山西省平遥中学2017_2018学年高一数学下学期期中试题201807050288

平遥中学学年度第二学期高一期中考试
数学试题
本试卷满分分 考试时间分钟
一、选择题 (×分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填在答题卡的相应位置上。

)
.已知0tan ,0sin ><θθ，则θ2sin 1-化简的结果为（ ）
．θcos . θcos - ．θcos ± . 以上都不对
.在边长为2的正三角形中，设c AB =,a BC =,b CA =，则a c c b b a ∙+∙+∙等于（ ）
． ． ． ．－
.设α角属于第二象限，且2cos 2cos α
α
-=，则2α
角属于（ ）
. 第一象限 . 第二象限 . 第三象限 . 第四象限
．在A B C ∆中，c b a ,,分别为三个内角、、所对的边,设向量(),,m b c c a =-- (),n b c a =+，若向量⊥m n ，则角 的大小为 （ ）
． 6π ．3π ． 2
π ． 32π ．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（ ） 2
x . x x 22tan 1tan 1+- .如果1e ，2e 是平面α内所有向量的一组基底，那么下列选项正确的是（ ） ．若实数1λ，2λ，使11220e e λλ+=，则120λλ== ；
．空间任一向量a 可以表示为1122a e e λλ=+，这里1λ，2λ是实数 ； ．12,R λλ∈，1122e e λλ+不一定在平面α内 ；
．对平面α内任一向量a ，使1122a e e λλ=+的实数1λ，2λ有无数对。

.函数)(sin log 2
1x y =的单调递增区间是（ ） .Z k k k ∈+-,22,22）（ππππ .Z k k k ∈++,2
32,22）（ππππ
.Z k k k ∈++,2,22）（ππππ .Z k k k ∈+,22,2）（π
ππ .如图，在ABC △中，O 为BC 的中点，过O 的直线交AB 、AC
于M 、N ，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +=（ ）
.12
9．若函数()的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的倍，再将整 个图象沿轴向左平移
2π个单位，沿轴向下平移个单位，得到函数x sin 21的图象则是()是（ ）
．1)22sin(21++πx 1)4
2sin(21++πx .
1)22sin(21+-πx 1)42sin(21+-πx .在△中,2AC 1AB 90A ==︒=∠，，.设点满足λ=，
R AC ∈-=λλ,1AQ ）（.若,2CP B Q -=∙则=λ（ ）
.31 .32 .3
4 . . 平面上三个向量,,a b c ，两两夹角相等，a ，b c ,则a b c ++等于 ( )
． ． ．或 ．或7
12. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是 钝角三角形的两个锐角，则(sin )f α与(cos )f β的大小关系是( )
．(sin )(cos )f f αβ< ．(sin )(cos )f f αβ>
．(sin )(cos )f f αβ≥ ．(sin )(cos )f f αβ=
二、填空题（×分）
. 已知扇形的圆心角为︒150，半径为，则扇形的面积是 .
. 关于函数()cos2cos f x x x x =-，下列命题：
①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立；
②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上是单调递增； ③函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移512
π个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）
.已知不等式()222cos 54sin 0m m θθ+-+≥恒成立，则实数m 的取值范围是
.（本题满分分）已知sin
2cos 022-=． （）求tan x 的值； （）求cos 2cos()sin 4x
x x π
+⋅的值． .（本题满分分）如图，在ABC ∆中，,83B AB π
∠==,点D 在边BC 上，且
12,cos .7
CD ADC =
∠= （）求sin BAD ∠；
（）求,BD AC 的长.
.（本题满分分）已知平面上三个向量
,,,其中）
（2,1=, ()52=,且∥,求的坐标；
()25=,且)2()2(b a b a -⊥+,求与夹角的余弦值； ()若),2(x =且与的夹角为锐角时，求x 的取值范围。

.（本题满分分）
已知向量)2cos ,2(),3),4((sin 2x x =-+=π，函数x f ∙=)(.
（）求()f x 的周期和单调递增区间；
（）若关于x 的方程()2f x m -=在[,]42
x ππ∈上有解，求实数m 的取值范围.
.（本题满分分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点．（，）和点（，）1=，且x =∠AOC ，其中为坐标原点． （）若向量),cos 2sin ,cos 1(,x x x --==求∙的最小值． （）若
4
3π=x ，设点为线段上的动点，
+的最小值；
.（本题满分分） 已知向量
33cos ,sin ,cos ,sin 2222x x a x x b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （）求a b ⋅及a b +
； （）若()2f x a b a b λ=⋅-+的最小值为32
-，求正实数λ的值.
平遥中学学年度第二学期高一期中考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题（分）
二、填空题（分） . 415π . ①③ . . 40≥≤m m 或
三、解答题（分）
.（分）
（）sin 2cos 022x x -=，则cos 02x ≠，
tan 22x ∴= ········分 22
2tan 2242tan 1231tan 2
x x x ⨯∴===--- ·············分 （2
）原式22= ·············分 (cos sin )(cos sin )cos sin (cos sin )sin sin x x x x x x x x x x
-++==- ········ 分 411tan 134tan 43x x -+===- ·················分 .（分）
19. （分）
（3）由题意：若a 与b 的夹角为锐角，则0>∙b a 且a 与b 不共线，
即：⎩⎨⎧≠->+040
22x x 解得：41≠->x x 且 {}41|≠->∴x x x x 且的取值范围是········分
20. （分）
解： ()()＝－
＝－－
＝＋ －
＝＋，·················分
周期＝π；
·········分
·········分
由π－≤－≤π＋，
解得()的单调递增区间为(∈)．·····分
()∈，所以－∈，
∈，
所以()的值域为[]．···············分
而()＝＋，所以＋∈[]，即∈[]．···········分
.（分）
（）由题意得（，），
则
（）．分
取得最大值，
此时取得最小值，
所以的最小值为．分
（）若，设（，）（≤≤），可得，
所以，，
所以·············分
，
所以当时，取得最小值为，故最小值为．分
.（分）
解：（）
33
cos cos sin sin cos2
2222
x x
a b x x x
⋅=-=
·········分
∵
33
cos cos,sin sin
2222
x x
a b x x
⎛⎫+=++
⎪
⎝⎭
，
∴
22 233
cos cos sin sin
2222
x x a b x x
⎛⎫⎛⎫+=+++
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
33
22cos cos sin sin
2222
x x
x x
⎛⎫
=+-
⎪
⎝⎭
2
22cos24cos
x x =+=.
∵，∴，因此.···········分
（）由（）知，∴，·········分
①当时，当时，
有最小值，解得.
②当时，当时，有最小值，
（舍去），综上可得.·················分。