不回避不惧怕--高中物理关于微积分的教与学

解得: θ ＝ ａｒｃｓｉｎ
３ ３
此时:ａ
＝
４ＫＱｑ ９ｍＬ２
３
２. 积分方法的应用实例
积分在高中物理中的应用分为两类ꎬ一类是直接利
用物理意义积分ꎬ另一类是利用数学方法积分.
(１) 直接利用物理意义积分
例题 如图 ２ 所示ꎬ在光
滑的水平面上ꎬ有一垂直向下
的匀强磁场分布在宽为 Ｌ 的区
域内ꎬ有一个边长为 ａ( ａ < Ｌ)
＝
ｎＳ
ｄＢ ｄｔ
＋
ｎＢ
ｄＳ ｄｔ
容易就可以
解决
这一
问
题ꎬ
但教
材对
这
一问
题一
直
采
取回避的态度ꎬ于是当习题中出现这一考点时ꎬ学生由于
不能正确 全 面 地 理 解 感 应 电 动 势 的 求 解 方 法 导 致 失 分
惨重.
２. 高考命题者回避
近几年出现了大量的可以利用微积分来解决问题的
高考题和高考模拟题ꎬ但是在具有指挥棒作用的高考试
卷的参考答案中我们却没有看到利用微积分这种简单方
法来求解的答案ꎬ而更多的是利用微元求和的思想来处
理ꎬ这对中学物理微积分的教学也起到一定的阻碍作用ꎬ
因此教师在课堂上不太愿意也不太敢用微积分的方法去
解决问题.
３. 学生关于微积分的学习是雾里看花
对于微积分初步知识的学习ꎬ数学和物理都有所涉
及ꎬ但都没有做出具体的要求ꎬ学生所能达到的程度仅限 于一知半解ꎬ因此在应用微积分知识去解决物理问题时 只能是雾里看花.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱｔ２
ｔ２
ｔ２
ｘ ＝ ｖｄｔ ꎻΔｖ ＝ ａｄｔ ꎻ ｑ ＝ Ｉｄｔ ꎻ Δｐ ＝ Ｆ合 ｄｔꎻＷ
ｔ１
ｔ１
ｔ１
ｔ１
∫ ∫ ｘ２
ｔ２
＝ ＦｄｘꎻＱ ＝ Ｐｄｔꎻ
ｘ１
ｔ１
三、利用微积分知识处理高中物理问题实例
分析
１. 求导方法的应用实例 导数在物理里的应用实质上是将物理内容结合到它
的几何意义中. 导数在求解切线斜率和极值时具有比较
收稿日期:２０１９ － ０５ － ２５ 作者简介:王娟(１９７７. ５ － ) ꎬ女ꎬ江苏省盐城人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事中学物理高效课堂研究.
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简单方便等优势ꎬ因此以后碰到这类问题时ꎬ我们可以试
着用导数来解决.
(１) 利用导数结合物理图象对物理量的变化进行
判断
例题 真空中有一半径为 ｒ０ 的带电金属球壳ꎬ通过 其球心的一直线上各点的电势 φ 分布如图 １ 所示ꎬｒ 表示
轨的电阻可忽略. Ｍ、Ｐ 两
点间接有阻值为 Ｒ 的电
阻. 一根质量 ｍ ＝ １ｋｇ、电阻
图３
ｒ ＝ ０. ２Ω 的均匀直金属杆 ａｂ 放在两导轨上ꎬ与导轨垂直
且接触良好. 整套装置处于磁感应强度 Ｂ ＝ ０. ５Ｔ 的匀强
整合ꎬ适度地应 用 微 积 分ꎬ 深 化 已 学 过 的 物 理 概 念ꎬ 拓 展
解题思路ꎬ优化解题过程.
２. 理解并熟记常用的求导和积分公式
(１) 常用的求导公式
ｖ
＝
ｄｘ ｄｔ
ꎻ
ａ
＝
ｄｖ ｄｔ
ꎻＩ
＝
ｄｄｑｔ ꎻ
Ｅ
＝
ｎ
ｄｄφｔ ꎻ
Ｆ合
＝
ｄｐ ｄｔ
ꎻ
Ｅ
＝
ｄｄφｘ ꎻ
(２) 常用的积分公式
∫ ∫ ∫ ∫ ｔ２
ｔ１
ｔ１
ｔ１
∫ ｔ２
ＢＩＬｄｔ ＝ － ＢＬ Ｉｄｔ ＝ － ＢＬｑꎬ
ｔ１
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所以
ｑ
＝
ｍ(
ｖ０ － ＢＬ
ｖ)
(２) 利用数学方法积分
例题 如 图 ３ 所 示ꎬ
两根足够长的光滑直金属
导轨 ＭＮ、 ＰＱ 平 行 固 定 在
倾角 θ ＝ ３７° 的 绝 缘 斜 面
上ꎬ两导轨间距 Ｌ ＝ １ｍꎬ导
二、现行中学阶段微积分教学有效策略的研究
１. 教学时间安排
在高一ꎬ物理必修 １ 和必修 ２ 中出现了 １５ 处体现微
积分思想的内容ꎬ到了高二ꎬ学生在数学教材中系统的学
习了微积分的初步知识ꎬ但这两者在很多学生的头脑里
还是两条平行线ꎬ还不能做到将数理进行整合与优化. 到
了高三物理第一轮复习前我们可以将这两者进行有机的
关键词:微积分教学ꎻ现状ꎻ策略ꎻ实例分析 中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８ － ０３３３(２０１９)２４ － ００５３ － ０２
一、物理课堂内外关于微积分教与学的现状
１. 教材编写者回避
在人教版选修教材 ３ － ２ 中提到了感生电动势和动
的正方形闭合线圈以初速 ｖ０ 垂 直磁场边界滑向磁场区域ꎬ当
线圈完全进入磁场时速度变为
图２
ｖ( ｖ < ｖ０ ) ꎬ求线圈在 进 入 磁 场
的过程中经过线圈某一截面的电量.
解析 规定向右的方向为正方向ꎬ研究线圈进入磁
∫ ∫ ∫ ｔ２
ｔ２
ｔ２
场的过 程 有 Δｐ ＝ Ｆ合 ｄｔꎬ ｍｖ － ｍｖ０ ＝ Ｆ安 ｄｔ ＝ －
生电动势的概念. 由于磁场变化引起的感应电动势为感
生电动势ꎬ即
Ｅ
＝
ｎＳ
ΔＢ Δｔ
.
由于回路面积变化引起的感应
电动势为动生电动势ꎬ即 Ｅ ＝ ｎＢ ΔΔＳｔ ꎬ导体棒切割时通常有
Ｅ ＝ ｎＢＬｖｓｉｎθ. 若磁场和面积同时变化则感应电动势又该
如何求解呢ꎬ利用微积分
Ｅ
＝
ｎ
ｄφ ｄｔ
＝
ｎ
ｄ( ＢＳ) ｄｔ
该直线上某点到球心的距离ꎬｒ１ 、ｒ２ 分别是该直线上 Ａ、Ｂ 两点离球心的距离. 下列关于 Ａ、Ｂ 两点电场强度大小判
断正确的是( Ａ) .
Ａ. ＥＡ > ＥＢ Ｂ. ＥＡ ＝ ＥＢ Ｃ. ＥＡ < ＥＢ Ｄ. 不确定
解析
结合表达式
Ｅ
＝
ｄφ ｄｘ
可知图线上 ｒ１ 、ｒ２ 两点切线 斜
图１
不回避 不惧怕
———高中物理关于微积分的教与学
王 娟
( 江苏省淮安市淮阴中学 ２２３００２)
摘 要:人教版现行物理教材对微积分的思想非常重视ꎬ高中数学教材也新增了有关微积分的初步知识ꎬ 在相应地区高考的考纲中还明确地将极限和导数作为考试的内容之一ꎬ利用微积分知识处理物理问题已经成 为一种必然趋势ꎬ但实际上微积分知识在高中物理的各个环节中一直处于被回避的状态ꎬ这也导致了学生严 重的惧怕心理. 结合教与学现状的分析这里提出了一些易于操作的具体策略和实例供大家参考.
率的绝对值即为 Ａ、Ｂ 两点电场
强度的大小.
(２) 利用导数结合数学方法求解物理量的极值
例如求某一物体在运动过程中加速度的最大值ꎬ其
加速度的表达式为:
ａ ＝ ２ｍｋＬＱ２ｑ( ｓｉｎθ － ｓｉｎ３ θ)
发现加速度是一个关于 θ 的函数ꎬ令 ｆ ( θ) ＝ ｓｉｎθ － ｓｉｎ３ θ
令 ｆ ′( θ) ＝ ０ꎬ即 ｃｏｓθ － ３ ｓｉｎ２ θｃｏｓθ ＝ ０