方程的根与函数的零点 优秀教案

f （x） = –X³ –3x + 5 在区间 （1，1．5）上有一个零点。
又因为 f（x）是 (, ) 上的减函数，所以 f（x） = – X³ –3x + 5 在区间（1， 1．5）上有且只有一个零点。
（2）作出函数图象，因为 f（3）＜0，f（4）＞0，所以 f（x）=2x·ln（x–2） –3 在区间（3，4）上有一个零 点。
又因为 f（x）=2x·ln （x–2） –3 在 (2, ) 上是增 函数，所以 f（x） 在 (2, ) 上 有且仅有一个（3，4）上的零 点
尝试 学生动手 模仿练 习，老师 引导、启 发，师生 合作完成 问题求 解，从而 固化知识 与方法， 提升思维 能力。
（3）作出函数图象，因为
f（0）＜0，f（1）＞0，所以
【教学重点难】
1．零点概念及其与方程的关系； 2．对零点存在定理的深入理解及应用 3．准确理解零点存在定理，能针对具体的函数求出零点的大致区间
【教学过程】
教学环 教学内容 节
示例探 究引入 课题
师生互动
设计意图
师：引导学生利用图象观
察
考察几个一元二次方程及 其相应的二次函数的关系方程 x2－2x－3＝0 与函数 y＝x2－ 2x－3；方程 x2－2x＋1＝0 与 函数 y＝ x2－2x＋1 方程 x2－ 2x＋3＝0 与函数 y＝x2－2x＋
生：零点–1∈（–2，1） 殊到一
般，归纳
零点 3∈（1，4）
一般结
且 f （–2）·f （1）＜0 论，引入
f （1）·f （4）＜0
零点存在
师：说明其它函数的零点 性定理
也具有相同规律
零点存在性定理
师生合作分析，并剖析定
如果函数 y = f 理中的关键词
（x）在区间[a，b]上的
①连续不断
形成
图象是连续不断的一条
点明
f（x）的零点。<1>方程 与 x 轴有交点
函数和方
的根就是函数的图象与
函数 y＝f（x）有零点 程的联
x 轴交点的横坐标
系。
<2>注意强调零点是
一个数，而不是一个点
师：引导学生利用图象观
察零点的所在区间。
由特
探究函数 y＝x2－2x －3 的零点所在区间及 零点存在区间的端点函 数值的正负情况的关系
②f （a）·f （b）＜0 定理，分
曲线，并且有 f
师：由于图象连续不断， 析关键
（a）·f （b）＜0 那
若 f （a）＞0，f （b）＜ 词，了解
么，函数 y = f （x）在 0，则 y = f （x）的图象将从 定理。
区间[a，b]内有零点， x 轴上方变化到下方，这样必
即存在 c∈（a，b），使 通过 x 轴，即与 x 轴有交点
练 习巩固
f （3）＜0，这说明函数 f
（x）在区间（2，3）内有零
点。由于函数 f （x）在定义 域 (0, ) 内是增函数，所以它
仅有一个零点。
学生尝试动手练习，老师
借助计算机作图，师生合作交
流分析，求解问题。
练习 1 解：（1）作出函数
图象，因为 f （1） = 1＞0，f
（1，5 ） = –2．875＜0 所以
方程的根与函数的零点
【教学目标】
1．了解函数零点的概念，理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系； 2．正确零点存在性定理； 3．能利用函数图像的性质判断零点的个数；切实落实学生作图基本功的培养，渗透分类 讨论、及数形结合的思想。 4．能顺利地将一个方程求解的问题转化为函数零点的问题，写出与方程对应的函数，并 判断零点所在的区间。
师：1引导学生考察函数 f （x） = x 的图像以理解图象连
通过
续不断的要求，探究函数 y＝ 实例
x2－2x－3 的在区间
分
[－3，－2]， [－2，4]零 析，从而
点情况与端点函数值情况的关 进一步理
系深化理解定理。理解零点存 解 定理，
在性定理应当与函数的
练习 1．利用信息技 术作出函数的图象，并 指出下列函数零点所在 的大致区间：
（1）f （x） = –X³ –3x + 5；
（2）f （x） = 2x·ln（x –（2） – 3；
（3）f （x） =ex– 1 + 4x – 4；
（4）f （x） = 3 （x +（2） （x –（3） （x +（4） + x。
。
归纳总 结
1．数形结合探究函 数零点
2．应用定理探究零 点及存在区间。
3．定理应用的题 型：判定零点的存在性 及存在区间。
课后练 习
学生总结师生完善补充 学生自主完成
学会 整理知 识，培养 自我归纳 知识的能 力
深 化理解 （片段 内容）
应 用举例
得 f （c） = 0 这个 c 也
就是方程 f （x） = 0 的
根
定理的理解
（1）函数在区间
[a，b]上的图象连续不 断，又它在区间[a，b] 端点的函数值异号，则 函数在[a，b]上一定存 在零点
（2）函数值在区间 [a，b]上连续且存在零 点，则它在区间[a，b] 端点的函数值可能异号 也可能同号
（3）定理只能判定
零点的存在性，不能判
断零点的个数
师生合作探求解题思路，
老师板书解答过程
例 1 解：用计算器或计
算机作出 x，f （x）的对应值
表和图象。
师生
例 1 求函数 f （x） = lnx + 2x – 6 的零点的 个数。
合作交 流，体会 定理的应 用
由表和图可知，f （2）＜ 0，f （3）＞0，则 f （2）·
f （x） =ex–1 + 4x – 4 在区
间（0，1）上有一个零点
又因为 f（x） =ex–1 + 4x – 4 在 (, ) 上是增函数， 所以 f（x）在 (, ) 上有且 仅有一个零点。
（4）作出函数图象，因为 f （–4）＜0，f （–3）＞ 0，f （–2）＜0，f （2）＜ 0，f （3）＞0，所以 f （x） = 3 （x +（2） （x –（3） （x +（4） + x 在（–4，– 3），（–3， –2），（2，3）上 各有一个零点
由特 殊到一 般，归纳 一般结 论。
3，函数图象如左图，你能发
现什么？
引 入零点 概念
继 续探究 引入零 点存在 性定理 （片段 内容）
发 现定理 （片段 内容）
对于函数 y＝f
总结：方程 f（x）＝0 有
（x），我们把使 f（x） 实数根
＝0 的实数 x 叫函数 y＝
函数 y＝f（x）的图象