二次函数中存在直角三角形综合题

1、如图，抛物线()2230y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点.
（1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A B 、两点的坐标；
（2）经探究可知，BCM △与ABC △的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明
理由.
解：（1）22223(23)(1)4y mx mx m m x x m x m =--=--=--，
∴抛物线顶点M 的坐标为（1，4-m ） ······························································ 2分
抛物线2
23(0)y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点， ∴当0y =时，2230mx mx m --=，20230.m x x >∴--=，解得1213x x =-=，，
A B ∴、两点的坐标为（10-，）、（30，）. ·
························································· 4分 （2）当0x =时，3y m =-，∴点C 的坐标为(03)m ，-. 13(1)366.2ABC S m m m ∴=⨯--⨯-==△ ······················································· 5分 过点M 作MD x ⊥轴于点D ，则12OD BD OB OD ==-=，，
44.MD m m =-=
BCM BDM OBC OCMD S S S S ∴=+-△△△梯形
=
111()222
BD DM OC OM OD OB OC ++-··· =11124(34)133222m m m m ⨯⨯++⨯-⨯⨯ =3m. ······························································································ 7分
:1:2.BCM ABC S S ∴=△△ ············································································ 8分
（3）存在使BCM △为直角三角形的抛物线.
过点C 作CN DM ⊥于点N ，则CMN △为Rt △，13CN OD DN OC m ====，，
.MN DM DN m ∴=-=
2222
在Rt OBC △中，222299BC OB OC m =+=+，
在Rt BDM △中，2222416.BM BD DM m =+=+
①如果BCM △是Rt △，且90BMC ∠=°，
那么222CM BM BC +=， 即222141699m m m +++=+，解得22m =±，20.2m m >∴=， ∴存在抛物线2232222
y x x =--使得BCM △是Rt △； ······················· 10分 ②如果BCM △是Rt △，且90BCM ∠=°，
那么222BC CM BM +=， 即222991446m m m +++=+，解得1m =±，01m m >∴=，．
∴存在抛物线223y x x =--，使得BCM △是Rt △；
③如果BCM △是Rt △，且90CBM ∠=°，那么222BC BM CM +=，
即222994161.m m m +++=+整理得21
2
m =-，此方程无解. ∴以CBM ∠为直角的直角三角形不存在.
综上所述，存在抛物线2232222
y x x =--和223y x x =--． 使得BCM △是Rt △. ············································································· 12分
2、（2013•连云港模拟）如图，抛物线y=-x 2
+mx+n 与x 轴分别交于点A （4，0），B （-2，0），与y 轴交于点C ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）M 为第一象限内抛物线上一动点，点M 在何处时，△ACM 的面积最大；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P ，使得△PAC 为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵y=-x2+mx+n与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），
∴
−16+4m+n
＝0
−4−2m+n
＝0
，
解得
m
＝
2
n
＝
8
．
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+8．
（2）设M坐标为（a，-a2+2a+8），其中a＞0．∵抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，8）．
∵A（4，0），C（0，8）．
∴直线AC的解析式为y=-2x+8．
过点M作x轴的垂线，交AC于N，则N的坐标为（a，-2a+8）．
∴△ACM的面积=△MNC的面积+△AMN的面积
=-a2+4a
=-（a-2）2+4
当a=2，即M坐标为（2，8）时，△ACM的面积最大，最大面积为4．
（3）①当∠ACP=90°时，点P的坐标为（1，9.5）；
②当∠CAP=90°时，点P的坐标为（1，-1.5）；
③当∠APC=90°时，点P的坐标为（1，4+
19
）或（1，4-
19
4、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点M在第一象限，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交与点C，O为坐标原点，如果△ABM是直角三角形，AB=2，OM＝5
（1）求点M的坐标；
（2）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）
∵点M为抛物线的顶点，∴MA=MB，又∵△ABM是直角三角形，∴△AMB是等腰直角三角形，
∵AB=2，∴ME=1，
在Rt△OME中，可得OE=
OM2−ME2
=2，
故可得点M的坐标为（2，1）．
（2）∵AE=BE=
1
2
AB=1，OE=2，
∴OA=1，OB=3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），
将点A、B、M的坐标代入抛物线解析式可得：
a+b+c＝
9a+3b+c
＝0
4a+2b+c
＝1
，
解得：
a
＝
−1
b
＝
4
c
＝
−3
，
故抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3．
（3）设点P的坐标为（2，y），
则AC2=10，AP2=1+y2，CP2=4+（y+3）2，
①当∠PAC=90°时，AC2+AP2=CP2，即10+1+y2=4+（y+3）2，解得：y=-
1
3
，
即此时点P的坐标为（2，-
1
3
）；
②当∠PCA=90°时，AC2+CP2=AP2，即10+4+（y+3）2=1+y2，解得：y=-
11
3
，
即此时点P的坐标为（2，-
11
3
）；
③当∠APC=90°时，AP2+CP2=AC2，即1+y2+4+（y+3）2=10，解得：y=-1或-2，
即此时点P的坐标为（2，-1）或（2，-2）；
综上可得点P的坐标为（2，-
1
3
）或（2，-
11
3
）或（2，-1）或（2，-2）．。