易拉罐(张)

易拉罐的优化设计
摘要：如何设计易拉罐的外观与尺寸,以达到材料成本的最小化是本文讨论的重点问题。

本文作者解剖了可口可乐易拉罐(355ml)，实测得到各部位数据。

在此基
础上，针对不同形状的易拉罐建立了两个模型。

模型一，外形基本特征为正圆
α,，运用拉格朗日乘数法得出用料体积的最优柱体，设定上、下底厚度参数β
解，经验证实测数据差距较大。

模型二，外型基本特征为上半部分是正圆台，
下半部分是正圆柱体，设定上下底厚度相同，建立非线性规划模型，给出上下
底半径差值的可行区间，运用MATLAB求得多组可行解，结合制作工艺实施的
可行性，引入圆台侧壁倾斜角θ作为筛选条件得到的最优解能较合理地说明实
测结果。

并自行设计了一种易拉罐模型，从用料、工艺、外型阐述了该设计的
优缺点。

关键词：易拉罐；拉格朗日乘数法；优化设计；非线性规划模型
一、问题重述
观察可口可乐，青岛啤酒的易拉罐（355毫升装），我们注意到一个有趣的现象，不仅形状相同，而且尺寸相同。

难道这仅仅是一种偶然的巧合，还是大师的最优设计。

一种易拉罐设计成这种形状，这是一种创意。

而像可口可乐，青啤这样生产量达到几亿，甚至几十亿个的大公司，所设计的外型，那不仅仅是创意，必定还考虑到注意用料，合理贮运，人性化设计等特点，这也激发了我们对可乐罐的设计研究。

(1)测量一个355毫升的可口可乐易拉罐的尺寸，并将测得数据列出表格加以说明；
(2)当易拉罐为正圆柱体时，设计它的最优形状和尺寸设计，例如半径和高之比等；
(3)当易拉罐的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体时，给出易拉罐形状和尺寸的最优设计；
(4)利用自己对所测量的易拉罐的洞察和想象力，设计出关于易拉罐的形状和尺寸的最优设计。

二、问题分析
问题一分析：
根据题目中所要求，我们运用游标卡尺测量出一个355毫升的可口可乐饮料罐的各部分结构尺寸，其中包括易拉罐的直径、高度、厚度以及一些其他所需尺寸，因为罐体拉伸工艺的要求，所以使得在易拉罐的不同表壁处存在着薄厚不均，这也影响到测量值的准确性。

为了减小误差，我们采用了多次测量取平均值的方法（具体数值参见附录１），并对最后结果进行表注和列表说明。

问题二分析：
在易拉罐的罐体为正圆柱体的情况下，容积给定。

假设罐体各部位的厚度相同，容易发现，当罐体高度与底面直径相同时，易拉罐表面积最小，即用料最省。

但考虑到实际罐体各部位的厚度并不相同，此问题就不能简单的归结为计算罐体表面积的最小值，
α,，建立耗材体积关于半径与高的二元函数，运用拉格朗为此须引入上下底厚度参数β
日数乘法解得最优解。

与我们的实测数据相比较，探讨该易拉罐造型的合理性。

问题三分析：
当易拉罐的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体时，采用与问题２类似的思考方式，实现其耗材体积的最小，由此建立的目标函数较问题２更为复杂，增加了圆台上底半径与高度，在只有一个约束条件的前提下，无法得到最优解。

此时，考虑了两种简化模型的方法：一、结合生产工艺的可行性，引入圆台侧壁倾斜角作为限制条件；二、为了确保圆台的存在性，我们给定了上下底半径差值的可行区间，建立此约束条件下的非线性规划模型，借助Matlab软件求解。

将所得结果与实测数据进行比较，加以分析。

三、模型的条件和假设
(1) 假设不考虑易拉罐罐体内外部涂层厚度。

(2) 假设我们考虑的易拉罐材料为铝材。

(3) 假设上、下底的铝材厚度大于壁厚。

(4) 假设实测数据的误差对验证过程不影响。

(5) 假设问题中的经验公式在给定的参数变化范围内是有效的。

(6) 假设易拉罐的顶部与底部的凹陷部分对体积影响可忽略。

(7) 假设忽略气体压强对造型设计的影响。

(8) 假设测壁厚度的渐变对计算结果不产生影响。

(9) 假设整个易拉罐各个部位的厚度是均匀的。

四、符号说明
b ： 侧壁厚度 1m ： 顶部的厚度 2m ： 底部的厚度
α： 上底厚度与侧壁厚度的比值 β： 下底厚度与侧壁厚度的比值
1r ： 圆柱体的内半径 2r ： 顶盖的半径 h ： 易拉罐的总高
1h ： 易拉罐上、下底之间的最短距离（不包括顶部的厚度） 2h ： 易拉罐上部圆台的高（不包括顶部的厚度）
3h ： 易拉罐中间圆柱体的高度（不包括顶部和底部的厚度） 4h ： 球缺的高
d ： 易拉罐最胖处的直径 1d ： 顶部的最大直径
2d ： 易拉罐圆柱体的最小直径 3d ： 球缺底面的半径 1CV ： 易拉罐的侧面体积
1V ： 问题2中的正圆柱体铝罐所需的铝材体积
2V ： 问题3中正圆台和正圆柱体所用铝材的总体积 3V ： 改进后铝罐所需要的铝材的总体积 a ： 旋转椭球体的长轴 1b ： 旋转椭球体的短轴 R ： 球冠所在球体的半径 S ： 球冠: 底部球冠的表面积 V ： 球冠: 球冠所形成的体积
其它符号使用时再予说明
五、模型建立及求解
问题一：
(1)我们首先运用各种测量工具对实物进行测量，借助AutoCAD软件作出净含量为355毫升的可口可乐易拉罐的剖面图，如下图所示：
图一
(2)用游标卡尺对易拉罐进行多次测量并记录上图中该易拉罐剖面图中标注的各项尺寸（具体测量数据见附录一），取其平均值后汇入下表：(单位：mm )
表一
由表一可知：
a)该易拉罐底部中间突起部分的厚度存在差异；
b) 该易拉罐的上底面直径大于下底面直径； c) 该易拉罐各部位的壁厚存在差异。

(3)我们用水和量筒测量出一组该易拉罐的容积数据：(单位：cm 3)
表二
问题二：
考虑当易拉罐的罐体为正圆柱体时（如图二），各部位的壁厚存在差异，引入上、下
底厚度与侧壁厚度的比值βα,， 则
图二
易拉罐侧面所用材料体积为：
[]b h r b r cV )(])([12
1211βαππ++-+=
3
21
11)()(22b b r b h r βαπβαππ++++= 上底面所用材料体积为：2
1r b πα
下底面所用材料体积为：2
1r b πβ 可得易拉罐所用材料的总体积为：
321
11)()(22b b r b h r βαπβαππ+++++2
1r b πα+21r b πβ 因为b<< 1 ,所以32,b b 项对结果造成的影响很小，将32,b b 项忽略不计，得到耗材
总体积的简化函数：
b r b h r h r V ⨯++=)(2),(2
111111βαππ
下面以容积12
1h r V π=是定值为约束条件，建立如下数学模型求解耗材体积的最少值：
Min b r b h r h r V )(2),(2
111111βαππ++=
s ．t ． 12
1h r V π-=0
0,011>>h r
模型求解：
解决此类二元函数的极值问题有多种方法，如利用导数或均值不等式，本文利用拉格朗日乘数法求解。

引入参数 0≠λ, 令
][])(2[),,(12
1211111V h r r h r b h r L --++=πλβαπλ
求临界点
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=∂∂=-=-=∂∂=-++=∂∂0
0)2(202]2)(2[2121112
111
11111h r V L r b r r br h L h r h r b r L
πλ
λπλπππλβαπ 从第 2，3 式解得12
1
12,r b r V h ==
λπ，代入第 1 式解得 r
b
2=
λ ，)(βα+=r h ，3)(βαπ+=v r
即当3
2
)(π
βα+=
v h ，3
)
(βαπ+=v
r 时，取得最优解为
b v V 32min 1)(3βαπ+=
分析结果可得，当11)(r h βα+=，即βα+=1
1
r h 时，),(111h r V 达到最小；
数据验证：
(1)当b b b ==βα即上底，下底和侧面材料厚度相同时，1==βα，1
1
r h ＝2，即为不考虑壁厚情况下的最优解；
(2) 由我们所测量的数据得出 1.75421111==r h d h ，即509.311
=r h ，而由表中数据可知：022.0=b ，那么2727.3=+βα；该结论与实测数据存在较大的差异。

问题三：
在本题中，易拉罐结构按圆台和圆柱分为上下两部分(如图三)。

其实这种造型具有一定的必然性。

由于受易拉罐现实生产工艺中向内收口工序的局限，势必产生圆台侧壁倾斜角θ，可查得θ≈107o ，即2213.0h r r =-。

类似于问题二的解决方法，本问题要实现易拉罐耗材体积最小。

图三
V 2=)(])([)(212
2122222
111b m r b l r b l r r m b r b h r -+++++++πππ，
其中2
212
22
)(r r h l -+=。

建立有约束非线性规划的优化模型：
2V Min
365)(3
1.
.2
1122
2212
1=+++r r r r h h r t s ππ
2213.0h r r =-
不妨假设罐壁厚度为0.22mm ，顶盖厚度为0.36mm ，底部厚度为0.36mm;
运用Matlab 求解(见附录六)得：
经检验，R,r,H,h 与实际测量数据相比较偏小。

结合实际经验考虑，我们引入上下半径差i=R －r 的可行区间[0.2,0.4]。

模型改进为：
)(])([)(212
2122222111b m r b l r b l r r m b r b h r Min
-+++++++πππ
365)(.
.2
11
222231121=+++r r r r h h r t s ππ i r r =-21
用Matlab 软件编程(见附录三)解得多组可行解(见附录二)，考虑到加工工艺的局限引入了侧壁倾斜角的余切值作为筛选条件，即运用2213.0h r r =-这一约束条件对数据进行筛选，找出一组最优解，如下：
由表中数据可得：
r 1=3.3201 cm r 2=3.0540 cm h 1=9.6981 cm h 2=0.8870 cm V 2=7.1874 ml
结果分析与比较：
排除测量误差等因素的影响，所得结果与实际测量数据相比较略有差异，引起误差的主要原因是计算的易拉罐与实际测量的易拉罐存在一定的结构差异，所测易拉罐底部采用上凹设计，使易拉罐必须更高才能满足容量要求，故实际测量值比计算值更大。

问题四：
(1)在测量的过程中，我们注意到可乐罐的底部并非是个平面，实际中的底面为一个向内凹的球冠。

通过查阅资料得知这个球冠的构造设计具有以下好处：
a) 与同高的平底易拉罐相比，上凹底面的设计使内部容积减小，迫使罐高增加以获得需要容积，故与相同容积平底易拉罐相比罐高更大，使人感觉凹底的易拉罐容量更大，吸引消费者购买。

b) 底面上凹在周围形成凹槽，从结构学上分析，小接触面比大接触面更易平稳放置，且便于叠放。

具有一定的缓冲作用，方便于运输。

c) 抗压力强，构建蛋壳式的构造，使得用最小的面积获得最大的抗压性，使底面更坚硬。

d) 承受更大的涨力。

压力是外界对它所引起的作用力，涨力是本身的爆发力。

由于瓶内所装液体本身就有一定的气体产生，当外界的温度改变时，遇热膨胀，由于平底的易拉罐没有伸展的空间，更容易引起胀罐。

e) 不平的底部有利于碳酸钠分解为二氧化碳，使汽水中溶有更多的二氧化碳。

(2)受此启发，我们把弧型引入到易垃罐的设计中。

将罐体改为容积为365ml 的旋转椭圆体，鉴于旋转椭圆体特性，建立数学模型:
022.0*3
23722
1121
3b ab a b V Min
++=π 36534.
.2
1=ab t s π 0>a
01>b
运用Matlab 求出最优解（见附录四）
当455.41==b a ，
448.5),(13=b a V ；
即罐体为球体。

为使饮用和放置方便，分别去除上部和下部，并引入实际易拉罐顶部和底部上凹结构设计。

但从美学角度，手感及制造工艺等方面考虑，球体并非最佳。

模型改进：
首先我们对该上凹底面进行测量并标注如下图所示：
图四
根据勾股定理，设该圆冠的半径为R , 可得：
22
32
4)2
()(R d h R =--
代入测得的数据可得： R ＝3.42cm 根据球冠面积公式： 42Rh S π=球冠 可得： S 球冠＝24.48cm 2 又由球冠体积公式： V 球冠＝
6
)
3(2
424h R h +π
算得： V 球冠＝21.7cm 3
为叠放方便，切除部分的上、下底面的形状尺寸要基本相似，且于上凹部分相近。

所以上、下切除部分尺寸与图三所示尺寸相同。

同时我们引入黄金分割定理，使最后所设想的罐体的最大半径与罐高之比为黄金分割比例。

重新编写程序输入Matlab 求解得出（见附录五）：
6248.7=a
5503.63=V
所以由以上数据直接可得椭球的长轴为 cm a 62.7= 整个罐体总共所消耗的铝材量为 3
355.6cm V =
也由此可以计算出短轴的长为 cm a b 7121.4618.01==
罐高为： cm a h 13)14.1(24≈-= 最大直径为2倍的短轴长： cm d 42.9= 结合以上数据运用Pro/E 制图软件做出三维效果图：
图五
特点分析:
(1) 由上面的计算结果我们很容易可以看出改进之后的罐体所消耗的铝材量少于问题三中所计算出来的结果，达到了优化的目的。

(2) 延续使用了现实中可乐罐的球冠式底面设计，充分运用了上述中的诸多优点。

(3) 类似于鸡蛋的圆弧型表壁设计充分运用了仿生学原理，增加了结构的强度，也融合了轻量化的设计要求。

优缺点分析:
优点：
(1) 由于我国铝金属资源的缺乏，现在生产易拉罐所需的铝材主要依靠进口。

铝材量消耗量的减少降低了生产成本，增加了厂家的利润。

(2) 在结构上比原先的易拉罐设计更优化。

(3) 增加了美观程度，体现了曲线的美感，更利于吸引消费者购买。

(4) 结合人—机工程学分析，圆弧的运用更适应于各个人群的手型特征。

缺点：
(1) 弧型结构的设计加大了生产工艺的要求，增加了拉伸、挤压的工序和难度，也相应的增加了生产的成本。

(2) 弧型的设计大大加大了对铝材料性能的要求，甚至有可能起到关键性的作用。

模型的创新:
此外我们对罐盖也相应的进行了观察与思考，由于易拉罐的拉环是开启易拉罐的重要工具，所以拉环的创新设计也对易拉罐的销售起到了一定的作用。

以下是我们通过Pro/E软件做出的对平口创新设计的效果图
图六（１）图六（２）
六．建模感想
数学建模是指对于现实生活中的一个特定对象，为了特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具如Matlab软件，得到一个数学结构，用于解决实际问题的一个过程。

数学建模大体可以归纳为以下几个步骤，我们结合本次易拉罐问题的解决，做一个阐述:
一、对某个实际问题进行观察、分析。

我们对易拉罐进行了实测，并在网上收集了有关易拉罐的数据，进行了比较，选择了本次模型的一些基础数据，为后续的模型计算打下了良好的基础，从中也发现了一些关键性的结论，例如：易拉罐底盖的厚度明显大于壁厚。

二、对实际问题进行必要的抽象、简化，作出假设。

为了使模型求解能顺利进行，我们从最简单的圆柱体开始研究，并做了一些合理的假设。

例如：我们根据上面的实测情况假设上、下底的铝材厚度大于壁厚、各个部位的厚度是均匀的。

三、确定要建立的模型中的变量和参数。

我们在建模初期，因为个人分工明确，每人都有一套参数，为此我们用了大量的时间来统一更正。

四、根据某种“规律”建立变量和参数间确定的数学关系。

数学关系的建立是建模的关键，我们深有体会。

开始时，我们考虑易拉罐盖底的厚度和壁厚的厚度之比按测量的值直接代入数学关系式去求解最优情况，通过对模型进一步深入的研究，我们发现这个厚度之比不固定在一个常数，模型一样可以求解，使得我们模型的应用面更为广泛。

五、解析或近似地求解该数学问题。

开始我们在问题三的求解当中并没有想到非线形规划，而是使用二重积分。

但发现使用二重积分计算十分复杂，最后放弃。

六、模型的解释和检验，如无法解释，则需修正建模过程。

我们在对问题三求解过程，利用非线形进行优化处理中，优化条件开始只设定了一个，经过大量的尝试后，我们发现其最优值与实际情况非常不吻合。

经过大量资料的查阅后，最终我们发现易拉罐从工艺角度讲，圆台下底面半径减去上底面半径比上小圆台高等于０.３。

加入此约束条件后，模型求解结果基本接近测量结果，检验通过。

通过此次建模，我们深切的体会到从实际情况出发做出合理的假设，寻找合理的算法，寻找合适的检验方式等等，都是数学建模的难点。

从第一次听说数学建模到比赛的这3天，我们学到的不仅仅是数学，更多的是发现问题解决问题的能力，这是对自身的一种锻炼，对我们以后的生活大有裨益，特别是这三天的建模比赛，更让我们受益匪浅。

参考文献
[1] 姜启源等, 数学模型, 北京：高等教育出版社，2003.8.
[2] 曹卫华等, 最优化技术方法极其Matlab的实现, 北京：化学工业出版社，2005.1.
[3] 吴兆祥, 模具材料及表面处理, 北京：机械工业出版社，2000.5.
[4] 冯涓等, 编著工业产品艺术造型设计, 北京：清华大学出版社, 2004.2.
附录附录一：(单位：mm)
function f=myfun1(x) %x(1)=r,x(2)=H,x(3)=h
i=0.27; %R-r=i
l=(x(3)^2+i^2)^.5; %根据勾股定理表示L
f=2*pi*(x(1)+i)*x(2)*0.022+pi*((x(1)+i)+0.022)^2*0.036+pi*(x(1)^2+x(1)*l+((x(1)+i)+0.02 2)*l)*0.022+pi*x(1)^2*0.014; %目标函数
function[c,ceq]=myfun2(x) %x(1)=r,x(2)=H,x(3)=h
c=[]; %x(1),x(2),x(3)>=0
i=0.27; %R-r=i
ceq=pi*(x(1)+i)^2*x(2)+1/3*pi*x(3)*(x(1)^2+x(1)*(x(1)+i)+(x(1)+i)^2)-355; %约束条件>> x0=[1,1,1];
>> lb=zeros(3,1);
>> [x,fval]=fmincon('myfun1',x0,[],[],[],[],lb,[],'myfun2')
x =
3.0540 9.6981 0.8870
fval =
7.1874
附录四：
function f=myfun3(x) %设x(1)为长轴长x(2)为短轴长
f=2*pi*x(2)*0.022*(7/3*x(1)^2+2/3*x(1)*x(2)+x(2)^2)^.5;
%f=2pib(7/3a^2+2/3ab+b^2)^0.5*0.022(壁厚)=所设计的铝罐每个所需铝的用量
function[c,ceq]=myfun4(x) %设x(1)为长轴长x(2)为短轴长
c=[]; %x(2),x(2)>=0
ceq=4/3*pi*(x(1)-0.022)*(x(2)-0.022)^2-365;
%旋转椭圆体积公式V=(4piab^2)/3=365(罐体体积)
>> x0=[1,1];
>> lb=zeros(2,1);
>> [x,fval]=fmincon('myfun3',x0,[],[],[],[],lb,[],'myfun4')
x =
4.4554 4.4554
fval =
5.4878
function f=myfun32(x) %设x为长轴长
f=2*pi*((x-1.14)/1.618)*0.022*(7/3*(x-1.14)^2+2/3*(x-1.14)*((x-1.14)/1.618)+((x-1.14)/1.6 18)^2)^.5-24.48*0.022+pi*2.55^2*0.036;
%f=2pib(7/3a^2+2/3ab+b^2)^0.5*0.022(壁厚)-切去部分用量+外加一个顶盖的的用料=所设计的铝罐每个所需铝的用量
function[c,ceq]=myfun42(x) %设x为长轴长
c=[]; %x>=0
ceq=4/3*pi*((x-1.14)-0.022)*((x-1.14)/1.618-0.022)^2-365-21.7*3;
%旋转椭圆体积公式V=(4piab^2)/3-切除部分体积=365(罐体体积)
>> [x,fval]=fmincon('myfun32',1,[],[],[],[],0,[],'myfun42')
x =
7.6248
fval =
6.5503
附录六：
function f=myfun(x) %符号说明x(1)=R,x(2)=r,x(3)=H,x(4)=h l=(x(4)^2+(x(1)-x(2))^2)^.5; %根据勾股定理得出L表达方式
f=2*pi*x(1)*x(3)*0.022+pi*(x(1)+0.022)^2*0.036+pi*0.022*(x(2)^2+x(2)*l+(x(1)+0.022)*l )+pi*0.014*x(2)^2; %目标函数
function[c,ceq]=myfun(x)
c=[];
ceq(1)=x(1)-x(2)-0.3;
ceq(2)=x(3)-x(1)*3.27;
ceq(3)=pi*x(1)^2*x(3)+1/3*pi*x(4)*(x(2)^2+x(2)*x(1)+x(1)^2)-365;
>> x0=[1,1,1,1];
>> lb=[0;0;0;0];
>> [x,fval]=fmincon('myfun7',x0,[],[],[],[],lb,[],'myfun8')
x =
3.2230 2.9230 10.5391 0.7099
fval =
7.1810。