2025高考数学必刷题 第88讲、随机事件、频率与概率(教师版)

第88讲
随机事件、频率与概率
知识梳理
知识点1、随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E 表示．我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：（1）试验可以在相同条件下重复进行；
（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．知识点2、样本空间
我们把随机试验E 的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E 的样本空间，一般地，用．Ω．表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n 个可能结果1ω，2ω，…，n ω，则称样本空间}{12,,,n ωωωΩ= 为有限样本空间．
知识点3、随机事件、确定事件
（1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当A 中某个样本点出现时，称为事件A 发生．
（2）Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．
（3）空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为∅为不可能事件．（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件．知识点4、事件的关系与运算
①包含关系：一般地，对于事件A 和事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A （或者称事件A 包含于事件B ），记作B A ⊇或者A B ⊆．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示：
不可能事件记作∅，任何事件都包含不可能事件．
②相等关系：一般地，若B A ⊇且A B ⊇，称事件A 与事件B 相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示：
③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件（或和事件），记作A B （或A B +）．与两个集合的并集类比，可用下图表示：
④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件（或积事件），记作A B （或AB ）．与两个集合的交集类比，可用下图表示：
知识点5、互斥事件与对立事件
（1）互斥事件：在一次试验中，事件A 和事件B 不能同时发生，即=A B ∅ ，则称事件A 与事件B 互斥，可用下图表示：
如果1A ，2A ，…，n A 中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件1A ，．2A ．，…，n
A 彼此互斥．
（2）对立事件：若事件A 和事件B 在任何一次实验中有且只有一个发生，即A B =Ω 不发生，A B =∅ 则称事件A 和事件B 互为对立事件，事件A 的对立事件记为A ．
（3）互斥事件与对立事件的关系
①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．
②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．
知识点6、概率与频率
（1）频率：在n 次重复试验中，事件A 发生的次数k 称为事件A 发生的频数，频数k 与总次数n 的比值
k
n
，叫做事件A 发生的频率．（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件A 发生的频率
k
n
总是接近于某个常数，
并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．
（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率k
n
随着试验次数的增加稳定于概率()P A ，因此可以用频率
k
n
来估计概率()P A ．必考题型全归纳
题型一：随机事件与样本空间
例1．（2024·全国·高三专题练习）已知集合A 是集合B 的真子集，则下列关于非空集合A ，B 的四个命题：
①若任取x A ∈，则x B ∈是必然事件；②若任取x A ∉，则x B ∈是不可能事件；③若任取x B ∈，则x A ∈是随机事件；④若任取x B ∉，则x A ∉是必然事件．其中正确的命题有（）A ．1个B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】因为集合A 是集合B 的真子集，所以集合A 中的元素都在集合B 中，集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，作出其韦恩图如图：
对于①：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取x A ∈，则x B ∈是必然事件，故①正确；
对于②：任取x A ∉，则x B ∈是随机事件，故②不正确；对于③：因为集合A 是集合B 的真子集，集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，集合B 中也存在集合A 中的元素，
所以任取x B ∈，则x A ∈是随机事件，故③正确；
对于④：因为集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取x B ∉，则x A ∉是必然事件，故④正确；所以①③④正确，正确的命题有3个．
例2．（2024·全国·高三专题练习）以下事件是随机事件的是（
）
A ．标准大气压下，水加热到100C ︒，必会沸腾
B ．走到十字路口，遇到红灯
C ．长和宽分别为,a b 的矩形，其面积为ab
D ．实系数一元一次方程必有一实根
【答案】B
【解析】A ．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；B ．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；
C ．长和宽分别为,a b 的矩形，其面积为ab 是必然事件；故本选项不符合题意；
D ．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．故选：B ．
例3．（2024·全国·高三专题练习）袋中装有形状与质地相同的4个球，其中黑色球2个，记为12B B 、，白色球2个，记为12W W 、，从袋中任意取2个球，请写出该随机试验一个不等可能的样本空间：Ω=
.
【答案】121121{},,B B B W B W （答案不唯一）【解析】从袋中任取2个球，
共有如下情况121112212212,,,,,B B B W B W B W B W W W .
其中一个不等可能的样本空间为121121Ω},,{B B B W B W =，
此样本空间中两个黑球的情况有1个，一黑一白的情况有2个，是不等可能的样本空间.故答案为：121121Ω},,{B B B W B W =.(答案不唯一)
变式1．（2024·全国·高一专题练习）将一枚硬币抛三次，观察其正面朝上的次数，该试验样本空间为.
【答案】{}
0,1,2,3【解析】因为将一枚硬币抛三次，其正面朝上的次数可能为0,1,2,3，所以该试验样本空间为{}0,1,2,3.故答案为：{}0,1,2,3.
变式2．（2024·高一课时练习）设样本空间Ω＝{1，2，3}，则Ω的不同事件的总数是.
【答案】8
【解析】集合{1，2，3}的子集个数为328=，所以Ω的不同事件的总数是8，
变式3．（2024·全国·高一专题练习）从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，其样本空间为．
【答案】{}
0,1,2,3,4【解析】由分析可知取出的4件产品的次品个数为0，1，2，3，4，所以样本空间为{}0,1,2,3,4，故答案为：{}0,1,2,3,4.
【解题方法总结】确定样本空间的方法
（1）必须明确事件发生的条件．
（2）根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
题型二：随机事件的关系与运算
例4．（2024·全国·高三专题练习）端午节是我国传统节日，记事件A =“甲端午节来宝鸡旅游”，记事件B =“乙端午节来宝鸡旅游”，且1()3P A =，3
()4
P B =，假定两人的行动相互
之间没有影响，则()P A B = （）
A ．
5
6
B ．
712
C ．
34
D ．
14
【答案】A
【解析】依题意1()3P A =，3
()4P B =且A 、B 相互独立，
所以()()()13135
()34346
P A B P A P B P AB =+-=+-⨯= .
故选：A.
例5．（2024·全国·高三专题练习）已知事件A 与事件B 互斥，记事件B 为事件B 对立事件.若()0.6P A =，()0.2P B =，则()P A B +=（）
A ．0.6
B ．0.8
C ．0.2
D ．0.48
【答案】B
【解析】因为事件A 与事件B 互斥，所以A B ⊆，所以()(1()0.8P A B P B P B +==-=.
故选：B
例6．（2024·全国·高三专题练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A 表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B 表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C 表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D 表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（）
A ．A D ⊆
B ．B D =∅
C ．A C
D ⋃=D ．A B B D
⋃=⋃【答案】D
【解析】“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况:一种是恰有一枚炮弹击中飞机，另一种是两枚炮弹都击中飞机.所以A D ⊆，B D =∅ ，
“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，所以A C D ⋃=，
又B D 包含该试验的所有样本点，为必然事件，
而事件A B ⋃表示“两个炮弹都击中飞机或者都没击中飞机”，所以A B B D ⋃≠⋃.故选：D
变式4．（2024·全国·高三专题练习）某家族有,X Y 两种遗传性状，该家族某成员出现X 性状的概率为
415，出现Y 性状的概率为215，,X Y 两种性状都不出现的概率为7
10
，则该成员,X Y 两种性状都出现的概率为（）
A ．
115
B ．
110
C ．
215
D ．
415
【答案】B
【解析】设该家族某成员出现X 性状为事件A ，出现Y 性状为事件B ，则,X Y 两种性状都不出现为事件A B ⋂，两种性状都出现为事件A B ⋂，所以，()()42,1515P B P A ==
，()
710
P A B = ，所以，()()
3
110
P A B P A B =-=
，又因为()()()()P A B P A P B P A B =+- ，所以，()()()()110
P A B P A P B P A B =+-= ，故选：B
变式5．（2024·上海长宁·统考一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A 为：至少一个点数是奇数；事件B 为：点数之和是偶数；事件A 的概率为()P A ，事件B 的概率为()P B ；则()1P A B -⋂是下列哪个事件的概率（）
A ．两个点数都是偶数
B ．至多有一个点数是偶数
C ．两个点数都是奇数
D ．至多有一个点数是奇数
【答案】D
【解析】由题意，事件A B ⋂为：两个点数都为奇数，由概率()1P A B -⋂指的是事件A B ⋂的对立事件的概率，
则事件A B ⋂的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数.故选：D.
变式6．（2024·全国·高三专题练习）如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设M =“甲元件故障”，N =“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（
）
A ．M N ⋃
B ．M N
⋃C ．M N ⋂D ．M N
【答案】C
【解析】因甲、乙两个元件串联，线路没有故障，即甲、乙都没有故障.即事件M 和N 同时发生，即事件M N ⋂发生.故选：C.
变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知()0.3P A =，()0.1P B =，若B A ⊆，则()P AB =（
）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4
【答案】A
【解析】由于B A ⊆，所以()()0.1P AB P B ==.故选：A
【解题方法总结】事件的关系运算策略
（1）互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生．
（2）进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件．
题型三：频率与概率
例7．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）在一个口袋中放有m个白球和n 个红球，这些球除颜色外都相同，某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次，以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为．（小数点后保留一位小数）
【答案】0.7
【解析】由题意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次数共152次，摸到红球的次数共348次，
所以摸到红球概率的估计值为3480.7 500».
故答案为：0.7
例8．（2024·全国·高三对口高考）下列说法：①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件次品；②做100次抛硬币的试验，有51次出现正面.因此出现正面的概率是0.51；③随机事件A的概率是频率的稳定值；④随机事件A的概率趋近于0，即()
P A趋近于0，则A是不可能事件；⑤抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出
现1点的频率是9
50；⑥随机事件的频率就是这个事件发生的概率；其中正确的有.
【答案】③⑤
【解析】概率指的是无穷次试验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，这个固定的值就是概率.
①通过概率定义可以分析出，出现的事件是在一个固定值波动，并不是一个确定的值，则本题中从该批产品中任取200件，应该是10件次品左右，不一定出现10件次品，错误；
②100次抛硬币的试验并不是无穷多次试验，出现的频率也不是概率，事实上硬币只有两个面，每个面出现的概率是相等的，所以因此出现正面的概率是0.5，错误；
③随机事件的概率是通过多次试验，算出频率后来估计它的概率的，当试验的次数多了，这个频率就越来越接近概率，所以随机事件A的概率是频率的稳定值，正确；
④随机事件A的概率趋近于0，说明事件A发生的可能性很小，但并不表示不会发生，错误；
⑤抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是189
10050
=，正确；
⑥根据概率的定义，随机事件的频率只是这个事件发生的概率的近似值，它并不等于概率，错误；
综上，正确的说法有③⑤.
故答案为：③⑤
例9．（2024·全国·模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别的调查方法．调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的50个黑球和50个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊．若100人中有52人回答了“是”，48人回答了“否”．则问题二“考试是否做过弊”回答“是”的百分比为（以100人的频率估计概率）．
【答案】54%/0.54
【解析】由题意可知，每名调查者从袋子中抽到1个白球或黑球的概率均为0.5，
所以，100人中回答第一个问题的人数为1000.550
⨯=，则另外50人回答了第二个问题，
在摸到黑球的前提下，回答“是”的概率为1
2
，即摸到黑球且回答“是”的人数为
1
5025
2⨯=，
则摸到白球且回答“是”的人数为522527
-=，
所以，问题二“考试是否做过弊”且回答“是”的百分比为270.5454% 50==.
故答案为：54%.
变式8．（2024·全国·高三对口高考）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683 431257393027556488730113537989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为.
【答案】0.25/1 4
【解析】20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191、271、932、812、393，
其频率为50.25
20=，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.
故答案为：0.25
变式9．（2024·全国·高三专题练习）一家药物公司试验一种新药，在500个病人中试验，其中307人有明显疗效，120人有疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率是．
【答案】0.386/193 500
【解析】由题意可得没有明显疗效的人数为500307193
-=，
所以没有明显疗效的频率为1930.386 500=，
故答案为：0.386
变式10．（2024·全国·高三专题练习）若随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试
验次数n很大时，可以用事件A发生的频率m
n来估计事件A的概率，即
()≈
P A．
【答案】m n
【解析】在相同的条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在随机事件A发生的概率
()
P A附近摆动并趋于稳定，这个性质成为频率的稳定性.因此，可以用事件A发生的
频率m
n来估计事件A的概率，即
()≈
P A m
n
.
故答案为：m n
变式11．（2024·全国·高三专题练习）已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506318 230 113 507 965据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为.
【答案】0.3
【解析】由题意，随机数组421，292，274，632，478，663共6个，表示恰有两次命中十环，
所以概率为
60.3
20
P==．
故答案为：0.3．
变式12．（2024·广东广州·高三铁一中学校考阶段练习）长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为．
【答案】0.375
【解析】设该学校人数为x ，依题意得，近视的人数为0.4x ，玩手机超过1小时的人有0.2x ，近视人数为0.1x ，于是玩手机小于1小时但又近视的人数为(0.40.1)0.3x x -=，玩手机小于1小时的总人数为(10.2)0.8x x -=，这类人的近视率约为0.30.3750.8x
x
=.故答案为：0.375
变式13．（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）袋中有10个球，其中有m 个红球，n 个蓝球，有放回地随机抽取1000次，其中有597次取到红球，403次取到蓝球，则其中红球最有可能有个．
【答案】6【解析】
5976100010
m
m =⇒≈.所以红球最有可能有6个.故答案为：6
【解题方法总结】（1）概率与频率的关系
（2）随机事件概率的求法
题型四：生活中的概率
例10．（2024·全国·高三专题练习）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀
请位好友参与到“好友助力”活动.
【答案】15
【解析】因为摇号的初始中签率为0.19，所以要使中签率超过0.9，需要增加中签率0.90.190.71
-=，
因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05，
所以至少需要邀请0.7114.2
0.05=，所以至少需要邀请15位好友参与到“好友助力”活动.
故答案为：15
例11．（2024·江西吉安·江西省泰和中学校考一模）设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从箱中取出的.
【答案】甲.
【解析】分别求出甲箱中取到白球的概率和乙箱中取到白球的概率，由此进行判断． 甲箱有99个白球1个黑球，
∴随机地取出一球，得白球的可能性是99 100，
乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得白球的可能性是
1 100，
由此看到，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．既然在一次抽样中抽得白球，当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的．∴我们作出推断是从甲箱中抽出的．
故答案为：甲
例12．（2024·全国·高三专题练习）有以下说法:
①一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是
1
365
;②买彩票中奖的概率为0.001,那么
买1000张彩票就一定能中奖;③乒乓球赛前,决定谁先发球,抽签方法是从1~10共10个数字中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的;④昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率是90%”是错误的.
根据我们所学的概率知识,其中说法正确的序号是.
【答案】①③
【解析】根据“概率的意义”求解,买彩票中奖的概率0.001,并不意味着买1000张彩票一定能中奖,只有当买彩票的数量非常大时,我们可以看成大量买彩票的重复试验,中奖的次数为
n;
1 000
昨天气象局的天气预报降水概率是90%,是指可能性非常大,并不一定会下雨.
说法②④是错误的，而利用概率知识可知①③是正确的.
故答案为①③．
【解题方法总结】
概率和频率的关系：概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．
题型五：互斥事件与对立事件
例13．（2024·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）
A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红､黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
【答案】C
【解析】对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是；
对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是；对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C是；
对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是.故选：C
例14．（2024·全国·高三专题练习）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与至少有一个红球
C．恰有一个黑球与恰有两个黑球
D．至少有一个黑球与都是红球
【答案】C
【解析】对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都
是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，A ∴不正确；
对于B ：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，B ∴不正确；
对于C ：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，C ∴正确；对于D ：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，
∴这两个事件是对立事件，D ∴不正确；
故选：C .
例15．（2024·四川宜宾·统考三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（
）
A ．事件1与事件3互斥
B ．事件1与事件2互为对立事件
C ．事件2与事件3互斥
D ．事件3与事件4互为对立事件
【答案】B
【解析】由题可知，事件1可表示为：{}13,5
A =,,事件2可表示为：{}2,4,6
B =,事件3可表示为：{}4,5,6
C =,事件4可表示为：{}1,2
D =,因为{}5A C = ，所以事件1与事件3不互斥，A 错误；因为A B ⋂为不可能事件，A B ⋃为必然事件，所以事件1与事件2互为对立事件，B 正确；
因为{}4,6B C = ，所以事件2与事件3不互斥，C 错误；因为C D ⋂为不可能事件，C D ⋃不为必然事件，所以事件3与事件4不互为对立事件，D 错误；故选：B.
变式14．（2024·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是（
）
A ．至少有一本政治与都是数学
B ．至少有一本政治与都是政治
C ．至少有一本政治与至少有一本数学
D ．恰有1本政治与恰有2本政治
【答案】D
【解析】从装有2本数学和2本政治的四本书内任取2本书，
可能的结果有：“两本政治”，“两本数学”，“一本数学一本政治”，
“至少有一本政治”包含事件：“两本政治”，“一本数学一本政治”.
对于A，事件“至少有一本政治”与事件“都是数学”是对立事件，故A错误；
对于B，事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，两个事件是包含关系，不是互斥事件，故B错误；
对于C，事件“至少有一本数学”包含事件：“两本数学”，“一本数学一本政治”，因此两个事件都包含事件“一本数学一本政治”，不是互斥事件，故C错误；
对于D，“恰有1本政治”表示事件“一本数学一本政治”，与事件“恰有2本政治”是互斥事件，但是不对立，故D正确.
故选:D.
，，个，从中任取2个，则互斥而不变式15．（2024·全国·高二）袋内分别有红､白､黑球321
对立的两个事件是（）
A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红､黑球各一个
【答案】D
【解析】对于A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，
而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，故A中事件不是互斥的；
对于B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；
对于C，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，即可能是一个白球和一个黑球，
这与“一个白球一个黑球”不互斥；
对于D，“至少一个白球”发生时，“红､黑球各一个”不会发生，故二者互斥，
从袋中任取2个也可能是两个红球，即二者可能都不发生，故二者不对立，
故选：D
变式16．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）从1，2，3，L，9中任取三个不同的数，则在下述事件中，是互斥但不是对立事件的有（）
A．“三个都为偶数”和“三个都为奇数”B．“至少有一个奇数”和“至多有一个奇数”
C．“至少有一个奇数”和“三个都为偶数”D．“一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇。