山东省菏泽市2014-2015学年高一下学期期末考试数学试

高一数学试题（A ）
一、选择题（每小题5分，共50分）
1．某校高一年级某班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“跑操与健康”的调查，为此将学生编号为1，2，…，60，选取的这6名学生的编号可能是（ ） A ．1，2，3，4，5，6
B ．6，16，26，36，46，56
C ．1，2，4，8，16，32
D ．3，9，13，27，36，54
2．已知点P （tan α，cos α）在第三项限，则角α所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二项限 C ．第三项限
D ．第四项限
3．执行右侧的程序框图，则判断框可填入和输出的结果分别
是（ ）
A ．c x >；a ，b ，c 中最小的
B ．c x =；a ，b ，c 中最小的
C ．c x <；a ，b ，c 中最大的
D ．c x >；a ，b ，c 中最大的
4．要得到3sin(2)4
y x π
=+的图象只需将y =3sin2x 的图象（ ）
A ．向左平移4
π
个单位 B ．向右平移
4
π
个单位 C ．向左平移
8π个单位 D ．向右平移8
π个单位 5．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦
⎤－π2，3π
2的简图是（ ）
6．如图所示，在矩形ABCD 中，AB =2a ，AD =a ，图中阴影部分是
以AB 为直径的半圆，现在向矩形ABCD 内随机撒4000粒豆子 （豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率统计知识，下列四
个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是（ ） A ．1000π
B ．2000π
C ．3000π
D ．400π
7．已知下列三个等式： ①01
cos(420)2
-=-；
②34sin ()cos(2)tan()sin απααπα-+--=；
③
cos()
125tan sin()2
π
απ
α
α-=+． 其中正确的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
8．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）频数分布条形图如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m 0，平均值为x ，则 （ ） A ．m e =m 0=x B ．m e =m 0＜x C ．m e ＜m 0＜x
D ．m 0＜m e ＜x
9．某工厂对一批产品进行了抽样检测．右图是根据抽 样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率 分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样 本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)， [102，104),[104，106]，已知样本中产品净重小于 100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克 并且小于104克的产品的个数是（ ） A ．90
B ．75
C ．60
D ．45
10．如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，
点P 是MD 中点，若2AB =，1AD =, 且∠BAD =60°，则 AP CP 的值为（ ） A ．5
16
-
B ．15
16
-
C ．25
16
-
D ．2716
-
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．已知60°的圆心角所对的圆弧长是4cm, 则这个扇形的面积等于____________． 12．若12,e e 是夹角为60°的两个单位向量，则向量122=+a e e 与1232=-+b e e 的夹角为
____________． 13．已知
sin 2cos 5,3sin 5cos αα
αα
-=-+ 那么tan α的值为____________．
A
第9题图
14．样本中共有五个个体，其值分别为a ，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方
差为____________．
15．关于函数()cos(2)sin(2)36
f x x x ππ
=-++错误！未找到引用源。

，有
①()y f x =
②()y f x =的最小正周期是π
③()y f x =在区间13,1224ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上是减函数；④直线6x π=是函数()y f x =的一条对称轴方程．
其中正确命题的序号是 ____________． 三、解答题 （本大题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）
已知cos (0,)2
π
θθ=
∈． （Ⅰ）求sin θ的值； （Ⅱ）求cos2θ的值；
（Ⅲ）若sin()2
π
θϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．
17．（本小题满分12分）
已知向量(1,2)=a ，(2,)x =-b ，且⊥a b ． （Ⅰ）求(23) (2)-+a b a b 的值；
（Ⅱ）若m +a b （m 为实数）与2-a b 平行，求2m +a b 的值．
18．（本题满分12分）
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段
[)[)[)[)[)[)
40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）60分及以上为及格，试估计这次考试的及格率和平均分．
19．（本小题满分12分）
已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的最小值是1-，最小正周期为2π，
其图象经过点1
(,)32
M π．
（Ⅰ）求()f x 的解析式；
（Ⅱ）已知3()=5f αβ+-，4
()5
f αβ-=，求tan tan αβ的值．
20．（本小题满分13分）
某校男女篮球队各有10名队员，现将这20名队员的身高绘制成如下茎叶图（单位：cm ）．男队员身高在180cm 以上定义为“高个子”，女队员身高在170cm 以上定义为“高个子”，其他队员定义为“非高个子”．按照“高个子”和“非高个子” 用分层抽样的方法共抽取5名队员．
（Ⅰ）从这5名队员中随机选出2名队员，求这2名队员中有“高个子”的概率； （Ⅱ）求这5名队员中，恰好男女“高个子”各1名队员的概率．
21．（本小题满分14分）
函数()()f x Asin x ωϕ=+（0,0,02
A π
ωϕ>><<
）的图象与直线y =
点分别为6A π⎛ ⎝、(B π、76C π⎛ ⎝．
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）求函数[]2
2
()()()3g x f x f x π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦, 0,3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的最大值和最小值．
高一数学试题（A ）参考答案
一、选择题 BBDCD ABDAC
二、填空题 11. 24πcm 2 12. 23π 13. 23
16- 14.2 15. ②④
三、解答题
16．解：（Ⅰ）由cos θ=
(0,)2π
θ∈，
得sin θ==
…3分 （Ⅱ）213
cos 22cos 12155
θθ=-=⨯-=-； ……………………………………6分
（Ⅲ）∵02
πθ<<
，02
πϕ<<
，∴2
2
π
π
θϕ-
<-<
，…………………………7分
∵()sin θϕ-=
，∴()cos θϕ-=，………………………………9分 ∴()cos cos ϕθθϕ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin θθϕθθϕ=-+- ………………11分
=
= ………12分 17.（本小题满分12分）说明：a,b 都用粗黑体。

解：∵⊥a b ，即a ·b =0，1(2)20x ∴⨯-+=，即1x =， ∴ (2,1)=-b ………………………………………………………………2分 （Ⅰ）2222(23)(2)44343b -⋅+=-⋅-=-a a b a a b b a b
()()
2
222
2
24341
23215.⎡⎤=-=+--+=⎣⎦
a b ……………………………………7分 （Ⅱ）()()(),22,12,21,m m m m m +=+-=-+a b
()()()21,24,25,0,-=--=a b
由m +a b 与2-a b 平行，得()()202150,m m -⨯-+⨯= 解得1
.2
m =-
(10)
分
所以2m +=-+=a b a b
(12)
分 18．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：
41(0.0250.01520.010.005)100.3f =-+⨯++⨯=. (直方图略) ………………5分
（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为 (0.0150.030.0250.005)100.75+++⨯=………………………………8分 所以，抽样学生成绩的合格率是75%.…………………………………………9分 利用组中值估算抽样学生的平均分为 123456455565758595f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
＝450.1550.15650.15750.3850.25950.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝71
估计这次考试的平均分是71分………………………………………………12分
19. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意有1,1A ω==，则()sin()f x x ϕ=+， …………………………2分
将点1
(,)32M π代入得1sin()32
πϕ+=，
而0ϕπ<<，53
6
πϕπ∴+=，2
πϕ∴=，………………………………………………4分
故()sin()cos 2
f x x x π
=+
=. …………………………………………………………6分
（Ⅱ）依题意有3cos()=5αβ+-，4
cos()5
αβ-=，
所以3cos cos sin sin 5αβαβ-=-，4
cos cos sin sin 5
αβαβ+=，……………………8分
所以17
cos cos ,sin sin 1010
αβαβ=
=，因此tan tan 7αβ=. ……………………12分 20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意及茎叶图可得：“高个子”共8名队员，“非高个子”共12名队员，共抽取5名队员，所以从“高个子”中抽取2名队员，记这5名队员中“高个子”为12,C C ，“非高个子”队员为123,,D D D ，选出2名队员有：
12111213212223121323,,,,,,,,,C C C D C D C D C D C D C D D D D D D D ，共10种选取方法，有“高个子”
的选取方法有7种，所以选取2名队员中有“高个子”的概率是17
10
P =
. ………………6分
（Ⅱ）记“高个子”男队员分别为1234,,,A A A A ，记“高个子”女队员分别为1234,,,B B B B ，从中抽出2名队员有：
12131411121314232421222324343132333441424344121314232434
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B A B A B A B A A A A A B A B A B A B A A A B A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B B B B B B B ，
共28种抽法，其中男女“高个子”各1名队员的抽法有16种， ……………………10分
所以男女“高个子”各1名队员的概率是2164
287
P ==．……………………………… 13分 21. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意知函数()f x 的周期766T πππ=-=，所以2π
πω=，即得2ω=，……2分
易知76212
x π
ππ+
=
=是()f x 图象的一条对称轴， 且该对称轴过图象的最低点， 所以7322,122k k z ππϕπ⨯
+=+∈，即23
k πϕπ=+， ………………………………4分 因为02
πϕ<<
，所以3π
ϕ=
， 此时()sin(2)3
f x A x π
=+，
因为()(6f x π过
，所以sin(2)63A ππ
⨯+2A =， ……………………6分
所以函数()2sin(2)3
f x x π
=+. ……………………………………………………7分
（Ⅱ）[]2
2
()()()3g x f x f x π⎡
⎤=++⎢⎥⎣
⎦=224sin (2)4sin (2)3x x ππ+++
22[1cos(4)1cos4]3
x x π
=-+
+
-12[24cos 4]42sin(4)26x x x π=-=+-…10分
因为03
x π
≤≤
，所以746
6
6x π
π
π-
≤-
≤
, 1sin(4)126
x π
-≤-≤,……………………12分 所以，当sin(4)16
x π
-=时，max ()6g x =,
当1
sin(4)62
x π-=-时，min ()3g x =. ………………………………………………14分。