江西省红色六校高三数学第二次联考试题 文

江西省红色六校2012届高三第二次联考数学（文科）试题
（分宜中学，南城一中，遂川中学，瑞金一中，莲花中学，任弼时中学） 命题，审题人：任弼时中学 刘家永； 莲花中学 刘小峰 2012，02,25
数学试题分为（Ⅰ）（Ⅱ）卷，共21个小题。

满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一. 选择题.( 本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．)
1、复数1i
z i
=
+的实部与虚部之和为（ ） A 、0 B 、1
2
C 、1
D 、2
2. 已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x －a -x
+2（a>0
且a ≠1）若g(2)=a 则f(2)=( )
A 、2
B 、154
C 、17
4
D 、a 2
3．给出右面的程序框图，那么输出的数是 （ ）
A ．2450
B ．2550
C ．5050
D ．4900
4．已知α、β是空间不同的平面，a 、b 是空间不同的直线，下列命题错误．．
的是（ ）
A ．,//,//////,//a b a a b b αβαβαβ⎫
⎪
⇒⎬⎪⎭是异面直线
B ．a b a b αβαβ⊥⎫
⎪
⊥⇒⊥⎬⎪⊥⎭
C ．////a b a b αβαβ⎫
⎪
⇒⊥⎬⎪⊥⎭
D ．////a b a b αβαβ⊥⎫
⎪
⊥⇒⎬⎪⎭
5、若R b a ∈,，则2
1a
21
b >成立的一个充分不必要的条件是（ ） (A) 0b a >> (B) 0a b >> (C) b a < (D) a b <
6．设曲线
1()n y x n +=∈*
N 在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则201012010220102009log log log x x x +++的值为 （ ）
A ． 2010log 2009-
B ．1-
C ．2010(log 2009)1
- D ．1
7，已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米,地面上的动点P 到两旗杆顶点的仰角相等,则点P 的轨迹是( )
A.椭圆
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
8，已知两个不相等的实数a 、b 满足以下关系式：2
sin cos 04
a a π
θθ+-
=
，
2sin cos 04
b b π
θθ+-
=，则连接A(a 2,a)、B(b 2,b)两点的直线与圆x 2+y 2=1的位置关是（ ）
A 、相离
B 、相切
C 、相交
D 、不能确定
9. 已知函数f 1(x )＝a x
，f 2(x )＝x a
，f 3(x )＝log a x (其中a >0，且a ≠1)，在同一坐标
系中画出其中的两个函数在第一象限内的图象，正确的是(
)
10. 把数列{2n ＋1}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，第六个括号两个数，…循环分别为（3），（5，7），（9，
11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43） （45，47）…则第104个括号内各数之和为（ ）
A ．2036
B ．2048
C ．2060
D ．2072
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二. 填空题.( 本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卷相应的位置上。

) 11. 27tan
4
π
=________ 12．某学校在“11·9”举行老师、学生消防知识比赛，报名的学生和教师的人数之比为6：1，学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取35人组队进行比赛，已知教师甲被抽到的概率为
1
10
，则报名的学生人数是________ 13.如图所示是一个几何体的三视图。

正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示)．则该几何体的体积为______
14.
24 .F y x M N NF C =已知点为抛物线的焦点，过此抛物线上的点作其准线的垂线，垂足为若以线段为直径的圆恰 M C 好过点，则圆的标准方程是
15.已知一非零向量数列{}
n a 满足
1(1,1)=a 11111
(,)(,)2----==-+n n n n n n n a x y x y x y
*
(2n n N ≥∈且）。

给出以下结论： ①数列{}
n a 是等差数列，②151
2
⋅=a a ；③设22log =n n c a ，则数列{}n c 的前n 项和为
n T ,当且仅当n=2时，n T 取得最大值；
④记向量n a 与1-n a 的夹角为n θ（2n ≥），均有4
n π
θ=。

其中所有正确结论的序号是_____________
三. 解答题.( 本大题共6小题，共75分。

解答过程应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上。

)
16．（本小题满分为12分）已知△ABC
1，且sin sin A B c +=，
角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c （1）求AB 的长；（2）
若△ABC 的面积为
1
sin 6
c
求角C 的大小。

17. （本小题满分12分）近年来，我国机动车拥有量呈现快速增加的趋势，可与之配套的
基础设施建设速度相对迟缓，交通拥堵问题已经成为制约城市发展的重要因素，为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为5、6、7、8、9、10规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：
（1）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级。

（2）用简单随机抽样方法从6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本
的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。

18. （本小题满分12分）下面一组图形为三棱锥P －ABC 的底面与三个侧面．已知AB ⊥BC ，
P A
⊥AB ，P A ⊥AC .
(1)在三棱锥P －ABC 中，求证：平面ABC ⊥平面P AB ；
(2)在三棱锥P －ABC 中，M 是P A 的中点，且P A ＝BC ＝3，AB ＝4，求三棱锥P －MBC 的体积．
19. （本小题满分12分）已知函数()f x =x ≠0）各项均为正数的数列{a n }
中a 1=1,1
1
()n n f a a +=,()x n N ∈。

（1）求数列{a n }的通项公式；（2）在数列{b n }中，对任意的正整数n,b n ·22
(31)1-+=n n
n a n
a 都成立，设S n 为数列{
b n }的前n 项
和试比较S n 与1
2
的大小。

20. （本小题满分13分）已知定义在R 上的函数32()3f x ax x =-，其中a 为大于零的常数．
（Ⅰ）当1
3
a =时，令()()6h x f x x '=+， 求证：当(0,)x ∈+∞时，()2ln h x e x ≥（e 为自然对数的底数）；
（Ⅱ）若函数]2,0[),()()(∈'+=x x f x f x g ，在0x =处取得最大值，求a 的取值范围
21. （本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆
)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右顶点分别为B A 、，椭圆C 的右焦点为F ，过F 作一条垂直于x 轴的直线与椭圆相交于S R 、
，若线段RS 的长为3
10。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）设),(m t Q 是直线9=x 上的点，直线QB QA 、
与椭圆C 分别交于点N M 、，求证：直线MN
必过x 轴上的一定点，并求出此定点的坐标；
江西省红色六校2012届高三第二次联考数学（文）试题参考
答案
（分宜中学，南城一中，遂川中学，瑞金一中，莲花中学，任弼时中学）
命题，审题人：任弼时中学 刘家永； 莲花中学 刘小峰 2012，02,25
一，选择题： 二，填空题：
演算步骤，并写在答题卷相应的位置上。

)
16．（本小题满分为12分）已知△ABC 1，且sin sin A B c +=，
角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c （1）求AB 的长；（2）若△ABC 的面积为1
sin 6
c
求角C 的大小。

解（1）a b += ∵1a b c ++
-------------------2分
1c + ∴C=1 ---------------------6分
（2）111
sin sin 263S AC BC c c ab =⋅=⇒= ---------------------8分
∵221433ab a b a b ⎧=⎪
⇒+=⎨⎪+=⎩
---------------------10分
222
411
3cos 2223
a b c c ab -+-=== ∴3c π=
---------------------12分 17. （本小题满分12分）近年来，我国机动车拥有量呈现快速增加的趋势，可与之配套的
基础设施建设速度相对迟缓，交通拥堵问题已经成为制约城市发展的重要因素，为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为5、6、7、8、9、10规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：
（1）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级。

（2）用简单随机抽样方法从6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本
的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。

解：（1）7.5x =合格---------------------6分 （2）基本事件为（5，6）（5，7）（5，8）（5，9）（5，10）（6，7）（6，8）（6，9）（6，10）（7，8）（7，9）（7，10） （8，9）（8，10）（9，10）共15个7
()15P A =
-----------------12分
18. （本小题满分12分）下面一组图形为三棱锥P －ABC 的底面与三个侧面．已知AB ⊥BC ，
P A ⊥AB ，P A ⊥AC
.
(1)在三棱锥P －ABC 中，求证：平面ABC ⊥平面P AB ；
(2)在三棱锥P －ABC 中，M 是P A 的中点，且P A ＝BC ＝3，AB ＝4，求三棱锥P －MBC 的体积．
解：(1)如图，证明：∵P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，
AB ∩AC =A ，∴P A ⊥平面ABC ，又∵P A ⊂平面ABP ∴平面ABC ⊥平面PAB --------------------6分
(2)∵P A =3，M 是PA 的中点，∴MA =3
2
.
又∵AB =4，BC =3.∴V M-ABC =
13S △ABC ·MA=13×12×4×3×32
=3 又V P-ABC =13S △ABC ·PA =13×1
2×4×3×3=6，∴V P-MBC =V P-ABC -V M-ABC =6-3=3.
------------12分
19. （本小题满分12分）
已知函数()f x =x ≠0）各项均为正数的数列{a n }
中a 1=1,1
1
()n n f a a +=,()x n N ∈。

（1）求数列{a n }的通项公式；（2）在数列{b n }中，对任意的正整数n,b n ·22
(31)1-+=n n
n a n
a 都成立，设S n 为数列{
b n }的前n 项和试比较S n 与1
2
的大小。

解（1
）由题意知22111114n n n n
a a a ++=⇒-= ∴21n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以1为首项4为公差的等差数列
∴21
41n n a =- ∴0n a >
∴n a =
---------------------6分 （2）2
2
211
(31)(31)(43)(31)n n n n
a b n n a n n n n n a ===-+-+--+111()22121n n =--+ ∴111111111
[(1)()...()](1)233521212212n S n n n =-+-++-=-<-++
--------------12
分
20. （本小题满分13分）已知定义在R 上的函数32
()3f x ax x =-，其中a 为大于零的常
数．
（Ⅰ）当1
3
a =
时，令()()6h x f x x '=+， 求证：当(0,)x ∈+∞时，()2ln h x e x ≥（e 为自然对数的底数）； （Ⅱ）若函数]2,0[),()()(∈'+=x x f x f x g ，在0x =处取得最大值， 求a 的取值范围
所以()0;),()0x F x x F x ''∈≤∈+∞≥
所以当x =
,()F x
取得极小值，F 为()F x 在(0,)+∞上的最小值
因为220F e =-=
所以2()2ln 0F x x e x F =-≥=，即2
2ln x e x ≥-------------------6分
当202<<x 时，)(2x g 为极小值，所以)(x g 在[0，2]上的最大值只能为)0(g 或)2(g ；
---------------------12分
当22≥x 时，)(x g 在[0,2]上单调递减，最大值为)0(g ，
所以)(x g 在[0,2]上的最大值只能为)0(g 或)2(g ；------------------------11分 又已知)(x g 在0x =处取得最大值，所以)0(g ≥)2(g 即24200-≥a 解得56≤
a ，所以6(0,]5a ∈
---------------------13分 21. （本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆
)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右顶点分别为B A 、
，椭圆C 的右焦点为F ，过F 作一条垂直于x 轴的直线与椭圆相交于S R 、，若线段RS 的长为3
10。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）设),(m t Q 是直线9=x 上的点，直线QB QA 、
与椭圆C 分别交于点N M 、，求证：直线MN
必过x 轴上的一定点，并求出此定点的坐标；
（3）实际上，第（2）小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线，请你对抛物
线)0(22>=p px y 写出一个更一般的结论，并加以证明。

解：（1）依题意，椭圆过点)35,2(，故⎪⎩
⎪⎨⎧=-=+419254
2222b a b
a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==59
22b a 。

………………………………………（2分）
椭圆C 的方程为15
92
2=+y x 。

……………………………………………………………………………（5分）
（2）设),9(m Q ，直线QA 的方程为)3(12+=x m y ，……………（6分） 代入椭圆方程，得2222
(80m )x 6m x 9m 7200+++-=， ……（7
设),(11y x M ，则80
3240807209322
1221+-=⇒+-=-m m x m m x ，
8040)3803240(12)3(1222211+=++-=+=m m m m m x m y ，故点M 的坐标为)80
40,803240(222++-m m
m m 。

…（8分）
同理，直线QB 的方程为)3(6
-=
x m
y ，代入椭圆方程，得2222(20m )x 6m x 9m 1800+-+-=，
设),(22y x N ，则20
60320
180********+-=
⇒+-=
m m x m m x ，
2020)320603(6)3(6222+-=-+-=-=m m
m m m x m y 。

可得点N 的坐标为)20
20,20
603(2
2
2+-
+-m m m m 。

……………………………（10分）
①若
4020
6038032402222
2
=⇒+-=
+-m m m m m 时，直线MN 的方程为1=x ，与x 轴交于)
0,1(点； (11)
②若402≠m ，直线MN 的方程为)20
60
3(401020202+---=
++
m m x m m
m m
y ，…（13分）
令0=y ，解得1=x 。

综上所述，直线MN 必过x 轴上的定点)0,1(。

…………………………（14分）。