天津市东丽区2020中考数学经典试题

2019-2020学年中考数学模拟试卷 一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．下列计算正确的是（ ）
A ．2a 2﹣a 2＝1
B ．（ab ）2＝ab 2
C ．a 2+a 3＝a 5
D ．（a 2）3＝a 6
2．一个不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球、3个白球．从布袋中一次性摸出两个球，则摸出的两个球中至少有一个红球的概率是（ ）
A ．12
B ．23
C ．25
D ．710
3．要使分式
有意义，则x 的取值应满足（ ） A ．x=﹣2 B ．x≠2 C ．x ＞﹣2 D ．x≠﹣2
4．在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图像经过第一象限；乙：函数图像经过第三象限；丙：在每一个象限内，y 值随x 值的增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是（）
A ．3y x =
B ．3y x =
C ．1y x =-
D ．2y x
6．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后第七位，这一结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算半径为1的圆内接正六边形的面积S 6，则S 6的值为（ ）
A ．3
B ．23
C ．332
D ．233
7．关于x 的分式方程
230x x a +=-解为4x =，则常数a 的值为( ) A ．1a = B ．2a = C ．4a = D ．10a =
8．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为1．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）
A ．4233π-
B ．8433π-
C ．8233π-
D ．843
π- 9．方程x 2﹣3x ＝0的根是（ ）
A ．x ＝0
B ．x ＝3
C ．10x =，23x =-
D ．10x =，23x =
10．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ） A ．13x =-，21x =- B ．11x =，23x =
C ．11x =-，23x =
D ．13x =-，21x = 二、填空题（本题包括8个小题）
11．函数y=13
x -+1x -的自变量x 的取值范围是_____． 12．下列图形是用火柴棒摆成的“金鱼”，如果第1个图形需要8根火柴，则第2个图形需要14根火柴，第n 根图形需要____________根火柴.
13．如图，在ABCD 中，AB=6cm ，AD=9cm ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG=42cm ，则EF ＋CF 的长为 cm ．
14．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_________．
15．若使代数式212
x x -+有意义，则x 的取值范围是_____． 16．因式分解：a 3－a=______．
17．如图，是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体分别从正面看和从上面看得到的平面图形，则搭成该几何体的小正方体最多是_______个．
18．已知m 、n 是一元二次方程x 2+4x ﹣1＝0的两实数根，则
11m n
+＝_____． 三、解答题（本题包括8个小题）
19．（6分）先化简，再求值：（1﹣11
a +）÷221a a -，其中a=﹣1． 20．（6分）鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千 克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当x=60时 ，y=80；x=50时，y=1．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．求该公司销售该原料日获利w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式．当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
21．（6分）已知A （﹣4，2）、B （n ，﹣4）两点是一次函数y=kx+b 和反比例函数y=
m x
图象的两个交点．求一次函数和反比例函数的解析式；求△AOB 的面积；观察图象，直接写出不等式kx+b ﹣m x ＞0的解集．
22．（8分）漳州市某中学对全校学生进行文明礼仪知识测试，为了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）．请你根据图中所给的信息解答下列问题：
请将以上两幅统计图补充完整；若“一般”和
“优秀”均被视为达标成绩，则该校被抽取的学生中有_ ▲ 人达标；若该校学生有1200人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？
23．（8分）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间(用t 表示，单位：小时)，采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0t 2≤<，2t 3≤<，3t 4≤<，t 4≥分为四个等级，并依次用A ，B ，C ，D 表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：
1（）求本次调查的学生人数；
2（）
求扇形统计图中等级B 所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整； 3（）
若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3t 4≤<的人数． 24．（10分）如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，75CBD ∠=︒，（1）请用尺规作图法，作AB 的垂直平分线EF ，垂足为E ，交AD 于F ；（不要求写作法，保留作图痕迹）在（1）条件下，连接BF ，求DBF ∠的度数．
25．（10分）顶点为D 的抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 交x 轴于A 、B(3，0)，交y 轴于点C ，直线y ＝﹣x+m 经过点C ，交x 轴于E(4，0)．
求出抛物线的解析式；如图1，点M 为线
段BD 上不与B 、D 重合的一个动点，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，设点M 的横坐标为x ，四边形OCMN
的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求S 的最大值；点P 为x 轴的正半轴上一个动点，过P 作x 轴的垂线，交直线y ＝﹣34
x+m 于G ，交抛物线于H ，连接CH ，将△CGH 沿CH 翻折，若点G 的对应点F 恰好落在y 轴上时，请直接写出点P 的坐标．
26．（12分）在△ABC 中，已知AB=AC ，∠BAC=90°，E 为边AC 上一点，连接BE ．如图1，若∠ABE=15°，O 为BE 中点，连接AO ，且AO=1，求BC 的长；如图2，D 为AB 上一点，且满足AE=AD ，过点A 作AF ⊥BE 交BC 于点F ，过点F 作FG ⊥CD 交BE 的延长线于点G ，交AC 于点M ，求证：BG=AF+FG ．
参考答案
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．D
【解析】
【分析】
根据合并同类项法则判断A、C；根据积的乘方法则判断B；根据幂的乘方法判断D，由此即可得答案. 【详解】
A、2a2﹣a2＝a2，故A错误；
B、(ab)2＝a2b2，故B错误；
C、a2与a3不是同类项，不能合并，故C错误；
D、(a2)3＝a6，故D正确，
故选D．
【点睛】
本题考查幂的乘方与积的乘方，合并同类项，熟练掌握各运算的运算性质和运算法则是解题的关键．2．D
【解析】
【分析】
画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是两个红球的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】
画树状图如下：
一共有20种情况，其中两个球中至少有一个红球的有14种情况，
因此两个球中至少有一个红球的概率是：
7 10
．
故选：D．
【点睛】
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
3．D
【解析】
试题分析：∵分式有意义，∴x+1≠0，∴x≠﹣1，即x的取值应满足：x≠﹣1．故选D．
考点：分式有意义的条件．
4．C
【解析】
【分析】
根据直线的性质公理，相交线的定义，垂线的性质，平行公理对各小题分析判断后即可得解．
【详解】
解:在同一平面内，
①过两点有且只有一条直线，故①正确；
②两条不相同的直线相交有且只有一个公共点，平行没有公共点，故②错误；
③在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③正确；
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确，
综上所述，正确的有①③④共3个，
故选C．
【点睛】
本题考查了平行公理，直线的性质，垂线的性质，以及相交线的定义，是基础概念题，熟记概念是解题的关键．
5．B
【解析】
y=3x的图象经过一三象限过原点的直线，y随x的增大而增大，故选项A错误；
y=3
x
的图象在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，故选项B正确；
y=−1
x
的图象在二、四象限，故选项C错误；
y=x²的图象是顶点在原点开口向上的抛物线，在一、二象限，故选项D错误；故选B.
6．C
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．
【详解】
如图所示，
单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF 中，
△AOB 是边长为1的正三角形，
所以正六边形ABCDEF 的面积为
S 6=6×12×1×1×sin60°33 故选C ．
【点睛】
本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，关键是根据正三角形的面积，正n 边形的性质解答．
7．D
【解析】
【分析】
根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a 的一次方程，解得a 的值即可．
【详解】
解：把x=4代入方程230x x a
+=-，得 23044a
+=-， 解得a=1．
经检验，a=1是原方程的解
故选D ．
点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为2．
8．C
【解析】
【分析】
连接OD ，根据勾股定理求出CD ，根据直角三角形的性质求出∠AOD ，根据扇形面积公式、三角形面积公
式计算，得到答案． 【详解】 解：连接OD ，
在Rt △OCD 中，OC ＝12
OD ＝2， ∴∠ODC ＝30°，CD ＝2223OD OC +=
∴∠COD ＝60°，
∴阴影部分的面积＝260418223=2336023
π⨯-⨯⨯π- ， 故选：C ．
【点睛】
本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
9．D
【解析】
【分析】
先将方程左边提公因式x ，解方程即可得答案．
【详解】
x 2﹣3x ＝0，
x （x ﹣3）＝0，
x 1＝0，x 2＝3，
故选：D ．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．
10．C
【解析】
【详解】
∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），
∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =．
故选C ．
考点：抛物线与x 轴的交点．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．x≥1且x≠3
【解析】
【分析】
根据二次根式的有意义和分式有意义的条件，列出不等式求解即可．
【详解】
根据二次根式和分式有意义的条件可得：
1030,x x -≥⎧⎨-≠⎩
解得：1x ≥且 3.x ≠
故答案为：1x ≥且 3.x ≠
【点睛】
考查自变量的取值范围，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键. 12．62n +
【解析】
【分析】
根据图形可得每增加一个金鱼就增加6根火柴棒即可解答.
【详解】
第一个图中有8根火柴棒组成，
第二个图中有8+6个火柴棒组成，
第三个图中有8+2×6个火柴组成，
……
∴组成n 个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n-1）=6n+2.
故答案为6n+2
【点睛】
本题考查数字规律问题，通过归纳与总结，得到其中的规律是解题关键. 13．5
【解析】
分析：∵AF 是∠BAD 的平分线，∴∠BAF=∠FAD ． ∵ABCD 中，AB ∥DC ，∴∠FAD =∠AEB ．∴∠BAF=∠AEB ．
∴△BAE 是等腰三角形，即BE=AB=6cm ．
同理可证△CFE 也是等腰三角形，且△BAE ∽△CFE ．
∵BC= AD=9cm ，∴CE=CF=3cm ．∴△BAE 和△CFE 的相似比是2：1． ∵BG ⊥AE ， BG=42cm ，∴由勾股定理得EG=2cm ．∴AE=4cm ．∴EF=2cm ． ∴EF ＋CF=5cm ．
14．1
【解析】
【分析】
画出图形，设菱形的边长为x ，根据勾股定理求出周长即可．
【详解】
当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm ， 在Rt △ABC 中，
由勾股定理：x 2=（8-x ）2+22，
解得：x=174
, ∴4x=1，
即菱形的最大周长为1cm ．
故答案是：1．
【点睛】
解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程． 15．x≠﹣2
【解析】
【分析】
直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案．
【详解】
∵分式212
x x -+有意义， ∴x 的取值范围是：x+2≠0，
解得：x≠−2.
故答案是：x≠−2.
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握分式有意义的条件.
16．a （a －1）（a + 1）
【解析】
分析：先提取公因式a ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：解：a 3-a ，
=a （a 2-1），
=a （a+1）（a-1）．
17．7
【解析】
【分析】
首先利用从上面看而得出的俯视图得出该几何体的第一层是由几个小正方体组成，然后进一步根据其从正面看得出的主视图得知其第二层最多可以放几个小正方体，然后进一步计算即可得出答案.
【详解】
根据俯视图可得出第一层由5个小正方体组成；再结合主视图，该正方体第二层最多可放2个小正方体，
∴527+=，
∴最多是7个，
故答案为：7.
【点睛】
本题主要考查了三视图的运用，熟练掌握三视图的特性是解题关键.
18．1
【解析】
【分析】
先由根与系数的关系求出m•n 及m+n 的值，再把
11m n +化为m+n mn 的形式代入进行计算即可． 【详解】
∵m 、n 是一元二次方程x 2+1x ﹣1＝0的两实数根，
∴m+n ＝﹣1，m•n ＝﹣1， ∴11m n
+＝m+n mn ＝-4-1 ＝1． 故答案为1．
【点睛】
本题考查的是根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x 1+x 2＝﹣b a
，x 1•x 2＝c a ．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．原式=
1
2
a-
=﹣2．
【解析】
分析：原式利用分式混合运算顺序和运算法则化简，再将a的值代入计算可得．
详解：原式=
112
()
+11(1)(1) a a
a a a a
+
-÷
++-
=
(1)(1)
·
12
a a a
a a
+-+
=
1 2
a-
，
当a=﹣1时，
原式=
31
2
--
=﹣2．
点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．20．（1）y=－2x+200（30≤x≤60）（2）w=－2（x－65）2 +2000）;（3）当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元
【解析】
【分析】
（1）设出一次函数解析式，把相应数值代入即可．
（2）根据利润计算公式列式即可；
（3）进行配方求值即可．
【详解】
（1）设y=kx+b，根据题意得
8060
10050
k b
k b
=+
⎧
⎨
=+
⎩
解得：
k2
b200
=-
⎧
⎨
=
⎩
∴y=－2x+200（30≤x≤60）
（2）W=（x－30）（－2x+200）－450
=－2x2+260x－6450
=－2（x－65）2 +2000）
（3）W =－2（x－65）2 +2000
∵30≤x≤60
∴x=60时,w有最大值为1950元
∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元考点：二次函数的应用．
21．（1）反比例函数解析式为y=﹣8
x
，一次函数的解析式为y=﹣x﹣1；（1）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜1．
【解析】
试题分析：（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=1，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（1）先求出直线y=﹣x﹣1与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；
（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜1时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．
试题解析：（1）把A（﹣4，1）代入，得m=1×（﹣4）=﹣8，所以反比例函数解析式为，把B（n，﹣4）代入，得﹣4n=﹣8，解得n=1，把A（﹣4，1）和B（1，﹣4）代入y=kx+b，得：，解得：，所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣1；
（1）y=﹣x﹣1中，令y=0，则x=﹣1，即直线y=﹣x﹣1与x轴交于点C（﹣1，0），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×1+×1×4=6；
（3）由图可得，不等式的解集为：x＜﹣4或0＜x＜1．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式．
22．（1）见解析；（2）1；（3）估计全校达标的学生有10人
【解析】
【分析】
（1）成绩一般的学生占的百分比=1-成绩优秀的百分比-成绩不合格的百分比，测试的学生总数=不合格的人数÷不合格人数的百分比，继而求出成绩优秀的人数．
（2）将成绩一般和优秀的人数相加即可；
（3）该校学生文明礼仪知识测试中成绩达标的人数=1200×成绩达标的学生所占的百分比．
【详解】
解：（1）成绩一般的学生占的百分比=1﹣20%﹣50%=30%，
测试的学生总数=24÷20%=120人，
成绩优秀的人数=120×50%=60人，
所补充图形如下所示：
（2）该校被抽取的学生中达标的人数=36+60=1．
（3）1200×（50%+30%）=10（人）．
答：估计全校达标的学生有10人．
23．()1本次调查的学生人数为200人；()2B所在扇形的圆心角为54，补全条形图见解析；()3全校每周课外阅读时间满足3t4
≤<的约有360人．
【解析】
【分析】()1根据等级A的人数及所占百分比即可得出调查学生人数；
()2先计算出C在扇形图中的百分比，用()
1[A D C
-++在扇形图中的百分比]可计算出B在扇形图中的百分比，再计算出B在扇形的圆心角；
()3总人数⨯课外阅读时间满足3t4
≤<的百分比即得所求．
【详解】()1由条形图知，A级的人数为20人，
由扇形图知：A级人数占总调查人数的10%，
所以：
100
2010%20200(
10
÷=⨯=人)，
即本次调查的学生人数为200人；()2由条形图知：C级的人数为60人，
所以C级所占的百分比为：60
100%30% 200
⨯=，
B级所占的百分比为：110%30%45%15%
---=，B级的人数为20015%30(
⨯=人)，
D级的人数为：20045%90(
⨯=人)，
B所在扇形的圆心角为：36015%54
⨯=，
补全条形图如图所示：
；
()3因为C 级所占的百分比为30%，
所以全校每周课外阅读时间满足3t 4≤<的人数为：120030%360(⨯=人)，
答：全校每周课外阅读时间满足3t 4≤<的约有360人．
【点睛】本题考查了扇形图和条形图的相关知识，从统计图中找到必要的信息进行解题是关键.
扇形图中某项的百分比100%=
⨯该项人数总人数，扇形图中某项圆心角的度数360=⨯该项在扇形图中的百分比．
24．（1）答案见解析；（2）45°．
【解析】
【分析】
（1）分别以A 、B 为圆心，大于12
AB 长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可； （2）根据∠DBF ＝∠ABD ﹣∠ABF 计算即可；
【详解】
（1）如图所示，直线EF 即为所求；
（2）∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠ABD ＝∠DBC 12
=∠ABC ＝75°，DC ∥AB ，∠A ＝∠C ， ∴∠ABC ＝150°，∠ABC+∠C ＝180°，
∴∠C ＝∠A ＝30°．
∵EF 垂直平分线段AB ，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
25．(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)S＝﹣(x﹣9
4
)2+
81
16
；当x＝
9
4
时，S有最大值，最大值为
81
16
；(3)存在，点P的
坐标为(4，0)或(3
2
，0).
【解析】
【分析】
（1）将点E代入直线解析式中，可求出点C的坐标，将点C、B代入抛物线解析式中，可求出抛物线解析式．
（2）将抛物线解析式配成顶点式，可求出点D的坐标，设直线BD的解析式，代入点B、D，可求出直线BD的解析式，则MN可表示，则S可表示．
（3）设点P的坐标，则点G的坐标可表示，点H的坐标可表示，HG长度可表示，利用翻折推出CG＝HG，列等式求解即可．
【详解】
（1）将点E代入直线解析式中，
0＝﹣3
4
×4+m，
解得m＝3，
∴解析式为y＝﹣3
4
x+3，
∴C(0，3)，∵B(3，0)，
则有
3
093
c
b c
=
⎧
⎨
=-++
⎩
，
解得
2
3
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4，
∴D(1，4)，
设直线BD的解析式为y＝kx+b，代入点B、D，
304k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得26k b =-⎧⎨=⎩
， ∴直线BD 的解析式为y ＝﹣2x+6，
则点M 的坐标为(x ，﹣2x+6)，
∴S ＝(3+6﹣2x)•x•
12
＝﹣(x ﹣94)2+8116， ∴当x ＝94时，S 有最大值，最大值为8116． (3)存在，
如图所示，
设点P 的坐标为(t ，0)，
则点G(t ，﹣34
t+3)，H(t ，﹣t 2+2t+3)， ∴HG ＝|﹣t 2+2t+3﹣(﹣
34t+3)|＝|t 2﹣114t| CG 223(33)4
t t +-+-54t ， ∵△CGH 沿GH 翻折，G 的对应点为点F ，F 落在y 轴上，
而HG ∥y 轴，
∴HG ∥CF ，HG ＝HF ，CG ＝CF ，
∠GHC ＝∠CHF ，
∴∠FCH ＝∠CHG ，
∴∠FCH ＝∠FHC ，
∴∠GCH＝∠GHC，∴CG＝HG，
∴|t2﹣11
4t|＝
5
4
t，
当t2﹣11
4
t＝
5
4
t时，
解得t1＝0(舍)，t2＝4，此时点P(4，0)．
当t2﹣11
4
t＝﹣
5
4
t时，
解得t1＝0(舍)，t2＝3
2
，
此时点P(3
2
，0)．
综上，点P的坐标为(4，0)或(3
2
，0)．
【点睛】
此题考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转换为线段长度，几何图形与二次函数结合的问题，最后一问推出CG＝HG为解题关键．
26．（1）（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）如图1中，在AB上取一点M，使得BM=ME，连接ME．，设AE=x，则ME=BM=2x，AM=x，根据AB2+AE2=BE2，可得方程（2x+x）2+x2=22，解方程即可解决问题．
（2）如图2中，作CQ⊥AC，交AF的延长线于Q，首先证明EG=MG，再证明FM=FQ即可解决问题．【详解】
解：如图 1 中，在AB 上取一点M，使得BM=ME，连接ME．
在Rt△ABE 中，∵OB=OE，
∴BE=2OA=2，
∵MB=ME，
∴∠MBE=∠MEB=15°，
∴∠AME=∠MBE+∠MEB=30°，设AE=x，则ME=BM=2x，AM=x，
∵AB2+AE2=BE2，
∴，
∴x=（负根已经舍弃），
∴AB=AC=（2+ ）•，
∴BC= AB= +1．
作CQ⊥AC，交AF 的延长线于Q，
∵ AD=AE ，AB=AC ，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠BAC=90°，FG⊥CD，
∴∠AEB=∠CMF，
∴∠GEM=∠GME，
∴EG=MG，
∵∠ABE=∠CAQ，AB=AC，∠BAE=∠ACQ=90°，∴△ABE≌△CAQ（ASA），
∴BE=AQ，∠AEB=∠Q，
∴∠CMF=∠Q，
∵∠MCF=∠QCF=45°，CF=CF，
∴△CMF≌△CQF（AAS），
∴FM=FQ，
∴BE=AQ=AF+FQ=AF=FM，
∵EG=MG，
∴BG=BE+EG=AF+FM+MG=AF+FG．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2019-2020学年中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直
角边长为b ，若
2)21a b +=（，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．如图所示，数轴上两点A ，B 分别表示实数a ，b ，则下列四个数中最大的一个数是（ ）
A ．a
B ．b
C ．1
a
D ．
1b
3．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为（ ）
A ．10°
B ．20°
C ．25°
D ．30°
4．﹣3的绝对值是（ ） A ．﹣3
B ．3
C ．-
13
D ．
13
5．已知x ﹣2y=3，那么代数式3﹣2x+4y 的值是（ ） A ．﹣3
B ．0
C ．6
D ．9
6．如图，将Rt ABC △绕直角顶点C 顺时针旋转90，得到A B C ''，连接'A A ，若120︒∠=，则B 的度数是（ ）
A ．70︒
B ．65︒
C ．60︒
D ．55︒
7．如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab ＜0；②2a+b=0；③3a+c ＞0；④a+b≥m （am+b ）（m
为实数）
；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）
A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤
8．对于反比例函数
2
y
x
=，下列说法不正确的是（）
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小
9．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（）
A．13＝3+10 B．25＝9+16 C．36＝15+21 D．49＝18+31
10．点M(a，2a)在反比例函数y＝8
x
的图象上，那么a的值是( )
A．4 B．﹣4 C．2 D．±2
二、填空题（本题包括8个小题）
11．如果抛物线y＝（k﹣2）x2+k的开口向上，那么k的取值范围是_____．
12．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为_____．
13．不等式组
20
262
x
x
->
⎧
⎨
->
⎩
①
②
的解是________．
14．计算32)3_____
15．如图，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B＝_______°．
16．小芸一家计划去某城市旅行，需要做自由行的攻略，父母给她分配了一项任务：借助网络评价选取该城市的一家餐厅用餐.小芸根据家人的喜好，选择了甲、乙、丙三家餐厅，对每家餐厅随机选取了1000条网络评价，统计如下：
评价条数等级
餐厅
五星四星三星二星一星合计
甲538 210 96 129 27 1000
乙460 187 154 169 30 1000
丙486 388 81 13 32 1000
（说明：网上对于餐厅的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一星.）小芸选择在________（填"甲”、“乙"或“丙”）餐厅用餐，能获得良好用餐体验（即评价不低于四星）的可能性最大.
17．如果分式
4
2
x
x
-
+
的值为0，那么x的值为___________．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0）、B（0，3），对△AOB连续作旋转变换依次得到三角形（1）、（2）、（3）、（4）、…，则第（5）个三角形的直角顶点的坐标是_____，第（2018）个三角形的直角顶点的坐标是______．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．（6分）《如果想毁掉一个孩子，就给他一部手机!》这是2017年微信圈一篇热传的文章．国际上，法国教育部宣布从2018年9月新学期起小学和初中禁止学生使用手机．为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，②的统计图，已知“查资料”的人数是40人．
请你根据以上信息解答下列问题：在扇形统计图中，“玩游戏”对应的百分比为，圆心角度数是度；补全条形统计图；该校共有学生2100人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数．
20．（6分）如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60︒方向与灯塔Р的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45︒方向上的B处.求此时轮船所在的B处与灯塔Р的距离.（结果保留根号）
21．（6分）端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗．节日期间，小邱家包了三种不同馅的粽子，分别是：红枣粽子（记为A），豆沙粽子（记为B），肉粽子（记为C），这些粽子除了馅不同，其余均相同．粽子煮好后，小邱的妈妈给一个白盘中放入了两个红枣粽子，一个豆沙粽子和一个肉粽子；给一个花盘中放入了两个肉粽子，一个红枣粽子和一个豆沙粽子．
根据以上情况，请你回答下列问题：假设小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少？若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子中随机取一个粽子，请用列表法或画树状图的方法，求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率．
22．（8分）如图，已知抛物线y＝x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y ＝x+m经过点A，与y轴交于点D．求线段AD的长；平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．
23．（8分）孔明同学对本校学生会组织的“为贫困山区献爱心”自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据．如图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为3：4：5：10：8，又知此次调查中捐款30元的学生一共16人．孔明同学调查的这组学生共有_______人；这组数据的众数是_____元，中位数是_____元；若该校有2000名学生，都进行了捐款，估计全校学生共捐款多少元？
24．（10分）解不等式组
211
14(2)
x
x x
+-
⎧
⎨
+>-⎩
25．（10分）如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；若OC=3，OA=5，求AB的长．
26．（12分）如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．求证：DE=AB；以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G，若BF=FC=1，试求的长．
参考答案
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．C
【解析】
【详解】
如图所示，∵（a+b）2=21
∴a2+2ab+b2=21，
∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，
∴小正方形的面积为13﹣8=1．
故选C．
考点：勾股定理的证明．
2．D
【解析】
【详解】
∵负数小于正数，在（0，1）上的实数的倒数比实数本身大．
∴1
a ＜a＜b＜
1
b
，
故选D．
3．C
【解析】
分析：如图，延长AB交CF于E，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°．
∵∠1=35°，∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°．
∵GH∥EF，∴∠2=∠AEC=25°．
故选C．
4．B
【解析】
【分析】
根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案. 【详解】。