工程图学基础教程(第4版)课件：点、直线、平面的投影

对侧面的重影点
（Y、Z方向的距离差为零，即YA－Yc＝0； ZA－Zc＝0 ）
两点在同一投影面上的投影重合，就产生了投影的可见性的问题。
V
a’ (c)’
C
Z
c”
a’(c’)
后前 Z
c” a”
A
W
X
o
a”
X
o
YW
c
后c
a
Y
前a
根据正投影的特性可知：
YH
对正面的重影点应是前面的点遮后面的点：
即对正面的重影点
xA
ax
A点到H面的距离 Aa = zA （点的Z坐标）（立体图）
Z
az
zA
A(x,y,z)
O
a"
yA
a
ay
Y
实际作图时，将三个投影面展开在一个面上。
3.点的三面投影的投影特性
投影面的展开：
V面保持不动，沿OY轴将H面和W 面分开，H面绕OX轴向下旋转90°， W面绕OZ轴向后旋转90°，摊平为 同一平面。
Z
b’ c’ 10 5
a’
b” c”( a” )
X
o
YW
c b(a)
YH
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2.3 直线的投影
2.3.1 直线的分类及投影特性
1．直线对单一投影面的投影特性
当直线∥投影面时
投影反映实长（真实性）
当直线⊥投影面时
投影为一点（积聚性）
当直线∠投影面时
投影为缩短的直线（类似性）
ef＝EF×cosα
直线对三个投影面H、V、W的倾角（夹角）分别用α、β、γ来表示
2．直线在三投影面体系中的分类及投影特性
在三投影面体系中，直线按照对投影面的相对位置 分为以下三种:
（1）投影面垂直线 （2）投影面平行线 （3）一般位置直线
下面分别介绍它们的定义和投影特性
直线按照对投影面的相对位置可分为以下三种:
正垂线（V 面垂直线）：⊥V，∥H，∥W。
V
b’
d’
b’
d’
a’
A X
a
B
a’
c’
c’
D
C
o
X a
o
bc
d
bc d
(a) 立体图
(b) 投影图
平行两直线的投影特点
[例6] 已知AB、CD为相交两直线，求AB的正面投影。
b’
c’ X
b
c
分析：
k’ d’
根据相交两直线的投影特点，可求出 交点K的正面投影k’，a’必在b’k’的
延长线上，据此求出a'，得到a'b'。
V a'
X aX
Z
az
xA
zA yA
O
W a"
aYW
Y W
投影与投影面大小无关， 画 投影图时可不画图框
V aa’'
X X ax
a
ZZ
zA az
a”
A(x,y,z)
W
xA O O
aY"W
45°yA
a YH
ay Y
a H
点的投影特性：
45°
yA
aYH
YH
1）a'a⊥OX（同反映X坐标）；
2）a'a"⊥OZ（同反映Z坐标）；
Y
正垂线⊥V面 （∥H和W面）
铅垂线⊥H面 （∥V和W）
Y Y 侧垂线⊥W面
（∥H和V面）
投影面垂直线的投影特性
名称 正垂线⊥V面（∥H和W面） 铅垂线⊥H面（∥V和W） 侧垂线⊥W面（∥H和V面）
空 间 情 况
投 影 图
投影 特性
1、在直线所垂直的投影面上，其投影积聚为一点； 2、其余两面投影平行于相应的轴线，反映直线的实长。
原点O
X
OX轴
OY轴
OZ轴
O Y
2.点的三投影面的形成
a’ A点的正面投影（V面投影） xA
a
A点的水平投影（H面投影） yA
a” A点的侧面投影（W面投影） zA
A点的x坐标 A点到y坐标 A点的z坐标
V a'
点的投影与坐标的关系如下：
A点到W面的距离 Aa”= xA （点的X坐标） X A点到V面的距离 Aa' = yA （点的Y坐标）
X
a' A
o
a” W
X
A
a”
W
o B b”
X
b’
o
W
a
b
a
aB
b”
b
b
Y 正平线∥V面
∠H和W
Y 水平线∥H面
∠V和W
侧平线∥W面 ∠H和V
名称
空 间 情 况
投影面平行线的投影特性
正平线∥V面（∠H和W） 水平线∥H面（∠V和W面） 侧平线∥W面（∠H和V面）
αγ
βγ
β
α
投
αγ
影
β α
图
βγ
Z
a'
a"
X
O
YW
X
O
YW
a
YH
a
YH
2.2.3 两点的相对位置和重影点
1. 两点的相对位置
OX
为了比较两点的相对位置，我们作如下约定： OY
Z
OZ
V a'
a'
A b’
左右方向
前后方向 上下方向
Z
a”
B a”W
X
O b”
b
a
b’
b”
X
O
YW
Y
b
B在A之右、之后、之下
或者 A在B之左、之前、之上
坐标差： 左右方向：xAxB 前后方向：yAyB 上下方向：zAzB
过A作投影面P的垂线，得到垂足
a即为点A在投影面P上的正投影。
A
过点A只能作一条P平面的
B
垂线，所以A点在投影面P上
C
的投影a是唯一的。
但a却不能唯一确定空间点A的 位置。因为过A所作的P平面的垂线 上所有各点的投影都重合在a上。
a（b、c） P
由此可得到一个结论： 一般情况下，点的一个投影不能确定空间点的位置。
b”
a’ X
A a
o b
(a) 空间情况
W
a’
a”
X
a Y
一般位置直线的投影
o b
YH (b) 投影图
a” YW
2.3.2 直线上点的投影
（1）如果点在直线上，则点的投影在直线的同面投影上。 （2）不垂直于投影面的直线上的点，分割直线之比投影前后保持不变
（定比定理）。
即： AK = a'k' = ak = a"k" KB k'b' kb k"b"
C
A
o
c a
c”
W
a”
Y
A、C两点处于正前正后的位置，正面投影重合为一点
对正面的重影点
（X、Z方向的距离差为零，即XA－Xc＝0； ZA－Zc＝0 ）
两点处于正上正下的位置，水平投影重合为一点
对水平面的重影点
（X、Y方向的距离差为零，即XA－Xc＝0； YA－Yc＝0 ）
两点处于正左正右的位置，侧面投影重合为一点
2.1 投影法及其分类 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影 2.5 直线与平面及两平面的相对位置
2.1 投影法及其分类
投影的基本概念：
投射中心 S
投射线
B
b
C
A
a
c
P
投影面
平面P称为投影面
S为不在P面上的一个点，称为投射中心 空间△ABC上任一点A与投影中心S的连线 SA称为投射线；
Z
V k’
b’ B b”
a’
K
k”
X A
o
b
a”
ak
k’ a’ X
k a
Z
b’
b”
k”
a”
o
YW
b
Y 空间情况
投影图 YH
[例4] 如图所示，已知直线AB的两面投影，试在直线上 求出一点C，使AC:CB= 2:3。
c’ a’
分析： b’
B
C3
2 A
AC=2 CB=3
X
o 作图步骤：
b
c
a
1 2 3 45
中心投影法主要用于绘制富有真实感的立体图即透视 图，在建筑制图中用这种方法绘制透视图。
投射中心 S
B C
b
投射线 (投射方向)
A
a
c
P
2.平行投影法
若将投影中心S按指定的方向移到无穷远处，则所有的投射线可看
作互相平行的，这种投射线互相平行的投影法称为平行投影法。
(a) 斜投影法：投射线倾斜于投影面，称为斜投影法 平行投影法
2.2.2 点的三面投影及投影特性
常将立体放置在三个互相垂直的投影面体系中，画出立体 的三面投影。三个相互垂直的投影面，将空间划分成八个分角， 我国采用的是第一分角投影，有些国家采用的第三角投影。
第二 分角
第六 分角
第一 分角
第三 分角
第五 分角
第四
第 分八 角（ 第 七 分 角 ）
分角
八个分角的划分
3）aaX=OaYH=OaYW=a"aZ（同反映Y 坐标）
推论：过a的水平线与过a”的垂线必 相交于过O点的45°的斜线上。
[例1] 如图所示，已知点A的 两面投影a'和a"，求a。
a'
Z
a"
[例2] 已知点A距离 H、 V、 W分 别为 13、12、10，作出其三面投 影a、a'、a"。
A(10,12,13)
影点的投影。
Z
A
Ⅰ
CⅡ
c a
1(2)
D B b
dH
d’
d”
a’ 1’
a” 1” 5”（6”）
X
3’ (4’ )
c’ 2’ b’
b” 2” c”
bO
YW
c
1(2)
d
a
Ⅰ、Ⅱ两点—— 对水平面的重影点 Ⅲ、Ⅳ两点—— 对正面的重影点 Ⅴ、Ⅵ两点—— 对侧面的重影点
YH 交叉两直线的三面投影都相交，但各 同面投影交点的关系不符合点的投影 规律，均为重影点的投影。此例中有 三对重影点。
k’
k” b”
X
b’ oX
b’
o
YW
a
a
A0 K0
k
bA0=b’a’ b
bK0=b’k’
k
b YH
解法一：用定比定理
解法二：利用第三投影
2.3.3 两直线的相对位置
平行
空间两直线的的相对位置有三种情况： 相交
1．平行两直线
交叉:既不平行，也不相交
当空间两直线平行时，它们的同面投影分别平行。
AB∥CD，则 ab∥cd、a'b'∥c'd'、a"b"∥c"d"。
D
A
K
C
B
c ak
b d H
a’
c’ X
c a
Z
d’
d”
a”
k’
k”
b”
b’
c”
o b
YW
k
d
YH
（a）立体图
（b）投影图
相交两直线相交的投影特点
3．交叉两直线 空间既不平行也不相交的两直线，称为交叉两直线。
交叉两直线在空中不存在交点，但在同面投影图上可能出现相交的情
况，此时投影图上的“交点”是两直线上点的同面投影重合产生的，即重
前遮后
在投影重合的正面，被遮住的 点的正面投影c’写在a’之后，
对水平面的重影点 对侧面的重影点
上遮下 左遮右
并加上括号，写成a’(c’)；不 强调可见性时，也可不加括号写 成a’c’。
[例4] 已知点A与点B为对H面的重影点，B距A为5, 求b’、
b”；已知点C与点A为对W面的重影点，C 在A之左10， 求C的三面投影c、c’、c”。
1）投影面垂直线 铅垂线（H 面垂直线）：⊥H，∥V，∥W。
侧垂线（W 面垂直线）：⊥W，∥H，∥V。 当直线∥投影面时，倾角为0°，当直线⊥投影面时，倾角为90°。
Va’(b’) B
A Xb
Z b”
W
o a”
V a’
b’ X
Z
V
a’
A a”
o B
WX A
b”
a
Z
b’ a”(b”)
B
W
o
b
a
a (b)
直线按照对投影面的相对位置可分为以下三种:
1）投影面垂直线
正平线（V面平行线） ：
∥V面，∠H面，∠W面。真实反映、 。
水平线（H面平行线） ：
2）投影面平行线 ∥H面，∠V面，∠W面。真实反映、 。
侧平线（W面平行线）：
V
Z
b’ B b”
∥W面，∠H面，∠V面。真实反映、 。
Z
V
a'
b’
Z V a' A a”
第一分角
2.2.2 点在三投影面体系中的投影
1.三投影面体系
第一分角的三个投影面，也可以看作在原有两投
影面的基础上，再增加一个与它们垂直的投影面构成的，
称为三投影面体系。
V
正立投影面（简称正面） V
Z
H
水平投影面（简称水平面）
W
侧立投影面（简称侧面）
V、H、W的交点 V、H交线 H、W交线 V、W交线
(b) 正投影法：投射线垂直于投影面，称为正投影法
A
B
投射线
C
投射方向
aLeabharlann bcP投射线 B
b
A 投
射
C
方 向
a
cP
(a) 斜投影法 (b) 正投影法
用斜投影法得到的投影－斜投影（画斜轴测图）
用正投影法得到的投影－正投影
工程图样主要是用正投影，简称投影。
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2.2 点的投影
2.2.1 点的单面投影
投影特性 1、在直线所平行的投影面上，其投影反映实长；
2、其余两面投影为缩短的直线，且平行于相应的轴线。
直线按照对投影面的相对位置可分为以下三种:
1）投影面垂直线
3）一般位置直线：∠H、V、W面
2）投影面平行线
投影特性：三面投影均倾斜于投影轴，投影 均为缩短的直线(类似性)。
Z
V
b’
B b”
Z
b’
交点a称为空间点A在投影面P上的投影。
同理，可作出点B、C在平面P上的投影 b、c，连接△abc，△abc则为△ABC在
投影面P上的投影。
这种使空间形体在平面 上产生投影的方法称为投影法。
工程中常用的投影法为中心投影法和平行投影法
1. 中心投影法
投射线从投射中心出发（即投射线相交于一点）的投影法， 称为中心投影法。
B0
（a）由a（或b）任作一直线aB0； （b）在aB0 上以适当长度取5等分，
得等分点1、2、3、4、5；
（c）连b5，自2作直线平行于5b， 此直线与ab的交点即c点；