2020-2021学年北京市西城区铁路二中九年级上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年北京市西城区铁路二中九年级上学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列图形对称轴最多的是()
A. 正方形
B. 等边三角形
C. 等腰三角形
D. 线段
2.抛物线y=−3x2+6x+2的对称轴是()
A. 直线x=2
B. 直线x=−2
C. 直线x=1
D. 直线x=−1
3.在平面直角坐标系中，有四个点，坐标分别是A(2,−1)，B(−1,−2)，C(2,1)，D(−2,1)，则关于
原点对称的两点为()
A. 点A和点B
B. 点B和点C
C. 点C和点D
D. 点D和点A
4.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，S△ABC=2√3，将△ABC
绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，A′B′与BC交
于点D，则S△A′CD为()
A. √3+1
B. 3√3
4
C. √3
2
D. 2√3−1
5.在平面直角坐标系中，把点P(4,3)绕着原点顺时针旋转180°后得到点Q，则点Q的坐标是()
A. (4,−3)
B. (−3,−4)
C. (−4,−3)
D. (−4,3)
6.把抛物线y=−2x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标
是()
A. (−1,−4)
B. (−1,4)
C. (1,−4)
D. (1,4)
7.已知函数的图象如图所示，它与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)，
下列四个结论：①16a+4b+c>0；②4a+b=0；③不等式>0的解集是x>3；
④方程的两个根都是正数，其中正确的有
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
8.下列关于抛物线y=x2+2x+3的说法中，错误的是()
A. 最大值是y=2
B. 对称轴是直线x=−1
C. 开口向上
D. 与x轴没有交点
9.如图，在▱ABCD中，BA=BD，∠A=72°，则∠BDC的度数为()
A. 18°
B. 28°
C. 36°
D. 56°
10.在抛物线y=ax2+bx+c(a<0)中，当x满足−2≤x≤2时，则−2≤y≤2，且该抛物线经过
点(2,−2)、(−2,2)，则a的取值范围为()
A. a≤−1
4B. a<−1
4
C. −1
4
≤a<0 D. −1
4
<a<0
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
11.当m=______ 时，抛物线y=mx m2−2开口向下．
12.已知抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)与y轴交于点C，点D(4,y)在
抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为______ ．13.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=−1，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0
的一个根为4，则该方程的另一个根为______．
14.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将直角边AC绕A点
逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE，则CE的最大值
为______ ．
15.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−2,−1)，点B的坐标为(1,0)，
把线段AB绕点B逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐
标为______ ．
16.公司准备投资开发A、B两种新产品，通过市场调研发现：如果单独投资A种产品，则所获利润(
万元)与投资金额x(万元)之间满足正比例函数关系：y A=kx；如果单独投资B种产品，则所获利润(万元)与投资金额x(万元)之间满足二次函数关系：y B=ax2+bx.根据公司信息部的报告，y A，y B(万元)与投资金额x(万元)的部分对应值(如表)．
(1)填空：y A=；y B=；
(2)如果公司准备投资20万元同时开发A，B两种新产品，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，
并求出按此方案能获得的最大利润是多少万元？
(3)如果公司采用以下投资策略：相同的投资金额哪种方式获利大就选哪种，且财务部给出的投资金
额为10至15万元．请你帮助保障部预测(直接写出结果)：公司按这种投资策略最少可获利多少万元？
17.如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=ax2+bx+c的顶点，点B(0,2)是抛物线与y轴的
交点，直线BC平行于x轴，交抛物线于点C，D为x轴上任意一点，若S△ABC=3，S△BCD=2，则点A的坐标为______．
18.关于x的方程x2−4x+m=0有两个不相等的实数根，其中m为正整数；多项式x2+nx+6可
在整数范围内进行因式分解，其中n为整数，从中任选一组m、n，使得m+n>0成立的概率为______．
三、解答题（本大题共9小题，共54.0分）
19.二次函数y=x2+bx+3的图象经过点(3,0).请用配方法求出该二次函数图象的顶点坐标．
20.已知抛物线y=x2−2x−8与x轴的两个交点为A，B(A在左边)，且它的顶点为P．
(1)求A、B两点的坐标
(2)求△PAB的面积．
21.一副三角尺按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度
线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒4°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t．
(1)当t=5时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是______度；
(2)当t=______秒时，边PB平分∠CPD；
(3)若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒1°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP
停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．
①当t为何值时，边PB平分∠CPD；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD=2∠APC，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请
说明理由．
22.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC
的顶点均在格点上，点C的坐标为(−2,−2)．
(1)计算△ABC的面积；
(2)将△ABC向下平移3个单位，再向右平移8个单位，画出平移后的△A1B1C1．
(3)将△ABC绕O点顺时针旋转90度，画出旋转后的△A2B2C2．
23.一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x…−4−3−2−101234…
y…−5
203
2
23
2
0m−6−21
2
…
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求m的值；
(3)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
(4)根据图象，写出当y<0时，x的取值范围．。