北京市九年级上册期末数学试卷及答案(5)

北京市九年级上册期末数学试卷（5）
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题
意的．
1．（4分）抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标为（）
A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）2．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（）
A．40°B．50°C．60°D．80°
3．（4分）若两个圆的半径分别为2和1，圆心距为3，则这两个圆的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切
4．（4分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．
C．D．
5．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AC=2，则sinA的值为（）A．B．C．D．2
6．（4分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=．下列结论中，正确的是（）
A．a＜0
B．当x＜﹣时，y随x的增大而增大
C．a+b+c＞0
D．当x=﹣时，y的最小值是
7．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（）
A．（0，0）B．（1，0）C．（1，﹣1）D．（2.5，0.5）8．（4分）若抛物线y=（x﹣2m）2+3m﹣1（m是常数）与直线y=x+1有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则m的取值范围是（）
A．m＜2 B．m＞2 C．m D．m
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．（4分）如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD=2，DB=3，DE=1，则BC的长是．
10．（4分）把抛物线y=x2向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线y= ．11．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度数是度，阴影部分的面积为．
12．（4分）在平面直角坐标系xOy中，过点A（6，5）作AB⊥x轴于点B．半径为r（0＜r ＜5）的⊙A与AB交于点C，过B点作⊙A的切线BD，切点为D，连接DC并延长交x轴于点E．
（1）当r=时，EB的长等于；
（2）点E的坐标为（用含r的代数式表示）．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．（5分）计算：2sin60°+3tan30°﹣2tan60°﹣cos45°．
14．（5分）已知：二次函数y=x2+bx﹣3的图象经过点A（2，5）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；
（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式．
15．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，点P在AD边上，且PC⊥PB．若AB=6，DC=4，PD=2，求PB的长．
16．列方程或方程组解应用题：
“美化城市，改善人民居住环境”是城市建设的一项重要内容．某市近年来，通过植草、栽树、修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加，2011年底该市城区绿地总面积约为75公顷，截止到2013年底，该市城区绿地总面积约为108公顷，求从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率．
17．如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BD，∠ACB=45°，∠ADB=30°，并且点B，C，D在同一条直线上．若测得CD=30米，求河宽AB（结果精确到1米，取1.73，取1.41）．
18．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，AB=12，cosA=．
（1）求OC的长；
（2）点E，F在⊙O上，EF∥AB．若EF=16，直接写出EF与AB之间的距离．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．（5分）设二次函数y1=x2﹣4x+3的图象为C1，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象与C1关于y轴对称．
（1）求二次函数y2=ax2+bx+c的解析式；
（2）当﹣3＜x≤0时，直接写出y2的取值范围；
（3）设二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为点A，与y轴的交点为点B，一次函数y3=kx+m（k，m为常数，k≠0）的图象经过A，B两点，当y2＜y3时，直接写出x的取值范围．
20．（5分）如图，在矩形ABCD中，E是CD边上任意一点（不与点C，D重合），作AF⊥AE 交CB的延长线于点F．
（1）求证：△ADE∽△ABF；
（2）连接EF，M为EF的中点，AB=4，AD=2，设DE=x，
①求点M到FC的距离（用含x的代数式表示）；
②连接BM，设BM2=y，求y与x之间的函数关系式，并直接写出BM的长度的最小值．
21．（5分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若=，求cos∠ABC的值．
22．（5分）阅读下面材料：
定义：与圆的所有切线和割线都有公共点的几何图形叫做这个圆的关联图形．
问题：⊙O的半径为1，画一个⊙O的关联图形．
在解决这个问题时，小明以O为原点建立平面直角坐标系xOy进行探究，他发现能画出很多⊙O的关联图形，例如：⊙O本身和图1中的△ABC（它们都是封闭的图形），以及图2中以O为圆心的（它是非封闭的形），它们都是⊙O的关联图形．而图2中以P，Q为端点的一条曲线就不是⊙O的关联图形．
参考小明的发现，解决问题：
（1）在下列几何图形中，⊙O的关联图形是（填序号）；
①⊙O的外切正多边形；
②⊙O的内接正多边形；
③⊙O的一个半径大于1的同心圆．
（2）若图形G是⊙O的关联图形，并且它是封闭的，则图形G的周长的最小值是；（3）在图2中，当⊙O的关联图形的弧长最小时，经过D，E两点的直线为y= ；
（4）请你在备用图中画出一个⊙O的关联图形，所画图形的长度l小于（2）中图形G的周长的最小值，并写出l的值（直接画出图形，不写作法）．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．（7分）已知：二次函数y=x2﹣mx+m+1（m为常数）．
（1）若这个二次函数的图象与x轴只有一个公共点A，且A点在x轴的正半轴上．
①求m的值；
②四边形AOBC是正方形，且点B在y轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平
移后的函数图象恰好经过B，C两点，求平移后的图象对应的函数解析式；
（2）当0≤x≤2时，求函数y=x2﹣mx+m+1的最小值（用含m的代数式表示）．
24．（7分）已知：△ABC，△DEF都是等边三角形，M是BC与EF的中点，连接AD，BE．（1）如图1，当EF与BC在同一条直线上时，直接写出AD与BE的数量关系和位置关系；（2）△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点M顺时针旋转α（0°≤α≤90°）角，如图2，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；（3）△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点M旋转α（0°≤α≤90°）角，作DH⊥BC 于点H．设BH=x，线段AB，BE，ED，DA所围成的图形面积为S．当AB=6，DE=2时，求S 关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围．
25．（8分）已知：二次函数y=ax2+2ax﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．
（1）①填空：二次函数图象的对称轴为；
②求二次函数的解析式；
（2）点D的坐标为（﹣2，1），点P在二次函数图象上，∠ADP为锐角，且tan∠ADP=2，求点P的横坐标；
（3）点E在x轴的正半轴上，∠OAE＞45°，点O与点O′关于EC所在直线对称．作ON⊥EO′于点N，交EC于点M．若EM•EC=32，求点E的坐标．
北京市九年级上册期末数学试卷答案（5）
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题
意的．
1．（4分）抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标为（）
A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）
【分析】抛物线的顶点式为：y=a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），可以确定抛物线的顶点坐标．
【解答】解：抛物线y=（x﹣2）2+1是以抛物线的顶点式给出的，
其顶点坐标为：（2，1）．
故选：A．
【点评】本题考查的是抛物线的性质，根据抛物线的顶点式确定抛物线的顶点坐标．2．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（）
A．40°B．50°C．60°D．80°
【分析】已知⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=100°，根据圆周角定理可求得∠ACB的度数．【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=100°，
∴∠ACB=∠AOB=×100°=50°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．
3．（4分）若两个圆的半径分别为2和1，圆心距为3，则这两个圆的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切
【分析】由两个圆的半径分别为2和1，圆心之间的距离是3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【解答】解：∵两个圆的半径分别为2和1，圆心之间的距离是3，
又∵2+1=3，
∴这两个圆的位置关系是外切．
故选：D．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
4．（4分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，
故此选项错误；
C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此
选项错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，
故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
5．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AC=2，则sinA的值为（）A．B．C．D．2
【分析】首先利用勾股定理求得AB的长度，然后利用三角函数的定义求解．
【解答】解：在直角△ABC中，AB==，
则sinA===．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的定义，理解定义是关键．
6．（4分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=．下列结论中，正确的是（）
A．a＜0
B．当x＜﹣时，y随x的增大而增大
C．a+b+c＞0
D．当x=﹣时，y的最小值是
【分析】根据抛物线开口方向可对A进行判断；根据当抛物线开口向上，在对称轴左侧y 随x的增大而减小的性质可对B进行判断；观察函数图象得到当x=1时，y＜0，则可对C 进行判断；先根据对称轴方程得到a=b，再由抛物线开口向上，函数有最小值=，然后约分后即可对D进行判断．
【解答】解：A、抛物线开口向上，则a＞0，所以A选项错误；
B、抛物线开口向上，对称轴为直线x=，则x＜﹣时，y随x的增大而减小，所以B选
项错误；
C、当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，所以C选项错误；
D、对称轴为直线x=﹣=，则a=b，因为抛物线开口向上，所以函数有最小值
==，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为
抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣，函数有最小值；
抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．
7．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（）
A．（0，0）B．（1，0）C．（1，﹣1）D．（2.5，0.5）
【分析】先根据旋转的性质得到点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AD的垂直平分线，也在线段BE的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心，而易得线段BE的垂直平分线为直线x=1，线段AD的垂直平分线为以AD为对角线的正方形的另一条对角线所在的直线．
【解答】解：∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，
∴点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，
作线段AD和BE的垂直平分线，它们的交点为P（1，﹣1），
∴旋转中心的坐标为（1，﹣1）．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
8．（4分）若抛物线y=（x﹣2m）2+3m﹣1（m是常数）与直线y=x+1有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则m的取值范围是（）
A．m＜2 B．m＞2 C．m D．m
【分析】根据二次函数y=（x﹣2m）2+3m﹣1（m是常数）与直线y=x+1有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则当x=2m时，y1＜y2，由此即可解决问题．
【解答】解：∵抛物线y=（x﹣2m）2+3m﹣1（m是常数）与直线y=x+1有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，
∴当x=2m时，y1＜y2，
∴3m﹣1＜2m+1，
∴m＜2，
所以m的取值范围是m＜2．
故选：A．
【点评】此题考查了抛物线与x轴交点，得出当x=2m时，y＜2m+1是解题关键．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．（4分）如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD=2，DB=3，DE=1，则BC的长是 2.5 ．
【分析】首先由DE∥BC，可证得△ADE∽△ABC，进而可根据相似三角形得到的比例线段求得BC的长．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=AD：AB，
∵AD=2，DB=3，
∴AB=AD+BD=5，
∴1：BC=2：5，
∴BC=2.5，
故答案为：2.5．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，题目比较典型，难度适中．
10．（4分）把抛物线y=x2向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线y= x2﹣2x﹣2 ．
【分析】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y=x2向右平移1个单位，再向下平移3个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），
∴所得抛物线为y=（x﹣1）2﹣3=x2﹣2x﹣2．
故答案为：x2﹣2x﹣2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定抛物线解析式的变化更简便．
11．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度数是60 度，阴影部分的面积为．
【分析】连接CA′，证明三角形AA′C是等边三角形即可得到旋转角α的度数，再利用旋转的性质求出扇形圆心角以及△CDB′的两直角边长，进而得出图形面积即可．
【解答】解：∵AC=A′C，且∠A=60°，
∴△ACA′是等边三角形．
∴∠ACA′=60°，
∴∠A′CB=90°﹣60°=30°，
∵∠CA′D=∠A=60°，
∴∠CDA′=90°，
∵∠B′CB=∠A′CB′﹣∠A′CB=90°﹣30°=60°，
∴∠CB′D=30°，
∴CD=CB′=CB=×2=1，
∴B′D==，
∴S△CDB′=×CD×DB′=×1×=，
S扇形B′CB==，
则阴影部分的面积为：﹣，
故答案为：﹣．
【点评】此题主要考查了扇形面积应用以及三角形面积求法和勾股定理应用等知识，本题的关键是弄清所求的阴影面积等于扇形减去三角形面积
12．（4分）在平面直角坐标系xOy中，过点A（6，5）作AB⊥x轴于点B．半径为r（0＜r ＜5）的⊙A与AB交于点C，过B点作⊙A的切线BD，切点为D，连接DC并延长交x轴于点E．
（1）当r=时，EB的长等于；
（2）点E的坐标为（6±，0）（用含r的代数式表示）．
【分析】（1）连接AD，根据AD=AC=，AB=5，∠ADB=90°，可知CD是AB边上的中线，等于斜边的一半，所以∠CAD=∠ADC=∠ACD=∠ECB=60°，EC=2BC=5，根据EB=即可得出结论；
（2））根据BC=AB﹣AC=5﹣r可知C（6，5﹣r），过点D作x轴的垂线，垂足为F，根据勾股定理可知DB2=AB2﹣AD2=25﹣r2；由相似三角形的判定定理得出△ABD∽△BDF，故可得出DF及BF的值，再根据DF∥AB得出△BCE∽△FDE，故=，解得BE=，再根据B点坐标即可得出结论．
【解答】解：（1）连接AD，
∵AD=AC=，AB=5，∠ADB=90°，
∴CD是AB边上的中线，等于斜边的一半，
∴∠CAD=∠ADC=∠ACD=∠ECB=60°．
∴EC=2BC=5，EB==；
故答案为：；
（2）∵BC=AB﹣AC=5﹣r，
∴C（6，5﹣r），
过点D作x轴的垂线，垂足为F，
∵AB=5，∠ADB=90°，AD=r，
∴DB2=AB2﹣AD2=25﹣r2；
∵DF⊥x轴，AB⊥x轴，
∴DF∥AB，
∴∠BDF=∠ABD，∠BFD=∠ADB=90°，
∴△ABD∽△BDF，
∴===，
∴DF=•DB=×=，
同理，BF=，
∵DF∥AB，
∴△BCE∽△FDE，
∴=，即=，解得BE=，
∴E（6+，0）或（6﹣，0）．
故答案为：（6±，0）．
【点评】本题考查的是圆的综合题，涉及到直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、切线的性质等知识，难度适中．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．（5分）计算：2sin60°+3tan30°﹣2tan60°﹣cos45°．
【分析】首先把特殊角的三角函数值代入，然后计算求解即可．
【解答】解：原式=2×+3×﹣2×﹣
=﹣．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆函数值是关键．
14．（5分）已知：二次函数y=x2+bx﹣3的图象经过点A（2，5）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；
（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式．
【分析】（1）直接把A点坐标代入y=x2+bx﹣3可求出b，从而确定二次函数的解析式；（2）根据抛物线与x轴的交点解方程x2+2x﹣3=0，即可得到二次函数的图象与x轴的交点坐标；
（3）利用配方法求解．
【解答】解：（1）∵二次函的图象经过点A（2，5），
∴4a+2b﹣3=5，解得b=2，
∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3；
（2）令y=0，则x2+2x﹣3=0，解得x1=﹣3，x2=1，
∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0）；
（3）y=x2+2x﹣3
=（x+1）2﹣4．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；
当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
15．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，点P在AD边上，且PC⊥PB．若AB=6，DC=4，PD=2，求PB的长．
【分析】先根据等角的余角相等得到∠DCP=∠APB，则可判断△PCD∽△BPA，利用相似比可得到PA=12，然后利用勾股定理计算PB．
【解答】解：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，
∴∠D=90°．
∴∠DCP+∠DPC=90°，
∵CP⊥PB，
∴∠BPC=90°，
∴∠DPC+∠APB=90°，
∴∠DCP=∠APB，
∴△PCD∽△BPA，
∴=，即=，
∴PA=12，
在Rt△PBA中，AB=6，PA=12，
∴PB==6．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了三角形相似的判定与性质．
16．列方程或方程组解应用题：
“美化城市，改善人民居住环境”是城市建设的一项重要内容．某市近年来，通过植草、栽树、修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加，2011年底该市城区绿地总面积约为75公顷，截止到2013年底，该市城区绿地总面积约为108公顷，求从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率．
【分析】设从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是x，由增长率问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：设从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是x，由题意，得
75（1+x）2=108
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去）．
答：从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是20%．
【点评】本题考查了运用增长率问题的数量关系解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时增长率问题的数量关系建立方程是关键．
17．如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BD，∠ACB=45°，∠ADB=30°，并且点B，C，D在同一条直线上．若测得CD=30米，求河宽AB（结果精确到1米，取1.73，取1.41）．
【分析】设河宽AB为x米．分别解直角三角形ABC和直角三角形ABD即可求出x的值．【解答】解：设河宽AB为x米．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=45°，
∴AB=BC=x．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=30°，
∴BD=AB=x，
∴CD=BD﹣BC=x﹣x，
∴x﹣x=30
解得x=15+15≈41．
答：河宽AB约为41米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解此类题目的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
18．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，AB=12，cosA=．
（1）求OC的长；
（2）点E，F在⊙O上，EF∥AB．若EF=16，直接写出EF与AB之间的距离．
【分析】（1）由垂径定理求得AC=6；然后通过解Rt△AOC来求OC的长度；
（2）需要分类讨论：EF在圆心是下方和EF在圆心的上方两种情况．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB=12，
∴AC=AB=6．
∵在Rt△AOC中，∠ACO=90°，cosA=，
∴OA=10，
∴OC==8；
（2）设直线CO交EF于点D，连接OE．
∵EF∥AB，
∴OD⊥EF，ED=EF=8．
∴在直角△OED中，根据勾股定理得到：OD===6．
如图1，CD=OC﹣OD=8﹣6=2；
如图2，CD=OC，+OD=8+6=14；
综上所述，EF与AB之间的距离是2或14．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理和垂径定理．解（2）题时，要分类讨论，不要漏解．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．（5分）设二次函数y1=x2﹣4x+3的图象为C1，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象与C1关于y轴对称．
（1）求二次函数y2=ax2+bx+c的解析式；
（2）当﹣3＜x≤0时，直接写出y2的取值范围；
（3）设二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为点A，与y轴的交点为点B，一次函数y3=kx+m（k，m为常数，k≠0）的图象经过A，B两点，当y2＜y3时，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）求出抛物线C1的顶点坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出抛物线C2的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可；
（2）作出函数图象，然后根据图形写出y2的取值范围即可；
（3）根据函数图象写出抛物线C2在直线AB的下方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：（1）二次函数y1=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1图象的顶点（2，﹣1），
关于y轴的对称点坐标为（﹣2，﹣1）
所以，所求的二次函数的解析式为y2=（x+2）2﹣1，
即y2=x2+4x+3；
（2）如图，﹣3＜x≤0时，y2的取值范围为：﹣1≤y2≤3；
（3）y2＜y3时，﹣2＜x＜0．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定抛物线解析式的变化更简便．
20．（5分）如图，在矩形ABCD中，E是CD边上任意一点（不与点C，D重合），作AF⊥AE 交CB的延长线于点F．
（1）求证：△ADE∽△ABF；
（2）连接EF，M为EF的中点，AB=4，AD=2，设DE=x，
①求点M到FC的距离（用含x的代数式表示）；
②连接BM，设BM2=y，求y与x之间的函数关系式，并直接写出BM的长度的最小值．
【分析】（1）根据矩形的性质可得∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°，再求出∠ABF=∠D=90°，根据同角的余角相等求出∠DAE=∠BAF，然后根据两组角对应相等的两个三角形相似证明；（2）①取FC的中点H，连接MH，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MH∥DC，MH=EC，然后表示出EC，即可得解；
②根据相似三角形对应边成比例列式求出BF，再表示出FH，BH，然后利用勾股定理列式整
理即可得到y与x的关系式，再根据二次函数的最值问题解答．
【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD中，∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°，∴∠ABF=∠D=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=∠BAF+∠EAB=90°，
∵∠DAE+∠EAB=∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠BAF，
又∵∠D=∠ABF=90°，
∴△ADE∽△ABF；
（2）解：①如图，取FC的中点H，连接MH，
∵M为EF的中点，
∴MH∥DC，MH=EC，
∵在矩形ABCD中，∠C=90°，
∴MH⊥FC，即MH是点M到FC的距离，
∵DE=x，DC=AB=4，
∴EC=4﹣x，
∴MH=EC=2﹣x，
即点M到FC的距离为MH=2﹣x；
②∵△ADE∽△ABF，
∴=，
∴=，
∴BF=2x，FC=2+2x，FH=CH=1+x，
∴BH=|BF﹣HF|=|x﹣1|，
∵MH=2﹣x，
∴在Rt△MHB中，BM2=BH2+MH2=（2﹣x）2+（x﹣1）2=x2﹣4x+5，∴y=x2﹣4x+5（0＜x＜4）
∵y=x2﹣4x+5=（x2﹣x+）+5﹣=（x﹣）2+，
当x=时，BM2有最小值，
此时，BM的最小值是．
【点评】本题是相似形综合题，主要利用了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，二次函数的最值问题，难点在于（2）作辅助线构造出三角形的中位线．
21．（5分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若=，求cos∠ABC的值．
【分析】（1）如图，连接OC．欲证DE是⊙O的切线，只需证得OC⊥DE；
（2）由=，可设CE=2k（k＞0），则DE=3k，在Rt△DAE中，由勾股定理求得AE==2k．则tan∠E==．所以在Rt△OCE中，tan∠E==．在Rt△AOD中，由勾股定理得到OD==k，故cos∠ABC=cos∠AOD==．【解答】（1）证明：如图，连接OC．
∵AD是过点A的切线，AB是⊙O的直径，
∴AD⊥AB，
∴∠DAB=90°．
∵OD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OC=OB，
∴∠2=∠4．
∴∠1=∠3．
在△COD和△AOD中，
，
∴△COD≌△AOD（SAS）
∴∠OCD=∠DAB=90°，即OC⊥DE于点C．
∵OC是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：由=，可设CE=2k（k＞0），则DE=3k，∴AD=DC=k．
∴在Rt△DAE中，AE==2k．
∴tan∠E==．
∵在Rt△OCE中，tan∠E==．
∴=，
∴OC=OA=．
∴在Rt△AOD中，OD==k，
∴cos∠ABC=cos∠AOD==．
【点评】本题考查了切线的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
22．（5分）阅读下面材料：
定义：与圆的所有切线和割线都有公共点的几何图形叫做这个圆的关联图形．
问题：⊙O的半径为1，画一个⊙O的关联图形．
在解决这个问题时，小明以O为原点建立平面直角坐标系xOy进行探究，他发现能画出很多⊙O的关联图形，例如：⊙O本身和图1中的△ABC（它们都是封闭的图形），以及图2中以O为圆心的（它是非封闭的形），它们都是⊙O的关联图形．而图2中以P，Q为端点的一条曲线就不是⊙O的关联图形．
参考小明的发现，解决问题：
（1）在下列几何图形中，⊙O的关联图形是①③（填序号）；
①⊙O的外切正多边形；
②⊙O的内接正多边形；
③⊙O的一个半径大于1的同心圆．
（2）若图形G是⊙O的关联图形，并且它是封闭的，则图形G的周长的最小值是2π；（3）在图2中，当⊙O的关联图形的弧长最小时，经过D，E两点的直线为y= ﹣x﹣；（4）请你在备用图中画出一个⊙O的关联图形，所画图形的长度l小于（2）中图形G的周长的最小值，并写出l的值（直接画出图形，不写作法）．
【分析】（1）根据与圆的所有切线和割线都有公共点的几何图形叫做这个圆的关联图形，可得答案；
（2）根据圆的关联图形周长，可得封闭的关联图形，根据圆的关联图形的周长最小是它本身，可得答案；
（3）根据⊙O的关联图形的弧长最小，可得DE是圆O的切线，可得答案；
（4）根据圆的关联图形的长度小于2π，可得圆的关联图形是非封闭的，可得答案．
【解答】解：（1）①⊙O的外切正多边形与圆的所有切线和割线都有公共点，故①说法正确；
②⊙O的内接正多边形与圆的有的切线没有公共点，故②说法错误；
③⊙O的一个半径大于1的同心圆与圆的所有切线和割线都有公共点，故③说法正确；
故答案为：①③；
（2）若图形G是⊙O的关联图形，并且它是封闭的，则图形G是它本身，图形G的周长的最小值是2π，
故答案为：2π；
（3）由当⊙O的关联图形的弧长最小时，得DE是圆的一条切线且OD=OE，
设DE的解析式是y=﹣x+b，由DE于圆相切，得
．解得b=﹣，
故答案为：y=﹣x﹣；
（4）如图：画图形是非封闭的，l长度=π+2：
．
【点评】本题考查了圆的综合题，利用了圆的关联图形的定义：与圆的所有切线和割线都有公共点的几何图形叫做这个圆的关联图形，圆的关联图形可以是封闭的，可以是非封闭的，封闭的关联图形周长的最小时是它本身，非封闭的关联图形的长度最小时半圆加两条与圆相切且等于半径的线段．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．（7分）已知：二次函数y=x2﹣mx+m+1（m为常数）．
（1）若这个二次函数的图象与x轴只有一个公共点A，且A点在x轴的正半轴上．
①求m的值；
②四边形AOBC是正方形，且点B在y轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平
移后的函数图象恰好经过B，C两点，求平移后的图象对应的函数解析式；
（2）当0≤x≤2时，求函数y=x2﹣mx+m+1的最小值（用含m的代数式表示）．
【分析】（1）①根据二次函数x2﹣mx+m+1的图象与x轴只有一个公共点A，可得判别式为0，依此可得关于m的方程，求解即可；
②由①得点A的坐标为（2，0）．根据正方形的性质可得点B的坐标为（0，﹣2），点C的坐
标为（2，﹣2）．根据待定系数法可求平移后的图象对应的函数解析式；
（2）分三种情况：（ⅰ）当＜0，即m＜0时；（ⅱ）当0≤≤2，即0≤m≤4时；（ⅲ）当＞2，即m＞4时；讨论可求函数y=x2﹣mx+m+1的最小值．
【解答】解：（1）①∵二次函数y=x2﹣mx+m+1的图象与x轴只有一个公共点A，
∴△=m2﹣4×1×（m+1）=0．
整理，得m2﹣3m﹣4=0，
解得m1=4，m2=﹣1，
又∵点A在x轴的正半轴上，
∴m=4，
②由①得点A的坐标为（2，0）．。