2024学年重庆市江津中学高三下开学检测试题数学试题试卷

2024学年重庆市江津中学高三下开学检测试题数学试题试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（ ）
A ．12i +
B ．12i -+
C ．12i --
D ．12i -
2．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）
A ．48
B ．60
C ．72
D ．120
3．已知3sin 2cos 1,(,
)2παααπ-=∈，则1tan 21tan 2α
α-=+（ ） A ．12- B ．2- C ．12 D ．2 4．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ）
A ．12π
B ．3π
C ．2π
D ．1π
5．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A ∩B ＝（ ）
A ．{﹣2，﹣1，0}
B ．{﹣1，0，1，2}
C ．{﹣1，0，1}
D ．{0，1，2}
6．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02
a b a b +=
>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A ．174π
B ．214π
C ．4π
D ．5π
7．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为
43
π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）
A ．22
B ．
32 C ．212+ D ．312+ 8．若，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．函数()sin 2sin 3f x x m x x =++在[,]63
ππ
上单调递减的充要条件是（ ） A ．3m ≤- B ．4m ≤- C ．83m ≤ D ．4m ≤
10．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ= ()·cos ?cos AB AC AB B AC C
+，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）
A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
11．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14
，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）
A ．35
B ．45
C ．1
D ．85
12．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==，2AB =，1AC =，AO AB AC λμ=+(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =（ ）
A ．73
B 7
C ．7
D 7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点()1,1对称,()()3
11g x x =-+,若函数()f x 图象与函数()g x 图象的交点为112220192019,,,,()()(),,x y x y x y ⋯,则()2019
1
i j
i x y =+=∑_____． 14．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟.
15．已知单位向量,a b 的夹角为2π3
,则|2|a b -=_________. 16．已知函数()1x f x e ax =+-，若0,()0x f x 恒成立，则a 的取值范围是___________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某精密仪器生产车间每天生产n 个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布2(10,0.1)N （单位：微米m μ），且相互独立．若零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格．
（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X ，求(2)P X ≥及X 的数学期望EX ；
（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设n 充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．
5049(33)0.9987,0.99870.9370,0.99870.00130.0012P μσξμσ-<<+==⨯=．
18．（12分） [选修4 5：不等式选讲]
已知a b c d ,,,都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 2222111115
a b c d a b c d +++++++． 19．（12分）在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示: 试销价格
x (元)
4 5 6 7 8 9 产品销量y
(件) 89 83 82 79 74 67
已知变量,x y 且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲453y x =+； 乙4105y x =-+；丙 4.6104y x =-+，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.
（1）试判断谁的计算结果正确？
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数X 的分布列和数学期望.
20．（12分）已知直线1x y +=过椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦点，且交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点是21,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， （1）求椭圆的方程；
（2）过原点的直线l 与线段AB 相交（不含端点）且交椭圆于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.
21．（12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，该项质量指标值落在区间[
)20,40内的产品视为合格品，否则视为不合格品，如图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表.
图：设备改造前样本的频率分布直方图
表：设备改造后样本的频率分布表 质量指标值
[)15,20 [)20,25 [)25,30 [)30,35 [)35,40 [)40,45 频数 2 18 48 14 16 2
（1）求图中实数a 的值；
（2）企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在区间[)25,30内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在区间[)20,25或[)30,35内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元，根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望.
22．（10分）已知动点M 到定点()1,0的距离比到y 轴的距离多1.
（1）求动点M 的轨迹C 的方程；
（2）设A ，B 是轨迹C 在()0x ≥上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α，β变化且3π
αβ+=时，证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B
【解析】
根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果.
() 22112i i i i +=-=-+.
故选B
【点睛】
本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型.
2、A
【解析】
对数字2分类讨论，结合数字135，，中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论
【详解】
数字2出现在第2位时，数字135，，中相邻的数字出现在第34，位或者45，位，
共有22232212C A A =个
数字2出现在第4位时，同理也有12个
数字2出现在第3位时，数字135，，中相邻的数字出现在第12，位或者45，位，
共有1222232224C C A A =个
故满足条件的不同的五位数的个数是48个
故选A
【点睛】
本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字2分类讨论，属于基础题。

3、B
【解析】
结合22sin cos 1αα+=求得sin ,cos αα的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值.
【详解】
由22sin 2cos 1sin cos 1αααα-=⎧⎨+=⎩，以及3(,)2παπ∈，解得34sin ,cos 55αα=-=-. 1tan 21tan 2αα-=+2
22sin 21cos sin cos cos
sin 12cos sin 2222222sin
cos sin cos sin cos sin cos sin 2222222221cos 2α
ααα
αααααααααααααα
-⎛⎫--- ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+
3
11sin 524cos 5αα+
-===--. 故选：B
【点睛】
本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题.
4、D
【解析】
根据统计数据，求出频率，用以估计概率.
【详解】
70412212π
≈. 故选:D.
【点睛】
本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.
5、D
【解析】
解一元二次不等式化简集合B ,再由集合的交集运算可得选项.
【详解】
因为集合{2,1,0,1,2},{|(5)(1)0}{|15}A B x x x x x =--=-+<=-<<
{}{}{}2,1,0,1,2|150,1,2A B x x ∴⋂=--⋂-<<=，
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，属于基础题.
6、B
【解析】
根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值．
【详解】
由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体ABCD A B C D -的四个顶点，即为三棱锥A CB D -，且
长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2,,a b ，
∴此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球， 且球半径为22222
24a b a b R ++++==， ∴三棱锥外接球表面积为()
()222222421445124a b a b a ππππ⎛⎫++=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
， ∴当且仅当1a =，12b =时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214π． 故选B ．
【点睛】
（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．
（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题．
7、D
【解析】
先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解.
【详解】
设四个支点所在球的小圆的圆心为O '，球心为O ， 由题意，球的体积为
43
π，即24433R ππ=可得球O 的半径为1， 2的正方形硬纸，可得圆O '的半径为12， 利用球的性质可得2221
31()22
O O '=-=， 又由O '到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为
12，
所以球心到底面的距离为3131222
++=. 故选：D.
【点睛】 本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题. 8、B
【解析】
由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.
【详解】
因为
，由诱导公式得，所以 . 故选B
【点睛】
本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.
9、C
【解析】
先求导函数，函数在[,]63
ππ
上单调递减则()0f x '≤恒成立，对导函数不等式换元成二次函数，结合二次函数的性质和图象，列不等式组求解可得.
【详解】
依题意，2()2cos 2cos 34cos cos 1f x x m x x m x '=++=++，
令cos x t =，则13[,22t ∈，故2410t mt ++≤在[1322
上恒成立； 结合图象可知，1141042334104
m m ⎧⨯+⨯+⎪⎪⎨⎪⨯+⎪⎩，解得4833m m -⎧⎪⎨-⎪⎩
故83m ≤故选：C.
本题考查求三角函数单调区间. 求三角函数单调区间的两种方法:
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解；
(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.
10、B
【解析】
解出AP ，计算AP BC ⋅并化简可得出结论．
【详解】
AP OP OA =-=λ（AB AC
AB cosB AC cosC +⋅⋅），
∴()...0AB BC AC BC AP BC BC BC AB cosB AC cosC λλ⎛⎫ ⎪=+=-+= ⎪⋅⋅⎝⎭， ∴AP BC ⊥，即点P 在BC 边的高上，即点P 的轨迹经过△ABC 的垂心．
故选B ．
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算AP BC ⋅是关键．
11、D 【解析】
根据以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比求得
12
AC AB =，即tan α的值，由此求得sin α和cos α的值，进而求得所求表达式的值.
【详解】 由于直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为1
4，所以12AC AB =，即1tan 2
α=，所以sin αα==所以2cos sin 2αα+=
482
55+=. 故选：D
【点睛】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.
【解析】
确定点O 为ABC ∆外心，代入化简得到5
6λ=，43
μ=，再根据BC AC AB =-计算得到答案. 【详解】
由OA OB OC ==可知，点O 为ABC ∆外心，
则2122AB AO AB ⋅==，211
22
AC AO AC ⋅==，又AO AB AC λμ=+，
所以2242,
1,
2AO AB AB AC AB AC AB AO AC AB AC AC AB AC λμλμλμλμ⎧⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩
①
因为42λμ-=，② 联立方程①②可得5
6λ=
，43
μ=，1AB AC ⋅=-，因为BC AC AB =-， 所以2
2
2
27BC AC AB AC AB =+-⋅=，即7BC =
故选：D 【点睛】
本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4038. 【解析】
由函数图象的对称性得：函数()f x 图象与函数()g x 图象的交点关于点()1,1对称，则
120192201832017101022x x x x x x x +=+=+=⋅⋅⋅==，120192201832017101022y y y y y y y +=+=+=⋅⋅⋅==,即
()20191
4038i
j
i x y =+=∑，得解．
【详解】
由()()3
11g x x =-+知：()()22g x g x +-=
得函数()y g x =的图象关于点()1,1对称 又函数()f x 的图象关于点()1,1对称
则函数()f x 图象与函数()g x 图象的交点关于点()1,1对称 则120192201832017101022x x x x x x x +=+=+=⋅⋅⋅==
120192201832017101022y y y y y y y +=+=+=⋅⋅⋅==
故12201820192019x x x x ++⋅⋅⋅++=，12201820192019y y y y ++⋅⋅⋅++=
即
()2019
1
4038i
j
i x y =+=∑
本题正确结果：4038 【点睛】
本题考查利用函数图象的对称性来求值的问题，关键是能够根据函数解析式判断出函数的对称中心，属中档题． 14、7.5 【解析】
分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数. 【详解】
76+147+158410
7.5714154
⨯⨯⨯+⨯=+++
故答案为：7.5 【点睛】
此题考查求平均数，关键在于准确计算出所有数据之和，易错点在于概念辨析不清导致计算出错.
15 【解析】
因为单位向量,a b 的夹角为
2π3
，所以2π1
||||cos 32⋅=⋅=-a b a b ，所以
|2|a b -
=.
16、[1,)-+∞ 【解析】
求导得到()x
f x e a '=+，讨论10a +和10a +<两种情况，计算10a +<时，函数()f x 在[)00,x 上单调递减，故
()(0)0f x f =，不符合，排除，得到答案。

【详解】
因为()1x f x e ax =+-，所以()x
f x e a '=+，因为0x ，所以()1f x a '+.
当10a +，即1a ≥-时，()0f x '，则()f x 在[0,)+∞上单调递增，从而()(0)0f x f =，故1a ≥-符合题意；
当10a +<，即1a <-时，因为()x
f x e a '=+在[0,)+∞上单调递增，且(0)10f a '=+<，所以存在唯一的
0(0,)x ∈+∞，使得()00f x '=.
令()0f x '<，得00x x <，则()f x 在[)00,x 上单调递减，从而()(0)0f x f =，故1a <-不符合题意.综上，a 的取值范围是[1,)-+∞. 故答案为：[1,)-+∞. 【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题是解题的关键.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析（2）需要，见解析 【解析】
（1）由零件的长度服从正态分布2
(10,0.1)N 且相互独立,零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<即为合格,则每一个
零件的长度合格的概率为0.9987,X 满足二项分布,利用补集的思想求得()2P X ≥,再根据公式求得EX ； （2）由题可得不合格率为2
50
,检查的成本为10n ,求出不检查时损失的期望,与成本作差,再与0比较大小即可判断. 【详解】
（1）14950
50(2)1(1)(0)10.99870.00130.99870.003P X P X P X C =-=-==-⋅⋅-=≥,
由于X 满足二项分布,故0.0013500.065EX =⨯=. （2）由题意可知不合格率为
250
, 若不检查,损失的期望为252
()2602020505E Y n n =⨯⨯
-=-； 若检查,成本为10n ,由于522
()1020102055
E Y n n n n -=--=-, 当n 充分大时,2
()102005
E Y n n -=->,
所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件. 【点睛】
本题考查正态分布的应用,考查二项分布的期望,考查补集思想的应用,考查分析能力与数据处理能力. 18、见解析 【解析】
试题分析：把不等式的左边写成()()()()222211111111a b c d a b c d a b c d ⎛⎫
⎡⎤++++++++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭
形式，利用柯西不
等式即证．
试题解析：证明：∵()()()()222211111111a b c d a b c d a b c d ⎛⎫
⎡⎤++++++++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭
2
≥
()2
1a b c d =+++=，
又()()()()11115a b c d +++++++=，
∴22221
11115
a b c d a b c d +++≥++++ 考点：柯西不等式 19、（1）乙同学正确
（2）分布列见解析， ()3
2
E X = 【解析】
（1）由已知可得甲不正确，求出样本中心点(,)x y 代入验证，即可得出结论；
（2）根据（1）中得到的回归方程，求出估值，得到“理想数据”的个数，确定“理想数据”的个数X 的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解. 【详解】
（1）已知变量,x y 具有线性负相关关系，故甲不正确，
6.5,79x y ==，代入两个回归方程，验证乙同学正确，
故回归方程为：4105y x =-+
（2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表：
“理想数据”有3个，故“理想数据”的个数X 的取值为:
0,1,2,3.
()0333361020C C P X C ===，()12333
69
120
C C P X C === ()2133369220C C P X C ===，()30333
61
120
C C P X C === 于是“理想数据”的个数X 的分布列
()0123202020202
E X ∴=⨯
+⨯+⨯+⨯= 【点睛】
本题考查样本回归中心点与线性回归直线方程关系，以及离散型随机变量的分布列和期望，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
20、（1）2212x y +=（2）
3
【解析】
（1）由直线1x y +=可得椭圆右焦点的坐标为(1,0),由中点M 可得121242
,33
x x y y +=+=,且由斜率公式可得
21
211y y x x -=--,由点,A B 在椭圆上,则2222112222221,1x y x y a b a b
+=+=,二者作差,进而代入整理可得222a b =,即可求解；
（2）设直线:l y kx =,点,A B 到直线l 的距离为12,d d ,则四边形的面积为()1212111
222
S CD d CD d CD d d =
⋅+⋅=+,将y kx =代入椭圆方程,再利用弦长公式求得CD ,利用点到直线距离求得12,d d ,根据直线l 与线段AB （不含端点）相交,
可得()4
101033k k ⎛⎫⨯-+< ⎪⎝⎭,即14
k >-,进而整理换元,由二次函数性质求解最值即可.
【详解】
（1）直线1x y +=与x 轴交于点(1,0),所以椭圆右焦点的坐标为(1,0),故1c =, 因为线段AB 的中点是21,33M ⎛⎫
⎪⎝⎭
, 设()()1122,,,A x y B x y ,则121242
,33
x x y y +=+=,且
21211y y x x -=--, 又2222112222221,1x y x y a b a b +=+=,作差可得2222
212122
0x x y y a b --+=,
则
()()()()
212121212
2
0x x x x y y y y a
b
-+-++
=,得222a b =
又222,1a b c c =+=, 所以2
2
2,1a b ==,
因此椭圆的方程为2
212
x y +=.
（2）由（1）联立22
121
x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得01x y =⎧⎨=⎩或4313x y ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
, 不妨令()410,1,,33A B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
,易知直线l 的斜率存在,
设直线:l y kx =,代入2212
x y +=,得()
22
212k x +=,
解得x
或,
设()()3344,,,C D x y y x ,
则34x x +
-=
,
则34C x D -==因为()410,1,,33A B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
到直线y kx =
的距离分别是12d d =
=,
由于直线l 与线段AB （不含端点）相交,所以()4
101033k k ⎛⎫⨯-+< ⎪⎝⎭,即14
k >-,
所以(
)12
444
1k k d d +++==, 四边形ACBD 的面积(
)1212111222S CD d CD d CD d d =⋅+⋅=+=, 令1k t +=,3
4
t >
,则2221243k t t +=-+,
所以S =
当123t =,即12k =时
,min S ==
因此四边形ACBD
【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程,考查椭圆中的四边形面积问题,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力. 21、（1）0.080a =（2）详见解析 【解析】
（1）由频率分布直方图中所有频率（小矩形面积）之和为1可计算出a 值； （2）由频数分布表知一等品、二等品、三等品的概率分别为
111
,,236
.，选2件产品，支付的费用X 的所有取值为240，300，360，420，480，由相互独立事件的概率公式分别计算出概率，得概率分布列，由公式计算出期望． 【详解】
解：（1）据题意，得0.00850.032550.02450.03650.02051a ⨯+⨯++⨯+⨯+⨯= 所以0.080a =
（2）据表1分析知，从所有产品中随机抽一件是一等品、二等品、三等品的概率分别为111
,,236
. 随机变量X 的所有取值为240，300，360，420，480.
()111
2406636P X ==⨯=
()1
2111300369P X C ==⨯⨯=
()1
211115360263318P X C ==⨯⨯+⨯=
()1
2111420233P X C ==⨯⨯=
()111
480224
P X ==⨯=
随机变量X 的分布列为
所以()11511
2403003604204804003691834
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 【点睛】
本题考查频率分布直方图，频数分布表，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题时掌握性质：频率分布直方图中所有频率和为1．本题考查学生的数据处理能力，属于中档题．
22、（1）2
4y x =或()00y x =<；（2）证明见解析，定点⎛- ⎝⎭
【解析】
（1）设(,)M x y ||1x =+，对x 的正负分情况讨论，从而求得动点M 的轨迹C 的方程；
（2）设其方程为y kx b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到4tan
3
4b k π
=
-，所以44b k k =+=，
所以直线AB 的方程可表示为4y kx k =+，即(4)y k x =+，所以直线AB 恒过定点(-． 【详解】
（1）设(),M x y ，
动点M 到定点()1,0的距离比到y 轴的距离多1，
1x =+，0x ≥时，解得2
4y x =，
0x <时，解得0y =.
∴动点M 的轨迹C 的方程为24y x =或()00y x =<
（2）证明：如图，设()11,A x y ，()22,B x y ， 由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且120x x ≠， 所以直线AB 的斜率存在，设其方程为y kx b =+， 将y kx b =+与2
4y x =联立消去x ，得2
440ky y b -+=，
由韦达定理知124
y y k
+=
，124b y y k =，①
显然2
114
y x =，2224y x =，
3
π
αβ+=
，()()12124tan tan tan
tan 3
1tan tan 16y y y y π
αβαβαβ++∴=+=
=--，
将①式代入上式整理化简可得：4
tan
3
4b k
π
=
-，
所以4434433
b k k =
+=+，
此时，直线AB 的方程可表示为43
43
y kx k =+
+， 即()43
43
y k x =++
， 所以直线AB 恒过定点434,3⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题主要考查了动点轨迹，考查了直线与抛物线的综合，是中档题．。