2020版新高考理科数学专项1： “12选择+4填空”

专项小测(一) “12选择＋4填空”
时间：45分钟 满分：80分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x 2＋x －2＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |1＜x ＜2} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |0＜x ＜1}
D ．{x |－2＜x ＜2}
解析：∵A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x 2＋x －2＜0}＝{x |－2＜x ＜1}，
∴A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}，故选C.
答案：C
2．若复数z 满足(1＋z )(1＋i)＝1＋2i ，i 是虚数单位，则|z |＝( ) A.22 B.12 C. 2
D. 3
解析：因为(1＋z )(1＋i)＝1＋2i ，
所以z ＝1＋2i 1＋i －1＝(1＋2i )(1－i )(1＋i )(1－i )
－1＝3＋i 2－1＝1＋i
2，所以|z |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＝2
2，故选A.
答案：A
3．已知a ＝log 0.92019，b ＝20190.9，c ＝0.92019，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜a ＜c
D ．b ＜c ＜a
解析：因为a ＝log 0.92019<log 0.91＝0，b ＝20190.9>20190＝1,0<c ＝0.92019<0.90＝1，所以a <c <b ，故选A.
答案：A
4．如图是2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论：
①深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高； ②深圳和厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降； ③平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州； ④平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海．
其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：变化幅度看折线图，越接近零轴者变化幅度越小，位于零轴下方者表明价格下跌；平均价格看条形图，条形图越高平均价格越高，所以结论①②③都正确，结论④错误，故选C.
答案：C
5．函数y ＝4cos2x
x 2＋π
的部分图象大致是( )
解析：由题意，因为f (x )＝4cos2x
x 2＋π，所以f (－x )＝4cos (－2x )(－x )2＋π＝f (x )，
所以函数f (x )＝4cos2x
x 2＋π是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项D ；
又因为当x ＝0时，y ＝4π，排除选项A ；令x ＝1，则y ＝4cos2
π＋1，则y ＜0，
故选C.
答案：C
6．若(1－ax ＋x 2)4的展开式中x 5的系数为－56，则实数a 的值为( )
A ．－2
B ．2
C ．3
D ．4
解析：解法一：(1－ax ＋x 2)4＝[(1－ax )＋x 2]4，故展开式中x 5项为
C 34C 33(－ax )3x 2＋C 24C 12(－ax )(x 2)2＝(－4a 3－12a )x 5，所以－4a 3－12a ＝－
56，解得a ＝2.
解法二：若a ＝－2，则x 5的系数不可能为负数，所以排除选项A ；
选项B 中，若a ＝2，则(1－ax ＋x 2)4＝(1－x )8，则x 5的系数为C 58×(－
1)5＝－56，符合题意，故选B.
答案：B
7．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )⊥(3a －2b )，则a 与b 的夹角为( )
A.3
4π B.23π C.π3
D.π4
解析：由题意，得(a ＋b )·(3a －2b )＝3a 2＋a·b －2b 2＝0，则3＋a·b －4＝0，∴a·b ＝1，则cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝11×2＝22，所以a 与b
的夹角为π
4，故选D.
答案：D
8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知3b sin A －a cos B ＝2b －c ，则A ＝( )
A.π6
B.π4
C.π3
D.2π3
解析：由3b sin A －a cos B ＝2b －c 及正弦定理可得，3sin B ·sin A －sin A cos B ＝2sin B －sin C ＝2sin B －sin(A ＋B )＝2sin B －sin A cos B －cos A sin B ，所以3sin B sin A ＝2sin B －cos A sin B .因为sin B ≠0，所以3sin A ＋cos A ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫A ＋π6＝1，又A ∈(0，π)，所以A ＝π
3. 答案：C
9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝4，S 5＝15，则数列
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n ·a n ＋1的前2 019项和为( ) A.2 018
2 019 B.2 0182 020 C.2 0192 020
D.2 0172 019
解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4＝4，S 5＝15，∴a 1＋3d ＝4,5a 1＋5×42d ＝15，联立解得a 1＝d ＝1，∴a n ＝1＋n －1＝n ，∴1
a n a n ＋1
＝
1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n a n ＋1的前2019项和S ＝1－12＋12－1
3＋…
＋12019－12020＝1－12020＝2019
2020，故选C.
答案：C
10．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，点A ，B 在椭圆上，AB ⊥F 1F 2于F 2，|AB |＝4，|F 1F 2|＝23，则椭圆方程为( )
A.x 23＋y 2
＝1
B.x 23＋y 2
2＝1
C.x 29＋y 2
6＝1 D.x 222＋y 2
9＝1
解析：椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，点A ，B 在椭圆上，AB ⊥F 1F 2于F 2，|AB |＝4，|F 1F 2|＝23，可得
c ＝3，2b 2
a ＝4，
c 2＝a 2－b 2，解得a ＝3，b ＝6，则所求椭圆方程为x 29＋y
26＝1，故选C.
答案：C
11．已知f (x )＝4cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列说法中错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π
B ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π6，π12上单调递减
C ．函数f (x )的图象可以由函数y ＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
7π12，1是函数f (x )图象的一个对称中心 解析：f (x )＝4cos x cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋π3＝2cos 2x －3sin2x ＝2cos ⎝
⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π3＋1，
所以T ＝2π2＝π，A 正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2，因为t ＝2x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π6，π12为增函数，y ＝2cos t ＋1在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为减函数，故f (x )在⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
－π6，π12上为减函数，B 正确；函数f (x )的图象可以由函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍再向上平移1个单位得到，C 错误；令2x ＋π3＝k π＋π
2，k ∈Z ，当k ＝1时，x
＝7π
12，故⎝ ⎛⎭
⎪⎫7π12，1为f (x )图象的一个对称中心，D 正确，故选C. 答案：C
12．已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，且∠BAC ＝π
3，AC ＝2AB ，P A ＝1，BC ＝3，则该三棱锥的外接球的体积等于( )
A.1313π6
B.33π2
C.513π6
D.53π2
解析：如图，设△ABC 外接圆的圆心为O 1，半径为r ，则2r ＝BC
sin π
3＝23，r ＝ 3.
由题意知球心O 在过O 1且与平面ABC 垂直的直线HO 1上， 令HO 1＝P A ＝1，OO 1＝d ，则OH ＝1－d .
设球半径为R ，则在Rt △OO 1B 中有R 2＝d 2＋r 2，① 在Rt △OHP 中有R 2＝(1－d )2＋r 2，② 由①②两式得d ＝1
2，
所以R 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＋(3)2＝134，R ＝13
2，
所以该三棱锥的外接球的体积为V ＝43πR 3＝4
3×π×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1323＝1313π
6，故选A.
答案：A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数f (x )＝a e x ＋b (a ，b ∈R )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则a －b ＝________.
解析：由f (x )＝a e x ＋b ，得f ′(x )＝a e x ，因为函数f (x )在点(0，f (0))
处的切线方程是y ＝2x ＋1，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
f (0)＝1＝a ＋b
f ′(0)＝2＝a 解得a ＝2，b ＝－1，
得a －b ＝3.
答案：3
14．已知{a n }是等比数列，前n 项和为 S n .若a 3－a 2＝4，a 4＝16，则S 3的值为________．
解析：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧
a 3－a 2＝a 1q 2
－a 1q ＝4，a 4＝a 1q 3＝16，
解得a 1＝2，q ＝2， 所以S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝2(1－23)
1－2＝14.
答案：14
15．在一场对抗赛中，A ，B 两人争夺冠军，若比赛采用“五局三胜制”，A 每局获胜的概率均为2
3，且各局比赛相互独立，则A 在第一局失利的情况下，经过五局比赛最终获得冠军的概率是________．
解析：第1局A 失利为事实，经过5局A 获胜，第2,3,4局A 胜2局，B 胜1局，5局比赛最终获得冠军的概率是
C 1
3×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×23＝
827.
答案：8
27
16．已知直线x －3y ＝0与中心在原点的双曲线C 交于A ，B 两点，F 是C 的右焦点，若F A →·FB
→＝0，则C 的离心率为________． 解析：因为直线x －3y ＝0经过原点，所以直线与双曲线的交点A 、B 关于原点对称，所以OA ＝OB ，即O 是AB 的中点，由F A →·FB →＝0，得F A ⊥FB ，OF ＝OB ＝c ，直线x －3y ＝0的斜率为3
3，所以∠BOF ＝30°，
则x B ＝c ·cos30°＝32c ，y B ＝c ·sin30°＝12c ，将点B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3c 2，c 2代入双曲线
得⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
3c
2
2
a2－
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫c
2
2
b2＝1，即
3c2
4a2－
c2
4b2＝1，因为c
2＝a2＋b2，得4a4＋3c4－8a2c2
＝0，即(2a2－c2)(2a2－3c2)＝0，整理得2a2－c2＝0或2a2－3c2＝0.因为e＞1，所以e＝ 2.
答案： 2。