文科椭圆练习册

2.1.1椭圆及其标准方程
1．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6
＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >3
B ．a <－2
C ．a >3或a <－2
D ．a >3或－6<a <－2
2．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P ⎝⎛⎭⎫35，－4和Q ⎝⎛⎭
⎫－45，3，则此椭圆的方程是( ) A.y 225＋x 2＝1 B.x 225
＋y 2＝1 C.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225
＝1 D ．以上都不对 3．设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1
＝1(m >1)上一点P 到其左、右焦点的距离分别为3和1，则m 等于( ) A ．6 B ．3 C ．2 D ．4
4．设P 是椭圆x 216＋y 212
＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( ) A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )
A.x 212＋y 29＝1
B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212
＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248
＝1 6．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________________．
7．已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，则椭圆的标准方程是________．
8．已知椭圆x 225＋y 29
＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是线段MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是________．
9．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；
(2)c ∶a ＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
10．已知椭圆M 与椭圆N ：x 216＋y 212＝1有相同的焦点，且椭圆M 过点⎝
⎛⎭⎫－1，255.
(1)求椭圆M 的标准方程；
(2)设椭圆M 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆M 上，且△PF 1F 2的面积为1，求点P 的坐标．
11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．线段 D ．直线
12．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k
＝1(0<k <9)的关系是( ) A ．有相等的焦距，相同的焦点 B ．有相等的焦距，不同的焦点
C ．有不等的焦距，不同的焦点
D ．以上都不对
13．已知椭圆x 2100＋y 264
＝1的左焦点为F ，一动直线与椭圆交于M ，N 两点，则△FMN 的周长的最大值为( ) A ．16 B ．20 C ．32 D ．40
14．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.
15．已知△ABC 的顶点A (－2,0)和B (2,0)，顶点C 在椭圆x 216＋y 212＝1上，则sin A ＋sin B sin C
＝________. 16.如图所示，已知动圆P 过定点A (－3，0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．
2.1.2椭圆的简单几何性质
1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24
＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.22 D.223
2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29
＝1的短轴长相等，则( )
A ．a 2＝25，b 2＝16
B ．a 2＝9，b 2＝25
C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25
D ．a 2＝25，b 2＝9
3．椭圆x 24
＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|为( )A.32 B. 3 C.72
D ．4 4．焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )
A.x 24＋y 23
＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D ．x 2＋y 2
4
＝1 5．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14
，则该椭圆的离心率为( )A.13 B.12 C.23 D.34
6．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C 的标准方程为________________．
7．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32
，则长轴长的取值范围是________． 8．短轴长为25，离心率e ＝23
的椭圆的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为________．
9．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝
32
，求实数m 的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．
10．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216
＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，求|PM →|的最小
值．
11．已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )
A ．3个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
12．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率e 的取值范围是( )
A.⎣⎡⎭⎫22，1
B.⎝⎛⎭⎫0，22
C.⎣⎡⎭⎫12，1
D.⎣⎡⎭
⎫12，22 13．若椭圆的两焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，且△PF 1F 2的最大面积是12，则椭圆的短半轴长为________．
14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若∠BAO ＋∠BFO ＝90°，则椭圆的离心率是________．
15．椭圆x 25a ＋y 24a 2＋1
＝1的焦点在x 轴上，则它的离心率e 的取值范围是________． 16．设F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c
上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，求椭圆离心率的取值范围．
2.1.3椭圆几何性质的应用
1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24
＝1的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定
2．过椭圆x 225＋y 29
＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为( ) A ．5 B ．6 C.9017
D ．7 3．已知AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中心的弦，F (c ,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值为( ) A ．b 2 B ．ab C ．ac D ．bc
4．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22
，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为( ) A.22 B ．±22 C.12 D ．±12
5．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22
＝1所截得线段的中点的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫23，53
B.⎝⎛⎭⎫43，73
C.⎝⎛⎭⎫－23，13
D.⎝⎛⎭⎫－132，－172 6．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1，F 2分别作x 轴的垂线，交椭圆的四点构成一个正方形，则椭圆的离心率e ＝________.
7．椭圆x 23
＋y 2＝1被直线x －y ＋1＝0所截得的弦长|AB |＝________. 8．若过椭圆x 216＋y 24
＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________． 9．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22
＋y 2＝1相交于A ，B 两点． (1)求实数b 的取值范围；
(2)当b ＝1时，求|AB |.
10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为45
的直线被C 所截线段的中点坐标．
11．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标
为(1，－1)，则E 的方程为( )
A.x 245＋y 236
＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29
＝1 12．已知椭圆C ：x 22
＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|等于( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．3
13．过椭圆x 25＋y 24
＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．
14．若椭圆mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )与直线x ＋y －1＝0交于A ，B 两点，且n m ＝2，则原点与线段AB 的中点M 的连线的斜率为________．
15．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆的动点，A (1,1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．
16．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →.
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)如果|AB |＝
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，求椭圆C 的标准方程．。