2021年中考真题反比例函数的应用+反比例函数综合题试题解析试卷

2021年中考真题反比例函数的应用＋反比例函数综合题一．试题（共26小题）
1．（2021•娄底）根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活
体验等，判定下列有关函数y=
x
a+x（a为常数且a＞0，x＞0）的性质表述中，正确的是
（）
①y随x的增大而增大②y随x的增大而减小③0＜y＜1④0≤y≤1
A．①③B．①④C．②③D．②④2．（2021•宜昌）某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p
（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p=m
V，能够反映两个变量p
和V函数关系的图象是（）
A．B．
C．D．
3．（2021•丽水）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲、F 乙
、F丙、F丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F乙＜F丙＜F甲＜F丁，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（）
A．甲同学B．乙同学C．丙同学D．丁同学4．（2021•自贡）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（）
A．函数解析式为I=13
R B．蓄电池的电压是18V
C．当I≤10A时，R≥3.6ΩD．当R＝6Ω时，I＝4A
5．（2021•潍坊）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：
年度（年）201620172018201920202021
年度纯收
入（万元）
1.5
2.5 4.57.511.3
若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示，拟用下列三个函数模
拟甲农户从2016年开始的年度纯收入变化趋势：y=m
x（m＞0），y＝kx+b（k＞0），y＝
ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．
（1）能否选用函数y=m
x（m＞0）进行模拟，请说明理由；
（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；
（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求．
6．（2021•台州）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I=U R；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压
（1）求k，b的值；
（2）求R1关于U0的函数解析式；
（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0～6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．7．（2021•乐山）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求点A对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
8．（2021•济南）如图，直线y=3
2
x与双曲线y=k x（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为
（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．
（1）求k的值并直接写出点B的坐标；
（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；
（3）P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形AB﹣PQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2021•镇江）如图，点A和点E（2，1）是反比例函数y=k
x（x＞0）图象上的两点，点
B在反比例函数y=6
x（x＜0）的图象上，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，
D，AC＝BD，连接AB交y轴于点F．（1）k＝；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：am＝﹣2；
（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标：．
10．（2021•湘潭）如图，点A（a，2）在反比例函数y=4
x的图象上，AB∥x轴，且交y轴于
点C，交反比例函数y=k
x于点B，已知AC＝2BC．
（1）求直线OA的解析式；
（2）求反比例函数y=k
x的解析式；
（3）点D为反比例函数y=k
x上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求
△OAD的面积．
11．（2021•牡丹江）如图，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B．OB是一元二次方程
x2﹣x﹣30＝0的一个根，且tan∠OAB=3
4，点D为AB的中点，E为x轴正半轴上一点，
BE＝2√10，直线OD与BE相交于点F．（1）求点A及点D的坐标；
（2）反比例函数y=k
x经过点F关于y轴的对称点F′，求k的值；
（3）点G和点H在直线AB上，平面内存在点P，使以E，G，H，P为顶点的四边形是边长为6的菱形，符合条件的菱形有几个？请直接写出满足条件的两个点P的坐标．
12．（2021•泰州）如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y=k
x（k＜0）的图象
上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．
（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；
（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值．
你选择的条件是（只填序号）．
13．（2021•赤峰）阅读理解：
在平面直角坐标系中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．
（1）已知点A的坐标为（2，0）．
①若点B的坐标为（4，4），则点A、B的“相关矩形”的周长为；
②若点C在直线x＝4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；
（2）已知点P的坐标为（3，﹣4），点Q的坐标为（6，﹣2）若使函数y=k
x的图象与点
P、Q的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值．
14．（2021•雅安）已知反比例函数y=m
x的图象经过点A（2，3）．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）如图，在反比例函数y=m
x的图象上点A的右侧取点C，过点C作x轴的垂线交x
轴于点H，过点A作y轴的垂线交直线CH于点D．
①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，两线相交于点B，求证：O，B，D三点共线；
②若AC＝2OA，求证：∠AOD＝2∠DOH．
15．（2021•常州）【阅读】
通过构造恰当的图形，可以对线段长度
．．．．、图形面积大小
．．．．．．等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【理解】
（1）如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE．已知AD＝a，BD＝b（0＜a＜b）．
①分别求线段CE 、CD 的长（用含a 、b 的代数式表示）；
②比较大小：CE CD （填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a 、b 的代数式表示该大小关系．
【应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点M 、N 在反比例函数y =1x
（x ＞0）的图象上，横坐标分别为m 、n ．设p ＝m +n ，q =1m +1n ，记l =14pq ．
①当m ＝1，n ＝2时，l ＝ ；当m ＝3，n ＝3时，l ＝ ；
②通过归纳猜想，可得l 的最小值是 ．请利用图．．．2．构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
16．（2021•深圳）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、12倍、k 倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？ （填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？ 同学们有以下思路：
①设新矩形长和宽为x 、y ，则依题意x +y ＝10，xy ＝12，联立{x +y =10xy =12
得x 2﹣10x +12＝0，再探究根的情况；
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的12倍； ②如图也可用反比例函数与一次函数证明l 1：y ＝﹣x +10，l 2：y =12x ，那么，
a ．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？ ．
b ．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的12
，若存在，用图象表达；
c．请直接写出当结论成立时k的取值范围：．
17．（2021•大庆）如图，一次函数y＝kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与反比例函数
y=4
x的图象交于P，D两点．以AD为边作正方形ABCD，点B落在x轴的负半轴上，已
知△BOD的面积与△AOB的面积之比为1：4．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）求点P的坐标及△CPD外接圆半径的长．
18．（2021•湖北）如图：在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点
的坐标分别为（2，0），（2，m），直线CD：y1＝ax+b与双曲线：y2=k
x交于C，P（﹣4，
﹣1）两点．
（1）求双曲线y2的函数关系式及m的值；（2）判断点B是否在双曲线上，并说明理由；（3）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．
19．（2021•东营）如图所示，直线y＝k1x+b与双曲线y=k2
x交于A、B两点，已知点B的纵
坐标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D（0，﹣2），OA=√5，tan∠AOC= 1
2．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式k1x+b≤k2
x的解集．
20．（2021•鄂州）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现
由5+5＝2√5×5=10；1
3
+
1
3
=2√13×13=23；0.4+0.4＝2√0.4×0.4=0.8；
1
5
+5＞
2√1
5
×5=2；0.2+3.2＞2√0.2×3.2=1.6；
1
2
+
1
8
＞2√12×18=12．
猜想：如果a＞0，b＞0，那么存在a+b≥2√ab（当且仅当a＝b时等号成立）．猜想证明
∵（√a−√b）2≥0，
∴①当且仅当√a−√b=0，即a＝b时，a﹣2√ab+b＝0，∴a+b＝2√ab；
②当√a−√b≠0，即a≠b时，a﹣2√ab+b＞0，∴a+b＞2√ab．
综合上述可得：若a＞0，b＞0，则a+b≥2√ab成立（当且仅当a＝b时等号成立）．猜想运用
对于函数y＝x+1
x（x＞0），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
变式探究
对于函数y=
1
x−3
+x（x＞3），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
拓展应用
疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间隔离房的面积为S（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？
21．（2021•广元）如图，直线y＝kx+2与双曲线y=1.5
x相交于点A、B，已知点A的横坐标
为1．
（1）求直线y＝kx+2的解析式及点B的坐标；
（2）以线段AB为斜边在直线AB的上方作等腰直角三角形ABC．求经过点C的双曲线的解析式．
22．（2021•眉山）如图，直线y=3
4x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线MN∥AB，
且与△AOB的外接圆⊙P相切，与双曲线y=−30
x在第二象限内的图象交于C、D两点．
（1）求点A，B的坐标和⊙P的半径；（2）求直线MN所对应的函数表达式；（3）求△BCN的面积．
23．（2021•金华）背景：点A在反比例函数y=k
x（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC
⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
（1）求k的值．
（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式．
②补画x＜0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．
③过点（3，2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．
24．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=3
4x+
3
2的图象与反比例函
数y=k
x（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．
25．（2021•遂宁）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2=m
x（m≠0）的图象
交于
点A（1，2）和B（﹣2，a），与y轴交于点M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；
（3）将直线y1向下平移2个单位后得到直线y3，当函数值y1＞y2＞y3时，求x的取值范围．
26．（2021•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=1
x（x＞0）图象上
的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y=k
x（k＞0，x＜0）的图象于点B，
过点A作AE⊥y轴于点E．
（1）如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．
①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；
②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．
（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y=k
x（k＞0，x＜0）的图象于点P，连
结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．
2021年中考真题反比例函数的应用＋反比例函数综合题
参考答案与试题解析
一．试题（共26小题）
1．（2021•娄底）根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数y =x
a+x （a 为常数且a ＞0，x ＞0）的性质表述中，正确的是（ ）
①y 随x 的增大而增大 ②y 随x 的增大而减小 ③0＜y ＜1 ④0≤y ≤1 A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
【解答】解：∵y =x
a+x （a 为常数且a ＞0，x ＞0）， ∴1
y =
a+x x
，即1y
=
a x
+1，
根据反比例函数的性质， ∵a ＞0，
∴当x 增大时，a
x 随x 的增大而减小，
∴a x
+1也随x 的增大而减小，
即1
y
也随x 的增大而减小，
则y 就随x 的增大而增大， ∴性质①正确．
又∵a ＞0，x ＞0，∴a +x ＞0， ∴
x a+x
＞0，即y ＞0，
又∵x ＜a +x ， ∴
x a+x
＜1，即y ＜1，
∴0＜y ＜1， ∴性质③正确．
综上所述，性质①③正确，
故选：A．
2．（2021•宜昌）某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p
（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p=m
V，能够反映两个变量p
和V函数关系的图象是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例
函数：p=m
V（V，p都大于零），
∴能够反映两个变量p和V函数关系的图象是：．
故选：B．
3．（2021•丽水）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲、F 乙
、F丙、F丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F乙＜F丙＜F甲＜F丁，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（）
A．甲同学B．乙同学C．丙同学D．丁同学
【解答】解：根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂可得，
∵阻力×阻力臂是个定值，即水桶的重力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定
不变，
∴动力越小，动力臂越大，即拉力越小，压力的作用点到支点的距离最远，
∵F乙最小，
∴乙同学到支点的距离最远．
故选：B．
4．（2021•自贡）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（）
A．函数解析式为I=13
R B．蓄电池的电压是18V
C．当I≤10A时，R≥3.6ΩD．当R＝6Ω时，I＝4A
【解答】解：设I=k R，
∵图象过（4，9），∴k＝36，
∴I=36 R，
∴蓄电池的电压是36V．
∴A，B均错误；
当I＝10时，R＝3.6，
由图象知：当I≤10A时，R≥3.6Ω，
∴C正确，符合题意；
当R＝6时，I＝6，
∴D错误，
故选：C．
5．（2021•潍坊）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：
年度（年）201620172018201920202021
年度纯收
入（万元）
1.5
2.5 4.57.511.3
若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示，拟用下列三个函数模
拟甲农户从2016年开始的年度纯收入变化趋势：y=m
x（m＞0），y＝kx+b（k＞0），y＝
ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．
（1）能否选用函数y=m
x（m＞0）进行模拟，请说明理由；
（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；
（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求．
【解答】解：（1）∵1×1.5＝1.5，2×2.5＝5，
∴1.5≠5，
∴不能选用函数y=m
x（m＞0）进行模拟．
（2）选用y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），理由如下，
由（1）可知不能选用函数y=m
x（m＞0），
由（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）可知，x每增大1个单位，y的变化不均匀，
∴不能选用函数y ＝kx +b （k ＞0），
故只能选用函数y ＝ax 2﹣0.5x +c （a ＞0）模拟．
（3）把（1，1.5），（2，2.5）代入y ＝ax 2﹣0.5x +c （a ＞0）得： {a −0.5+c =1.54a −1+c =2.5，解得：{a =0.5c =1.5， ∴y ＝0.5x 2﹣0.5x +1.5，
当x ＝6时，y ＝0.5×36﹣0.5×6+1.5＝16.5， ∵16.5＞16，
∴甲农户2021年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求．
6．（2021•台州）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R 1，R 1与踏板上人的质量m 之间的函数关系式为R 1＝km +b （其中k ，b 为常数，0≤m ≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R 0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U 0，该读数可以换算为人的质量m ， 温馨提示：①导体两端的电压U ，导体的电阻R ，通过导体的电流I ，满足关系式I =U
R ； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压
（1）求k ，b 的值；
（2）求R 1关于U 0的函数解析式； （3）用含U 0的代数式表示m ；
（4）若电压表量程为0～6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量． 【解答】解：（1）将（0，240），（120，0）代入R 1＝km +b ， 得：{b =240120k +b =0，
解得：{k =−2
b =240
．
∴R 1＝﹣2m +240（0≤m ≤120）．
（2）由题意得：可变电阻两端的电压＝电源电压﹣电表电压，
即：可变电阻电压＝8﹣U 0，
∵I =U
R ，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ∴
8−U 0R 1=
U 0R 0
．
化简得：R 1=R 0(8
U 0
−1)，
∵R 0＝30， ∴R 1=
240
U 0
−30． （3）将R 1＝﹣2m +240（0≤m ≤120）代入R 1=240
U 0
−30， 得：﹣2m +240=
240
U 0
−30， 化简得：m =−120
U 0
+135（0≤m ≤120）．
（4）∵m =−120
U 0+135中k ＝﹣120＜0，且0≤U 0≤6，
∴m 随U 0的增大而增大， ∴U 0取最大值6的时候，m max =−
120
6
+135=115（千克）． 7．（2021•乐山）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x ＜10和10≤x ＜20时，图象是线段；当20≤x ≤45时，图象是反比例函数的一部分． （1）求点A 对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
【解答】解：（1）设当20≤x ≤45时，反比例函数的解析式为y =k x
，将C （20，45）代入得：
45=k
20，解得k ＝900，
∴反比例函数的解析式为y =900
x ， 当x ＝45时，y =
900
45
=20， ∴D （45，20），
∴A （0，20），即A 对应的指标值为20；
（2）设当0≤x ＜10时，AB 的解析式为y ＝mx +n ，将A （0，20）、B （10，45）代入得：
{20=n 45=10m +n ，解得{m =52n =20
， ∴AB 的解析式为y =5
2x +20， 当y ≥36时，5
2x +20≥36，解得x ≥
32
5， 由（1）得反比例函数的解析式为y =900
x ， 当y ≥36时，900x
≥36，解得x ≤25，
∴
325
≤x ≤25时，注意力指标都不低于36，
而25−32
5=93
5＞17，
∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36． 8．（2021•济南）如图，直线y =3
2
x 与双曲线y =k x
（k ≠0）交于A ，B 两点，点A 的坐标为（m ，﹣3），点C 是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC 并延长交x 轴于点D ，且BC ＝2CD ．
（1）求k 的值并直接写出点B 的坐标；
（2）点G 是y 轴上的动点，连接GB ，GC ，求GB +GC 的最小值；
（3）P 是坐标轴上的点，Q 是平面内一点，是否存在点P ，Q ，使得四边形AB ﹣PQ 是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A 的坐标为（m ，﹣3）代入直线y =32
x 中， 得﹣3=32
m ， 解得：m ＝﹣2， ∴A （﹣2，﹣3）， ∴k ＝﹣2×（﹣3）＝6， ∴反比例函数解析式为y =6
x
， 由{y =3
2x y =6x ，得{x =−2y =−3或{x =2y =3
， ∴点B 的坐标为（2，3）；
（2）如图1，作BE ⊥x 轴于点E ，CF ⊥x 轴于点F ， ∴BE ∥CF ， ∴△DCF ∽△DBE ， ∴
DC DB
=
CF BE
，
∵BC ＝2CD ，BE ＝3， ∴CD DB =1
3
，
∴
CF 3
=1
3
，
∴CF ＝1， ∴C （6，1），
作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接B ′C 交y 轴于点G ， 则B ′C 即为BC +GC 的最小值，
∵B ′（﹣2，3），C （6，1），
∴B ′C =√(−2−6)2+(3−1)2=2√17， ∴BC +GC ＝B ′C ＝2√17； （3）存在．理由如下：
①当点P 在x 轴上时，如图2，设点P 1的坐标为（a ，0）， 过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，
∵∠OEB ＝∠OBP 1＝90°，∠BOE ＝∠P 1OB ， ∴△OBE ∽△OP 1B ， ∴
OB OP 1
=
OE OB
，
∵B （2，3），
∴OB =√22+32=√13， ∴
√13
a =√13
， ∴a =
13
2
， ∴点P 1的坐标为（
132
，0）；
②当点P 在y 轴上时，过点B 作BN ⊥y 轴于点N ，如图2， 设点P 2的坐标为（0，b ），
∵∠ONB ＝∠P 2BO ＝90°，∠BON ＝∠P 2OB ， ∴△BON ∽△P 2OB ， ∴
OB OP 2
=
ON OB
，即
√13b =√13
∴b =13
3，
∴点P 2的坐标为（0，
133
）；
综上所述，点P 的坐标为（132
，0）或（0，
133
）．
9．（2021•镇江）如图，点A 和点E （2，1）是反比例函数y =k
x
（x ＞0）图象上的两点，点B 在反比例函数y =6
x （x ＜0）的图象上，分别过点A ，B 作y 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ，AC ＝BD ，连接AB 交y 轴于点F ． （1）k ＝ 2 ；
（2）设点A 的横坐标为a ，点F 的纵坐标为m ，求证：am ＝﹣2；
（3）连接CE ，DE ，当∠CED ＝90°时，直接写出点A 的坐标： （6
5
，5
3） ．
【解答】解：（1）∵点E （2，1）是反比例函数y =k
x
（x ＞0）图象上的点， ∴k
2=1，
解得k ＝2， 故答案为：2；
（2）在△ACF 和△BDF 中， {∠ACF =∠BDF ∠CFA =∠BFD AC =BD
， ∴△ACF ≌△BDF （AAS ）， ∴S △BDF ＝S △ACF ，
∵点A 坐标为（a ，2
a
），则可得C （0，2
a
），
∴AC ＝a ，OC =2
a ，
即1
2
a ×（2
a
−m ）=1
2
a ×（6
a
+m ），
整理得am ＝﹣2；
（3）设A 点坐标为（a ，2
a ），
则C （0，2
a
），D （0，−6
a ），
∵E （2，1），∠CED ＝90°， ∴CE 2+DE 2＝CD 2，
即22+（1−2a ）2+22+（1+6
a ）2＝（2a
+6
a
）2，
解得a ＝﹣2（舍去）或a =6
5
， ∴A 点的坐标为（6
5
，5
3）．
10．（2021•湘潭）如图，点A （a ，2）在反比例函数y =4
x 的图象上，AB ∥x 轴，且交y 轴于点C ，交反比例函数y =k
x 于点B ，已知AC ＝2BC ． （1）求直线OA 的解析式； （2）求反比例函数y =k x 的解析式；
（3）点D 为反比例函数y =k
x 上一动点，连接AD 交y 轴于点E ，当E 为AD 中点时，求△OAD 的面积．
【解答】解：（1）∵点A （a ，2）在反比例函数y =4
x 的图象上， ∴2=4
a ，解得a ＝2， ∴A （2，2），
设直线OA 解析式为y ＝mx ， 则2＝2m ，解得m ＝1， ∴直线OA 解析式为y ＝x ； （2）由（1）知：A （2，2）， ∵AB ∥x 轴，且交y 轴于点C ， ∴AC ＝2， ∵AC ＝2BC ， ∴BC ＝1， ∴B （﹣1，2），
把B （﹣1，2）代入y =k x 得：2=k
−1，
∴k ＝﹣2，
∴反比例函数y =k x
的解析式为y =−2x
； （3）设D （t ，−2t ），而A （2，2）， ∴AD 中点E （
t+2
2，
−1t
+1），
而E 在y 轴上， ∴
t+22
=0，解得t ＝﹣2，
∴D （﹣2，1），E （0，32
）， ∴S △DOE =12
OE •|x D |=12×32×2=32
， S △AOE =1
2OE •|x A |=
12×32×2=32
， ∴△OAD 面积S ＝S △DOE +S △AOE ＝3．
11．（2021•牡丹江）如图，直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．OB 是一元二次方程x 2﹣x ﹣30＝0的一个根，且tan ∠OAB =3
4，点D 为AB 的中点，E 为x 轴正半轴上一点，BE ＝2√10，直线OD 与BE 相交于点F ． （1）求点A 及点D 的坐标；
（2）反比例函数y =k x
经过点F 关于y 轴的对称点F ′，求k 的值；
（3）点G 和点H 在直线AB 上，平面内存在点P ，使以E ，G ，H ，P 为顶点的四边形是边长为6的菱形，符合条件的菱形有几个？请直接写出满足条件的两个点P 的坐标．
【解答】解：（1）∵x 2﹣x ﹣30＝0， ∴x 1＝﹣5，x 2＝6， ∴OB ＝6，
∵tan ∠OAB =34
， ∴
OB OA
=3
4
，
∴OA ＝8，
∴A （8，0），B （0，6）， ∵点D 为AB 的中点， ∴D （4，3）；
（2）在Rt △OBE 中，由勾股定理得： OE =√BE 2−OB 2=√40−36=2， ∴E （2，0），
∴直线BE 的函数解析式为：y ＝﹣3x +6， ∵D （4，3），
∴直线OD 的函数解析式为：y =3
4x ， 当﹣3x +6=34
x 时，x =85
， 此时y =6
5， ∴F （8
5
，65），
∴点F 关于y 轴的对称点F ′为（−85，65
）， ∵反比例函数y =k
x
经过点F '， ∴k =−8
5×6
5=−4825；
（3）如图1中，由AE ＝6，当H 与A 重合，GH 是菱形的对角线时，
∵以E ，G ，H ，P 为顶点的四边形是边长为6的菱形， ∴BE ＝6，
∵A （8，0），B （0，6），
∴直线AB 的函数解析式为：y =−3
4x +6， 设G （m ，−3
4
m +6）， ∵EG ＝EH ＝6，
∴（m ﹣2）2+（−34m +6）2＝62， ∴m =8
25或8（舍弃）， ∴G （
825，
14425
），
∵BP ∥AE ，BP ＝AE ＝6， ∴P （
15825
，
14425
）．
如图2中，当H 与A 重合，GH 是菱形的边时，有两种情形，
∵AG ＝AE ＝6，
∴（8﹣m ）2+（−3
4m +6）2＝62， 解得m =16
5或64
5， ∴G （
165，
185
），G ′（
64
5
，−18
5），
∵PG ∥AE ，PG ＝AE ＝6，
∴P （−145，185），P ′（345
，−18
5）．
如图3中，当GH 为菱形的边，H 与B 不重合时，四边形EGHP 是菱形，此时P （34
5
，−18
5）或四边形EGH ′P ′是菱形，此时P ′（−14
5，18
5
），
综上所述，符合条件的菱形有5个，点P的坐标为（158
25
，
144
25
）或（−
14
5，
18
5
）或（
34
5
，
−185）．
12．（2021•泰州）如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y=k
x（k＜0）的图象
上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．
（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；
（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值．
你选择的条件是①（只填序号）．
【解答】解：（1）根据图象可知，y1＞y2，
∵点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y=k
x（k＜0）的图象上，
∴y1=−k
2，y2=−
k
6，
∵k＜0，
∴−k
2＞−
k
6＞0，即y1＞y2．
（2）选择①作为条件；
由（1）可得，A（﹣2，−k
2），B（﹣6，−
k
6），
∴OC＝2，BD＝6，AC=−k
2，OD=−
k
6
∴DE＝OC＝2，EC＝OD=−k 6，
∵四边形OCED的面积为2，
∴2×（−k
6）＝2，解得k＝﹣6．
13．（2021•赤峰）阅读理解：
在平面直角坐标系中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．
（1）已知点A的坐标为（2，0）．
①若点B的坐标为（4，4），则点A、B的“相关矩形”的周长为12；
②若点C在直线x＝4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；
（2）已知点P的坐标为（3，﹣4），点Q的坐标为（6，﹣2）若使函数y=k
x的图象与点
P、Q的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值．
【解答】解：（1）①∵A（2，0），B（4，4），
∴点A、B的“相关矩形”的周长为（4﹣2+4）×2＝12，
故答案为：12；
②∵若点C在直线x＝4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，
∴C（4，2）或（4，﹣2），
设直线AC的关系式为：y＝kx+b
将（2，0）、（4，2）代入解得：k＝1，b＝﹣2，
∴y＝x﹣2，
将（2，0）、（4，﹣2）代入解得：k＝﹣1，b＝2，
∴y＝﹣x+2，
∴直线AC的解析式为：y＝x﹣2或y＝﹣x+2；
（2）∵点P的坐标为（3，﹣4），点Q的坐标为（6，﹣2），
设点P、Q的“相关矩形”为矩形MPNQ，则M（3，﹣2），N（6，﹣4），
当函数y=k
x的图象过M时，k＝﹣6，
当函数y=k
x的图象过N时，k＝﹣24，
若使函数y=k
x的图象与点P、Q的“相关矩形”有两个公共点，则﹣24＜k＜﹣6．
14．（2021•雅安）已知反比例函数y=m
x的图象经过点A（2，3）．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）如图，在反比例函数y=m
x的图象上点A的右侧取点C，过点C作x轴的垂线交x
轴于点H，过点A作y轴的垂线交直线CH于点D．
①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，两线相交于点B，求证：O，B，D三点共线；
②若AC＝2OA，求证：∠AOD＝2∠DOH．
【解答】（1）解：∵反比例函数y =m
x 的图象经过点A （2，3）， ∴3=
m
2
， ∴m ＝6，
∴反比例函数的解析式为y =6
x ．
（2）证明：①过点A 作AM ⊥x 轴于M ，过点C 作CN ⊥y 轴于N ，AM 交CN 于点B ，连接OB ．
∵A （2，3），点C 在y =6
x 的图象上，
∴可以设C （t ，6t
），则B （2，6
t
），D （t ，3），
∴tan ∠BOM =BM OM =6
t 2=3t ，tan ∠DOH =DH OH =3t ，
∴tan ∠BOM ＝tan ∠DOH ， ∴∠BOM ＝∠DOH ， ∴O ，B ，D 共线．
②设AC 交BD 于J ． ∵AD ⊥y 轴，CB ⊥y 轴， ∴AD ∥CB ，
∵AM ⊥x 轴，DH ⊥x 轴， ∴AB ∥DC ，
∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵∠ADC ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形，
∴AJ＝JC＝JD＝JB，
∵AC＝2OA，
∴AO＝AJ，
∴∠AOJ＝∠AJO，
∵∠AJO＝∠JAD+∠JDA，
∵AD∥OH，
∴∠DOH＝∠ADJ，
∵JA＝JD，
∴∠JAD＝∠ADJ，
∴∠AOD＝2∠ADJ＝2∠DOH．
15．（2021•常州）【阅读】
通过构造恰当的图形，可以对线段长度
．．．．、图形面积大小
．．．．．．等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【理解】
（1）如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE．已知AD＝a，BD＝b（0＜a＜b）．
①分别求线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：CE＞CD（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大
小关系．
【应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y=1
x（x＞0）的图象上，
横坐标分别为m、n．设p＝m+n，q=1
m
+1n，记l=14pq．
①当m ＝1，n ＝2时，l ＝
9
8
；当m ＝3，n ＝3时，l ＝ 1 ；
②通过归纳猜想，可得l 的最小值是 1 ．请利用图．．．2．构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
【解答】解：（1）①如图1中，
∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，
∴∠ADC ＝∠CDB ＝∠ACB ＝90°， ∴∠ACD +∠A ＝90°，∠A +∠B ＝90°， ∴∠ACD ＝∠B ， ∴△ADC ∽△CDB ， ∴
AD CD
=
CD DB
，
∴CD 2＝AD •DB ，
∵AD ＝a ，DB ＝b ，CD ＞0， ∴CD =√ab ，
∵∠ACB ＝90°，AE ＝EB ， ∴EC =1
2AB =1
2（a +b ），
②∵CD ⊥AB ，
∴根据垂线段最短可知，CD ＜CE ，即1
2
（a +b ）＞√ab ，
∴a +b ＞2√ab ， 故答案为：＞．
（2）①当m ＝1，n ＝2时，l =9
8；当m ＝3，n ＝3时，l ＝1， 故答案为：9
8，1．
②猜想：l 的最小值为1． 故答案为：1．
理由：如图2中，过点M 作MA ⊥x 轴于A ，ME ⊥y 轴于E ，过点N 作NB ⊥x 轴于B ，NF ⊥y 轴于F ，连接MN ，取MN 的中点J ，过点J 作JG ⊥y 轴于G ，JC ⊥x 轴于C ，则J （
m+n 2
，
1m +1n
2
），
∵当m ≠n 时，点J 在反比例函数图象的上方， ∴矩形JCOG 的面积＞1，
当m ＝n 时，点J 落在反比例函数的图象上，矩形JCOG 的面积＝1， ∴矩形JCOG 的面积≥1，
∴m+n 2•1
m +1
n
2
≥1，
即l ≥1，
∴l 的最小值为1．
16．（2021•深圳）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、1
2倍、k
倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形
的2倍？ 不存在 （填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？ 同学们有以下思路：
①设新矩形长和宽为x 、y ，则依题意x +y ＝10，xy ＝12，联立{x +y =10xy =12得x 2﹣10x +12
＝0，再探究根的情况；
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的1
2倍；
②如图也可用反比例函数与一次函数证明l 1：y ＝﹣x +10，l 2：y =
12
x
，那么， a ．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？ 存在 ．
b ．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的1
2，若存在，用图象表达；
c ．请直接写出当结论成立时k 的取值范围： k ≥
24
25
．
【解答】解：（1）由题意得，给定正方形的周长为8，面积为4， 若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为16，面积为8， 对应的边长为：4和2√2，不符合题意，
∴不存在新正方形的周长和面积是边长为2的正方形的2倍． 故答案为：不存在．
（2）①设新矩形长和宽为x 、y ，则依题意x +y ＝2.5，xy ＝3， 联立{x +y =2.5xy =3，得：2x 2﹣5x +6＝0，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝﹣23＜0， ∴此方程无解，
∴不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的1
2
倍．。