高中数学第8章立体几何初步习题课课件新人教A版必修第二册

[解析] (1)证明：∵AD∥BC，BC＝2AD，E是BC的中点， ∴AD∥BE，AD＝BE， ∴四边形ABED是平行四边形， ∵∠BAD＝90°， ∴四边形ABED为矩形，∴DE⊥AD. ∵PA⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，∴PA⊥DE， 又AD∩PA＝A， ∴DE⊥平面PAD， 又DE⊂平面PDE， ∴平面PDE⊥平面PAD.
在图 1 中，利用勾股定理，得 EF＝ 62＋12－3－42＝ 61， 在△PEF 中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2， ∴PF⊥EF， 又∵BF∩EF＝F，BF⊂平面 ABED，EF⊂平面 ABED， ∴PF⊥平面 ABED. ∵PF⊂平面 PAB，∴平面 PAB⊥平面 ABED.
(2)当 Q 为 PA 的三等分点(靠近 P)时，FQ∥平面 PBE. 证明如下： ∵AQ＝23AP，AF＝23AB，∴FQ∥BP， 又∵FQ⊄平面 PBE，PB⊂平面 PBE， ∴FQ∥平面 PBE.
[解析] (1)证明：在△ABD中，∵AB＝AD，O为BD的中点， ∴AO⊥BD，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD， AO⊂平面ABD， ∴AO⊥平面CBD，CD⊂平面CBD，∴AO⊥CD. (2)过点E作EN∥AO交BD于N， 过点N作NM∥CD交BC于M， ∴AO⊥平面CBD，EN∥AO， ∴EN⊥平面CBD， 在△BCD中，∵OB＝OD＝OC＝1， ∴∠BCD＝90°，即DC⊥BC，
(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD. 理由如下： 如图，连接AC交BD于O. 因为四边形ABCD为矩形， 所以O为AC的中点． 连接OP，因为P为AM的中点， 所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD， 所以MC∥平面PBD.
[归纳提升] 探索性问题的一般解题方法 先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知 条件一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果 得到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论， 则说明不存在．
[证明] (1)如图，连接OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交 点，
所以O为AC的中点． 又E为PC的中点，所以OE∥PA. 因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE， 所以直线PA∥平面BDE.
(2)因为OE∥PA，PA⊥PD， 所以OE⊥PD. 因为OP＝OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC. 又PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD＝P， 所以OE⊥平面PCD. 因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD.
题型二
立体几何中的折叠问题
典例 2 如图 1 所示，在直角梯形 ABCD 中，∠ADC＝90°，AB
∥CD，AD＝CD＝12AB＝2，E 为 AC 的中点，将△ACD 沿 AC 折起，使 折起后的平面 ACD 与平面 ABC 垂直，得到如图 2 所示的几何体 D－ABC.
(1)求证：BC⊥平面ACD； (2) 点 F 在 棱 CD 上 ， 且 满 足 AD∥平面BEF，求几何体F－BCE 的体积．
对点练习❸ (2023·福建莆田一中期中 )如图，在四棱锥P－ ABCD中，PA⊥平面ABCD，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝ 90°，BC＝2AD，E为线段BC的中点．
(1)求证：平面PDE⊥平面PAD； (2)在线段PB上找一点F，使得EF∥平面PCD， 则满足题意的点F 是否存在？若存在，求出点F的位 置；若不存在，请说明理由； (3)若Q是PC的中点，AB＝1，PA＝2，BC＝2， 求三棱锥P－ABQ的体积．
(1)证明：PF⊥PE； (2)若AB＝2，求三棱锥B－PEF的体积．
[解析] (1)证明：因为四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC 的中点，所以BF⊥EF，
又平面PEF⊥平面ABFD，且平面PEF∩平面ABFD＝EF，BF⊂平面 ABFD ， 所 以 BF ⊥ 平 面 PEF ， 所 以 BF ⊥ PF. 又 因 为 BF ∥ AD ， 所 以 PF⊥AD.
课堂检测•固双基
1．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面 ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PA＝AD＝a.
(1)求证：MN∥平面PAD； (2)求证：MN⊥平面PCD.
[证明] (1)如图，取CD的中点E，连接NE，ME.
∵E，M，N分别是CD，AB，PC的中点， ∴NE∥PD，EM∥DA，NE∩EM＝E且NE，EM⊂平面NEM. ∴平面NEM∥平面PDA，∴MN∥平面PAD.
[归纳提升] (1)在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定 注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤， 如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已 知平面相交，这时才有直线与交线平行．
(2)对于有关两个平面垂直的证明，一般利用两个平面垂直的判定定 理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直，在应 用定理解决问题时，经常采取“线线垂直”⇒“线面垂直”⇒“面面垂 直”的转化思想进行推理．
[归纳提升] 平面图形翻折为空间图形问题的解题关键是看翻折前 后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中 没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的 空间图形的结构特征．
解决此类问题的步骤为：
对点练习❷ (2023·安徽阜阳期末)如图，四边形ABCD为正方 形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△CDF折起，使点C到 达点P 的位置，且平面PEF⊥平面ABFD.
第八章 立体几何初步
习题课 平行与垂直的综合问题
关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
关键能力•攻重难
题|型|探|究
题型一
平行和垂直关系的证明
典例 1 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边 形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP＝OC，PA⊥PD.
求证：(1)直线PA∥平面BDE； (2)平面BDE⊥平面PCD.
∴NM∥CD，∴NM⊥BC，
∴二面角 E－BC－D 的平面角是∠EMN＝45°，
即△EMN 是等腰直角三角形，
∴DE＝2AE，∴ND＝2ON，
∴MN＝23CD＝23＝EN，∴EN＝ND＝23， ∴AO＝OD＝1，
∴VA－BCD＝13S△BCD·AO＝13×12×1×
3×1＝
3 6.
3．矩形 ABCD 中，AB＝12，AD＝6，E、F 分别为 CD，AB 边上的 点，且 DE＝3，BF＝4，将△BCE 沿 BE 折起至△PBE 位置(如图所示)， 连接 AP、PF，其中 PF＝2 5.
[解析] (1)证明：∵AC＝ AD2＋CD2＝2 2， ∠BAC＝∠ACD＝45°，AB＝4， ∴在△ABC 中，BC2＝AC2＋AB2－2AC×AB×cos 45°＝8， ∴AB2＝AC2＋BC2＝16， ∴AC⊥BC. ∵平面 ACD⊥平面 ABC， 平面 ACD∩平面 ABC＝AC，BC⊂平面 ABC， ∴BC⊥平面 ACD.
又PF⊥PD，AD∩PD＝D， 所以PF⊥平面ADP， 又PE⊂平面ADP， 所以PF⊥PE.
(2)过点 P 作 PQ⊥EF，垂足为 Q，易证 PQ⊥平面 ABFD.
因为 AB＝2，所以 EF＝2，PF＝1，PE＝ 3，
所以 PQ＝ 23，
故
VB－PEF＝VP－BEF＝13·S△BEF·PQ＝13×12×2×1×
∴MN⊥PC.又 CD∩PC＝C，∴MN⊥平面 PCD.
2．(2021·全国Ⅰ卷)＝AD，O为BD的中点．
(1)证明：OA⊥CD； (2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA， 且二面角E－BC－D的大小为45°，求三棱锥A－BCD的体积．
对点练习❶ 如图，△ACD 为等腰三角形，且 AC＝AD，DE ⊥平面 ACD，DE∥AB，AB＝12DE，点 G 为 CE 的中点．求证：
(1)BG∥平面ACD； (2)平面BCG⊥平面GDE.
[证明] (1)取 CD 的中点 F，连接 GF，AF 又因为点 G 为 CE 的中点，所以 GF 为△ECD 的中位线，所以 FG∥ DE，FG＝12DE， 因为 AB∥DE，所以 FG∥AB, 因为 AB＝12DE，所以 FG＝AB， 所以四边形 GFAB 为平行四边形， 所以 AF∥BG, 因为 BG⊄平面 ACD，AF⊂平面 ACD， 所以 BG∥平面 ACD.
(2)因为△ACD为等腰三角形，且AC＝AD，又点F为CD的中点，所以 AF⊥CD,
因为DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，所以DE⊥AF, 因为CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面CDE，所以AF⊥平面CDE, 由(1)知AF∥BG，所以BG⊥平面CDE， 因为BG⊂平面BCG， 所以平面BCG⊥平面CDE， 又平面CDE即是平面GDE， 所以平面BCG⊥平面GDE.
(2)取PB的中点F，连接EF. 在△BCP中，E，F分别为BC，BP的中点， ∴EF∥CP，又CP⊂平面PCD，EF⊄平面PCD， ∴EF∥平面PCD， ∴当F为PB的中点时，EF∥平面PCD.
(3)连接 QF，∵Q 是 PC 的中点， ∴FQ∥BC，FQ＝12BC＝1. ∵PA⊥平面 ABCD，BC⊂平面 ABCD， ∴PA⊥BC， 又 AB⊥BC，PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面 PAB， ∴FQ⊥平面 PAB， 故 VP－ABQ＝VQ－PAB＝13×12×AB×PA×FQ＝16×1×2×1＝13.
(2)∵PA⊥平面 ABCD，∴CD⊥PA.
∵底面 ABCD 是矩形，CD⊥AD，
又 PA∩AD＝A，∴CD⊥平面 PAD，∴CD⊥PD.
∵EN∥PD，∴EN⊥CD，
又∵CD⊥EM，EM∩EN＝E，
∴CD⊥平面 ENM，∴MN⊥CD.
∵PM＝ PA2＋AM2＝
a2＋12AB2＝
BC2＋MB2＝MC，N 是 PC 的中点，
23＝
3 6.
题型三
立体几何中的探索性问题
典例 3
︵ 如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，
M 是C︵D上异于 C，D 的点．
(1)证明：平面 AMD⊥平面 BMC； (2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC∥平面 PBD？说明理由．
[解析] (1)证明：由题设知， 平面 CMD⊥平面 ABCD，交线为 CD.因为 BC⊥CD，BC⊂平面 ABCD， 所以 BC⊥平面 CMD， 又 DM⊂平面 CMD，所以 BC⊥DM. 因为 M 为C︵D上异于 C，D 的点， 且 DC 为直径，所以 DM⊥CM. 又 BC∩CM＝C，所以 DM⊥平面 BMC. 因为 DM⊂平面 AMD，所以平面 AMD⊥平面 BMC.
(2)∵AD∥平面 BEF，AD⊂平面 ACD，平面 ACD∩平面 BEF＝EF， ∴AD∥EF，
∵E 为 AC 的中点， ∴EF 为△ACD 的中位线． 由(1)知，几何体 F－BCE 的体积 VF－BCE＝VB－CEF＝13×S△CEF×BC， ∵S△CEF＝14S△ACD＝14×12×2×2＝12， ∴VF－BCE＝13×12×2 2＝ 32.
(1)求证：平面 PAB⊥平面 ABED； (2)在线段 PA 上是否存在点 Q 使得 FQ∥平面 PBE？若存在，求出点 Q 的位置，若不存在，请说明理由．
[解析] (1)证明：连接 EF，
由翻折不变性可知，PB＝BC＝6，PE＝CE＝9，又 PF＝2 5， 在△PBF 中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2， 所以 PF⊥BF，