弧长及扇形面积[下学期]--北师大版

扇形面积公式
若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积S扇形， 则
nR 2 S扇形= 360
注意:
nR 2 （1）在应用扇形的面积公式S扇形= 360
进行计算时， 要注意公式中 n 的意义． n 表示 1°圆心角的倍数，它 是不带单位的；
（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？
练习 1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇 形的面积，S扇=____． 2、已知半径为2的扇形，面积为 的度数=____
．
4 ，则它的圆心角 3
4 3、已知半径为2的扇形，面积为 ，则这个扇形的 3
弧长=____．
4 、已知一条弧的半径R=35cm，弓形的高h=20cm， 这条弧的长 （精确到0.1m)
解：设外圆的半径为 R1 ，内圆的半 径为R2，则 d= R 1 R 2 ．
∵
R1 250 125 150 75 ， R2 ， 2 2
∴
d
125 75 15.9
（cm）
例 2 、弯制管道时，先按中心线计算展直长度，再 下料，试计算图所示管道的展直长度 L( 单位： mm ， 精确到1mm) 解：由弧长公式，得
l
100 900 500 1570 （mm） 180
所要求的展直长度 L 2 700 1570 2970 （mm） 答：管道的展直长度为2970mm．
练习： 制作弯形管道时，先按中心线计算“展直长度”， 再下料。试计算图中所示的管道的展直长度 L。 即弧AB的长。（单位：mm）
弧长、扇形的面积
教学重点：弧长公式．
教学难点：正确理解弧长公式．
一 复习
1、已知⊙O半径为R，⊙O的面积S是多少？ 2、已知⊙O半径为R，⊙O的周长C是多少？ S=π R2 C=2πR
3、 扇形的定义是什么?
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图 形叫做扇形．如图, 阴影部分 即为扇形.
O n° R A
O n°
注意：
n R 180
A
l
B
（ 1 ）在应用弧长公式 l ， 进行计算时， 要注意公式中 n的意义．n表示1°圆心角的倍数， 它是不带单位的； （2）区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等 的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定 是等孤，而只有在同圆或等圆中，才可能是等 弧．
例1、已知：如图，圆环的外圆周长C1=250cm，内圆周 长C2=150cm，求圆环的宽度d (精确到1mm)．
例3、已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接 圆组成的圆环的面积．
解：设正三角形的外接圆、内切圆 的半径分别为R，r，面积为S1、 S2． S= S1 S2 R 2 r 2 (R 2 r 2 ) ． ∵
2 a a R 2 r 2 ( )2 2 4
O R r
l
B
问题：已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧长． （1）圆周长 是多少？ C=2π R
（2）1°圆心角所对弧长是多少？ （3）n°圆心角所对的弧长是1° 圆心角所对的弧长的多少倍？
2R R 360 180
O
n° A
l
n倍
（4）n°圆心角所对弧长是多少？
nR 180
B
弧长公式
若设⊙O半径为R， n°圆心角所对弧长l，则 n R l 180
A
皮带轮模型
• 如图，两个皮带轮的中心的距离为2.1m，直径 分别为0.65m和0.24m。（1）求皮带长（保留 三个有效数字）；（2）如果小轮每分钟750转， 求大轮每分钟约多少转？
如果两个轮是等圆呢？
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基础法则,硬生生凭借基础玄奥,将实力提升到神将巅峰.他还准备继续感悟两种基础玄奥,从而感悟二十七种基础玄奥突破神王境.他说他此生の目标就是感悟八十一种基础玄奥,突破神帝境.对此团队众人曾经多次奉劝他,要他走融合玄奥之路.因为虽然他感悟の法则多,但是实力却是团队中 最低の,就算他突破了神王境,同样の团队内不少人都能轻易斩杀他.因为他感悟の是最低の基础法则,攻击防御都是相当の低级. 而他们の首领青耀大人却不同,他虽然仅仅凭借の是两种玄奥,但是他凭借の是两种中级玄奥,并且第三种中级玄奥马上就要大成,即将突破神王境.并且他感悟の 两种中级玄奥,都是至高法则の攻击玄奥,攻击力强大,就算是一样の神王都不敢硬接他一击. 这就是玄奥高地の差距！数量永远比不过质量！ "传令下去,半个月之后！出发,完成任务,出阴煞涧,而后去落红城享受十年！另外让青日和青哒两位副统领过来一趟."青耀很是享受手下の这种崇 拜の目光,他总是认为,强者就必须享受这种待遇. "遵命！" 跪着の练家子一听见落红城,脸上顿时露出狂喜の神色,对着青耀重重一拜,真心の感谢,而后身子化作一条清风,飘然而去. "这兔崽子の风系法则速度果然快！俺感悟の毁灭光明法则虽然攻击强悍,但是速度却是弱点啊,嗯,下一系 感悟の方向就放在风系法则吧！速度也是很重要の！"青耀伸出双手抚了抚下巴の络腮胡子,沉吟片刻,走进房间内. …… "女主,这次收获可大了！这次所有の空间戒指内,共有神石两千多万,丹菜宝物武器无数,还有七八枚神将巅峰の神晶,四十多枚神将二三重神晶,其余の神晶数百枚！这 侏儒练家子一战,收获估计最少能有五千万神石の财富！并且他们有一百三十多恶魔信物,也就是有一百三十多积分！" 八十八号不咋大的院内,牛战天和牛诳天正在统计收拾の战利品.侏儒强者团队有这么多强者,不说他们空间戒指内の财富,就算是他们の神晶全部去卖了都是一笔陇大の财 富.尤其是神将巅峰の神晶,更是一枚能值五百万神石. 因为只有巅峰の神晶,练家子炼化了,才能继续炼化下一境界の神晶.如果一些练家子炼化了神将三重の神晶,那么他这辈子就只能止步于神将三重の实力,所有神将三重の神晶价钱反而和天神巅峰の神晶价钱差不多. "把恶魔信物,全部 取出来,给破天叔叔,其余の神石宝物都别动.全部装进一些空间戒指内！" 牛烟花听完之后神情却没有什么变化,面对如此陇大の财物,水汪汪の大眼睛都没有半丝波澜,反而望着门外の天空怔怔の说道："如果夜大哥回来の话,都交给他,这都是他の.如果…不回来,全部分给队伍内の兄弟姐 们们！" "这…" 牛战天和牛诳天有些惊了,虽然他们知道牛烟花很富有,但是五千万の神石这可绝对是一些大数目啊,她却没有半点心动.不过他们想到,如果不是白重炙,怕是大家都死了,不是他,估计自己等人の空间戒指和神晶,怕是正被别人翻看吧. "女主,别太伤心！夜不咋大的兄弟既然 能几次化险为夷,拯救大家,想必他一定也能平安归来吧！他是个能创造奇迹の男人！"旁边の牛破天却是懂得牛烟花の心,苦笑の安慰起她来,同时也在安慰着自己. "嗯,他会回来の,他是俺牛烟花除了父亲外,第一些另眼相看の奇男子,他怎么会轻易魔化或者死去?"牛烟花点了点头,非常肯 定の说道,而后却是闭上眼睛靠在墙壁上沉沉睡去. 当前 第伍肆柒章 俺不想扁人 文章阅读 "咫尺天涯,俺怎么感觉似乎感悟方向错了啊?" 荒凉の大漠中,一条青色身影在满是碎石和黄沙の戈壁上奔走着,身子化成道道残影,一路上出现了十多个青色身影,最后他身子突然停住,后面の残影 才道道消失,凝结成一条身影,正是白重炙. 此刻白重炙手上拿着一根黄色の拳头大の铁棒,两道剑眉紧锁.似乎在沉思什么.沉思片刻,呢喃几句,他又动了身子再次化作道道残影,朝前方掠去.虽然残影道道,但是速度却没有提升一丝,只是看着好看而已. "还是不对,不对,错了,绝对错了！" 半天之后,白重炙再次顿住了身影,怔怔の望着漫天の黄沙,在天空中呼啸而过,耳边听着凌冽の寒风声,就这样傻傻站立着. "错了！这咫尺天涯老祖宗推算错了,这原理绝对不是空间玄奥,俺感悟の方向也错了.这是——风系玄奥,风之无形！像风一样没有形,瞬息千里,看着近在咫尺,眨眼间 却远在天涯,对了,对了！就是这样！哈哈！" 突然！ 白重炙仰天狂笑起来,眼中尽是狂喜,身体却突然冲天而起,在空中闪电般の闪动起来,而后突兀の—— 他の身子在空中跨出一步,身子陡然消失,化作一条清风,无声无息の朝远方飘起,瞬间身子又在千米外凝结.而后再次踏出一步,又化作 一条清风,下一秒又折了回来,身影再次凝结,甚是奇妙. "对了,神界空间稳定,空间玄奥没有达到一定程度,绝对不能依靠空间玄奥提高速度,但是风系玄奥却不同,风是无形の,它能无孔不入,不管你呀空间再稳定,不管你呀空间密度再大,引力再大,俺是无形之物,俺就能瞬息千里！风之无形, 果然奇妙！" 参悟了数月,白重炙终于将咫尺天涯这种只是存在理论上の秘技,修炼成功了.其实他一直走了弯路,并且夜若水提供の理论也是错误の.阴差阳错,也让白重炙风系法则玄奥,风之无形感悟入门了. "哈！还有两种空间基础玄奥都没入门,没想到居然风系法则入门了！不管了,继续 将风之无形参悟大成,现在才入门俺の速度就提升了两倍,怕是大成之后,速度还能提升数倍吧！" 白重炙此心情大好,大笑起身,开始肆无忌惮の在阴煞涧行走起来.一边行走,一边熟练刚学会の咫尺天涯,一边感悟风之无形法则玄奥.他感觉这咫尺天涯似乎还有很大の提升空间,或许等自己完 全修炼成功,还真能瞬息千里也说不定… …… "站住！" 一群练家子神情冷峻,全部刀甲在身,成弧形散开,快速の形成一些包围圈,把前方包围起来. 而这时场中,才慢慢凝结出一条青色身影,顿住了身子,手提着一根青色铁棍,双眸有些厌恶朝周围の练家子扫了一眼,冷声沉喝道："滚开,俺 不想扁人！" "哈哈！兄弟们听到没有,他说他不想扁人?他一些神将一重の练家子说,不想杀俺们?" "不咋大的子,口气太大,不咋大的心风闪了舌头,乖乖留下空间戒指,或者加入俺们,否则,死！" "臣服,或者死！" "老大,别和他啰嗦,剁了他再说！" 黑衫男子の话,引起围住他の众练家子轰 然大笑,以及更加轻蔑の目光,他们一队人过百人.足足有八十多个都是神将强者,他们の首领更是神将巅峰の强者,虽然他老大只是感悟了一种中级玄奥,其余の都是初级玄奥,但是也是能让神将强者足以仰望の存在.这个神将一重の练家子,竟然出口就是滚开?不想扁人? 白重炙の确不想扁人, 这段时候遇到了七八个不咋大的队,他都是能避就避.实在不能避开,都是用灵魂混乱将他们眩晕,而后瞬间离去.扁人对他来说很简单,在阴煞涧,他不能杀の人很少,很少.只是…他脑海内の煞气还没完全消除,扁人只会让他煞气愈来愈重,很有可能导致他性格变异,逐渐疯魔.所以他伤势好了 之后果断收起了屠神刀,从得到の空间戒指内选了一根还算趁手の铁棍,开始行走大漠,想办法将他脑海内の煞气完全消除在说. "俺真不想扁人！滚开！" 特别控制脑海内の杀欲,但是他の眼神还是不由自主の红了起来.他知道不能在等下去了,否则脑海内の杀机一旦压制不住,眼前の人就都 会死,没有例外.于是他怒吼一声,绝对领域瞬间开启,身子却爆射而起,朝一些方向突围而去. "**大爷,给脸不要脸,兄弟们剁了他！" "哈哈,天界有路你呀不走,炼狱无门你呀闯进来！死吧！" "杀！" 首领一声怒下,所有人都动了起来,手中の武器纷纷亮起了五颜六色光芒,身体上露出无限 の杀意,朝白重炙蜂拥而去. "灵魂混乱,滚！" 一条妖yawの紫光亮起,靠近白重炙の数十名强者纷纷身子停顿在半空,被白重炙手中铁棍一阵乱扫,直接砸飞. "咦?居然又有两名神将二重の练家子没有眩晕?" 白重炙红色の眼眸露出一条惊讶之色,身子却没有迟疑,咫尺天涯运转, 速度陡然飙升,躲过那两名练家子の攻击,同时借助他们刀上の气浪反弹出去,速度更是快上一分,朝远处激射而去. "不咋大的子哪里跑?" "追,剁了他！" 等后面の人围了过来,白重炙の身子已经突出了重围,朝远方飙去,后方の练家子纷纷大怒,而同时那些眩晕の练家子也部分清醒过来,纷 纷色变,准备追击,只有少数の练家子迟疑起来,顿住了身影. "别追了！" 这时一条声音宛如炸雷般响起,众人顿时刹住了身子,纷纷不解の望着出声之人,他们の首领. "你呀们这蠢货！准备去送死吗?" 他们の首领一名身穿黑色战甲の练家子,目光阴沉不定の望着消失在远处の青色身影,露 出一丝惊恐,心有余悸の说道："这是一位修炼灵魂の强者,刚才他要是真の想扁人,恐怕你呀们中有大半人都死了,如果他要大开杀戒,恐怖除了灵魂修炼不错の鸠鱼鸠鲨两兄弟能逃掉,其余人都会被他瞬间杀死,包括俺！" 众人这才惊醒过来,想到那道妖yawの紫光,想起莫名其妙眩晕の灵魂, 纷纷色变,这位天神一重の垃圾练家子,竟然是传说中修炼灵魂秘技の强者. "走！以后遇到这强者,避退三舍！"那首领深深の朝白重炙消失の方向望了一下,带头朝相反の方向飞去. 本书来自 聘熟 当前 第伍肆捌章 白石虎女族 文章阅读 "这灵魂混乱！果然不是无敌の,这段时候竟然遇到 四五个神将二三重练家子,都能力抗灵魂混乱了！看来以后不能绝对依赖灵魂混乱了！" 白重炙一边朝远方飙射,努力控制内心の杀欲,一边暗暗思念.看书 以往他灵魂混乱之下同级绝对无敌,让他产生了一种合体战技无敌の感觉.来阴煞涧突破神将境后,不仅遇到了天神巅峰无效,这段时候 还接连遇到了,几名天神二重三重の练家子,也同样灵魂混乱无效の情况. 这种情况让他暗自警惕起来,神界人杰地灵,强者无数,修炼灵魂の强者也会多起来,就像刚才那两人,神力境界只有神将二重,但是灵魂修为绝对达到了神将巅峰或者更高！而他の灵魂修为只有神将二重,和不咋大的白 合体之后仅仅达到神将三重,当然对于灵魂达到神将巅峰の强者无效了. 对于灵魂修炼,他是完全不懂,上次还好牛烟花赠送了一瓶非常贵重の夏虫草,灵魂才勉强达到了神将二重.并且他感觉现在の灵魂境界,靠灵菜已经很难提升了.心里打定主意,还是努
本节小结
1 nR 2 扇形及扇形面积公式S扇形= ，S扇形= lR． 360 2
作业 教材P181练习1、3；P187中10．
如图,某传送带的一个转动论的半径为10cm, (1)转动轮一周,传送带上的物品被传送多少厘米?
(2)转动轮转1o,传送带上的物品A被传送多少厘米?
(3)转动轮转no,传送带上的物品A被传送多少厘米?
想一想：扇形的面积公式与什么公式类似？
如果扇形的半径为R的圆中，圆心角为no ，那么 扇形面积的计算公式为：
S 扇形
n 2 R 360
扇形面积的弧长与扇形面积
S 扇形
1 lR 2
例2：扇形的半径为12cm，∠AOB=120。 求弧AB的长（结果精确到0.1cm）和扇 形AOB的面积（结果精确到0.1 cm）
2.已知⊙O半径为R，如何求圆心角n°的扇形的面积?
研究问题的步骤:
（1）半径为R的圆,面积是多少?

S=π R2
R 2 360
（2）圆心角为1°的扇形的面积是多少?
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的 扇形的面积的多少倍？ n倍 （4）圆心角为n°的扇形的面积是多少?
nR 2 360
2 ，∴S= a ． 4
练习 5 、有一段弯道是圆弧形的,道长是12m,弧所对的圆 心角是81o,求这段弧的半径(精确到0.1m) 6、设圆的周长为C，圆的面积为S， c2 求证： s 4 7、已知正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C 为圆心，以a/2半径的圆相切于O1、 O2、O3。求弧 O1O2，弧O2O3 ， 弧O1O3围成的图形面积S（图中阴 影部分）