2008年福州市中考数学试题

2008年福州市中考数学试题
一. 填空题：（每小题3分，满分36分） 1. -7的绝对值是____________。

2. 分解因式：282
x -=______________。

3. 在函数y x =
-1中，自变量x 的取值范围是____________。

4. 不等式组x x +≥<⎧⎨
⎩1236的解集是______________。

5. 如图，已知：l l 12//，∠=︒1100，则∠=2_____________。

1 l 1
2 l 2
6. 对于函数y x =-+21，y 随x 的增大而____________。

7. 一个多边形的每个外角都等于60︒，这个多边形的内角和为____________。

8. 母线长为3cm 底面半径为1cm 的圆柱侧面展开图的面积为___________cm 2。

9. 已知a b ：：=31，且a b +=8，则a b -=_________。

10. 已知：在∆ABC 中，∠=︒∠=︒=A B AC 60452,,，则AB 的长为_____________。

11. 观察下列各式：
111222233334
222+=⨯+=⨯+=⨯……
……
请你将猜想到的规律用自然数n n ()≥1表示出来__________________。

12. 如图，两个同心圆，过大圆上一点A 作小圆的割线交小圆于B 、C 两点，且AB AC ⋅=4，则图中圆环的面积为_____________。

二. 选择题：（每小题4分，满分32分，每小题都有A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号，写在题末的括号内） 13. 下列运算正确的是（ ） A. a b c a b c -+=-+() B. a a a 3
3
6
2+= C. ()x x +=+112
2
D. 236235a a a ⋅-=-()
14. 用科学记数法表示我国的国土面积约为（ ） A. 96105
.⨯平方千米 B. 96106.⨯平方千米 C. 96107.⨯平方千米 D. 96108.⨯平方千米
15. 计算x x
x -÷-212
2
()，所得正确结果是（ ） A. x
B.
-1
x C. 1
x
D.
-
-x x 2
16. 如果两个圆只有两条公切线，那么这两个圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 17. 下列四个命题中错误的是（ ）
A. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B. 菱形的一条对角线平分一组对角
C. 顺次连结四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形
D. 等腰梯形的两条对角线相等
18. 随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低。

某品牌电脑按原售价降低m 元后，又降价20%，现售价为n 元，那么该电脑的原售价为（ ）
A. ()
4
5n m +元
B. ()5
4n m +元
C. ()5m n +元
D. ()5n m +元
19. 某校计划在校园内修建一座周长为12米的花坛，同学们设计出正三角形、正方形和
圆共三种图案，其中使花坛面积最大的图案是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 圆 D. 不能确定 20. 二次函数y ax bx c a =++≠2
0()的图象如图所示，下列结论： （1）c <0
()20b >
（3）420a b c ++> （4）()a c b +<2
2
其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
三. （每小题7分，满分28分）
21. 计算：()()()13
200122116121102--++-⨯+
- 22. 如图，已知：平行四边形ABCD 中，E 是CD 边的中点，连结BE 并延长与AD 的延
长线相交于F 点。

求证：BC=DF 。

A D F E
B C
23. 两个全等的三角板，可以拼出各种不同的图形。

下面各图已画出其中一个三角形，请你分别补画出另一个与其全等的三角形，使每个图形分别成不同的轴对称图形（所画三角形可与原三角形有重叠部分）。

24. 为了了解中学生的体能情况，某校抽取了50名初三学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出部分频率分布直方图。

如图所示，已知图中从左到右前四个小组的频率分别为0.04、0.12、0.4、0.28。

根据已知条件填空或画图： （1）第四小组频数为_____________； （2）第五小组频率为_____________；
（3）在这次测试中，跳绳次数的中位数落在第___________小组中； （4）补全频率分布直方图。

频率 组距
149.5 159.5 169.5 179.5 189.5 199.5 次数
四. （满分10分）
25. 甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。

甲沿直航线航行180海里到达厦门；乙沿原来航线绕道香港后来厦门，共航行了720海里，结果乙比甲晚20小时到达厦门。

已知乙速比甲速每小时快6海里，求甲客轮的速度（其中两客轮速度都大于16海里/小时）？
五. （满分10分）
26. 已知：关于x 的方程x m x m 2
2
2130-++-=() （1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设方程的两实根分别为x x 1
2、，当()()x x x x 122
12120+-+-=时，求m 的
值。

六. （满分10分）
27. 不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE l ⊥，垂足为E ，BF l ⊥，垂足为F 。

（1）在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
（2）请你观察（1）中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）； （3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得出的结论。

（a ） （b ） （c ）
七. （满分12分）
28. 如图，已知：正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y
轴上，点B 在函数
y k x k x =
>>(,)00的图象上，点P m n (,)是函数
y k
x k x =>>(,)00的图象上的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F 并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S 。

（1）求B 点坐标和k 的值；
（2）当
S =
9
2时，求点P 的坐标；
（3）写出S 关于m 的函数关系式。

y
C B F O A E x
S
P （m,n ）
八. （满分12分）
29. 如图，已知：∆ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB ，P 点在AC 上（与点A 、C 不重合），Q 点在BC 上。

（1）当∆PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长； （2）当∆PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长；
（3）试问：在AB 上是否存在点M ，使得∆PQM 为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ 的长。

C
P Q
A B
答案： 一. 1. 7 2. 222()()x x +-
3. x ≥1
4. 12≤<x
5. 80︒
6. 减小
7. 720︒
8. 6π 9. 4
10. 13+
11.
n n n n 21+=+()
12. 4π 二. 13. D 14. B 15. C 16. C
17. A
18. B
19. C
20. C
三. 21. 解：原式
=-+⨯
++3141
421=+42
22. 证明： 四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC //
∴∠=∠∠=∠EBC F C EDF , 又 EC ED =
∴≅∴=∆∆EBC EFD
BC DF
23. 略
24. （1）14 （2）0.16 （3）三 （4）略 四. 25. 解：设甲客轮速度为每小时x 海里，根据题意，得
7206180
20x x +-=
整理，得：x x 2
21540-+= 解得：x x 12183==,
经检验，x x 12183==,都是所列方程的解。

但速度x 2316=<不合题意，所以只取
x =18。

答：甲客轮的速度为每小时18海里。

注：检验与答，缺一个或二个都扣1分。

五. 26. 解：（1）∆=-+--=+[()]()21438162
2
m m m
∆>∴+>>-0
81602m m ,
∴当m >-2时，方程有两个不相等的实数根。

（2）由已知，得x x m 1221+=+()
()()x x x x x x x x 122121212120
43+-+-=∴+=+=-或
当x x 124+=时 2141(),m m +=∴= 当x x 123+=-时，
21352(),m m +=-∴=-
由（1）可知m >-2，所以
m =-
5
2不合题意，所以m =1。

六. 27. （1）只画一个图形得2分，二个图形得3分，三个图形得4分。

注：<1>两个特例：一是AB CD ⊥；二是AB 与C 、D 其中一点重合的图形。

两个特例各计一类可以得分。

（
AB 延长线交弦CD 圆外点）
（AB 交弦CD 上点）
（AB//CD ，无交点）
<2>凡同类图形，一律只计一个图形。

如AB 交CD （DC ）延长线的多点位置的多个图形属同类，只计一个图形。

（2）对已画出（1）题中所规定的图形；2个或3个图形，并写出结论EC=FD （或ED=FC ）得2分；1个图形，写出结论EC=FD （或ED=FC ）得1分；其他结论不得分。

注：写出直径或半径相等的结论不得分。

（3）在a b c 、、图中，任选一个图形进行证明，按下列评分标准得分： 如选a 图中，
证明：作OG CD ⊥，垂足为G 。

AE CD BF CD AE OG BF ⊥⊥∴,//// AB 是⊙O 的直径
∴==CG GD AO OB , ∴==EG GF EC FD ,
注：<1>选其他图形证明的仿上述标准评分。

<2>特例图形的证明，用文字说明要严谨。

七. 28. 解：（1）依题意，设B 点坐标(,)x y 00
∴==S x y O A B C 正方形009
∴==x y B 00333,(,)即 x y k k 009=∴=,
x （a ）
（2）<1> P m n (,)在
y x =
9
上（如图a ）
∴==∴=S mn S n
OEP F OAGF 矩形矩形19
3
由已知可得，
S n =-=
9392
∴=
=∴n m P 3
2663
21,(,)
<2>如图a 同理可得P 23
26(,)
（3）<1>如图b ，当03<<m 时， P 点坐标为（m ，n ）
∴=S m O E G C 矩形3
∴=-∴=-<<S S S S m m O E P F O E G C
矩形矩形9303()
y
F P S
C B
O E A x （b ）
G
<2>如图c ，当m ≥3时， 点P 坐标为（m ，n ）
∴=S n O A C F 矩形3
mn n m =∴=
99
,
∴=-=-
S n m 93927
即
S m m =-
≥927
3()
y
C B
F P
O A E x （c ）
G S
注：<1>、<2>都有做，但m =3遗漏，则扣1分。

八. 29. 解：（1）
S S PQC PABQ ∆='四边形
∴=S S P Q C
ABC ∆∆：：12 PQ AB // ∴∆∆P Q C ABC ~
∴==∴=⨯
∴=S S PC AC PC PC PQC ABC ∆∆：：：()22212412
22
（2） ∆PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等，
∴+=++==PC CQ PA AB QB
ABC 1
26()∆的周长
PQ AB
CP CA CQ CB CP CP //,∴==-463 解得，
CP =
24
7
（3）<1>据题意：如图a ，当∠=︒MPQ 90，PM=PQ 时，
由勾股定理逆定理，得∠=︒C 90，
∴∆ABC 的AB 上的高为12
5。

设PM=PQ=x
PQ AB CPQ CAB //,~∴∆∆
∴=-x x 5
125125 ∴解得，x =6037，即PC =6037
当∠'=︒M QP 90，QP QM ='时，同理可得
PC =37
60 注：未讨论'M 者扣1分。

A M B
（a ） （b ）
<2>据题意，如图b ，当∠=︒PMQ 90，MP MQ =时，由等腰直角三角形得，M 到
PQ 距离为12PQ 。

设PQ x =
PQ AB CPQ CAB
x x //,~∴∴=-∆∆5
12512125
120 49，即PQ=
120
49。

解得，
x=。