北师大版九年级数学下册：.1二次函数和一元二次方程关系课件
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例如，已知二次函数y = x2－4x的值为3，求自变量x的值， 可以解一元二次方程x2－4x=3（即x2－4x－3=0）．
反过来，解方程x2－4x－3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x－3 的值为0，求自变量x的值．
19
10
回课顾堂与练思习
(1)抛物线y=x2+3x+2与x轴的交点个数是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
的图象如下图，与同伴交流并回答问题.
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5
二次函数y=x2+2x的图象 与x轴有几个交点？
一元二次方程x2+2x=0 有几个根？
解：x(xHale Waihona Puke 2)=0 ∴ x1=-2，x2=0
与x轴有2个交点：
方程的根是-2和0
（-2，0）和（0，0）
19
6
二次函数y=x2-2x+1
一元二次方程x2-2x+1=0
②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3； ③当x＞1时，y随x值的增大而减小；
④当y＞0时，-1＜x＜3．
其中正确的说法是
（）
A．①
y
B．①②
C．①②③ D．①②③④
－1 O
1
3
x
19
12
(5) 二次函数y=kx2-2x-1的图象与x轴有交点，则
k的取值范围是（ ）
A. k>-1
B. k≥-1且k≠0
二次函数 与一元二
次方程
二次函数与 一元二次方 程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
判别式Δ 的符号
一元二次方 程根的情况
19
19
(2)抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点， 则m的值是________.
(3)若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴
的交点情况是 ( )
A.无交点
B.只有一个交点
C.有两个交点 D.不能确定
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11
(4)（中考）二次函数y=ax2+bx+c的图象
如图所示，给出下列说法：①abc＜0；
2、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是 一条_抛_物__线_，它与x轴的交点有几种可能的情况？
三种可能：①两个交点 ②一个交点 ③没有交点。
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2
设抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴 有两个交点，交点坐标如何计算？
（1）二次函数y=x2-5x的图象与x轴的两个交点
C. k≥-1
D. k>-1且k≠0
变式1：已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与 x轴有交点，求k的取值范围．
变式2：若函数y=mx2+(m+2)x+ m+1的图象与x
轴只有一个交点，那么m的值为_________.
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13
(6)若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线 y=ax2＋bx＋c 经过 一、二、三 象限．
的图象与x轴有几个交点？ 有几个根？
解： (x-1)2=0 ∴ x1=x2=1
与x轴有1个交点：
方程的根是1
（1，0）
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7
二次函数y=x2-2x+2
一元二次方程x2-2x+2=0
的图象与x轴有几个交点？有几个根？
解：∵△=(-2)2-4×1×2
=-4﹤0 ∴ 原方程无实根
与x轴没有交点
没有实数根
①小球从飞出到落地要用多少时间？ ②小球的飞行高度能否到达15m？如果能，求出飞行时间. ③小球的飞行高度能否到达20m？如果能，求出飞行时间. ④小球的飞行高度能否到达20.5m？为什么
h
20
10
o
1
2
3
4t
h=-5t2+20t
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课堂小结
二次函数与一 元二次方程的
关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定 值时就成了一元二次方程； ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成 y时就成了二次函数.
（4）x2-2x-3<0的解集是__-_1_＜__x_＜___3_；
x2-2x-3>0的解集是_x_＜__-_1_或___x_＞_ 3
19
16
（9） 已知函数y=mx2-6x+1（m为常数）. （1）求证：无论m为何值，该函数的图
象与y轴总有一个固定交点；
（2）若该函数的图象与x轴只有一个 交点，求m的值.
2.5.1二次函数与一元二次方程
19
1
复回习顾提与问思
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=_b_2-_4_ac__。 当△﹥0时，方程根的情况是_有__两_个__不__等__实__数_根_； 当△=0时，方程根的情况是_有__两__个__相_等__实__数__根； 当△﹤0时，方程根的情况是__没__有__实_数__根_____。
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8
归纳总结：
二次函数 y=ax2+bx+c的图
象和x轴交点
有两个交点
有一个交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个不相等 的实数根 有两个相等 的实数根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判
别式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
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9
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
是_（__-_1_，___0_）__和__（_ 3，0） 与y轴的交点坐标是（___0_，__-_3）
（2）当x=_-_1_或__3__时，y=0； 方程x2-2x-3=0的解是__x_1=__-1_，_；x2=3
19
15
（3）当x满足__-1_＜___x_＜__3____时，y<0；
当x满足__x＜__-_1_或_x_＞__3___时，y>0；
的坐标分别是 （0，0），（5，0）.
（2）若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别是
x1=2，x2=3，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的
交点坐标分别是_（___2_，__0_）__，___（__3_，__0. ）
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3
(3) 函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方
程x2+ax+b=0的解是（ D ）
(7)若二次函数y=ax2＋bx＋c的函数值恒为正， 则需满足 a 0,b2 4ac 0 ；
若二次函数y=ax2＋bx＋c的函数值恒为负， 则需满足 a 0,b2 4ac 0 ．
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（8）如图，函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A，
B两点，与y轴交于点C. （1）图象与x轴交点的坐标
A. 无解 B. x=1
C. x=-4 D. x=-1或x=4
♥
♥
从“数”上看：当函数y=x2+ax+b
的函数值y=0时，自变量x的值就变
成方程x2+ax+b=0的根
从“形”上看：当二次函数y=x2+ax+b与x轴交点
横坐标为方程x2+ax+b=0的根。
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4
回探顾究与学思习
二次函数 y x 2 2x，y x 2 2x 1，y x 2 2x 2
解：（2）①若y=mx2-6x+1为一次函数，则 m=0，此时函数与x轴有唯一交点； ②若y=mx2-6x+1为二次函数，则Δ=36-4m=0， 解得m=9. 综上可得m=0或9.
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17
例、如图以40m/s的速度将小球沿与地面成50°角的方向击出时， 小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的 飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数 关系 h= – 5t²+20t。
反过来，解方程x2－4x－3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x－3 的值为0，求自变量x的值．
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回课顾堂与练思习
(1)抛物线y=x2+3x+2与x轴的交点个数是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
的图象如下图，与同伴交流并回答问题.
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二次函数y=x2+2x的图象 与x轴有几个交点？
一元二次方程x2+2x=0 有几个根？
解：x(xHale Waihona Puke 2)=0 ∴ x1=-2，x2=0
与x轴有2个交点：
方程的根是-2和0
（-2，0）和（0，0）
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二次函数y=x2-2x+1
一元二次方程x2-2x+1=0
②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3； ③当x＞1时，y随x值的增大而减小；
④当y＞0时，-1＜x＜3．
其中正确的说法是
（）
A．①
y
B．①②
C．①②③ D．①②③④
－1 O
1
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x
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(5) 二次函数y=kx2-2x-1的图象与x轴有交点，则
k的取值范围是（ ）
A. k>-1
B. k≥-1且k≠0
二次函数 与一元二
次方程
二次函数与 一元二次方 程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
判别式Δ 的符号
一元二次方 程根的情况
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(2)抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点， 则m的值是________.
(3)若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴
的交点情况是 ( )
A.无交点
B.只有一个交点
C.有两个交点 D.不能确定
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(4)（中考）二次函数y=ax2+bx+c的图象
如图所示，给出下列说法：①abc＜0；
2、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是 一条_抛_物__线_，它与x轴的交点有几种可能的情况？
三种可能：①两个交点 ②一个交点 ③没有交点。
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设抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴 有两个交点，交点坐标如何计算？
（1）二次函数y=x2-5x的图象与x轴的两个交点
C. k≥-1
D. k>-1且k≠0
变式1：已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与 x轴有交点，求k的取值范围．
变式2：若函数y=mx2+(m+2)x+ m+1的图象与x
轴只有一个交点，那么m的值为_________.
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(6)若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线 y=ax2＋bx＋c 经过 一、二、三 象限．
的图象与x轴有几个交点？ 有几个根？
解： (x-1)2=0 ∴ x1=x2=1
与x轴有1个交点：
方程的根是1
（1，0）
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二次函数y=x2-2x+2
一元二次方程x2-2x+2=0
的图象与x轴有几个交点？有几个根？
解：∵△=(-2)2-4×1×2
=-4﹤0 ∴ 原方程无实根
与x轴没有交点
没有实数根
①小球从飞出到落地要用多少时间？ ②小球的飞行高度能否到达15m？如果能，求出飞行时间. ③小球的飞行高度能否到达20m？如果能，求出飞行时间. ④小球的飞行高度能否到达20.5m？为什么
h
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3
4t
h=-5t2+20t
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课堂小结
二次函数与一 元二次方程的
关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定 值时就成了一元二次方程； ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成 y时就成了二次函数.
（4）x2-2x-3<0的解集是__-_1_＜__x_＜___3_；
x2-2x-3>0的解集是_x_＜__-_1_或___x_＞_ 3
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（9） 已知函数y=mx2-6x+1（m为常数）. （1）求证：无论m为何值，该函数的图
象与y轴总有一个固定交点；
（2）若该函数的图象与x轴只有一个 交点，求m的值.
2.5.1二次函数与一元二次方程
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复回习顾提与问思
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=_b_2-_4_ac__。 当△﹥0时，方程根的情况是_有__两_个__不__等__实__数_根_； 当△=0时，方程根的情况是_有__两__个__相_等__实__数__根； 当△﹤0时，方程根的情况是__没__有__实_数__根_____。
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归纳总结：
二次函数 y=ax2+bx+c的图
象和x轴交点
有两个交点
有一个交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个不相等 的实数根 有两个相等 的实数根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判
别式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
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所以二次函数与一元二次方程关系密切．
是_（__-_1_，___0_）__和__（_ 3，0） 与y轴的交点坐标是（___0_，__-_3）
（2）当x=_-_1_或__3__时，y=0； 方程x2-2x-3=0的解是__x_1=__-1_，_；x2=3
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（3）当x满足__-1_＜___x_＜__3____时，y<0；
当x满足__x＜__-_1_或_x_＞__3___时，y>0；
的坐标分别是 （0，0），（5，0）.
（2）若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别是
x1=2，x2=3，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的
交点坐标分别是_（___2_，__0_）__，___（__3_，__0. ）
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(3) 函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方
程x2+ax+b=0的解是（ D ）
(7)若二次函数y=ax2＋bx＋c的函数值恒为正， 则需满足 a 0,b2 4ac 0 ；
若二次函数y=ax2＋bx＋c的函数值恒为负， 则需满足 a 0,b2 4ac 0 ．
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（8）如图，函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A，
B两点，与y轴交于点C. （1）图象与x轴交点的坐标
A. 无解 B. x=1
C. x=-4 D. x=-1或x=4
♥
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从“数”上看：当函数y=x2+ax+b
的函数值y=0时，自变量x的值就变
成方程x2+ax+b=0的根
从“形”上看：当二次函数y=x2+ax+b与x轴交点
横坐标为方程x2+ax+b=0的根。
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回探顾究与学思习
二次函数 y x 2 2x，y x 2 2x 1，y x 2 2x 2
解：（2）①若y=mx2-6x+1为一次函数，则 m=0，此时函数与x轴有唯一交点； ②若y=mx2-6x+1为二次函数，则Δ=36-4m=0， 解得m=9. 综上可得m=0或9.
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例、如图以40m/s的速度将小球沿与地面成50°角的方向击出时， 小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的 飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数 关系 h= – 5t²+20t。