【精选高中试题】河南省部分重点中学高三上学期第一次联考数学(文)试题 Word版含答案

数学（文）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项 是符合题目要求的.
1.已知i 是虚数单位，则复数()2
1i +=（ ） A ．2-
B ．2
C ．2i -
D ．2i
2.命题“()00x ∃∈+∞，，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．()0000ln 1x x x ∃∈+∞≠-，， B ．()0000ln 1x x x ∃∉+∞=-，， C ．()0ln 1x x x ∀∈+∞≠-，，
D ．()0ln 1x x x ∀∉+∞=-，，
3.已知0.30.2a =，0.2log 3b =，0.2log 4c =，则a b c ，，的大小是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >>
D ．c b a >>
4.执行如图所示的程序框图，若输出结果为63，则M 处的条件为（ ）
A ．64?k <
B ．64?k ≥
C .32?k <
D ．32?k ≥
5.将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移8
π
个单位，所得的函数关于y 轴对称，则ϕ的一个可能
取值为（ ） A ．
34
π B ．
4
π
C .0
D ．4
π
-
6.设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ） A ．6
B ．7
C .10
D ．9
7.已知两个不同的平面α、β和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题： ①若m n ∥，m α⊥，则n α⊥； ②若m m αβ⊥⊥，，则αβ∥； ③若m m n α⊥，∥，n β⊂，则αβ⊥； ③若m n αα
β=∥，，则m n ∥，其中正确命题的
个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8.设x y ，满足约束条件4
300x y x y y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
，则目标函数2z x y =-的最大值为（ ）
A ．8
B ．4
C ．2
D ．1-
9.设三棱柱111ABC A B C -
的侧棱垂直于底而1290AB AC BAC AA ==∠=︒=，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A ．4π
B ．8π
C .12π
D ．16π
10.在ABC △中，AB AC AB AC +=-，3AB =，4AC =，则BC 在CA 方向上的投影是（ ） A ．4
B ．3
C .4-
D ．5
11.如图，
已知椭圆C 的中心为原点O ，()
0F -，为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足OP OF =且
4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）
A ．221255
y x +=
B ．2
213010
y x +=
C .213616
y x 2+= D ．2
214525
y x +=
12.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()'y f x =，当0x ≠时，()()
'0f x f x x
+>，若
1122a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22b f =--，11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则a b c ，，的大小关系是( )
A ．a b c <<
B ．b c a <<
C .c a b <<
D ．a c b <<
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13
.在ABC △中，130AB AC B ==∠=︒，，
，ABC △，则C ∠= ．
14.圆心在直线2x =上的圆与y 轴交于两点()()0402A B --，，，，则该圆的标准方程
为 .
15.函数()()log 3101a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则
11
m n
+的最小值为 .
16.设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()04，上有三个零点，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(本小题满分12分)
已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和39
2
S =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 前n 项和n T ． 18.（本小题满分12分）
某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160180)，，[180200)，，[200220)，，[220240)，，[240260)，，[260280)，，[280300)，分组的频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求直方图中x 的值；
（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；
（Ⅲ）在月平均用电量为[220240)，，[240260)，，[260280)，，[280300)，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220240)，的用户中应抽取多少户？ 19.（本小题满分12分）
如图，AB 是O ⊙的直径，点C 是O ⊙上的动点，PA 垂直于O ⊙所在的平面ABC .
（Ⅰ）证明：PAC ⊥平面PBC ；
（Ⅱ）设1PA AC ==，，求三棱锥A PBC -的高. 20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()2
2
1:314C x y ++-=和圆()()2
2
2:454C x y -+-=.
（Ⅰ）若直线l 过点()40A ，，且被圆1C 截得的弦长为，求直线l 的方程；
（Ⅱ）设P 为平面直角坐标系上的点，满足：存在过点P 的无穷多对相互垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标. 21.（本小题满分12分） 已知函数()ln 1
x
x f x e +=
（e 是自然对数的底数），()1ln h x x x x =--. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； （Ⅱ）求()h x 的最大值；
（Ⅲ）设()()'g x xf x =，其中()'f x 为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，()21g x e -<+． 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图AB 是O ⊙直径，AC 是O ⊙切线，BC 交O ⊙与点E ．
（Ⅰ）若D 为AC 中点，求证：DE 是O ⊙切线；
（Ⅱ）若OA =，求ACB ∠的大小．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程是x y ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2cos 4πρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
（Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系；
（Ⅱ）设M 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()120f x x x a a =+-->，． （Ⅰ）当1a =时求不等式()1f x >的解集；
（Ⅱ）若()f x 图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．
17届（高三）第一次联考
数学（文）试卷
试卷答案
一、选择题 1-5:DCABB 6-10:BDADC 11、12：CD
二、填空题
13.60︒ 14.()()22235x y -++= 15
.3+ 16.ln 21 , 2e ⎛⎫
⎪⎝
⎭
三、解答题
17.解（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得122a d +=，1329
322
a d ⨯+=.化简得122a d +=，
解得111 , d=2a =，故通项公式1
12
n n a -=+，
即1
2
n n a +=
.……………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得11b =，415151
82
b a +===，设{}n b 的公比为q ，则3418b q b ==，从而2q =，
故{}n b 的前n 项和()11211n n n b q T q
-=
=--.……………………………………12分
由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=得： 224a =，所以月平均用电量的中位数是224.
（Ⅲ）月平均用电量为[220 , 240)的用户有0.01252010025⨯⨯=户，月平均用电量为[240 , 260)的用户有0.00752010015⨯⨯=户，月平均用电量为[260 , 280)的用户有0.0052010010⨯⨯=户，月平均用电量为[280 , 300)的用户有0.0025201005⨯⨯=户，抽取比例111
25151055
=
=+++，
所以月平均用电量在[220 , 240)的用户中应抽取1
2555
⨯=户.……………………12分
19.解：证明：（1）
∵AB 是O 的直径，点C 是O 上的动点，
∴90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥.…………………………1分 又∵PA 垂直于O 所在平面，BC ⊂平面O ∴PA BC ⊥.……………………………………2分 ∴PA
AC A =
∴BC ⊥平面PAC .……………………………………4分 又BC ⊂平面PCB ，
∴平面PAC ⊥平面PBC .…………………………6分 （2）由⑴的结论平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC
平面PBC PC =，
∴过A 点作PC 的垂线，垂足为D ，………………………………8分
在Rt ABC △中，1PA AC ==，∴2PC =，…………………………9分 由AD PC PA AC ⨯=⨯，
∴PA AC AD PC ⨯=
==
∴A 点到平面PCB
.…………………………………………12分 20.解：（Ⅰ）直线l 的方程为0y =或724280x y +-=，…………………………6分 （Ⅱ）设点P 的坐标为() , m n ，直线12 , l l 的方程分别设为： ()()1 , y n k x m y n x m k -=--=-
-，0kx y n km --+-=，10m
x y n k k
--++=，
化简得()23m n k m n --=--，或()85m n k m n -+=+-关于k 的方程有无穷多解， 2030m n m n --=⎧⎨
--=⎩或8050
m n m n -+=⎧⎨+-=⎩，得点P 的坐标为5
1 , 22⎛⎫- ⎪⎝⎭或313 , 22⎛⎫- ⎪⎝⎭………………12分 21.解：（Ⅰ）由()ln 1x x f x e +=，得()1
1f e
=，……………………………………1分 ()1ln 'x
x x x
f x xe --=
，所以()'10k f ==，………………………………3分
所以曲线()y f x =在点()()1 , 1f 处的切线方程为1
y e
=
.……………………4分 （Ⅱ）()1ln h x x x x =--，()0 , x ∈+∞，所以()'ln 2h x x =--.………………5分 令()'0h x =得，2x e -=，因此当()20 , x e -∈时，()'0h x >，()h x 单调递增； 当()2 , x e -∈+∞时，()'0h x <，()h x 单调递减.……………………7分
所以()h x 在2x e -=处取得极大值，也是最大值.()h x 的最大值为()221h e e --=+.……8分 （Ⅲ）证明：因为()()'g x xf x =，所以()1ln x
x x x
g x e
--=
，0x >，()21g x e -<+， 等价于()21ln 1x x x x e e ---<+.……………………………………9分 由（Ⅱ）知()h x 的最大值为()221h e e --=+，故21ln 1x x x e ---≤+， 只需证明0x >时，1x e >成立，这显然成立.…………………………10分 所以()221ln 11x x x x e e e ----≤+<+，因此对任意0x >，()21g x e -<+.……12分 22.解：（Ⅰ）连结AE ，由已知得，AE BC ⊥，AC AB ⊥，
在Rt ABC △中，由已知得DE DC =，∴DEC DCE ∠=∠， 连结OE ，OBE OEB ∠=∠，
∵90ACB ABC ∠+∠=︒，∴90DEC OEB ∠+∠=︒， ∴90OED ∠=︒,
∴DE 是圆O 的切线.………………………………………………5分
（Ⅱ）设1CE =，AE x =
，由已知得AB =
BE =2AE CE BE =，
∴2x
x =60ACB ∠=︒，…………………………10分 23．解：（Ⅰ）直线l
的普通方程为0x y -+=，曲线C 的直角坐标系下的方程为
22
1
x y ⎛⎛++= ⎝⎝
，圆心
到直线0x y -+=
的距离为51d >所以直线l 与曲线C 的位置关系为相离……………………………………5分
（Ⅱ）设cos , sin M θθ⎫+⎪⎪⎭
，
则cos sin 4x y πθθθ⎛
⎫⎡+=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭
………………………………10分 24．解：（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为1211x x +-->，等价于 11221x x x ≤-⎧⎨
--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221
x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得2
23x <<， 所以不等式()1f x >的解集为223x x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
.………………………………5分
（Ⅱ）由题设可得，()12 , 1312 , 112 , x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪
=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的
三个顶点分别为()()21 , 0 , 2 1 , 0 , , 13a A B a C a a -⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
，所以ABC △的面积为()2213a +.
由题设得()2
2163
a +>，解得2a >，所以a 的取值范围为()2 , +∞.……………………10分。