4.4 三角函数的最值与综合应用-2018年高三数学(文)一轮总复习名师伴学含解析

【真题回放】
1.【2017课标3文4】已知4sin cos 3
αα-=，则sin 2α=( ）
A ．79
- B ．29
- C ． 29
D ．79
【答案】A
【解析】解法一；由4
sin cos 3
αα-=
,则；2247
(sin cos )1sin 2(),sin 239
αααα-=-==-。

解法二；()
2
sin cos 1
7
sin 22sin cos 1
9
ααααα--===-
- 。

所以选A 。

【考点解读】本题考查了三角函数的求值。

应用三角公式解决求值问题的三个变换角度
（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，通常有“切化弦"、“升幂与降幂”等.
(3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标,通常有：
“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合"、“配方与平方"等.
2。

【2017课标3文6】函数1ππ()sin()cos()5
3
6
f x x x =++-的最大
值为( )
A ．65
B ．1
C ．
D ．
【答案】A
【考点解读】本题考查了三角函数的最值。

其通法为进行三角恒等变换主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质,解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
3.【2017天津高考文7】设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中
0,||πωϕ><.若5π11π
(
)2,()0,88f f ==
且()f x 的最小正周期大于2π，
则( ） A.2π
,312ωϕ==
B.211π,3
12
ωϕ==- C.111π
,3
24
ωϕ==-
D.17π
,324ωϕ==
【答案】A
【考点解读】本题考查了()sin y A x ωϕ=+的解析式，和三角函数的图象和性质,本题叙述方式新颖,是一道考查能力的好题，本题可以直接求解，也可代入选项，逐一考查所给选项，是中档题．
4.【2017课标II 文13】函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 。

5【解析】由()2cos sin 5sin()f x x x x ϕ=++，所以；
2()215f x ≤+=。

【考点解读】本题考查了三角函数的最值问题。

可通过配角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质,解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用22
|sin cos |a x b x a b +≤
+ 求最值。

5。

【2017课标1文15】已知π
(0)2
a ∈，，tan α=2,则
π
cos ()
4
α-=__________．
【答案】3
1010
【考点解读】本题考查了同角的三角函数的关系以及余弦公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．
6. 【2017课标上海高考】设a 1、a 2∈R，且
1211
22sin 2sin(2)
αα+=++，则｜10π﹣α1﹣α2|的最小值等于 ．
【答案】4
π
【考点解读】本题主要考察三角函数性质，有界限的范
围的灵活应用，属于基本知识的考查． 7。

【2017北京文16】已知函数
())2sin cos 3
f x x -x x π
=-。

（I ）f （x )的最小正周期；
(II ）求证：当[,]44x ππ∈-时，()1
2f x ≥-． 【答案】(Ⅰ）π ;(Ⅱ）详见解析. 【解析】(Ⅰ）
31π()cos 2sin 2sin 2sin 22sin(2)22223
f x x x x x x x =
+-=+=+. 所以()f x 的最小正周期2ππ2
T ==.
（Ⅱ)因为ππ44x -≤≤，所以ππ5π2636
x -≤+≤.
所以ππ1sin(2)sin()362
x +≥-=-.
所以当ππ[,]44x ∈-时，1()2
f x ≥-.
【考点解读】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，本题属于基础题,要求准确应用降幂公式和辅助角公式进行变形，化为标准的()sin y A x ωϕ=+的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等,但要注意函数的定义域，求最值要给出自变量的取值. 8。

【2017江苏高考16】 已知向量
(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b
（1）若a ∥b ，求x 的值；
(2)记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的的值.
【答案】（1）5π6
x =(2）0x =时，f (x )取得最大值，为3；
5π
6
x =
时，f (x )取得最小值，为23-.
【考点解读】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题 9。

【2017浙江高考18】已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –23 sin x cos x （x R )．
（Ⅰ）求)3
2(π
f 的值． （Ⅱ)求)(x f 的最小正周期及单调递增区间．
【答案】（Ⅰ）2；(Ⅱ）最小正周期为π，单调递增区间
为Z k k k ∈++]3
2,6[ππ
ππ． 【解析】（Ⅰ）∵函数f （x ）=sin 2x ﹣cos 2x ﹣2sinx cosx=﹣sin2x ﹣cos2x=2sin （2x+）
f （
)=2sin （2×
+
）=2sin
=2，
(Ⅱ）∵ω=2，故T=π,即f （x ）的最小正周期为π， 由2x+∈[﹣+2kπ,+2kπ］，k∈Z 得：
x∈[﹣+kπ，﹣+kπ］,k∈Z,故f(x ）的单调递增区间
为; [﹣
+kπ，﹣+kπ］或写成［kπ+，kπ+
],k∈Z．
【考点解读】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性,三角函数的单调区间， 难度中档． 【考点分析】
考点
了解A 掌握B
灵活运用C
函数)sin(ϕω+=x A y 的图像
C
用三角函数解决一些简单的实际问题 B
简单的三角恒等变换
B
三角函数部分内容特点为;公式众多、内容丰富、变化灵活、渗透性强．通过对这几年高考试题的分析可知，解答题一般有三个命题方向,一是以考查三角函数的图象和性质为主,二是把解三角形与三角函数的性
质、三角恒等变换交汇，三是考查解三角形或者解三角形在实际问题中的应用.
具体考点为；（1)了解函数sin()ωϕ=+y A x 的物理意义；能画出sin()ωϕ=+y A x 的图像，了解sin()ωϕ=+y A x 的函数性质, （2）简单的三角恒等变换；能运用三角公式公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆）.
（3）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。

【融会贯通】
题型一 三角函数的最值问题
典例1. (1） （2017兰州一中月考）已知函数
sin()cos 6
y x x π
=-，则()f x 的最大值为________．
最小值为________． 【答案】
13,44
-
(2）(2017山东临沂模拟)函数y ＝2sin 错误!在区间［0,9］上的最大值与最小值之和为________． 【答案】 2－错误!
【解析】∵由题0≤x ≤9，∴－π
3≤错误!x －错误!≤错误!.∴
－错误!≤sin 错误!≤1,则－错误!≤y ≤2。

∴y max ＋y min ＝2－ 3.
(2)(2017江西南昌模拟)函数()22sin sin2f x x x =+的最大值为__________． 【答案】
【解析】化简可得
()
22sin sin2122214f x x x cos x sin x x π⎛
⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭,
∴当
sin 214x π⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭
时，原式取到最大值1
1
（3）(2017成都模拟)函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值为________，最小值为________． 【答案】 2 －2
【解析】y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－(sin x ＋
1）2＋2，
∵sin x ∈［－1,1]，∴y max ＝2，y min ＝－2. (4）（2017河北唐山模拟）函数
()22sin 2
42sin 1
2
x f x x π⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭=
+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +等 于________. 【答案】2
解题技巧与方法总结
三角函数最值或值域的三种求法 1．直接法:利用sin x ，cos x 的值域．
2．化一法：化为y ＝A sin （ωx ＋φ）＋k 的形式，确定ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．
3．换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域（最值)问题．
【变式训练】
（1）（2017天津蓟州区模拟）函数f (x ）＝－sin 错误!,x ∈
错误!
的最大值是________．
【答案】
错误!
【解析】因为x ∈错误!,所以－错误!≤2x －错误!≤错误!.根据正弦曲线，得当2x －错误!＝－错误!时．
sin 错误!取得最小值为－错误!，故f （x )＝－sin 错误!的最大值为错误!.
(2）（2017开封模拟)已知向量
1(sin cos 1),(1,2cos ),,(0,).52
a b a b παααα=+=-⋅=∈，则sin α
= 、αcos = ，设函数
∈+-=x x x x f (2cos )2cos(5)(αR)，)(x f 取得最大值
时的x 的值是 。

【答案】43,55
，
,8
k k π
π+
∈Z
(3）(2017银川模拟）已知函数()()2sin cos 6f x x a x a R π⎛⎫
=++∈ ⎪⎝
⎭
的
7a =______．
【答案】1或3-
【解析】
()()()2
3sin 1cos 31713f x x a x a a =++∴++==-或。

(4） (2017宝鸡模拟)函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________． 【答案】
错误!
【解析】y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1，设t ＝sin x (－1≤t ≤1），
则原函数可以化为y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2错误!2＋错误!, ∴当t ＝12时，函数取得最大值32
.
【知识链接】
知识点1 三角函数的图象和性质 函数
y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x
图象
定义域R R x≠kπ＋错误!，k∈Z
值域[－1,1]［－1,1]R
单调性递增区间:
错误!，k∈Z
递减区间：
错误!，k∈Z
递增区间：
[2kπ－π，
2kπ］，
k∈Z
递减区间:
［2kπ，2kπ
＋π］,k∈Z
递增区间kπ
－
π
2
，kπ＋
错误!，k∈Z
奇偶性奇函数偶函数奇函数
对称中心（kπ，0），k∈Z错误!，k∈Z错误!，0，k∈Z
对称轴x＝kπ＋错误!，
k∈Z
x＝kπ，k∈Z无对称轴
周期2π2ππ
知识点2 用五点法画y＝A sin(ωx＋φ）的简图
名师点睛；(1)对于函数的性质（定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．
(2)闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．
题型二三角函数的综合问题
考向1：三角恒等变形与求值和化简
典例2。

（1）（2015高考课标1）sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝（）
A．－错误! B.错误!
C ．－错误! D.错误! 【答案】D
（2）（2016高考课标3)若tan θ＝－错误!，则cos 2θ＝( ）
A.－4
5 B.－错误!
C.错误! D 。

错误! 【答案】D
（3）（2017西安模拟）已知sin 2α＝错误!，则cos 2错误!等于( )
A.错误!
B.错误!
C.错误!
D.错误! 【答案】A
【解析】 由半角公式可得，cos 2错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝
错误!.
（4）(2017河北正定中学模拟）设(0,),(0,),2
2
ππαβ∈∈且
1sin tan ,cos β
αβ
+=
则（ ）
A.
32
π
αβ-=
B.32
παβ+= C 。

22
π
αβ-=
D 。

22
παβ+=
【答案】C
【解析】由已知得，sin 1sin tan cos cos α
βαα
β
+==
,去分母得，
sin cos cos cos sin αβααβ=+,
所以sin cos cos sin cos αβαβα-=，sin()cos sin()2
παβαα-==-，
又因为2
2
ππαβ-<-<，02
2
ππα<-<，所以2
παβα-=-，
即22
παβ-=，选C ．
解题技巧与方法总结
三角函数求值和化简的类型及方法
类型： (1）“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系.解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数。

（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角"，使其角相同或具有某种关系.
(3)“给值求角”:实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的
函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围。

在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角范围，再求值"。

化简要遵循“三看"原则
1．一看“角",通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使
用公式．
2．二看“函数名称”，看它们间的差异，从而确定使用的公式，
常见的有“切化弦”．
3．三看“结构特征”，分析结构特征,找到变形的方向【变式训练】
（1）(2017石家庄模拟）错误!－错误!＝( ）
A．4 B．2
C．－2 D．－4
【答案】D
(2）（2017河北省保定市二模）角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=2x上,则
tan2θ=( ）
A。

2 B. −4
C。

−3
4D. −4
3
【答案】D
【解析】由题意可得：tanθ=2，则：tan2θ=2tanθ
1−tan2θ=4
1−4
=−4
3
.
选D。

（3）(2017湖南省郴州市质检）已知3cos2θ=tanθ+3，且θ≠kπ（k∈Z）,则sin[2(π−θ)]等于（）
A。

−1
3B。

1
3
C。

2
3D。

−2
3
【答案】C
【解析】由题意可得3cos2θ−3=tanθ,−3sin2θ=sinθ
cosθ
，由于θ≠kπ（k∈Z）,所以
sinθcosθ=−1
3,sin2θ=−2
3
,sin[2(π−θ)]=−sin2θ=2
3
.选C.
（4）(2017贵州省贵阳市适应性考试）已知sin2α=1
4
，则
sin2(α+π
4
)=（）
A。

3
4B. 3
8
C。

5 8D。

2
3
【答案】C
【解析】由题意可得：sin2(α+π
4)=1+cos[2×(α+
π
4
)]
2
=1+sin2α
2
=5
8
，
选C.
（5）(2017山西大同模拟）已知锐角α，β满足sin α＝
错误!,cos β＝错误!，则α＋β等于( ）
A.错误!
B.错误!C．－
错误!D。

错误!
【答案】B
（6）（2017广州模拟）已知sin α＝错误!，α∈错误!,则错误!＝________。

【答案】－错误!
知识链接:
1. 任意角三角函数的定义；设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点,其到原点O的距离为r，
则sin α＝错误!，cos α＝错误!,tan α＝错误!.
2。

同角三角函数的基本关系；
（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1。

(2)商数关系:tan α＝错误!错误!.
3。

三角函数的诱导公式；
组数一二三四五六
角2kπ＋
α(k∈Z）
π＋α－απ－α错误!
－
α
错误!＋
α
正弦sin α－
sin_α
－
sin_α
sin_αcos_αcos_α
余弦cos α－cos_α－sin_α－
cos_αcos_
α
sin_α
正切tan αtan_α－
tan_α
－
tan_
α
记忆口诀函数名不变符号看
象限
函数名改变符
号看象限
考向2三角函数图象性质的应用
典例3. (1)（2015陕西高考)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin错误!＋k.据此函数可知，这段时间水深（单位：m)的最大值为（）
A．5 B．6
C．8 D．10
【答案】C
【解析】根据图象得函数的最小值为2,有－3＋k＝2，
k＝5，最大值为3＋k＝8.
（2）（2017湖北十堰模拟）如图，电流强度I（单位：安)随时间t（单位：秒)变化的函数I＝A sin错误!（A>0,ω≠0)的图像,则当t＝错误!秒时，电流强度是________安．
【答案】5
（3）(2017江西南昌模拟）心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p（t)＝115＋25sin 160πt，其中p（t）为血压(mmHg)，t为时间（min），试回答下列问题:
(1）求函数p（t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数p(t）的草图；
（4）求出此人的血压在血压计上的读数．【答案】见解析
【解析】（1) 由于ω＝160π,代入周期公式T＝
2π
｜ω|，
可得T＝错误!＝错误!(min)，
所以函数p（t)的周期为错误!min.
(2) 每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝1
T＝80（次）．
(3)列表：
t0错误!错误!错误!错误!
p(t）11
5
14011590
11
5
描点、连线并向左右扩展得到函数p（t)的简图如图所示：
（4）由图可知此人的收缩压为140 mmHg,舒张压为90
mmHg.
解题技巧与方法总结
三角函数模型的应用
三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
【变式训练】
（1）（2017宝鸡模拟)如图所示为一简谐运动的图像,则下列判断正确的是( ）
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0。

1 s和0.5 s时的振动速度最大
D．该质点在0。

3 s和0.7 s时的加速度为零
【答案】D
【解析】该质点的振动周期为T＝2×(0。

7－0。

3)＝0。

8 s，故A是错误的；该质点的振幅为5 cm,故B是
错误的;该质点在0。

1 s和0.5 s时的振动速度是零，所以C是错误的,D正确。

（2)（2017福建莆田一中模拟）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋A cos错误!(x＝1,2,3,…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.
【答案】20。

5
（3）（2017青海西宁模拟)如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1）求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t 以年初以来的月为计量单位）
(2）估计当年3月1日动物种群数量．
【答案】见解析
知识链接:
1. 用五点法画y＝A sin(ωx＋φ）的简图
x－
错误!错误!错误!错误!
错误!
ωx＋φ0错误!π错误!2π
y＝0A0－A0
考向3：三角恒等变换的综合运用
典例4. (1）（2017四川乐山模拟)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )
A．y＝cos错误!B．y＝sin错误! C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x 【答案】A
【解析】y＝cos错误!＝－sin 2x,最小正周期T＝错误!＝π,且为奇函数，其图象关于原点对称，
故A正确;y＝sin错误!＝cos 2x，最小正周期为π，且为偶
函数，其图象关于y 轴对称,
故B 不正确;C ，D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称,故C ，D 不正确．
（2)（2017开封模拟）将函数()
sin y x x x R +∈的图像向
左平移()0m m ＞个单位长度后，所得
到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是（ ）
A ．6π
B ．12π
C ．3
π D ．56π
【答案】A
【解析】2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
，左移m 个单位得到2sin 3y x m π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
关
于y 轴对称， 故32
m k π
π
π+=+
，即6
m k ππ=+，最小正数为6
π.
(3)(2017江西九江模拟)已知函数2
()cos ()1f x A x ωϕ=++（0A >，
0ω>，02
π
ϕ<<
）的
最大值为3,()f x 的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则
(1)(2)(3)(2016)f f f f ++++…的值为（
）
A ．2468
B ．3501
C ．4032
D ．5739 【答案】C
∵()()()()823214321=+++=+++f f f f ,
∴()()()()()()()()[]403243215042016321=+++⋅=++++f f f f f f f f ，故选C ．
（4）（2017浙江丽水模拟）函数f (x ）＝sin 2x ＋sin x cos
x ＋1的最小正周期是________，最小值是________．
【答案】 π
错误!
（5）（2017江苏淮安模拟）已知函数()2cos sin f x x x =，以下四个结论:
①()f x 既是偶函数，又是周期函数； ②()f x 图象关于直线x π=对称;
③()f x 图象关于,02
π⎛⎫ ⎪
⎝⎭
中心对称; ④()f x 439
其中，正确的结论的序号是__________.
【答案】①②③
【解析】由偶函数和周期函数定义可知, ()f x 即是偶函数，又是周期函数，①正确；由对称定义或验
证()()20f x f x π--= 可知， ()f x 图象关于直线x π= 对称②正确；由对称定义或验证
()()0f x f x π-+=
可知， ()f x 图象关于,02
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
中心对称③正确； ()()2
2cos sin
cos 1cos f x x x x x
==- ，令[]cos ,1,1t x t =∈- ，则
[
]3
2
,1,1,'13,1,,'0:,y t t t y t t y t ⎡⎡=-∈-=-∈-<∈⎢⎢⎣⎦⎣⎦
'0:,1,'03y t y ⎤>∈<⎥⎣⎦，
所以t y =
，
可以验证
y 最大值，
④不对，故答案为①②③。

(6)(2017北京西城模拟)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1）sin 2x ＋1
2
cos 4x 。

（1)求f (x ）的最小正周期及单调减区间；
(2）若α∈（0，π），且f 错误!＝错误!，求tan 错误!的值． 【答案】见解析
解题技巧与方法总结
1。

进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
2。

把形如y＝a sin x＋b cos x化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．3.通过恒等变形，可以将较为复杂的函数形式转化为较为简单的函数形式，有利于更好地讨论三角函数的性质，但要注意是恒等变形，因为在某些情形下，变形会导致定义域的变化，从而影响函数的值域和周期等性
质。

【变式训练】
（1）(2017山东菏泽模拟）函数
2cos2y x x =+ 最小正
周期为（ ）
A 。

π2
B 。

2π3
C 。

π
D 。

2π
【答案】C
【解析】：因为π
2cos 22sin 23y x x x ⎛
⎫=
+=+ ⎪⎝
⎭，所以其周期
2π
π2
T =
=，故选C 。

（2）（2017江苏昆山模拟）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数x y 3cos 2=
的图象(
）
A 。

向右平移12
π个单位长 B.向右平移4
π个单位长
C 。

向左平移12
π个单位长
D 。

向左平移4
π个单位长
【答案】A
【解析】因为)4
3sin(23cos 3sin π
+
=
+=x x x y ，所以将函数
x y 3cos 2=的图象向右平移12
π
个单位长得函数
)4
3sin(2)432sin(
2)4
3cos(2)12
(3cos 2π
ππ
π
π
+=-+=+
-=-
=x x x x y ，即得函数x x y 3cos 3sin +=的图象，选A 。

（3）（2017辽宁锦州模拟）若函数()22sin sin21f x x x ωω=+-（x R ∈）满足()2f α=-,()0f β=,且αβ-的最小值为34π,则正
数ω的值为( )
A. 13
B. 23
C 。

43 D.
83
【答案】A
(4)(2017兰州模拟）已知2
2cos
sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，
则A =______,b =______．
21．
【解析】由题2
2cos
sin21cos2sin22sin(2)14
x x x x x π
+=++++，所以2, 1.A b =
（5）(2017哈尔滨模拟)将函数()sin23cos2f x x x =的图象向
左平移(0)ϕϕ>个单位后，所得到的图象关于y 轴对称，
则ϕ的最小值为__________． 【答案】12
π
【解析】由题可知π
232223
y sin x cos x sin x =+
=+（）,向左平移后可
得解析式π
2223
y sin x ϕ=++（）,图像关于y 轴对称，函数为偶函
数，也就是23
2
212
k k k Z π
π
ππ
ϕπϕ+=+
=
+∈，，．则ϕ最小值为12
π.故
本题应填12
π.
（6）（2017银川一中模拟）已知函数()sin cos f x x x =+. （1)若
()()2f x f x =-，求22
cos sin cos 1sin x x x
x
-+的值； （2)求函数()()()()2F x f x f x f x =-+的最大值和单调增区间. 【答案】（1）=611
.（2）
21+.388k k ππππ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦
，,k Z
∈．
（7）(2017山东潍坊模拟)已知向量a＝(m，cos 2x),b＝（sin 2x,n），函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点错误!和点错误!.
（1)求m，n的值;
(2）将y＝f（x）的图象向左平移φ(0〈φ〈π）个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g（x)图象上各最高点到点(0，3）的距离的最小值为1,求y＝g(x）的单调递增区间．
【答案】见解析
知识链接：
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式；sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ;
cos(α±β)＝cosαcosβ±sinαsinβ; tan(α±β）＝tan α±tan β
1∓tan αtan β。

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α＝2sinαcosα; cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝错误!。

必会结论:(1）降幂公式:cos2α＝错误!,sin2α＝错误!.
(2）升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.（3）公式变形：tan α±tan β＝tan（α±β)（1∓tan α·tan β)．
（4)辅助角公式：a sin x＋b cos x＝错误!sin（x＋φ），其中sin φ＝错误!，cos φ＝错误!.
（5)利用辅助角公式a sin x＋b cos x＝错误!sin(x＋φ)错误!转化时,
一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角．
（6)计算形如y ＝sin(ωx ＋φ），x ∈［a ，b ］形式的函数最值时，应先求ωx ＋φ的范围,
不要将ωx ＋φ的范围和x 的范围混淆．
【课本典例解析与变式】
例1。

【必修四第140页例3
】求函数sin y x x = 的周
期，最大值和最小值。

【解析】分析:利用三角恒等变换,先把函数式化简，再求相应的值。

解：sin y x x =
12(sin )
222(sin cos
cos sin )33
2sin()3
x x x x x π
π
π
=+=+=+
所以,所求的周期为2π，最大值为2，最小值为—2 【原题解读】本题考查了三角函数的性质及三角恒等变换。

体现了转化的思想方法，同时此类题型为三角函数解答题的基本题型.
变式1.【2014上海高考】 函数2
12cos (2)y x =-的最小正周
期是 .
【答案】2
π
【解析】由题意cos 4y x =-,24
2
T π
π
==
变式2.【2014山东高考】函数23
sin 2cos 2
y x x =+的最小正周期为 。

【答案】π 【解析】31cos 1sin sin()2262
x y x x π+=
+=++,其周期为π。

变式3.【2014全国高考课标2】 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________． 【答案】1
【解析】由已知得，
()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ϕϕϕ=+-sin cos cos sin x x ϕϕ=-
sin()x ϕ=-1≤,故函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为1．
变式4.【2015高考浙江】函数()2
sin sin cos 1f x x x x =++的最小
正周期是 ， 最小值是 ． 【答案】32,2
π-
变式5。

【2016高考浙江】已知2
2cos
sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>,
则A =______，b =______．
1．
【解析】由题；
2
2cos
sin21cos2sin2)14
x x x x x π
+=++++,所以
1.A b =
变式6。

【2016高考上海】若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =______。

【答案】3±
【解析】由题：)sin(16)(2ϕ++=x a x f ，其中4
tan a
=
ϕ，故函数)(x f 的最大值为216a +，
由已知，
5162=+a ，解得3±=a 。

变式7.【2015高考安徽】已知函数2
()(sin cos )cos2f x x x x =++
（Ⅰ)求()f x 最小正周期；
（Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2
π上的最大值和最小值.
【答案】（Ⅰ）π ；(Ⅱ）最大值为
1+0
【解析】(Ⅰ)因为
x x x x x x x x f 2cos 2sin 12cos cos sin 2cos sin )(22++=+++=
1)4
2sin(2++
=π
x
所以函数)(x f 的最小正周期为ππ＝＝2
2T .
（Ⅱ）由（Ⅰ)得计算结果，1)4
2sin(2)(++
=
π
x x f
当]2
,0[π∈x 时，]4
5,4
[4
2π
ππ∈+x 由正弦函数x y sin =在]4
5,4
[ππ上的图象知，
当2
4
2π
π
=
+x ,即8
π=x 时，)(x f 取最大值
12+;
当4
542π
π=+x ，即4
π=x 时,)(x f 取最小值0。

综上，)(x f 在[0,]2
π上的最大值为12+，最小值为0。

变式8.【2016高考北京】已知函数
)0(2cos cos sin 2)(>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π。

（1)求ω的值；
（2）求)(x f 的单调递增区间。

【答案】（Ⅰ）1ω=（Ⅱ）3,8
8k k ππππ⎡⎤
-+⎢⎥⎣
⎦
（k ∈Z ）
．
由2222
4
2
k x k πππππ-≤+≤+，得38
8
k x k ππππ-≤≤+．
所以()f x 的单调递增区间为3,8
8k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣
⎦
（k ∈Z ）
． 变式9. 【2015高考重庆】已知函数f （x ）=12
32cos x .
（Ⅰ）求f(x ）的最小周期和最小值，
（Ⅱ)将函数f(x ）的图像上每一点的横坐标伸长到原来
的两倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）
的图像.当x ∈,2
ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
时，求g(x)的值域。

【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为,最小值为2+3
2
，（Ⅱ）1
32
3[,
]22
.
【课本回眸反思】
1。

注重运用概念思考解决教材中的例题，例题常常是高考题目生成和变化的源头；
2。

在复习解题训练中因注重对数学课本中典型问题的解读和拓展；
3． 解题中应该注重一题多解，一题多变,达到加深理解，灵活运用的目的，并提高复习效率.
【练习检测】
1．(2017甘肃武威模拟） cos10sin70cos80sin20︒︒-︒︒= （ ） A 。

12
B.
1
2
- C.
D 。

【答案】C
【解析】
cos10sin70cos80sin20sin80cos20cos80sin20sin8020︒︒-︒︒=︒︒-︒︒=︒-︒
sin60=︒=
故选C 。

考点:三角恒等变换与求值
2.（2017山东烟台模拟）已知直线230x y --=的倾斜角为θ,则sin2θ的值是( )
A 。

45
B 。

34
C.
25
D.
14
【答案】A
【解析】由题设tan 2θ=，则22tan 4
sin22sin cos 1tan 5
θθθθθ===+，应选答案A 。

考点：直线倾斜角与三角函数求值 3.(2017山西师大附中模拟）函数2
2
()cos 2cos 2
x
f x x =+的最小值为
A. 1 B 。

1-
C.
54
D 。

54
-
【答案】D
考点:三角函数的最值
4。

(2017西安模拟）在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值为（ ）
A ．－错误! B.错误! C 。

错误! D ．－错误! 【答案】 B
【解析】由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得错误!＝－1，即tan(A ＋B ）＝－1，
所以A ＋B ＝错误!，则C ＝错误!，cos C ＝错误!。

. 选B 。

考点：三角形与三角函数求值
5.（2017江西景德镇模拟）为了得到函数sin3cos3y x x =+的图象,可以将函数
y x =
的图象（
）
A ．向右平移4
π个单位
B ．向右平移12
π个单位
C ．向左平移4
π个单位
D ．向左平移12
π个单位
【答案】B
【解析】
sin 3cos33-412y x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，可以将函
数
y x =
的图象
向右平移12
π个单位即可.
考点：1、三角恒等变换；2、图象平移。

6。

（2017河北邯郸模拟）已知函数()sin cos f x x x =⋅,则下列说法正确的是（ ）
A. ()f x 的图象关于直线2x π=对称 B 。

()f x 的周期为π C. 若()()1
2
f x f x =，则1
22x
x k π=+（Z k ∈） D. ()f x 在
区间3,4
4ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减
【答案】D
考点：三角函数恒等变换与三角函数的性质
7.（2017福建莆田一中模拟)已知sin α＋cos α＝错误!,则sin 2错误!＝( ）
A.错误!
B.错误! C 。

错误! D.错误! 【答案】 B
【解析】 ∵sin α＋cos α＝错误!，∴（sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝错误!，
∴sin 2α＝－错误!，∴sin 2错误!＝错误!＝错误!＝错误!. 考点：三角恒等变换与求值
8。

（2017洛阳模拟)设动直线x a =与函数2
()2sin
()4
f x x =+π
和()3cos2g x x =的图象分别交于
M
、N 两点，则MN 的最大值为( ）
A ．2
B ．3
C.2 D ．3 【答案】D
【解析】因2
()2sin
()4f x x =+πx x 2sin 1)22
cos(1+=+-=π
，故 321)3
2sin(212cos 32sin 1||=+≤-
+=-+=π
x x x MN ,故应选答案D.
考点：三角变换公式及三角函数的图象和性质的综合运用.
9。

（2017银川模拟）在△ABC 中，若2
sin sin cos 2
A B C ⋅=，则此三角形为( )
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形 【答案】B
考点：三角恒等变换.
10.（2017宁夏石嘴山模拟）已知3cos 5
α=，
()72
cos 10
αβ-=
，
且02
πβα<<<，那么β=（ ）
A 。

12
π B. 6
π C. 4
π
D.
3
π 【答案】C
【解析】()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ⎡⎤=--=-+-⎣⎦ ，由已知
()3cos ,cos 5102
πααββα=-=<<<，可知4sin 5α=，
()sin αβ-=
，
代入上式得34cos 5
5β=+==
，所以4
πβ=，故
选C 。

考点：三角变换公式与求值。

11。

（2017湖北黄石模拟）已知函数
())cos(2017)f x x x =+的最大值为
A,若存在实数x 1，x 2
使得对任意实数x 总有f （x 1）≤f(x）≤f（x 2）成立，则A ｜x 1﹣x 2｜的最小值为（ ） A ．
2017
π
B ．
22017
π
C ．
42017
π
D ．
4034
π
【答案】B
考点：三角变换公式及三角函数的图象和性质的综合运用。

12。

（2017安徽省蚌埠市质检）已知函数
()2
31
cos sin 2
22
x
f x x ωω=+
- (0,)x R ω>∈，若函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ） A.
50,12⎛⎤
⎥⎝⎦
B.
][5
5110,,12612⎛⎫⋃ ⎪⎝
⎭ C 。

50,6⎛⎤
⎥⎝⎦
D 。

][5
5110,,12
612⎛⎤⋃
⎥⎝⎦ 【答案】D 【解析】
()213132cos 1sin cos sin sin 222226x f x x x x x ωπωωωω⎛⎫⎛
⎫=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，当
()
,2x ππ∈ 时，
,2666x π
ππωωπωπ⎛
⎫+
∈++ ⎪⎝⎭
，依题意， ()156
{,Z 6212216
k k k k k π
ωππ
ωπωππ
+
≥⇒-≤≤+∈+≤+,
由512126k k +
>-,可得7,06k k <=时, 50,12ω⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，当1k =时， 511,
612ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
,所以ω的取值范围是][5
5110,,12612⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦，故选D 。

考点：三角变换公式及三角函数性质的综合运用。

13.（2017兰州模拟）设02πθ<<,()sin 2,cos a θθ=，()cos ,1b θ=，若a ∥b ，则tan θ= . 【答案】12
.
【解析】∵()sin 2,cos a θθ=，()cos ,1b θ=,a ∥b ，∴2
sin 2cos θθ=,
即2
2sin cos cos θθθ=，
又∵02πθ<<，∴2sin cos θθ=,sin 1
tan cos 2
θθθ==。

考点：1。

平面向量共线的坐标表示;2。

三角恒等变形。

14.(2017海口模拟)设函数()2
2cos 3sin2f x x x a =+
+(a 为常实数)
在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值为4-，则a 的值等于 。

【答案】-4
考点：1、三角恒等变换；2、三角函数的性质。

15.（2017福建漳州模拟）若角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合，终边以原点为圆心的单位圆交于点(),m n ，且2n m
=-，则2
2sin cos cos ααα-等。