江苏省2014届高考数学一轮复习 试题选编26 二项式定理 苏教版

江苏省2014届一轮复习数学试题选编26：二项式定理（教师版）
填空题
1 ．二项式5()x y +的展开式中,含23
x y 的项的系数是_________.(用数字作答)
【答案】 答案 10 解析T r +1=C r 5x 5-r y
r
(r =0,1,2,3,4,5),由题意知⎩⎪⎨
⎪⎧
5－r ＝2
r ＝3
,∴含x 2y 3的系数为C 35=5×4×3
3×2×1
=10.
2 ． (
6
的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答) 【答案】-160
【解析】(
6的展开式项公式是663166C (C 2(1)r r r r r
r r r T x ---+==-.由题意知30,3r r -==,所以二项展开式中的常数项为333
46C 2(1)160T =-=-.
3 ．(2012年高考(上海文))在6
)1(x
x -的二项展开式中,常数项等于 _________ .
【答案】 [解析] 展开式通项r r r r r r r r x C x x C T 266661)1()1(---+-=-=,令6-2r =0,得r =3, 故常数项为203
6-=-C .
4 ．(2013上海高考数学(文))设常数a ∈R .若5
2a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的二项展开式中7
x 项的系数为-10,则
a =_______.
【答案】 2- 解:2515()(),2(5)71r r
r r a
T C x r r r x
-+=--=⇒=, 故1
5102C a a =-⇒=-.
5 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））若
122321
1333385n n n n n n n C C C C ---++++=,则n=_________________
【答案】4 6 ．若2013
220130122013(21)
x a a x a x a x -=++++,则2013
12
022013
22
2
a a a a +
+++
=________. 【答案】 0 提示:在2013
220130122013(21)
x a a x a x a x -=++++中,令
2013
1202
2013
1
02222a a a x a =
⇒=++++
7 ．(2012年高考(陕西理))5
()a x +展开式中2
x 的系数为10, 则实数a 的值为__________.
【答案】解析:5()a x +展开式中第k 项为55
5k
k k k T C a x ,令2k ,2x 的系数为23
510C a ,解得
1a .
8 ．(2013上海高考数学(理))设常数a R ∈,若5
2a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的二项展开式中7
x 项的系数为10-,则
______a =
【答案】 解:2515()
(),2(5)71r
r
r r a T C x r r r x
-+=--=⇒=,故1
5
102C a a =-⇒=-. 9 ．若52345
012345(21),x a a x a x a x a x a x -=+++++则012345a a a a a a +++++=___.
【答案】 1 10． 8
1()2x x
+
的展开式中2x 的系数为____. 【答案】 答案7
【命题意图】本试题主要考查了二项式定理展开式通项公式的运用.利用二项式系数相等,确定了n 的值,然后进一步借助通项公式,得到项的系数.
【解析】根据已知条件可得81()2x x +展开式的通项公式为88218811
()()22
r r r r r r r T C x C x x --+==,令8223r r -=⇒=,故所求2x 的系数为3381
()72
C =.
11．(2012年高考(大纲理))若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中21
x
的
系数为___________.
【答案】答案56
【解析】根据已知条件可知26
268n n C C n =⇔=+=,
所以8
1()x x
+的展开式的通项为818r r r T C x -+=,令8225r r -=-⇔= 所以所求系数为5
856C =.
12．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是
由整数的倒数组成的，第n 行有n 个
数且两端的数均为
1
(2)n n
≥，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：111111111,,1222363412
=+=+=+…，则第(3)n n ≥行第3个数字是 ▲ ．
【答案】答：
2
(1)(2)
n n n ⨯-⨯-，
13．(2010年上海春季高考数学试题详细解答、评分标准与简析)在6
212x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的二项展开式中,常数项是
___________.
【答案】【解】60.由通项公式()
662612316
6C 2
C 2r
r r
r r r r
r T x x x
-----+==,令1230r -=,所以4r =. 所以常数项是42
56C 260T =⋅=.
14．(2013浙江高考数学(理))设二项式5
3)1(x
x -
的展开式中常数项为A ,则=A ________. 【答案】 10- 解:由151
5323
2
155()(1)
r r r
r
r
r
r
r T C x x
C x ---
-+=-=-,由已知得
到:
50323
r r r --=∴=,所以33
5(1)10A C =-=-,所以填-10; 15．(宁夏银川一中
2012
届高三数学第三次模拟考试+理(98))若
52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++,则123452345a a a a a ++++等于_________.
【答案】 10
解答题
16．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知数列{}n a 是等差数列,且123,,a a a 是
1
(1)2
m x +展开式的前三项的系数.
(Ⅰ)求1(1)2
m
x +
展开式的中间项; (Ⅱ)当2n ≥时,试比较212
1111n n n n a a a a ++++++
与1
3
的大小.
【答案】解:(Ⅰ)122111(1)1()()222
m m m x C x C x +
=+++依题意11a =,212a m =
,3(1)
8
m m a -=,由2132a a a =+可得1m =(舍去),或8m = 所以1(1)2m x +
展开式的中间项是第五项为:44458135
()28
T C x x ==; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,32n a n =-, 当2n =时,
212
234111
111111169147101403
n n n n a a a a a a a ++++++
=++=++=>
当3n =时,
212
345
9
11111111n n n n a a a a a a a a ++++++
=++++
11111117101316192225=
++++++1111111()()7101316192225
=++++++ 1111111()()8161616323232>++++++133131181632816163
=++>++> 猜测:当2n ≥时,
212
111
1n n n n a a a a ++++++
13
> 以下用数学归纳法加以证明: ①3n =时,结论成立, ②设当n k =时,
212
111113
k k k k a a a a ++++++
>, 则1n k =+时,
2
(1)
(1)1
(1)2
(1)1111k k k k a a a a +++++++
+
++
21)(1)1(1)2
11111(
)k k k k k a a a a a +++++=+++++
222
12
(1)1111
()k
k k k a a a a +++++++
-
222
12
(1)11111()3k k k k a a a a +++>++++
-
21(21)133(1)232
k k k +>+-+-- 221(21)(32)[3(1)2]3[3(1)2][32]k k k k k +--+-=++--221373
3[3(1)2][32]
k k k k --=++-- 由3k ≥可知,23730k k --> 即
2
(1)
(1)1
(1)2
(1)11111
3
k k k k a a a a +++++++
+
++
> 综合①②可得,当2n ≥时,
212
111113
n n n n a a a a ++++++
> 17．（江苏省徐州市
2013
届高三考前模拟数学试题）已知2*012(1)(1)(1)(1)()n n n x a a x a x a x n =---∈++++
+N .
⑴求0a 及1n
n i i S a ==∑;
⑵试比较n S 与2(2)22n n n -+的大小,并说明理由.
【答案】⑴令1x =,则02n
a =,令2x =,则0
3n
n
i i a ==∑,所以1
32n
n n n i i S a ===-∑
⑵要比较n S 与2(2)22n n n -+的大小,只要比较3n 与2(1)22n n n -+的大小. 当1n =时,23(1)22n n n n >-+;当2n =或3时,23(1)22n n n n <-+,
当4n =或5时,23(1)22n n n n >-+,
猜想:当4n ≥时,23(1)22n n n n >-+.下面用数学归纳法证明: ①由上述过程可知,当4n =时,结论成立
②假设当*(4,)n k k k =∈N ≥时结论成立,即23(1)22k k k k >-+,
两边同乘以3,得1212233[(1)22]22(1)[(3)2442]k k k k k k k k k k k >-=---+++++++, 而22(3)2442(3)24(2)6k k k k k k k k ---=---+++
(3)24(2)(1)60k k k k =-->+++,
所以1123[(1)1]22(1)k k k k >-+++++, 即1n k =+时结论也成立.
由①②可知,当4n ≥时,23(1)22n n n n >-+成立
综上所述,当1n =时,23(1)22n n n n >-+;当2n =或3时,23(1)22n n n n <-+; 当4n ≥时,23(1)22n n n n >-+
18．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）【必做题】本小题10分.解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤.
已知函数021*********
()C C C C (1)C (1)n n n r r n r
n n n n n n n n f x x x x x x
------=-+-+-++-,n *∈N . ⑴当2n ≥时,求函数()f x 的极大值和极小值;
⑵是否存在等差数列{}n a ,使得01
121C C C (2)n
n n n n a a a nf +++
+=对一切n *∈N 都成立?并说明理由.
【答案】(1)101122()[C C C C (1)(1)C ]n n n n r r n r n n n n n n n f x x x x x x ----=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+- =1
(1)n n x
x --, 211()(1)(1)(1)n n n n f x n x x x n x ---'=--+⋅-=21(1)[(1)(1)]n n x x n x nx -----+,
令()0f x '=得1231
0,,121
n x x x n -==
=-, 因为2n ≥,所以123x x x << 当n 为偶数时()f x 的增减性如下表:
x
(,0)-∞
1
(0,
)21n n -- 121n n --
1
(
,1)21n n -- 1
(1,)+∞
()f x '
+
+
-
+
()f x
无极值
极大值
极小值
所以当1
21
n x n -=-时,121
(1)()(21)n n n n n y n ---⋅--极大;当1x =时,0y =极小 当n 为奇数时()f x 的增减性如下表:
所以0x =时,0y =极大;当1
21
n x n -=-时,121
(1)()(21)n n n n n y n ---⋅-=-极小 (2)假设存在等差数列{}n a 使0121
1231C C C C 2
n n n n n n n a a a a n -++++⋅⋅⋅+=⋅成立, 由组合数的性质C C m n m n n
-=, 把等式变为0121111C C C C 2
n n n n n n n n n a a a a n -+-+++⋅⋅⋅+=⋅, 两式相加,因为{}n a 是等差数列,所以1123111n n n n a a a a a a a a +-++=+=+=
=+,
故0111()(C C C )2n
n n n n n a a n ++++
+=⋅,
所以11n a a n ++=
再分别令12n n ==，,得121a a +=且132a a +=,
进一步可得满足题设的等差数列{}n a 的通项公式为1()n a n n *=-∈N
19．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）已知n x x f )2()(+=, 其中*N n ∈.
(1)若展开式中含3
x 项的系数为14, 求n 的值;
(2)当3=x 时, 求证:)(x f
*
)s N ∈的形式.
【答案】解: (1)因为
2
88
12
r r
r r x
C T -+=,所以6=r ,故3x 项的系数为14266=⋅-n n C ,解得7=n
x (,0)-∞ 0 1
(0,
)21n n -- 1
21
n n -- 1
(
,1)21n n -- 1
(1,)+∞ ()f x '
+
-
+
+
()f x
极大值
极小值
无极值
(2)由二项式定理可知,()
()()
()0
1
2
011
22
(23)2
32
3232
3n
n
n
n n n n
n
n
n
C C C C --+=++++,
设
22
(23)33n x y x y +=+=+,而若有
(23)n
a b +=+,,a b N *∈, 则
(23)n
a b -=-,,a b N *∈ ∵
()()(23)(23)1n n a b a b +⋅-=+⋅-=, ∴令,a s s N *
=∈,则必有1b s =-
∴(23)n +必可表示成1s s +-的形式,其中s N *∈
注:用数学归纳法证明的,证明正确的也给相应的分数.
20．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））已知1()()n
k
f x x x =+,且正整数
n 满足26
,{0,1,2,
}.n n C C A n ==
(1)求n;
(2)若,,i j A ∈是否存在,,.,i j
n n j i j C C j ≥≤当时恒成立若存在求出最小的,若不存在,试说明理由:
(3),()6,k A f x ∈若的展开式有且只有个无理项求k. 【答案】。