小值点。

（2分）
②当0a >时，()f x 在1(1,1]a a
e
---上递增，在1[1,)a a
e
--+∞单调递减，函数的极大值点为
1a a
x e
-=－1，无极小值点（3分）
③当0a <时，()f x 在1(1,1]a a
e
---上递减，在1[1,)a a
e
--+∞单调递增，函数的极小值点为
1a a
x e
-=－1，无极大值点（4分）
3. 【陕西工大附中第一次适应性训练】已知函数()ln f x x =，21()22
g x ax x =-．
（Ⅰ）若曲线()()y f x g x =-在1x =与1
2
x =
处的切线相互平行，求a 的值及切线斜率； （Ⅱ）若函数()()y f x g x =-在区间1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，求a 的取值范围；
（Ⅲ）设函数()f x 的图像C 1与函数()g x 的图像C 2交于P 、Q 两点，过线段PQ 的中点作x 轴
的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，证明：C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不可能平行．
则1
()2h x ax x
'=
-+， ∵在1x =与1
2x =处的切线相互平行，
∴1(1)()2h h ''=，即342
a
a -+=-+，解得2a =-，
(1)5k h '==.
4. 【长安一中2013-2014学年度高三第一学期第三次教学质量检测】已知函数
x a ax x x f ln 22)(2--=（0>x ，R a ∈）
，2
1
2ln )(22++=a x x g ． （Ⅰ）证明：当0>a 时，对于任意不相等的两个正实数1x 、2x ，均有
)2
(2)()(2
121x x f x f x f +>+成立；
（Ⅱ）记2
)
()()(x g x f x h +=
，
(ⅰ)若)(x h y '=在[)+∞,1上单调递增，求实数a 的取值范围； (ⅱ)证明：2
1)(≥
x h . 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）(ⅰ)2a ≥-，(ⅱ) 详见解析. 【解析】
（Ⅱ）（ⅰ）()()[]
41ln 21)(22+-+-=a x a x x h ，a x
x x a x x h -+-='ln )(， 令a x x x a x x F -+-=ln )(，则)(x F y =在[)+∞,1上单调递增． 221ln )(x
a x x x F ++-='，则当1≥x 时，01ln 2≥++-a x x 恒成立， 即当1≥x 时，1ln 2-+-≥x x a 恒成立．
令1ln )(2
-+-=x x x G ，则当1≥x 时，021)(2
<-='x x x G ， 故1ln )(2
-+-=x x x G 在[)+∞,1上单调递减，从而2)1()(max -==G x G ， 故2)(max -=≥x G a ．（14分）
5. 【陕西省西安市第一中学2014届高三上学期期中考试】设函数()()21x f x x e kx =--(其
中k ∈R ).
(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；
(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .
当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:
右表可知,函数()f x 的递减区间为()0,ln 2,递增区间为(),0-∞,()ln 2,+∞.
……………………6分
6. 【江西师大附中高三年级数学期中考试卷】已知函数()2ln .f x x ax x =++
（1）若()f x 在()0,+∞是增函数，求a 的取值范围；
（2）已知0a <，对于函数()f x 图象上任意不同两点()11,A x y ,()22,B x y ，其中21x x >，
直线AB 的斜率为k ，记(),0N u ，若()12,AB AN λλ=≤≤求证：()f u k '<.
7. 【陕西省咸阳市范公中学2014届高三上学期摸底考试数学】(本小题满分14分) 已知函数1()ln ,()()a f x x a x g x a R x +=-=-∈.
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；
（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；
（Ⅲ）若在[]1,( 2.718...)e e =上存在一点0x ，使得0()f x ＜0()g x 成立，求a 的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)∞，
当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x x x
-'=-= ， (1)1f =，(1)0f '=,切点(1,1)，斜率0k =
∴曲线()f x 在点(1,1)处的切线方程为1y = （Ⅱ）1()ln a h x x a x x
+=+-， 2222
1(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==
①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>，
所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增；
②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)∞上()0h x '>，所以，函数()h x 在(0,)∞上单调递增．
8. 【江西省赣州市四所重点中学(赣州一中、平川中学、瑞金中学、赣州三中)2013-2014学
年度第一学期期末联考高三数学试题】已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧≥-<++--)1)(1(),1(123x e
c x bx ax x x 在x ＝0，x ＝32处存在极值。

（Ⅰ）求实数a, b 的值；
（Ⅱ）函数y ＝f(x)的图象上存在两点A, B 使得△AOB 是以坐标原点O 为直角顶点的直角三
角形，且斜边AB 的中点在y 轴上，求实数c 的取值范围；
(Ⅲ）当c ＝e 时，讨论关于x 的方程f(x)＝k x (k ∈R )的实根个数。

【答案】（Ⅰ）1,0a b ==；（Ⅱ）实数c 的取值范围是(0, ＋∞) ；(Ⅲ）当k ＞
41或k ＜0时，方程f(x)＝k x 有一个实根；当k ＝
4
1或k ＝0时，方程f(x)＝k x 有两个实根；当0＜k ＜41时，方程f(x)＝k x 有三个实根。

【解析】
试题分析：（Ⅰ）由于两个极值点都小于零，故对()f x 在1x <求导，，即当1x <时，()2'32f x x ax b =-++，
（3）由方程f(x)＝k x,
知⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+-=),
1(),1(23x e e x x x kx x 因为0一定是方程的根， …………(9分) 所以仅就x≠0时进行研究： 方程等价于⎪⎩⎪⎨⎧≥-≠<+-=).1(),01(2x x e e x x x x k x 且
构造函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-≠<+-=),1(),01()(2x x
e e x x x x x g x 且 (10)
)。