福建省厦门市双十中学2018-2019学年高三(上)开学数学试卷(理科)(二)(含精品解析)

福建省厦门市双十中学2018-2019学年高三（上）开学
数学试卷（理科）（二）
一、选择题（本大题共10小题，共60.0分）1.
对于函数，下列结论正确的是（ ）
f(x)=1‒2x
A. 是增函数，其值域是f(x)[0,+∞)
B. 是增函数，其值域是f(x)[0,1)
C. 是减函数，其值域是f(x)[0,+∞)
D. 是减函数，其值域是f(x)[0,1)
2.
函数y =A sin （ωx +φ）的部分图象如图所示，则（ ）A. y =2sin(2x ‒π
6)
B. y =2sin(2x ‒π3)
C.
y =2sin(2x +π
6)D.
y =2sin(2x +π3)
3.
若向量，的夹角为，且||=2，||=1，则与+2的夹角为（ ）
⃗a ⃗
b π3⃗a ⃗b ⃗a ⃗a ⃗
b A.
B.
C.
D.
π6
π3
2π3
5π6
4.
已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y =2x 上，则cos2θ=（ ）
A.
B.
C.
D.
‒4
5
‒3
5
3545
5.
已知函数f （x ）=2sinωx （ω＞0）在区间上的最小值是-2，则ω的最小值
[‒π
3，π
4]
等于（ ）
A. B.
C. 2
D. 3
23
32
6.已知tanθ=2，则
=（ ）
sin(π
2+θ)‒cos(π‒θ)
sin(π
2‒θ)‒sin(π‒θ)
A. 2
B. C. 0 D.
‒223
7.
若
cos （-α）=，则
cos （+2α）的值为（ ）
π81
63π
4
A.
B.
C.
D.
1718
‒17
18
1819
‒18
19
8.
数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值．若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=（ ）
A. 132
B. 299
C. 68
D. 99
9.
如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若
=（λ、μ
为实数），则λ2+μ2=（ ）
⃗DE λ⃗AB
+μ⃗
AD
A.
B.
C. 1
D.
58
14
516
10.已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（0＜ω≤12，ω∈N *，0＜φ＜π），图象关于y 轴对称，
且在区间
上不单调，则ω的可能值有（ ）
[π
4，π
2]
A. 7个
B. 8个
C. 9 个
D. 10个
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11.在极坐标系中，点A 在圆ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0上，点P 的坐标为（1，0），则
|AP |的最小值为______．12.设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n 若对任意自然数n
都有=，
S n
T n 2n ‒34n ‒3则的值为______．
a 9
b 5+b 7
+a 3
b
8+b 4
13.已知函数f （x ）=（m +3）（x +m +1）（x +m ），g （x ）=2x -2，若对任意x ∈R ，有
f （x ）＞0或
g （x ）＞0成立，则实数m 的取值范围是______．
14.已知△ABC 中，角C 为直角，D 是BC 边上一点，M 是AD 上一点，且
|CD |=1，∠DBM =∠DMB =∠CAB ，则|MA |=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）15.
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：（
t 为参数，t ≠0），其中0≤α≤π，在以{x =tcosα
y =tsinαO 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=2sinθ，C 3：ρ=2cosθ．
3（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；
（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．
16.如图，在四边形ABCD 中，
∠DAB =，AD ：AB =2：3，BD =
，AB ⊥BC ．
π
37（1）求sin ∠ABD 的值；
（2）若∠BCD =，求
CD 的长．
2π
317.已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正
{
x =m +2
2t y =2
2t
半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ=12，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．
（Ⅰ）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．求|FA |•|FB |的值；（Ⅱ）设曲线C 的内接矩形的周长为P ，求P 的最大值．
18.设函数
f （x ）=sin （ωx -）+sin （ωx -），其中
0＜ω＜3，已知
f （）=0．
π6π
2π
6（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y =f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y =g （x ）的图象，求
g （x ）在[-，
π
4π
4]上的最小值．
3π
419.已知{a n }为等差数列，前n 项和为，{b n
}是首项为2的等比数列，且公S n (n ∈N ∗
)比大于0，b 2+b 3=12，b 3=a 4-2a 1，S 11=11b 4．
（1）求{a n }和{b n }的通项公式；
（2）记数列c n =a n -b n ，求{c n }的前n 项和T n （n ∈N *）．
20.设a∈R，函数f（x）=ln x-ax．
（1）若a=3，求曲线y=f（x）在P（1，-3）处的切线方程；
（2）求函数f（x）单调区间；
（3）若f（x）有两个零点x1，x2，求证：x1•x2＞e2．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：根据题意，函数，有1-2x≥0，解可得x≤0，即函数的定义域为（-∞，0]；
令t=1-2x，则有0≤t＜1，
则y=，
t=1-2x，在（-∞，0]为减函数，y=在[0，1）上为增函数，
则函数为减函数，且有y∈[0，1），即函数的值域为[0，1）；
故选：D．
根据题意，求出函数的定义域，令t=1-2x，则有0≤t＜1，则y=，由复合函数的单调性判断方法分析可得f（x）的单调性，进而求出其值域，即可得答案．本题考查复合函数的单调性以及值域的计算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】
解：根据函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，可得A=2，==+，∴ω=2．
再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=-，故f（x）=2sin（2x-），
故选：A．
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．3.【答案】A
【解析】
解：∵向量，的夹角为，且||=2，||=1，
∴===1．
∴==22+2×1=6，=
=．
两向量的夹角θ的取值范围是，θ∈[0，π]，
∴===，
∴与+2的夹角为．
故选：A．
利用数量积运算性质、向量的夹角公式即可得出．
本题考查了数量积运算性质、向量的夹角公式，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】
解：根据题意可知：tanθ=2，
所以cos2θ===，
则cos2θ=2cos2θ-1=2×-1=-．
故选：B．
根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．
此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．
5.【答案】B
【解析】
解：函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间上的最小值是-2，则ωx的取值范围是，
∴或，
∴ω的最小值等于，
故选：B．
先根据x的范围求出ωx的取值范围，进而根据函数f（x）在区间上
的最小值求出ω的范围，再由ω＞0可求其最小值．
本题主要考查正弦函数的最值和三角函数的单调性．属基础题．6.【答案】B
【解析】
解：=====-2．
故选：B．
直接利用诱导公式化简，然后利用齐次式，分子、分母同除cosθ，代入tanθ=2即可得到结果．
本题是基础题，考查三角函数的诱导公式的应用，考查计算能力，常考题型．7.【答案】A
【解析】
解：∵cos（-α）=，
∴cos（-2α）=2cos2（-α）-1
=2×-1
=-，
∴cos（+2α）=cos[π-（-2α）]
=-cos（-2α）
=．
故选：A．
利用二倍角公式求出cos（-2α）的值，再利用诱导公式求出cos（+2α）的值．
本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，是基础题．
8.【答案】B
【解析】
解：对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值，
∴（a n+1+a n+2+a n+3）-（a n+a n+1+a n+2）=0，
故a n+3=a n，
∴{a n}是以3为周期的数列，
故a1=a7=2，a2=a98=4，a3=a9=3，
∴S100=（a1+a2+a3）+…+（a97+a98+a99）+a100=33（2+4+3）+a1=299．
故选：B．
对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值，可得（a n+1+a n+2+a n+3）-
（a n+a n+1+a n+2）=0，a n+3=a n，于是{a n}是以3为周期的数列，即可得出．
本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于基础题．
9.【答案】A
【解析】
解：根据题意知，=-=-=（+）-=-
，
∴λ=，μ=-，
∴λ2+μ2=+=，
故选：A．
运用平面向量基本定理可解决此问题．
本题考查平面向量基本定理的简单应用．
10.【答案】C
【解析】
解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（0＜ω≤12，ω∈N*，0＜φ＜π），图象关于y轴对称，
∴φ=，∴f（x）=sin（ωx+）=cosωx．
在区间上不单调，则ω•＞π，
∴ω＞2，∴ω=3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共计10个，
经过检验，ω=4不满足条件，
故满足条件的ω有9个，
故选：C．
先求出φ，再根据诱导公式，余弦函数的单调性求出ω的范围，可得结论．本题主要考查正弦函数的奇偶性、以及图象的对称性，余弦函数的单调性，属于中档题．
11.【答案】1
【解析】
解：设圆ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x2+y2-2x-4y+4=0，
再化为标准方程：（x-1）2+（y-2）2=1；
如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为：
|AP|min=|CP|-r C=2-1=1，
故答案为：1．
先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P的距离的最小值．
本题主要考查曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最值，难度不大．
12.【答案】19 41
【解析】
解：由等差数列的性质和求和公式可得：
=+
===
===
故答案为：
由等差数列的性质和求和公式可得原式=，代值计算可得．
本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
13.【答案】（-3，-2）
【解析】
解：由g（x）=2x-2＜0，得x＜1，故对x≤1时，g（x）＞0不成立，
从而对任意x≤1，f（x）=（m+3）（x+m+1）（x+m）＞0恒成立，
则必满足，
解得-3＜m＜-2．
则实数m的取值范围是（-3，-2）．
故答案为：（-3，-2）
由题意可知x＜1时，g（x）＜0成立，进而得到f（x）=（m+3）（x+m+1）（x+m）
＞0对x≤1均成立，得到m满足的条件，求解不等式组可得答案本题考查了函数的值，考查了不等式的解法，体现了恒成立思想的应用，属于中档题
14.【答案】2
【解析】
解：设∠DBM=θ，则∠ADC=2θ，∠DAC=-2θ，∠AMB=
-2θ，
在△CDA中，由正弦定理可得=，
在△AMB中，由正弦定理可得=，
∴===，
从而MA=2，
故答案为：2．
设∠DBM=θ，在△CDA
中，由正弦定理可得=，在△AMB 中，
由正弦定理可得
=，继
而可得
=，问题得以解决本题考查了正弦定理的应用，关键是掌握应用的条件，属于中档题．15.【答案】解：（I ）由曲线C 2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，
∴x 2+y 2=2y ．
同理由C 3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，
3x 2+y 2=23x 联立，{
x 2+y 2‒2y =0x 2+y 2‒23x =0解得，，
{x =0y =0{x =32y =32∴C 2与C 3交点的直角坐标为（0，0），．
(32，32)（2）曲线C 1：（
t 为参数，t ≠0），化为普通方程：y =x tanα，其中{x =tcosαy =tsinα0≤α≤π，α≠；α=时，为x =0（y ≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R ，ρ≠0），π2π
2∵A ，B 都在C 1上，∴A （2sinα，α），B ．
(23cosα，α)∴|AB |==4
，|2sinα‒23cosα||sin(α‒π3)|当时，|AB |取得最大值
4．α=5π
6【解析】
（I ）由曲线C 2：ρ=2sinθ，化为ρ
2=2ρsinθ，把
代入可得直角坐标方程．同理由C 3：ρ=2
cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C 2与C 3交点
的直角坐标．（2）由曲线C 1的参数方程，消去参数t ，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠
；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R ，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．
本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的
交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16.【答案】解：（1）设AD =2x ，AB =3x ，
由余弦定理得：cos ==，
π34x 2+9x 2‒72×2x ×3x 12解得x =1，∴AD =2，AB =3，
∴由正弦定理得：，
sin∠ABD
2
=sin π37解得sin ∠ABD =．
217（2）sin （∠ABD +∠CBD ）=sin ，∴sin ∠CBD =cos ∠ABD ，
π
2cos =，∴sin ，∠ABD =1‒2149277∠CBD =277由正弦定理得
，解得CD =．
CD sin∠CBD =BD
sin 2π3433【解析】（1）设AD=2x ，AB=3x ，由余弦定理求出AD=2，AB=3，再由正弦定理能求出sin ∠ABD ．
（2）由sin （∠ABD+∠CBD ）=sin ，得sin ∠CBD=cos ∠ABD ，求出sin
，由此利用正弦定理能求出CD ．
本题考角的正弦值的求法，考查三角形边长的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．17.【答案】解：（I ）曲线C 的直角坐标方程为
x 2+3y 2=12，即．
x 212+y 24=1∴曲线C 的左焦点F 的坐标为F （-2，0）．
2∵F （-2，0）在直线l 上，2∴直线l 的参数方程为（t 为参数）．
{x =‒22+2
2t y =22t 将直线l 的参数方程代入x 2+3y 2=12得：t 2-2t -2=0，
∴|FA |•|FB |=|t 1t 2|=2．
（II ）设曲线C 的内接矩形的第一象限内的顶点为M （x ，y ）
（0，0＜y ＜2），
＜x ＜23则x 2+3y 2=12，∴x =
．
12‒3y 2∴P =4x +4y =4+4y ．12‒3y 2
令f （y ）=4+4y ，则f ′（y ）=．
12‒3y 2‒12y
12‒3y 2+4令f ′（y ）=0得y =1，
当0＜y ＜1时，f ′（y ）＞0，当1＜y ＜2时，f ′（y ）＜0．
∴当y =1时，f （y ）取得最大值16．
∴P 的最大值为16．
【解析】
（I ）求出曲线C 的普通方程和焦点坐标，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；
（II ）设矩形的顶点坐标为（x ，y ），则根据x ，y 的关系消元得出P 关于x （或y ）的函数，求出此函数的最大值．
本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，函数的最值，参数方程的几何意义，属于中档题．
18.【答案】解：（Ⅰ）函数f （x ）=sin （ωx -）+sin （ωx -）
π6π2=sinωx cos -cosωx sin -sin （-ωx ）
π6π6π
2=sinωx -cosωx 3
23
2=sin （ωx -），
3π
3又f （）=sin （ω-）=0，π
63π6π3∴ω-=k π，k ∈Z ，
π6π
3解得ω=6k +2，
又0＜ω＜3，
∴ω=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）=
sin （2x -），3π3将函数y =f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数
y =sin （x -）的图象；3π3再将得到的图象向左平移个单位，得到
y =sin （x +-）的图象，π
43π4π3∴函数y =g （x ）=
sin （x -）；3π12当x ∈[-，]时，x -∈[-，]，
π43π4π12π32π
3∴sin （x -）∈[-，1]，
π
1232
∴当x =-时，g （x ）取得最小值是-×=-．π43233
2【解析】
（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f （x ）为正弦型函数，根据f （）=0求出ω的值；
（Ⅱ）写出f （x ）解析式，利用平移法则写出g （x ）的解析式，求出x ∈[-
，]
时g （x ）的最小值．本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．19.【答案】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．
由已知b 2+b 3=12，得=12，而b 1
=2，所以q 2+q -6=0．b 1(q +q 2)又因为q ＞0，解得q =2．所以，b n =2n ．
由b 3=a 4-2a 1，可得3d -a 1=8．
由S 11=11b 4，可得a 1+5d =16，联立①②，解得a 1=1，d =3，
由此可得a n =3n -2．
所以，{a n }的通项公式为a n =3n -2，{b n }的通项公式为b n =2n ．
（2）c n =a n -b n =3n -2-2n ．
∴{c n }的前n 项和
T n =-=-2n +1+2．
n(1+3n ‒2)22(2n ‒1)2‒13n 2‒n 2【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由已知b 2+b 3=12，得得=12，而b 1=2，可得q 2+q-6=0．又q ＞0，解得q ．可得b n ．由b 3=a 4-2a 1，可得3d-a 1=8．由S 11=11b 4，可得a 1+5d=16，联立解出，
（2）c n =a n -b n =3n-2-2n ．利用分组求和与求和公式即可得出．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：在区间（0，+∞）上，f ′（x ）=…………（1分）
1‒ax
x （1）当a =3时，f ′（1）=-2，则切线方程为y -（-3）=-2（x -1），即2x +y +1=0…（2分）
（2）①若a ≤0，则f ′（x ）＞0，f （x ）是区间（0，+∞）上的增函数，（3分）③若a ＞0，令f ′（x ）=0，得：x =．（4分）
1
a 在区间（0，）上，f ′（x ）＞0，函数f （x ）是增函数；（ 5分）
1
a
在区间（，+∞）上，f ′（x ）＜0，函数f （x ）是减函数；（6分）
1a （3）设x 1＞x 2＞0，∵f （x 1）=0，f （x 2）=0，
∴ln x 1-ax 1=0，ln x 2-ax 2=0，
∴ln x 1+ln x 2=a （x 1+x 2），ln x 1-ln x 2=a （x 1-x 2），
原不等式x 1•x 2＞e 2⇔ln x 1+ln x 2＞2（8分）
⇔a （x 1+x 2）＞2⇔
＞⇔ln ＞，lnx 1‒lnx 2
x 1‒x 22x 1+x 2x 1x 22(x 1‒x 2)x 1+x 2令=t ，则
t ＞1，于是ln ＞⇔ln t ＞．（9分）x 1x 2x 1x 22(x 1‒x 2)x 1+x 22(t ‒1)
t +1设函数g （t ）=ln t -，（t ＞1），
2(t ‒1)
t +1求导得：g ′（t ）=＞0（11分）
(t ‒1)2
t(t +1)2故函数g （t ）是（1，+∞）上的增函数，
∴g （t ）＞g （1）=0，
即不等式ln t ＞成立，
2(t ‒1)
t +1故所证不等式x 1•x 2＞e 2成立．（12分）
【解析】
（1）代入a 的值，计算f′（1），求出切线方程即可；
（2）通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；
（3）问题转化为ln ＞，令=t ，则t ＞1，得到lnt ＞，设函数g （t ）=lnt-，（t ＞1），根据函数的单调性证明即可．
本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。