曲线运动万有引力与航天测试题4答案

山东青州一中2012届高三一轮物理复习（人教版）
第4章曲线运动万有引力与航天
(本卷满分100分，考试用时90分钟)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题至少有一个选项正确，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1．一个物体受到恒定的合力作用而做曲线运动，则下列说法正确的是
A．物体的速率可能不变
B．物体一定做匀变速曲线运动，且速率一定增大
C．物体可能做匀速圆周运动
D．物体受到的合力与速度的夹角一定越来越小，但总不可能为零
解析在恒定的合力作用下，物体做匀变速曲线运动，速度的大小、方向都改变，选项A错误；若力与速度的夹角为锐角，物体做加速运动，若力与速度的夹角为钝角，物体做减速运动，选项B错误；匀速圆周运动的合外力为变力，选项C错误，本题选项D正确．
答案 D
2．一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的x方向和y方向上的分运动速度随时间变化的规律如图1所示．关于物体的运动，下列说法正确的是
图1
A．物体做曲线运动
B．物体做直线运动
C．物体运动的初速度大小是50 m/s
D．物体运动的初速度大小是10 m/s
解析由v－t图象可以看出，物体在x方向做匀速直线运动，在y方向做匀变速直线运动，故物体做曲线运动，A正确，B错误；物体的初速度为v0＝v2x＋v2y＝302＋－402 m/s＝50 m/s，C正确，D错误．
答案AC
3．小船过河时，船头偏向上游与水流方向成α角，船相对静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸．现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是
A．增大α角，增大船速v
B．减小α角，增大船速v
C．减小α角，保持船速v不变
D ．增大α角，保持船速v 不变
解析 保持航线不变，且准时到达对岸，即船的合速度大小和方向均不变，由下图可知，当水流速度v 水增大时，α增大，v 也增大，故选A.
答案 A
4．(2011·上海市闸北调研)质量为2 kg 的质点在x －y 平面上做曲线运动，在x 方向的速度图象和y 方向的位移图象如图2所示，下列说法正确的是
图2
A ．质点的初速度为5 m/s
B ．质点所受的合外力为3 N
C ．质点初速度的方向与合外力方向垂直
D ．2 s 末质点速度大小为6 m/s
解析 由x 方向的速度图象可知，在x 方向的加速度为1.5 m/s 2
，受力F x ＝3 N ，由y 方向的位移图象可知在y 方向做匀速直线运动，速度为v y ＝4 m/s ，受力Fy ＝0.因此质点的初速度为5 m/s ，A 选项正确；受到的合外力为3 N ，B 选项正确；显然，质点初速度方向与合外力方向不垂直，C 选项错误；2 s 末质点速度应该为v ＝62
＋42
m/s ＝2 13 m/s ，D 选项错误． 答案 AB
5．如图3所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦转动，相互之间不打滑，其半径分别为r 1、r 2、r 3.若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为
图3
A.r 1ω1r 3
B.r 3ω1
r 1 C.
r 3ω1r 2 D.r 1ω1
r 2
解析 三轮边缘上的线速度大小相等，则有ω1r 1＝ω2r 2＝ω3r 3，可知A 正确． 答案 A
6．如图4所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O.现给球一初速度，使球和杆一起
绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力．则F
图4
A．一定是拉力
B．一定是推力
C．一定等于0
D．可能是拉力，可能是推力，也可能等于0
解析当球到达最高点的速度v＞gL时，F为拉力；当v＝gL时，F＝0；当v＜gL时，F为推力．故选D.
答案 D
7．一物体从一行星表面某高度处自由下落(不计阻力)．自开始下落计时，得到物体离行星表面高度h 随时间t变化的图象如图5所示，则根据题设条件可以计算出
图5
A．行星表面重力加速度的大小
B．行星的质量
C．物体落到行星表面时速度的大小
D．物体受到星球引力的大小
解析从题中图象看到，下落的高度和时间已知(初速度为0)，所以能够求出行星表面的加速度和落地的速度，因为物体的质量未知，不能求出物体受到行星引力的大小，因为行星的半径未知，不能求出行星的质量．
答案AC
8．(2009·安徽理综)2009年2月11日，俄罗斯的”宇宙－2251”卫星和美国的”
铱－33”卫星在西伯利亚上空约805 km处发生碰撞．这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件．碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境．假设有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是
A．甲的运行周期一定比乙的长
B．甲距地面的高度一定比乙的高
C．甲的向心力一定比乙的小
D ．甲的加速度一定比乙的大
解析 万有引力提供碎片做圆周运动的向心力，由GMm r 2＝m v
2
r
，得v ＝
GM
r
， 因为v 甲＞v 乙，所以r 甲＜r 乙，选项B 错误；由GMm r 2＝mr ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2
，得T ＝2π·
r
3
GM
，故T 甲＜T 乙，选项A 错误；由a ＝GM
r 2，得a 甲＞a 乙，故选项D 正确；甲、乙两碎片的质量不知，故甲、乙向心力的大小关
系无法判断，选项C 错误． 答案 D
9．如图6所示，从倾角为θ的斜面上的M 点水平抛出一个小球，小球的初速度为v 0，最后小球落在斜面上的
N 点，则(重力加速度为g)
图6
A ．可求M 、N 之间的距离
B ．可求小球落到N 点时速度的大小和方向
C ．可求小球到达N 点时的动能
D ．可以断定，当小球速度方向与斜面平行时，小球与斜面间的距离最大 解析 设小球从抛出到落到N 点经历t s ， 则有tan θ＝12gt 2v 0t ＝gt 2v 0，t ＝2v 0tan θ
g ，
因此可求出d MN ＝v 0t cos θ＝2v 2
0tan θ
gcos θ
，v N ＝gt 2
＋v 2
0，
方向：tan α＝gt
v 0，故A 、B 均正确．但因小球的质量未知，因此小球在N 点的动能不能求出，C 错误．当
小球速度方向与斜面平行时，小球在垂直斜面方向的速度为零，此时小球与斜面间的距离最大，D 正确． 答案 ABD
10．(2010·全国Ⅱ理综)已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍．若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为 A ．6小时 B ．12小时 C ．24小时 D ．36小时
解析 设地球或行星的半径为r ，根据万有引力提供向心力，对地球或行星的同步卫星有G
Mm
r ＋h 2
＝
m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2(r ＋h)，M ＝ρ43πr 3
，得T ＝
3πr ＋h 3
G ρr
3
，有T 1
T 2
＝
r 1＋h 13r 32ρ2
r 2＋h 23r 31
ρ1
，其中T 1＝24 h ，h 1＝6r 1，h 2＝2.5r 2，ρ1＝2ρ2，代入上式得T 2＝12 h.
答案 B
11． （2011山东）甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道。

以下判断正确的是 A.甲的周期大于乙的周期 B.乙的速度大于第一宇宙速度 C.甲的加速度小于乙的加速度 D.甲在运行时能经过北极的正上方 答案：AC
解析：万有引力提供向心力，由22
224T mr r v m ma r Mm G π===，可得向心加速度之比122
<=甲
乙乙甲r r a a ，C
正确；周期之比
133
>=
乙
甲
乙
甲r
r T T ，A 正确；甲、乙均为两颗地球卫星，运行速度都小于第一宇宙速度，B
错误；甲为地球同步卫星运行在赤道上方，D 错误。

12． （2011全国理综）卫星电话信号需要通地球同步卫星传送。

如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于（可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105
m/s ，运行周期约为27天，地球半径约为6400千米，无线电信号传播速度为3x108
m/s ）（B ） A.0.1s B.0.25s C.0.5s D.1s
解析：主要考查开普勒第三定律。

月球、地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根
据开普勒第三定律有21223321T T r r =解得321
2
212T T r r ⋅=，代入数据求得72102.4⨯=r m.
如图所示，发出信号至对方接收到信号所需最短时间为C
r R v s t 2
2
22+==，代入
数据求得t=0.28s.所以正确答案是B 。

13． （2011天津）质量为m 的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。

已知月球质量为M ，月球半径为R ，月球表面重力加速度为g ，引力常量为G ，不考虑月球自转的影响，则航天器的
A
．线速度v =
．角速度ω=
．运行周期2T =．向心加速度2GM a R =
【解析】：万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，代入相关公式即可 【答案】：AC
14． （2011浙江）为了探测X 星球，载着登陆舱的探测飞船在该星球中心为圆心，半径为r 1的圆轨道上运动，周期为T 1，总质量为m 1。

随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r 2 的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m 2则 A. X 星球的质量为2
1
124GT r M π=
B. X 星球表面的重力加速度为2
1
124T r g X π=
C. 登陆舱在1r 与2r 轨道上运动是的速度大小之比为
1
22
121r m r m v v =
D. 登陆舱在半径为2r 轨道上做圆周运动的周期为3
1
321
2r r T T =
解析：根据2
11121
12M ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=T
r m r m G
π
、2
2222222M ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=T r m r m G π，可得2
1124GT r M π=、313
212r r T T =，故A 、D 正确；登陆舱在半径为1r 的圆轨道上运动的向心加速度2
1
122
114T r r a πω=
=，此加速度与X 星球表面的重
力加速度并不相等，故C 错误；根据r v m r
m 2
2
GM =，得r GM
v =，则1
221r r v v =，故C 错误。

15． (2011广东).已知地球质量为M ，半径为R ，自转周期为T ，地球同步卫星质量为m ，引力常量为G 。

有关同步卫星，下列表述正确的是
A.
卫星距离地面的高度为
B.卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C.卫星运行时受到的向心力大小为2
Mm
G
R
D.卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
解析：根据)()2()(22H R T m H R Mm G +=+π，A 错，由H R v m H R Mm G +=+2
2
)
(，B 正确，由
mg H R Mm
G
=+2
)
(，C 错D 对。

选BD
二、计算题(本大题共4小题，共50分．要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位) 16．(12分)如图7所示，在距地面80 m 高的水平面上做匀加速直线运动的飞机上每隔1 s 依次放下a 、b 、c 三物体，抛出点a 、b 与b 、c 间距分别为45 m 和55 m ，分别落在水平地面上的A 、B 、C 处．求：
图7
(1)飞机飞行的加速度；
(2)刚放下b 物体时飞机的速度大小； (3)b 、c 两物体落地点BC 间距离．
解析 (1)飞机水平方向上，由a 经b 到c 做匀加速直线运动，由Δx ＝aT 2
得， a ＝Δx T 2＝x bc －x ab T
2
＝10 m/s 2. (2)因位置b 对应a 到c 过程的中间时刻，故有 v b ＝x ab ＋x bc
2T ＝50 m/s.
(3)设物体落地时间为t ， 由h ＝12
gt 2
得：t ＝
2h
g
＝4 s ， BC 间距离为：x BC ＝x bc ＋v c t －v b t. 又v c －v b ＝aT ，
得：x BC ＝x bc ＋aTt ＝95 m.
答案 (1)10 m/s 2
(2)50 m/s (3)95 m
17．(12分)如图8所示，竖直平面内的3/4圆弧形光滑轨道半径为R ，A 端与圆心O 等高，AD 为水平面，B 点为光滑轨道的最高点且在O 的正上方．一个小球在A 点正上方由静止释放，自由下落至A 点进入圆轨道并恰好能通过B 点，最后落到水平面C 点处．求：
图8
(1)小球通过轨道B 点的速度大小；
(2)释放点距A 点的竖直高度； (3)落点C 与A 点的水平距离．
解析 (1)小球恰能通过最高点B 时，mg ＝m v 2
B
R ①
解得v B ＝ gR
(2)设释放点到A 点高度为h ，则有 mg(h －R)＝12mv 2
B ②
联立①②解得：h ＝1.5R. (3)小球由B 到C 做平抛运动 R ＝12
gt 2
③ 水平位移x OC ＝v B t ④ 联立①③④解得：x OC ＝2R 所以落点C 与A 点的水平距离为： x AC ＝(2－1)R.
答案 (1)gR (2)1.5R (3)(2－1)R
18．(12分)如图9所示是利用传送带装运煤块的示意图．其中，传送带足够长，
倾角θ＝37°，煤块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.8，传送带的主动轮和从动轮半径相等，主动轮和从动轮半径相等，主动轮轴顶端与运煤车底板间的竖起高度H ＝1.8 m ，与运煤车车箱中心的水平距离x ＝1.2 m ．现在传送带底端由静止释放一些煤块(可视为质点)，煤块在传送带的作用下先做匀加速直线运动，后与传送带一起做匀速运动，到达主动轮时随轮一起匀速转动．要使煤块在轮的最高点水平抛出并落在车箱中心，
取g ＝10 m/s 2
，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
图9
(1)传送带匀速运动的速度v 及主动轮和从动轮的半径R ；
(2)煤块在传送带上由静止开始加速至与传送带速度相同所经过的时间t. 解析 (1)由平抛运动的公式，得 x ＝vt H ＝12gt 2
代入数据解得v ＝2 m/s
要使煤块在主动轮的最高点做平抛运动，则煤块到达轮的最高点时对轮的压力为零，由牛顿第二定律，得mg ＝m v 2
R
代入数据得R ＝0.4 m. (2)由牛顿第二定律F ＝ma 得
a ＝F m ＝μgcos θ－gsin θ＝0.4 m/s 2 由v ＝v 0＋at 得t ＝v
a ＝5 s.
答案 (1)2 m/s 0.4 m (2)5 s
19．(14分)月球自转一周的时间与月球绕地球运行一周的时间相等，都为T 0.我国的”嫦娥一号”探月卫星于2007年11月7日成功进入绕月运行的”极月圆轨道”，这一圆形轨道通过月球两极上空，距月面的高度为h.若月球质量为m 月，月球半径为R ，引力常量为G. (1)求”嫦娥一号”绕月运行的周期．
(2)在月球自转一周的过程中，”嫦娥一号”将绕月运行多少圈？
(3)”嫦娥一号”携带了一台CCD 摄像机(摄像机拍摄不受光照影响)，随着卫星的飞行，摄像机将对月球表面进行连续拍摄．要求在月球自转一周的时间内，将月面各处全部拍摄下来，摄像机拍摄时拍摄到的月球表面宽度至少是多少？
解析 (1)”嫦娥一号”轨道半径r ＝R ＋h ，由 G mm 月r 2＝m 4π2T
2r 可得”嫦娥一号”卫星绕月周期 T ＝2π
R ＋h 3
Gm 月
.
(2)在月球自转一周的过程中，”嫦娥一号”将绕月运行的圈数n ＝T 0T ＝T 0
2π
Gm 月R ＋h 3
.
(3)摄像机只要将月球的”赤道”拍摄全，便能将月面各处全部拍摄下来；卫星绕月球转一周可对月球”赤道”拍摄两次，所以摄像机拍摄时拍摄到的月球表面宽度至少为 s ＝2πR 2n ＝2π2
R T 0
R ＋h 3
Gm 月. 答案 (1)2π R ＋h 3
Gm 月
(2)
T 0
2π
Gm 月R ＋h 3
(3)2π2
R T 0
R ＋h 3
Gm 月
20．（2011安徽）（14分）
（1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a 的三次方与它的公转周期T
的二次方成正比，即3
2a k T
=，k 是一个对所有行星都相同的常量。

将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，
请你推导出太阳系中该常量k 的表达式。

已知引力常量为G ，太阳的质量为M 太。

（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。

经测定月地距离为3.84×108
m ，月球绕地球运动的周期为2.36×106
S ，试计算地球的质M 地。

（G=6.67×10-11
Nm 2
/kg 2
，结果保留一位有效数字）
解析：（1）因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a 即为轨道半径r 。

根据万有引力定律和牛顿第二定律有 2
2
2(
)m M G
m r r T
π=行太
行 ① 于是有 3224r G
M T π=
太
② 即 2
4G
k M π
=
太 ③ （2）在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R ，周期为T ，由②式可得
3224R G
M T π=
地
④ 解得 M 地=6×1024
kg ⑤ （M 地=5×1024
kg 也算对）。