2021年高三上学期期末考试(重点班)数学(文)试题 含答案

2021年高三上学期期末考试（重点班）数学（文）试题含答案
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，若，则（）
A. B. C. D.
2．若奇函数f（x）的定义域为R，则有（）
A．f（x）＞f（-x）C．f（x）≤f（-x）
C．f（x）·f（-x）≤0 D．f（x）·f（-x）＞0
3．若a,b是异面直线，且a∥平面，那么b与平面的位置关系是（）A．b∥B．b与相交
C．b D．以上三种情况都有可能
4．“”是“直线与直线平行”的（）条件。

A．充分但不必要 B．必要但不充分 C．充分 D．既不充分也不必要
5.设直线与平面相交但不垂直，则下列命题错误
．．的是（）
A．在平面内存在直线与直线平行 B．在平面内存在直线与直线垂直
C．在平面内存在直线与直线相交 D．在平面内存在直线与直线异面
6. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）
A． B． C. D．
7.已知是等比数列，且，则（）
A． B． C. D．
8.已知对数函数，且在区间上的最大值与最小值之积为，则（）
A． B．或 C. D．
9.执行如图所示的程序框图，则输出的（）
A． B． C. D．
10.已知函数，若在区间内随机取一个数，则的概率为（）
A． B． C. D．
11. 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（）
A． B． C. D．
12.已知是函数在内的两个零点，则（）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设向量与满足,则．
14.设实数满足约束条件，则的最大值等于．
15.抛物线与椭圆有相同的焦点，抛物线与椭圆交于，若共线，则椭圆的离心率等于．
16.已知数列的前项和，则数列的前项和等于．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）在中,角、、所对的边分别为、、.已知.
（1）求；
（2）若的面积为，周长为，求.
18. （本小题满分12分）在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在，分数在以上（含）的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.
（1）求的值，并计算所抽取样本的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）填写下面的列联表，能否有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？
文科生理科生合计
获奖
不获奖
合计
附表及公式：
，其中
19. （本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，且经过点
（I）求椭圆的方程：
（II）直线（）与椭圆相交于两点，点为椭圆上的动点，且，请问△的面积是否存在最小值？若存在，求出此时直线的方程：若不存在，说明理由．
20. （本小题满分12分）已知为实数，.
（1）若，求在上的最大值和最小值；
（2）若在和上都递减，求的取值范围.
21. （本小题满分12分）已知圆，圆，经过原点的两直线满足，且交圆于不同两点交圆于不同两点，记的斜率为.
（1）求的取值范围；
（2）若四边形为梯形，求的值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线，曲线为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建
立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若射线分别交于两点，求的最大值．
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若，求的取值范围．
文科数学参考答案
一、
选择题：
1-5CCDA A 6-12 BABCD AC 二、填空题： （13）5
（14）－2
（15）2－1
（16）－4
35
三、解答题： （17）解：
（Ⅰ）由正弦定理可得
sin A ＝2sin A cos A cos B －2sin B sin 2A
＝2sin A (cos A cos B －sin B sin A )＝2sin A cos(A ＋B )＝－2sin A cos C ．
所以cos C ＝－ 1 2，故C ＝2π
3．
（Ⅱ）由△ABC 的面积为15 3
4得ab ＝15，
由余弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝c 2，又c ＝15－(a ＋b )， 解得c ＝7． …12分
（18）解：
（Ⅰ）a ＝[1－(0.01＋0.015＋0.03＋0.015＋0.005)×10]÷10＝0.025，
x －＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.05＝69． (4)
分
（Ⅱ）
…8分
k ＝200(5×115－35×45)250×150×40×160＝25
6≈4.167＞3.841，
所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”．
（19）解：
（Ⅰ）过N作NE∥BC，交PB于点E，连AE，∵CN＝3NP，
∴EN∥BC且EN＝1
4BC，
又∵AD∥BC，BC＝2AD＝4，M为AD的中点，
∴AM∥BC且AM＝1
4BC，
∴EN∥AM且EN＝AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，
∴MN∥AE，
又∵MN⊂/平面PAB，AE⊂平面PAB，∴MN∥平面PAB．
（Ⅱ）连接AC，在梯形ABCD中，
由BC＝2AD＝4，AB＝CD，∠ABC＝60°得AB＝2，
∴AC＝23，AC⊥AB．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AC．
又∵PA∩AB＝A，∴AC⊥平面PAB．
又∵CN＝3NP，
∴N点到平面PAB的距离d＝1
4AC＝
3
2．
（20）（I）由题意，，∴a=2，b=1，
∴椭圆C的方程：
（II）D在AB的垂直平分线上，∴OD：．
由，可得（1+4k2）x2=4，|AB|=2|OA|=2=4，
同理可得|OC|=2，
则S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|=．
由于，
所以S△ABC=2S△OAC≥，当且仅当1+4k2=k2+4（k＞0），
即k=1时取等号．△ABD的面积取最小值．直线AB的方程为y=x．（21）解：
（Ⅰ）显然k≠0，所以l1：y＝kx，l2：y＝－1
k x．
依题意得M到直线l1的距离d1＝|2k－2|
1+k2
＜2，
整理得k2－4k＋1＜0，解得2－3＜k＜2＋3；
同理N到直线l2的距离d2＝|8k|
1+k2
＜40，解得－
15
3＜k＜
15
3，
所以2－3＜k＜15
3．…
（Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 将l 1代入圆M 可得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋6＝0， 所以x 1＋x 2＝4(1＋k ) 1＋k 2，x 1x 2＝6
1＋k 2
；
将l 2代入圆N 可得：(1＋k 2)x 2＋16kx ＋24k 2＝0， 所以x 3＋x 4＝－16k 1＋k 2，x 3x 4＝24k 21＋k 2
．
由四边形ABCD 为梯形可得x 1x 2＝x 4
x 3，所以(x 1＋x 2)2 x 1x 2＝(x 3＋x 4)2 x 3x 4，
所以(1＋k )2＝4，解得k ＝1或k ＝－3（舍）．
（22）解：（Ⅰ）C 1：ρ(cos θ＋sin θ)＝4， C 2的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以ρ＝2cos θ．
（Ⅱ）设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，－ π 4＜α＜ π
2，
则ρ1＝
4
cos α＋sin α
，ρ2＝2cos α，
|OB ||OA |＝ ρ2 ρ1＝ 1
4
×2cos α(cos α＋sin α) ＝ 1 4(cos 2α＋sin 2α＋1)＝ 1 4
[
2cos (2α－ π
4)＋1]
，
当α＝ π 8时，|OB ||OA |取得最大值 1
4(2＋1)．
（23）解：
（Ⅱ）
①若a ＞1，f (x )＝(a －1)|x －1|＋|x －1|＋|x －a |≥a －1， 当且仅当x ＝1时，取等号，故只需a －1≥1，得a ≥2． ②若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，f (1)＝0＜1，不合题意．
③若0＜a ＜1，f (x )＝a |x －1|＋a |x －a |＋(1－a )|x －a |≥a (1－a )， 当且仅当x ＝a 时，取等号，故只需a (1－a )≥1，这与0＜a ＜1矛盾． 综上所述，a 的取值范围是[2，＋∞)．
解法2
f (x )≥1⇒f (1)＝|1－a |≥1且a ＞0，解得a ≥2.
当a ≥2时，f (x )＝a |x －1|＋|x －a |＝⎩
⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)x ＋2a ，x ＜1，
(a －1)x ，
1≤x ≤a ，(a ＋1)x －2a ，x ＞a ． 所以，f (x )在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，则f (x )≥f (1)． f (x )≥1⇔f (1)＝a －1≥1，解得a ≥2． 综上所述，a 的取值范围是[2，＋∞)．
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