空间向量及其运算 高中数学例题课后习题详解

第一章
空间向量与立体几何1.1
空间向量及其运算1.1．1空间向量及其线性运算
例1如图1.1-9，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，使
OE OF OG OH k OA OB OC OD
====．求证：E ，F ，G ，H 四点共面．
图1.
1-9分析：欲证E ，F ，G ，H 四点共面，只需证明EH ，EF ，EG uuu r 共面．而由已知AD ，AB ，
AC 共面，可以利用向量运算由AD ，AB ，AC
共面的表达式推得EH ，EF ，EG uuu r 共面的表达式．证明：因为OE OF OG OH k OA OB OC OD
====．所以OE kOA = ，OF kOB = ，OG kOC = ，OH kOD = ．
因为四边形ABCD 是平行四边形，所以
AC AB AD =+ ．
因此EG OG OE kOC kOA k AC =-=-=
()()
k AB AD k OB OA OD OA =+=-+- OF OE OH OE EF EH
=-+-=+ 由向量共面的充要条件可知，EH ，EF ，EG uuu r 共面，又EH ，EF ，EG uuu r 过同一点E ，从
而E ，F ，G ，H 四点共面．
练习
1.举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例．
【答案】实例见解析；
【解析】
【分析】在空间几何体中，从一点出发的不同面的向量即可.
【详解】在三棱锥P ABC -中，PA →，PB →，PC →
不同在一个平面内；
长方体ABCD A B C D ''''-中，从一个顶点A 引出的三个向量AB →，AD →，AA →'不同在一个平面内.
2.如图，E ，F 分别是长方体ABCD A B C D ''''-的棱AB ，CD 的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：
（1）AA CB '- ；（2）AA AB BC '++ ；
（3）AB AD B D ''-+ ；（4）AB CF + ．
【答案】（1）AD ' ；（2）AC ' ；（3）0 ；（4）A E
【解析】
【分析】根据空间向量加减运算的运算法则计算即可.
【详解】（1）AA CB AA BC AA A D AD ''''''-=+=+= ；
（2）AA AB B C AA A B B C AC '''''''++=++''= ；
（3）0AB AD B D AB AD BD DB BD -+=-+=+''= ；
（4）AB CF AB BE AE +=+= .
3.在图中，用AB ，AD ，AA ' 表示A C ' ，BD ' 及DB ' ．
【答案】A C AB AD AA =+'-' ；BD AA AD AB ''-=+ ；DB AA AB AD ''=+- .
【解析】
【分析】根据空间向量的加减运算法则可转化.
【详解】()A C A A AC AA AB AD AB AD AA =+=-''++=-''+ ，
()()BD BD DD BA BC DD AB AD AA AA AD AB =+=++=-++=+-''''' ，()()DB DB BB DA DC BB AD AB AA AA AB AD =+=++=-++''''=-'+ .4.如图，已知四面体ABCD ，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量；
（1）AB BC CD ++ ；
（2）()
12AB BD BC ++ ；（3）()
12AF AB AC -+ ．【答案】（1）AD ；（2）AF ；（3）EF
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算法则计算即可.
【详解】（1）AB BC CD AC CD AD ++=+= ；
（2）()12AB BD BC AB BF AF ++=+= ；（3）()
12AF AB AC AF AE EF -+=-= .
5.如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-，E ，F 分别是上底面A C ''和侧面CD '的中心，求下列各式中x ，y 的值：
（1）AC x AB BC CC →→→→⎛⎫''=++ ⎪⎝⎭
（2）AE AA x AB y AD
→→→→'=++（3）AF AD x AB y AA →→→→'
=++【答案】（1）1x =；（2）12x y ==
；（3）12
x y ==.【解析】
【分析】（1）化简+AC AB AD AA →→→→''=+即得解；
（2）化简1()2
AE AA AC →→→''=+即得解；（3）化简1122AF AD AC →→→
'=+即得解.【详解】（1）+AC AB AD AA AB BC CC →→→→→→→
'''=+=++，所以1x =；
（2）
1111111()()2222222AE AA AC AA AC AA AA AB AD AA AB AD →
→→→→→→→→→→→'''''''=+=+=+++=++，所以12
x y ==
；（3）
111111()222222AF AD AC AD AB AA AD AD AB AA →
→→→→→→→→→'''=+=+++=++,所以12
x y ==.1.1.2空间向量的数量积运算
例2如图1.1-12，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，5AB =，3AD =，7AA '=，60BAD ∠=︒，45BAA DAA ''∠-∠=︒．求：
图1.1-12
（1）AB AD ⋅ ；
（2）AC '的长（精确到0.1）．
解：（1）||||cos ,AB AD AB AD AB AD ⋅=〈〉
，53cos 607.5=⨯⨯︒=；
（2）()2
2AC AB AD AA ''=++ ()
222||||2AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅ ()
222537253cos 6057cos 4537cos 45=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒98=+
，
所以13.3AC '≈．
例3如图1.1-13，m ，n 是平面α内的两条相交直线．如果l m ⊥，l n ⊥，求证：l α⊥．
图1.
1-13分析：要证明l α⊥，就是要证明l 垂直于α内的任意一条直线g （直线与平面垂直的定义）．如果我们能在g 和m ，n 之间建立某种联系，并由l m ⊥，l n ⊥，得到l g ⊥，那么就能解决此问题．
证明：在平面α内作任意一条直线g ，分别在直线l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，n ，g ．
因为直线m 与n 相交，所以向量m ，n 不平行．由向量共面的充要条件可知，存在唯一的
有序实数对(,)x y ，使
g xm yn =+u r u r r ．
将上式两边分别与向量l
作数量积运算，得l g xl m yl n ⋅=⋅+⋅ ．
因为0l m ⋅=r u r ，0l n ⋅=r r （为什么？），所以0l g ⋅=r u r
．
所以l g ⊥．
这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以l α⊥．练习
6.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB =，则1AB 与1BC 所成角的大小为（）
A.60︒
B.90︒
C.105︒
D.75︒
【答案】B
【解析】【分析】取向量1,,BA BC BB 为空间向量的一组基底向量，表示出1AB 与1 BC ，再借
助空间向量运算即可计算作答.
【详解】在正三棱柱111ABC A B C -中，向量1,,BA BC BB 不共面，11AB BB BA =- ，
11BC BC BB =+ ，
令1||BB a = ，则||||BA BC == ，而1BB BA ⊥ ，1BC BB ⊥ ，
于是得
11112111
()()AB BC BB BA BC BB BB BC BB BA BC BA BB ⋅=-⋅+=⋅+-⋅-⋅ 2cos 600a =-=
，
因此，11AB BC ⊥ ，
所以1AB 与1BC 所成角的大小为90︒.
故选：B
7.如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，设AB a = ，AD b = ，AA c '= ，求：
（1）()a b c ⋅+ ；（2）()a a b c ⋅++ ；（3）()()
a b b c ⋅++ ．【答案】（1）0；（2）1；（3）1
【解析】
【分析】在正方体中，根据线线关系，结合空间向量运算法则对每个小题进行运算即可.
【详解】（1）在正方体中，AB AA ⊥'，AB AD
⊥故()0
a b c a b a c →→→→→→→
⋅+=⋅+⋅=（2）由（1）知，()()1
a a
b
c a a a b c →→→→→→→→→⋅++=⋅+⋅+=（3）由（1）及AD AA '⊥知，2()()()1
a b b c a b c b b c →→→→→→→→→→++=⋅+++⋅=8.如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=，90BAD ∠=︒，BAA '∠=60DAA '∠=︒．求：
（1）AA AB '⋅ ；（2）AB '的长；（3）AC '的长．
【答案】（1）10；（261；（385
【解析】
【分析】（1）根据数量积的定义即可计算；
（2）由AB AA A B ''''=+ 平方即可求解；
（3）由A AB AD A C A =+'+'
即可求解.【详解】（1）1cos 6054102AA AB AA AB ''⋅=⋅⋅=⨯⨯= ；（2）AB AA A B ''''=+ ，
()()222222252101661AB AA A B AA AB AA AA AB AB '''''''∴=+=+=+⋅+=+⨯+= ，61AB '= AB '61；
（3） AC AC CC AB AD AA '''=+=++ ，
()()
222222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''''∴=++=+++⋅+⋅+⋅ 11169252054358522⎛⎫=++++⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝
⎭，85AC '∴= AC '85.
9.如图，线段AB ，BD 在平面α内，BD AB ⊥，AC α⊥，且AB a =，BD b =，AC c =．求C ，D 两点间的距离．
222
a b c ++【解析】
【分析】连接AD ，可得222AD a b =+，根据AC AD ⊥可求.
【详解】连接AD ，BD AB ⊥ ，22222AD AB BD a b ∴=+=+，
AC α⊥，AD α⊂，AC AD ∴⊥，
222222CD AD AC a b c ∴=+=++，222CD a b c ∴=++即C ，D 222a b c ++.
习题1.1
复习巩固
10.如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，E 、F 分别为棱AA '、AB 的中点．
（1）写出与向量BC 相等的向量；
（2）写出与向量BC 相反的向量；
（3）写出与向量EF 平行的向量．
【答案】（1）,,AD A D B C '''' ；（2）,,,DA CB C B D A '''' ；（3）,,,,D C CD A B BA FE
'''' 【解析】
【分析】（1）由相等向量的定义可判断；
（2）由相反向量的定义可判断；
（3）由平行向量的定义可判断.
【详解】（1）由相等向量的定义知，大小相等，方向相同的两个向量为相等向量，
所以与向量BC 相等的向量为,,AD A D B C '''' ；
（2）由相反向量的定义知，大小相等，方向相反的两个向量为相反向量，
所以与向量BC 相反的向量为,,,DA CB C B D A '''' ；
（3）由平行向量的定义知，方向相同或相反的两个向量为平行向量，
所以与向量EF 平行的向量为,,,,D C CD A B BA FE '''' .
11.如图，已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：
（1）AB BC + ；（2）AB AD AA '++ ；
（3）12
AB AD CC '++ ；（4）()13AB AD AA '++ ．【答案】（1）AC →，向量如图所示；（2）AC →'，向量如图所示；（3）AE →
，向量如图
所示；（4）AF →，向量如图所示；
【解析】
【分析】根据平行六面体基本性质及空间向量基本运算化简每个小题即可.
【详解】（1）AB BC AC →→→+=，向量如图所示；
（2）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，有AD BC →→=，AA CC →→''=，
故AB AD AA AB BC CC AC →→→→→→→'''++=++=，向量如图所示；
（3）由AD BC →→=知，取CC '的中点为E ，
12
AB AD CC AB BC CE AE →→
→→→→→'++=++=，向量如图所示；（4）由（2）知，取AC '的三等分点F 点，1()3
AB AD AA AF →→→→'++=，向量如图所示；
12.证明：如果向量a ，b 共线，那么向量2a b + 与a
共线．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由向量共线定理可证明.【详解】如果向量a ，b 共线，则存在唯一实数λ，使得b a λ= ，
则()222a b a a a λλ+=+=+ ，
所以向量2a b + 与a 共线.
13.如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点．求：
（1）AB AC ⋅uu u r uuu r ；（2）AD DB ⋅ ；（3）GF AC ⋅ ；（4）EF BC ⋅uu u r uu u r ；
（5）FG BA ⋅ ；（6）GE GF ⋅ ．
【答案】（1）22a ；（2）22a -；（3）22a -；（4）24a ；（5）2
4
a -；（6）24a 【解析】
【分析】根据空间向量数量积的定义计算即可.
【详解】 四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，∴任意两条棱所在直线的夹角为
3π， E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点，//,//,||||2a EF BD FG AC EF FG ∴==，（1）2
cos 32
a AB AC a a π⋅=⨯⨯= ；（2）2
2cos 32
a AD DB a a π⋅=⨯⨯=- ；（3）2
cos 22
a a GF AC a π⋅=⨯⨯=- ；（4）//EF BD ，则直线BD 与直线BC 所成角就是直线EF 与直线BC 所成角，又3CBD π∠=，2cos 234
a a EF BC a π⋅==∴⨯⨯ ；（5）//FG AC ，则直线AC 与直线AB 所成角就是直线FG 与直线BA 所成角，2
2cos 234
a a FG BA a π⋅-∴=⨯⨯= ；（6）取BD 中点M ，连接AM ，CM ，
则,AM BD CM BD ⊥⊥，AM CM M ⋂= ，BD ∴⊥平面ACM ，
又AC ⊂平面ACM ，BD AC ∴⊥，
//EF BD ，EF AC ∴⊥，
又//AC FG ，EF FG ∴⊥，0EF FG ⋅= ，可知1122
GF AC a ==，222()||024a a GE GF GF FE GF GF FE GF ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+= ⎝⎭
∴⎪ .
综合运用
14.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M .设
11111,,,=== A B a A D b A A c ，则下列向量中与1B M 相等的向量是（）
A.1122a b c --+
B.1122a b c -++
C.1122
a b c -+ D.1122
a b c ++ 【答案】B
【解析】【分析】根据1112=+=+B M B B BM c BD uuuu r uuu r uuu r r uu u r
代入计算化简即可.【详解】()1111112222
=+=+=++=-++B M B B BM c BD c BA BC a b c uuuu r uuu r uuu r r uu u r r uu r uu u r r
r r 故选：B.
15.已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量法证明：E ，F ，G ，H 四点共面.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据给定条件利用空间向量的线性运算，结合空间向量共面定理即可得解..
【详解】如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，
12
EH FG BD == ，于是得：EG EF FG EF EH =+=+ ，即,,EG EF EH 共面，它们有公共点E ，
所以E ，F ，G ，H 四点共面.
16.如图，正方体ABCD A B C D ''''
-（1）求A B '和B C '的夹角；
（2）求证A A B C ''⊥．
【答案】（1）
3π；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）联结CD '，B D ''，则A B CD '' ，A B '和B C '的夹角即CD '和B C '的夹角B CD ''∠，由B D CD B C ''''==知，B CD ''△是等边三角形，故A B '和B C '的夹角为3
π.（2）联结AB '，则AB A B ''⊥，又B C ''⊥平面ABB A ''，B C A B '''⊥，从而有A B '⊥平面AB C ''，从而证得A A B C ''⊥.
【详解】（1）联结CD '，B D ''，则A B CD '' ，A B '和B C '的夹角即CD '和B C '的夹角B CD ''∠，
在正方体中，设棱长为a ，则B D CD B C ''''===，
则B CD ''△是等边三角形，即3
B CD π''∠=
故A B '和B C '的夹角为3
π
（2）联结AB '，则AB A B ''⊥，又B C ''⊥平面ABB A ''，A B '⊂平面ABB A ''，
则B C A B '''⊥，又B C AB B ''''
⋂=故A B '⊥平面AB C ''，又AC '⊂平面AB C ''，
所以A A B C ''
⊥17.用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条直线垂直（三垂线）
【答案】证明见解析；
【解析】
【分析】根据向量运算法则，数量积为0即可证得垂直.
【详解】如图所示，在平面α内，OB →是OA →在面内的投影向量，则BA CD →→
⊥，
由题知，CD OB →→
⊥，
则()0CD OA CD OB BA CD OB CD BA →→→→→→→→→⋅=⋅+=⋅+⋅=，
故CD OA →→⊥，所以CD OA ⊥，即证得结论.
拓广探索18.如图，空间四边形OABC 中，,OA BC OB AC ⊥⊥.求证：OC AB ⊥.
【答案】证明见解析
【解析】
【详解】试题分析：利用三个不共面的向量OA OB OC ，，作为基底，利用空间向量的
数量积为0，证明向量垂直，即线线垂直.
试题解析：∵OA BC ⊥，∴OA OB ⊥ .
∵0OA OB ⋅= ，∴()
0⋅-= OA OC OB .∴0⋅-=⋅ OA OC OA OB （1）
同理:由OB AC ⊥得0⋅-=⋅ OC OB OA OB （2）
由（1）－（2）得0
⋅-=⋅ OA OC OC OB
∴()
0⋅=- OA OB OC ，∴0OC BA ⋅= ，
∴OC BA ⊥u u u r u u u r
，
∴OC AB ⊥.
19.如图，在四面体OABC 中，OA OB =，CA CB =，E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形EFGH 是矩形．
【答案】证明见解析；
【解析】
【分析】取AB 的中点D ，联结OD ，CD ，证得AB ⊥平面ODC ，AB OC ⊥，从而
有EH EF ⊥；又E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．从而有EF GH =
，结合EH EF ⊥，证得四边形EFGH 是矩形．
【详解】取AB 的中点D ，联结OD ，CD ，
由OA OB =，CA CB =知，
⊥OD AB ，CD AB ⊥，又OD CD D ⋂=，
故AB ⊥平面ODC ，又OC ⊂平面ODC ，
因此AB OC
⊥又E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．
则EF AD = ，GH AD =
，
故EF GH
=
，四边形EFGH是平行四边形
同理EH GF
=
，且EH OC
，又AB OC
⊥
所以EH EF
⊥，四边形EFGH是矩形。