反比例函数压轴题精选(含答案)之欧阳化创编

2009-2013年中考反比例
函数
经典结论：
如图，反比例函数k 的几何意义： (I ) 12
AOB AOC
S S k ∆∆==；
(II ) OBAC S k =矩形。

下面两个结论是上述结论的拓展.
(1) 如图①，
OPA OCD S S ∆∆=，OPC PADC S S ∆=梯形
(2)如图②，
OAPB OBCA S S =梯形梯形，BPE ACE S S ∆∆=。

经典例题
例1.(1)(兰州)如图，已知双曲线(0)k y x x
=>经过矩形OABC 边
AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k =
2 ；
(2)如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两点分别作y 轴的平行线交双曲线1(0)y x x
=>于C D 、两点，若2BD AC =，则
224OC OD -= 6
例2．(2013陕西)如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数x
y 6=的图象交),(),,(22
1
1
y x
B y x A ，那么))((1212y y x x --值为
24 .
解析：因为A ，B 在反比例函数x
y 6=上，所以61
1
=y
x ，我们
知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此
)
,(),,(2211y x B y x A 中有
1
212,y y x x -=-=，所以
24644))(())((1111111212=⨯==----=--y x y y x x y y x x
例3．(2010山东威海)如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数x
m y =的图象交于点A ﹙－2，－5﹚，C ﹙5，n ﹚，交
y 轴于点B ，交x 轴于点D ．
(1) 求反比例函数x
m y =和一次函数b kx y +=
(2) 连接OA ，OC ．求△AOC 的面积．
解：(1)∵反比例函数x m y =的图象经过点
A ﹙－2∴m =(－2)×( －5)＝10．
∴反比例函数的表达式为x
y 10=．∵点C ﹙5，n ﹚在反比例函
数的图象上，
∴25
10==n ．∴C 的坐标为﹙5，2﹚．
∵一次函数的图象经过点A ，C ，将这两个点的坐标代入
b kx y +=，得
⎩
⎨
⎧+=+-=-.5225b k b k ，
解得⎩⎨⎧-==.31b k ， ∴所求一次函数的表达式为y ＝x －3．
(2) ∵一次函数y =x －3的图像交y 轴于点B ，∴B 点坐标为﹙0，－3﹚．
∴OB ＝3．∵A 点的横坐标为－2，C 点的横坐标为5，
∴S △AOC = S △AOB + S △BOC =()2
21522
152
12-2
1=+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅OB OB OB ．
例4．（2007福建福州）如图，已知直线12
y x =与双曲线
(0)k
y k x
=
>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；
（2）若双曲线(0)k y k x
=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC
△的面积；
（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k y k x
=>于P Q ，两
点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．
解：（1）点A 横坐标为4，∴当4x =时，2y =．
∴点A 的坐标为(42)，．
点A 是直线12
y x =与双曲线(0)k y k x
=>的交点，
428k ∴=⨯=．
（2）解法一：如图1，点C 在双曲线上，当8y =时，1x =
∴点C 的坐标为(18)，．
过点A C ，分别做x 轴，y 轴的垂线，垂足为M N ，，得矩形
DMON ．
32ONDM S =矩形，4ONC S =△，9CDA S =△，4OAM S =△．
3249415AOC ONC CDA OAM ONDM S S S S S =---=---=△△△△矩形解法二：如图2，
过点C A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，，
点C 在双曲线8y x
=上，当8y =时，1x =．
∴点C 的坐标为(18)，．
点C ，A 都在双曲线8y x
=上，
4COE AOF S S ∴==△△COE COA AOF CEFA S S S S ∴+=+△△△梯形． COA CEFA S S ∴=△梯形．
1
(28)3152
CEFA
S =⨯+⨯=梯形，15COA S ∴=△． （3）反比例函数图象是关于原点O
OP OQ ∴=，OA OB =．∴四边形APBQ 是平行四边形．
11
24644
POA APBQ S S ∴=
=⨯=△平行四边形． 图2
图3
设点P 横坐标为(04)m m m >≠且，得8
()P m m
，．
过点P A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，， 点P A ，在双曲线上，4PQE AOF S S ∴==△△． 若04m <<，如图3，
POE POA AOF PEFA S S S S +=+△△△梯形，
6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
∴·．
解得2m =，8m =-（舍去）．∴(24)P ，． 若
4
m >，如图4，
AOF AOP POE AFEP S S S S +=+△△△梯形，
6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫
∴+-= ⎪⎝⎭
，
解得8m =，2m =-（舍去）．(81)P ∴，． ∴点P 的坐标是(24)P ，或(81)P ，．
例5.(山东淄博) 如图，正方形AOCB 的边长为4，反比例函数的图象过点E （3，4）． （1）求反比例函数的解析式；
（2）反比例函数的图象与线段BC 交于点D ，直线
1
y
x b 2
过点
D ，与线段AB 相交于点F ，求点F 的坐标；
（3）连接OF ，OE ，探究∠AOF 与∠EOC 的数量关系，并证明．
【答案】解：（1）设反比例函数的解析式k
y
x
，
∵反比例函数的图象过点E（3，4），∴k
4
3
，即k=12。

∴
反比例函数的解析式12
y
x。

（2）∵正方形AOCB的边长为4，∴点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4。

∵点D在反比例函数的图象上，∴点D的纵坐标为3，即D（4,3）。

∵点D在直线1
y x b
2上，∴1
34b
2
，解得b=5。

∴直线
DF为1
y x5
2。

将y4代入1
y x5
2，得1
4x5
2
，解得x2。

∴点F的
坐标为（2，4）。

（3）∠AOF＝1
2
∠EOC。

证明如下：
在CD上取CG=CF=2，连接OG，连接EG
并延长交ｘ轴于点H。

∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=900，AF=CG=2，
∴△OAF≌△OCG（SAS）。

∴∠AOF=∠COG。

∵∠EGB=∠HGC，∠B=∠GCH=900，BG=CG=2，∴△EGB≌△HGC（AAS）。

∴EG=HG。

设直线EG ：y
mx
n ，
∵E （3，4），G （4，2），∴43m n
24m n
=+⎧⎨=+⎩，解得，m 2
n=10
=⎧⎨
⎩－。

∴直线EG ：y 2x
10。

令y
2x
10=0
，得x
5。

∴H （5，0），OH =5。

在R ｔ
△AOF 中，AO =4，AE =3，根据勾股定理，得OE =5。

∴OH =OE 。

∴OG 是等腰三角形底边EH 上的中线。

∴OG 是等腰三角形顶角的平分线。

∴∠EOG =∠GOH 。

∴∠EOG =∠GOC =∠AOF ，即∠AOF ＝
1
2
∠EOC 。

例6.(2009山东威海)一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数k y x
=的图象相交于点,A B ．过
点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点
K ，连接CD ．
（1）若点A B ，在反比例函数k y x
=的图象的同一分支上，如
图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形； ②AN BM =．
（2）若点A B ，k
上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论．解：（1）①AC x⊥轴，AE y⊥轴，∴四边形AEOC为矩形．
BF x
⊥轴，BD y
⊥轴，∴四边形BDOF为矩形．
AC x
⊥轴，BD y
⊥轴，∴四边形AEDK DOCK CFBK
，，均为矩形．
1111
OC x AC y x y k
===
，，，∴11
AEOC
S OC AC x y k
===
矩形
2222
OF x FB y x y k
===
，，，∴22
BDOF
S OF FB x y k
===
矩形
．
∴
AEOC BDOF
S S
=
矩形矩形
．
AEDK AEOC DOCK
S S S
=-
矩形矩形矩形
，
CFBK BDOF DOCK
S S S
=-
矩形矩形矩形
，∴
AEDK CFBK
S S
=
矩形矩形
②由（1）知
AEDK CFBK
S S
=
矩形矩形
．∴AK DK BK CK
=．∴AK BK
CK DK
=
90
AKB CKD
∠=∠=°，∴AKB CKD
△∽△．∴CDK ABK
∠=∠．
∴AB CD
∥AC y
∥轴，∴四边形ACDN是平行四边形．
∴AN CD
=．同理BM CD
=．AN BM
∴=．
（2）AN与BM仍然相等．
AEDK AEOC ODKC
S S S
=+
矩形矩形矩形
BKCF BDOF ODKC
S S S
=+
矩形矩形矩形
，又
AEOC BDOF
S S k
==
矩形矩形
，
∴
AEDK BKCF
S S
=
矩形矩形
∴AK DK BK CK
=．
∴
CK DK
AK BK
=．K K
∠=∠，
∴CDK ABK
△∽△．∴CDK ABK
∠=∠．∴AB CD
∥．
AC y
∥轴，∴四边形ANDC是平行四边形．∴AN CD
=．
同理BM CD
=．∴AN BM
=．
第一部分练习
一、选择题
1.(2009年鄂州)如图，直线y =mx 与双曲线y =x
k 交于A 、B
两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM ,若
ABM S ∆=2，则
k 的值是
A .2
B .m －2
C .m
D .4
2.(2009兰州) 如图，若正方形OABC 的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都在函数1y x
=（0x >）的图
象上，则点E 的坐标是（，）.
3.(2009泰安）如图，双曲线)0(＞k x
k y =经过矩形OABC 的边
BC 的中点E ，
交AB 于点D 。

若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为
A ．
x
y 1=
B ．x
y 2=
C ．x
y 3=D ．x
y 6=
4.（2009仙桃）如图，已知双曲线)0k (x
k y ＞=经过直角三角形
OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若
△OBC 的面积为3，则k ＝____________．
5.(2009年牡丹江市)如图，点A 、B 是双曲线3y x
=上的点，
x
y A B O
1S
2S
y
x
O P 1
P 2
P 3 P 4 P 5 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5
2x
分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则
12S S +=．
6.（2009年莆田）如图，在x 轴的正半轴上依次截取
112233445OA A A A A A A A A ====，过点12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂
线与反比例函数()20y x x
=≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得
直角三角形1112233344455
OP A A P A A P A A P A A P 2、、、、，并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为．．
第4题图 第5题图 第6题图
7.（2009年包头）已知一次函数1y x =+与反比例函数k y x
=的
图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ，AOB △的面积为1，则AC 的长为
8.（2010 嵊州市）如图,直线)0(<=k kx y 与双曲线x
y 2-=交于
)
,(),,(2211y x B y x A 两点,则122183y x y x -的值为A .－5 B .－10
C .5
D .10【答案】B
9.（2010江苏无锡）如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线k y x
=交OB 于
D ，且OD ：DB=1:2，若△OBC 的面积等于3，则k 的值A ．等于2 B ．等于34
C ．等于245
D ．【答案】B
y
O A
C B
y
B
A
o
O A
B
C
D
x
y
y x O B C A A B C D E y x
O M 第7题图 第8题图 第9题图
10.（2010江苏盐城）如图，A 、B 是双曲线y = k
x
(k >0) 上的点，A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC =6．则k=．【答案】4
11.（2010安徽蚌埠二中）已知点（1，3）在函数
)0(>=x x
k y 的图像上。

正方形ABCD 的边BC 在x 轴上，点E 是对角线BD 的中点，函数)0(>=
x x k y 的图像又经过A 、E 两点，则点E 的横坐标为
__________。

【答案612.（2010四川内江）如图，反比例函数y ＝k
x
(x ＞0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相交于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4【答案】B 第10题图 第11题图 第12题图 13.（2011山东东营）如图,直线l 和双曲线(0)k y k x
=>交于
图5—2图5—1
P
Q
M A 、B 亮点,P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合）,过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线,垂足分别是C 、D 、E ,连接OA 、OB 、OP ,设△AOC 面积是S 1、△BOD 面积是S 2、△POE 面积是S 3、则
A . S 1＜S 2＜S 3
B . S 1>S 2>S 3
C . S 1=S 2>S 3
D . S 1=S 2<S 3
【答案】D
14.（2011河北）根据图5—1所示的程序，得到了y 与x 的函数图象，过点M 作PQ ∥x 轴交图象于点P ,Q ，连接OP ,OQ .则以下结论
①x ＜0时，x
2y ，②△OPQ 的面积为定值， ③x ＞0时，y 随x 的增大而增大
④MQ =2PM ⑤∠POQ 可以等于90°
其中正确的结论是
A ．①②④
B ②④⑤
C ．③④⑤
D 【答案】B 15.（2011甘肃兰州，15，4分）如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在
图6 反比例函数221k k y x ++=的图象上。

若点A
的坐标为（－2，－2），则k 的值为 A ．1
B ．－3
C ．4
D ．1或－3
【答案】D 16.（2011四川乐山）如图，直线6y x
=-交x 轴、y 轴于A 、B 两点，P 是反比例
函数4(0)y x x
=>图象上位于直线下方的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点M ，交AB 于点E ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为点N ，交AB 于点F 。

则AF BE ⋅=
A ．8
B ．6
C ．4
D ．6
2 【答案】A
17.（2012•德州）如图，两个反比例函数和的图象分别是l 1和l 2．设点P 在l 1上，PC ⊥x 轴，垂足为C ，交l 2于点A ，PD ⊥y 轴，垂足为D ，交l 2于点B ，则三角形PAB 的面积为
A ． 3
B ． 4
C ．
D ．
5
解 解：∵点P 在y =上，∴设P 的坐标是（a ，），
∵P A ⊥x 轴，∴A 的横坐标是a ，
x y O
A B
C D
∵A 在y =﹣上，∴A 的坐标是（a ，﹣），
∵PB ⊥y 轴，∴B 的纵坐标是，
∵B 在y =﹣上，∴代入得：﹣，
解得：x =﹣2a ，∴B 的坐标是（﹣2a ，），
∴P A =﹣（﹣）=，PB =a ﹣（﹣2a ）=3a ，
∵P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，x 轴⊥y 轴，∴P A ⊥PB ，
∴△P AB 的面积是：P A ×PB =××3a =．故选C ．
18.（2012福州）如图，过点C (1，2)分别作x 轴、y 轴的
平行线，交直线y ＝－x ＋6于A 、
B 两点，若反比例函数y ＝k x
(x ＞0)的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是 A ．2≤k ≤9 B ．2≤k ≤8
C ．2≤k ≤5
D ．5≤k ≤8
解答：解：∵点C (1，2)，BC ∥y 轴，AC ∥x 轴，
∴当x ＝1时，y ＝－1＋6＝5，
当y ＝2时，－x ＋6＝2，解得x ＝4，
∴点A 、B 的坐标分别为A (4，2)，B (1，5)， 根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C 相交时，k ＝1×2＝2最小，设与线段AB 相交于点(x ，－x ＋6)时k 值最大，则k ＝x (－x ＋6)＝－x 2＋6x ＝－(x －3)2＋9， ∵ 1≤x ≤4，∴当x ＝3时，k 值最大，此时交点坐标为(3，
A B
C O x
y
3)，
因此，k 的取值范围是2≤k ≤9．故选A ．
19.（2012临沂）如图，若点M 是x 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ ∥y 轴，分别交函数1(0)k y x x =>和2(0)k y x x =>的图象于点P 和Q ，连接OP 和OQ ．则下列结论正确的是
A ．∠POQ 不可能等于90°
B ．12
k PM
QM k = C ．这两个函数的图象一定关于x 轴对称；
D ．△POQ 的面积是()1212
k k + 故选：D ．
20.（2012湖北黄石）如图所示，已知11(,)2A y ，2(2,)B y 为反比
例函数1y x
=图像上的两点，动点(,0)P x 在x 正半轴上运动，当线段
AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是D
A . 1(,0)2
B . (1,0)
C . 3(,0)2
D . 5(,0)2
【解答】解：∵把A （1/2 ，y 1），B （2，y 2）代入反比例函数y =1/ x 得：y 1=2，y 2=1/2 ，
y x O
A B
P
∴A （1/2 ，2），B （2，1/2 ），
∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定
理得：|AP －BP |＜AB ，
∴延长AB 交x 轴于P ′，当
P 在P ′点时，PA －PB =AB ，
即此时线段AP 与线段BP 之差达到最
大，
设直线AB 的解析式是y =kx +b ，
把A 、B 的坐标代入得：
2=1/2k +b ,1/2 =2k +b ，
解得：k =－1，b =5/2 ，
∴直线AB 的解析式是y =－x +5/2 ，
当y =0时，x =5/2 ，即P （5/2 ，0），故选
D ．
21.(2012湖北随州)如图，直线l 与反比例函数x y 2=的图象在第一象限内交于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于C 点,若AB ：BC =(m 一l )：1(m >l )则△OAB 的面积(用m 表示)为 A .m m 212-B .m m 12-C . m m )1(32-D .m m 2)1(32-
答案：B
22.（2013江苏苏州）如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标
B A o x
y l
O x y B A C
为(3，4)，顶点A 在x 轴的正半轴上．反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过顶点B ，则k 的值为
A ．12
B ．20
C ．24
D ．32
【答案】D ．
解：过C 点作CD ⊥x 轴，垂足为D ．
∵点C 的坐标为（3，4），∴OD =3，CD =4．
∴OC = OD 2+CD 2=32+42=5．∴OC =BC =5．∴点B 坐标为（8，4），
∵反比例函数y =k x （x ＞0）的图象经过顶点B ，∴k =32． 23.（2013山东临沂）如图，等边三角形OAB 的
一边OA 在x 轴上，双曲线y ＝3
在第一象限内的图象
经过OB 边的中点C ，则点B 的坐标是
A ．（1，3）
B ．（3，1）
C ．（2，23）
D ．（23，2）
【答案】：C ．
24.(2013湖北孝感）如图，函数y =﹣x 与函数的图象相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ．则四边形ACBD 的面积为
A ． 2
B ． 4
C ． 6
D ．
8
解答：解：∵过函数的图象上A，B两点分别作y轴的
垂线，垂足分
别为点C，
D，
∴S△AOC=S△ODB=|k|=2，
又∵OC=OD，AC=BD，
∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=2，
∴四边形ABCD的面积为：
S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×2=8．
故选D．
25.（2013四川内江）如图，反比例函数（x＞0）的图
象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为
A．1 B．2C．3D．4
解
答：
解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE =，S△OAD =，过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG=|k|，
又∵M为矩形ABCO对角线的交点，
∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，
由于函数图象在第一象限，k＞0，则++9=4k，
解得：k=3．故选C．
26.(2013四川乐山)如图，已知第一象限内的点A在反比例
函数y = 2
x
的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y =
k x 的图象上，且OA⊥0B，cotA=
3
3
，则k的值为A．－3 B.－6 C.－ 3 D.－2 3
27.（2013贵州省黔东南州）如图，直线
y=2x与双曲线y=在第一象限的交点为
A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕
点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为
A.()1,0
B. ()1,0或()1,0
-C. ()2,0或()
0,2-D. ()2,1
-或()
2,1-
解
答：
解：联立直线与反比例解析式得：，
消去y得到：x2=1，解得：x=1或﹣1，∴y=2或﹣2，
∴A（1，2），即AB=2，OB=1，根据题意画出相应的
图形，如图所示，
可得A′B′=A′′B′′=AB=2，OB′=OB′′=OB=1，根据图形得：点A′的坐标为（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故选D．
O x y A B
C 28. （2013•威海）如图，在平面直角坐标系中，
∠AOB =90°，∠OAB =30°，反比例函数的图象经过点A ，反比例函数的图象经过点B ，则下列关于m ，n 的关系正确的是（ ）
A ． m =﹣3n
B ． m =﹣n
C ． m =﹣n
D ． m =n 解答： 解：过点B 作B
E ⊥x 轴于点E ，过点A 作A
F ⊥x 轴于点F ，
设点B 坐标为（a ，），点A 的坐标为（b ，），∵∠OAB =30°，
∴OA =OB ，设点B 坐标为（a ，），点A 的坐标为（b ，），
则OE =﹣a ，BE =，OF =b ，AF =，∵∠BOE +∠OBE =90°，∠AOF +∠BOE =90°， ∴∠OBE =∠AOF ，又∵∠BEO =∠OF A =90°，
∴△BOE ∽△OAF ，∴==，即==，
解得：m =﹣ab ，n =，
故可得：m =﹣3n ．故选A ．
二、填空题
1.（2010湖北武汉）如图，直线y ＝3x b -+与y 轴交于点A ，与双曲线y ＝k x
在第一象限交于点B ，C 两点，且AB ⋅AC ＝4，则k ＝．
答案：3
2.（2010 福建德化）如图，直线43
y x =与双曲线
k y x =（0x >）交于点A ．将直线43y x =向下平移个6单位后，与双曲线k y x
=（0x >）交于点B ，与x 轴交于点C ，则C 点的坐标为___________；若2AO BC
=，则k =．
【答案】（)0,29，12
3.（2010湖南衡阳）如图，已知双曲线
)0k (x k y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的
中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，
则k ＝____________．【答案】2
4.（2011宁波市）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在
反比例函数y ＝2x
（x ＞0）的图像上，顶点A 1、B 1分别在x 轴和y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶
点P 3在反比例函数y ＝2x
（x ＞0）的图象上，顶点A 3在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为
【答案】（3＋1，3－1）
5.（2011安徽芜湖）如图，在平面直角坐标
系中有一正方形AOBC，反比例函数k
y
x
经过正方形AOBC 对角线的交点，半径为（422）的圆内切于△ABC，则k 的值为．
【答案】4
6.（2011湖北武汉市）如图，ABCD的顶点
A，B的坐标分别是A（－1，0），B（0，－
2），顶点C，D在双曲线y=
x
k上，边AD交y
轴于点E，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，则k=_____．
【答案】12
7.（2011湖北孝感）如图，点A在双曲线
1 y
x 上，点B在双曲线3
y
x
上，且AB∥x
轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD的面
积为矩形，则它的面积为.
【答案】2
8.（2011湖北荆州，16，4分）如图，双
曲线2(0)
y x
x
经过四边形OABC的顶点
A、C，∠ABC＝90°，OC平分OA与x轴
正半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC
翻折后得到△AB＇C，B＇点落在OA上，则四边形OABC
第16题图的面积是.
【答案】2
9.（2012浙江温州）如图，已知动点A 在
函数4=y x (x >o )的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，延长CA 至点D ，使AD =AB ，延长BA 至点Ｅ，使AE =AC .直线DE 分别交x 轴，y 轴于点P ,Q .当QE ：DP =4:9时，图中的阴影部分的面积等于____________.
如图，作EF ⊥y 轴，DH ⊥x 轴，由题意得： △QEF ∽△DHP ，∵QE ：DP =4:9设AC = a ,AB =4a ， 49EF HP ,HP =94a ，∵△AED ∽△DHP ， ∴424648==,==4993
4EA AD a a a a a DH HP a 得到：得：得： S 阴影=2218+2a a =413+3=33
） 10.（2012•聊城）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数y =（k ＞0）的图象上与正方形的一个交
点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为．
解答： 解答：
解：∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴阴影部分的面积和正好为正方形面积的，设正方形的边长为b ，则b 2=9，解得b =6， ∵正方形的中心在原点O ， ∴直线AB 的解析式为：x =3，
∵点P （3a ，a ）在直线AB 上， ∴3a =3，解得a =1，
∴P （3，1）， ∵点P 在反比例函数y =（k ＞0）的图象上，
∴k =3， ∴此反比例函数的解析式为：y =． 故答案为：y =
11.（2012•衢州）如图，已知函数y =2x 和函数的图象交于A 、B 两点，过点A
作AE ⊥x 轴于点E ，若△AOE 的面积为
4，P 是坐标平面上的点，且以点B 、O 、
E 、P 为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P 点坐标是P 1（0，﹣4）P 2（﹣4，﹣4）P 3（4，4）
解
答：
解：如图∵△AOE 的面积为4，函数的图象过一、
三象限，
∴k =8，
∵函数y =2x 和函数的图象交于A 、B 两点， ∴A 、B 两点的坐标是：（2，4）（﹣2，﹣4），
∵以点B 、O 、E 、P 为顶点的平行四边形共有3个，
∴满足条件的P 点有3个，分别为：
P 1（0，﹣4），P 2（﹣4，﹣4），P 3（4，4）．
故答案为：P 1（0，﹣4），P 2（﹣4，﹣4），P 3（4，4）．
12.(2012甘肃兰州)如图，M 为双曲线y ＝3
x 上的一点，过
点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y ＝－x ＋m 于点D 、C 两点，若直线y ＝－x ＋m 与y 轴交于点A ，
与x轴相交于点B，则AD•BC的值为．
解答：解：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，如图，
对于y＝－x＋m，
令x＝0，则y＝m；令y＝0，－x＋m＝0，解得x＝m，
∴A(0，m)，B(m，0)，
∴△OAB等腰直角三角形，
∴△ADF和△CEB都是等腰直角三角形，
设M的坐标为(a，b)，则ab＝，
CE＝b，DF＝a，
∴AD＝DF＝a，BC＝CE＝b，
∴AD•BC＝a•b＝2ab＝2．故答案为2．
13.（2012.深圳）如图，双曲线k
=>与⊙O在第一象限
y(k0)
x
内交于P、Q两点，分别过P、Q两点向x轴
和y轴作垂线，已知点P坐标为(1，3)，则图
中阴影部分的面积为．
【答案】4。

【分析】∵⊙O 在第一象限关于y =x 对称，k y (k 0)x
=>也关于y =x 对称，P 点坐标是（1，3），∴Q 点的坐标是（3，
1），∴S 阴影=1×3+1×3－2×1×1=4。

14.(2012•扬州)如图，双曲线y ＝经过Rt △OMN 斜边上的点A ，与直角边MN 相交于点B ，已知OA ＝2AN ，△OAB 的面积为5，则k 的值是 12 ．
解答： 过A 点作AC ⊥x 轴于点C ，如图，
则AC ∥NM ，∴△OAC ∽△ONM ，∴OC ：OM ＝AC ：NM ＝OA ：ON ，
而OA ＝2AN ，即OA ：ON ＝2：3，设A 点坐标为(a ，b )，则OC ＝a ，AC ＝b ， ∴OM ＝a ，NM ＝b ，∴N 点坐标为(a ，b )，
∴点B 的横坐标为a ，设B 点的纵坐标为y ，
∵点A 与点B 都在y ＝图象上，∴k ＝ab ＝a •y ，
∴y ＝b ，即B 点坐标为(a ，b )，
∵OA ＝2AN ，△OAB 的面积为5，∴△NAB 的面积为，
∴△ONB 的面积＝5＋＝，∴NB •OM ＝，即×(b －b )×a ＝，
∴ab ＝12，∴k ＝12．故答案为12．
15.（2012武汉）如图，点A 在双曲线y =的第一象限的那一支上，AB 垂直于x 轴与点B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC =2AB ，点E 在线段AC 上，且AE =3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则k 的值为．
解答：解：连DC ，如图，
∵AE =3EC ，△ADE 的面积为3，∴△CDE 的面积为1， ∴△ADC 的面积为4，
设A 点坐标为（a ，b ），则AB =a ，OC =2AB =2a ，而点D 为OB 的中点，∴BD =OD =b ，
∵S 梯形OBAC =S △ABO +S △ADC +S △ODC ， ∴（a +2a ）×b =a ×b +4+×2a ×b ，∴ab =，
把A （a ，b ）代入双曲线y =，∴k =ab =．
16.(2012成都)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB
与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ， 与反比例函数k y x =(k 为常数，且0k >)在第一象限的图象交于点E ，F ．过点E 作EM ⊥
y 轴于M ，过点F 作FN ⊥x 轴于N ，直线EM 与
FN 交于点C ．若BE 1BF m
=(m 为大于l 的常数)．记△CEF 的面积为1S ，△OEF 的面积为2S ，则12S S =________． (用含m 的代数式表示)
答案：11m
m （k 的几何意义，线段比的转化，面积的几种求
法）
17.（2013湖北黄冈）已知反比例函数y ＝6x 在第一象限的
C
图象如图所示，点A 在其图象上，点B 为x
轴正半轴上一点，连接AO 、AB ，且AO ＝
AB ，则S △AOB ＝．
【答案】6． 【解析】如下图，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，∵AO ＝AB ，∴OC ＝BC ．而AC ＝AC ，AO ＝AB ，∴△AOC ≌△ABC ．∴S △AOC ＝S △ABC ．设点A 的坐标为(x ，y )(x ＞0，y ＞0)，则xy ＝6，AC ＝y ，OC ＝x ，∴S △AOB ＝2S △AOC ＝2×12
×OC ·AC ＝xy ＝6． 18.（2013四川宜宾）如图，直线x y 34=与双曲线)0(>=x x k y 交于点A ，将直线x y 34=向右平移2
9个单位后，与双曲线)0(>=x x k y 交于点B ，与x 轴交于点C ，若2=BC
AO ，则k =． 【答案】12．
【解析】首先
求出平移后直线的解析式，然后直线x y 34=与双曲线)0(>=x x
k y 两解析式联立方程组求
出点A 的纵坐标，平移后的直线解析式x y 34=－6与双曲线)0(>=x x k y 两解析式联立方程
组，求出点B 的纵坐标，根据相似三角形对应边成比例的
性质可得A 、B 的纵坐标的比等于AO ：BC ，然后列出方程求解即可．
19.（2013四川泸州）如图，()111P ,x y ，()222P ,x y ，……()P ,n n n x y 在函数()10y x x =>的图像上，11P OA ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，……1P A A n n n -∆都是等腰直角三角形，斜边1OA 、12A A 、23A A ，……1A A n n -都在x 轴上（n 是大于或等于2的正整
数），则点3P 的坐标是；点n P 的坐标是（用含n 的式子表
示）．
【答案】
； 【解析】过点P 1作P 1E ⊥x 轴于点E ，过点P 2作P 2F ⊥x 轴于点F ，过点P 3作P 3G ⊥x 轴于点G ，根据△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3都是等腰直角三角形，可求出P 1，P 2，P 3的坐标，从而总结出一般规律得出点P n 的坐标．
21.（2013山东日照）如右图，直线AB 交双曲线x k y =于Ａ、B ，交x 轴于点C ,B 为线段AC 的中点，过点B 作BM ⊥x 轴于M ，连结OA .若OM =2MC ,S ⊿OAC =12.则k 的值为___________.
【答案】8
【解析】过点A 作AD ⊥x 轴于点D ,则△ADO 的面积为2
1k , ∵BM ⊥x 轴,∴AD ∥BM , ∵B 为线段AC 的中点，∴BM 为
△ADC的中位线，∴DM=MC, ∵OM=2MC, ∴OD=DM=MC.
3，∴k=8.
∴S⊿OAC=3S⊿OAD,=12=k
2
22.（2013•宁波）如图，等腰直角三角
形ABC顶点A在x轴上，
∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数
y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于
点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为．【答案】．（，）．
【解析】如图，∵∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E，
∴∠BAC=∠ABC=45°，且可设E（a，），D（b，），
∴C（a，0），B（a，2），A（2﹣a，0），
∴易求直线AB的解析式是：y=x+2﹣a．
又∵△BDE∽△BCA，
∴∠BDE=∠BCA=90°，
∴直线y=x与直线DE垂直，
∴点D、E关于直线y=x对称，则=，即ab=3．
又∵点D在直线AB上，
∴=b+2﹣a，即2a2﹣2a﹣3=0，解得，a=，
∴点E的坐标是（，）．
23.（2013•自贡）如图，在函数的图象上有点
P1、P2、P3…、P n、P n+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点
P1、P2、P3…、P n、P n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、S n，则S1= 4 ，S n=．（用含n的代数式表示）
解答：解：当x=2时，P1的纵坐标为4，
当x=4时，P2的纵坐标为2，
当x=6时，P3的纵坐标为，
当x=8时，P 4的纵坐标为1，
当x =10时，P5的纵坐标为：，
则S 1=2×（4﹣2）=4=2[﹣]；
S2=2×（2﹣）=2×=2[﹣]；
S3=2×（﹣1）=2×=2[﹣]；
Sn=2[﹣]=；故答案为：4，．
24.（2013•遵义）如图，已知直线y =x 与双曲线y =（k ＞0）交于A 、B 两点，点B 的坐标为（﹣4，﹣2），C 为双曲线y =（k ＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC 的面积为6，则点C 的坐标为（2，4）．
解答
：
解：∵点B （﹣4，﹣2）在双曲线y =上，∴=﹣2，∴k =8，
根据中心对称性，点A 、B 关于原点对称，所以，A （4，2）， 如图，过点A 作AE ⊥x 轴于E ，过点C 作CF ⊥x 轴于F ，设点C 的
坐标为（a ，），
则S △AOC =S △COF +S 梯形ACFE ﹣S △AOE =×8+×（2+）（4﹣a ）﹣×8，
=4+﹣4，=，
∵△AOC 的面积为6，∴=6，整理得，a 2+6a ﹣16=0，解
得a 1=2，a 2=﹣8（舍去），∴==4，∴点C 的坐标为（2，
4）．故答案为：（2，4）．
25.(2013年武汉)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BC ＝2AB ，A ，B 两点的坐标分别是（－1，0），（0，
2），C ，D 两点在反比例函数)0(<=x x
k y 的图象上，则k 的值等于．答案：－12
解析：如图，过C 、D 两点作x 轴的垂线，垂足为F 、G ，CG 交AD 于M 点，过D 点作DH ⊥CG ，垂足为H ，
y
D
C
B
∵CD ∥AB ，CD =AB ，∴△CDH ≌△ABO （AAS ），
∴DH =AO =1，CH =OB =2，设C （m ，n ），D （m －1，n －2），
则mn ＝（m －1）（n －2）=k ，解得n =2－
2m ，
设直线BC 解析式为y =ax +b ，将B 、C 两点
坐标代入得
2b n am b =⎧⎨=+⎩，又n =2－2m ，
BC ＝22(2)m n +-＝25m ，AB ＝5，因为BC
＝2AB ， 解得：m ＝－2，n ＝6，所以，k ＝mn ＝－12
26.(咸宁)如图，一次函数y ax b =+的图像与x 轴、y 轴交于A B 、两点，与反比例函数k y x
=的图象相交于C D 、两点，分别过C D 、两点作y
轴、x 轴的垂线，垂足为E F 、，连接CF DE 、。

有以下四个结论：①CEF DEF S S ∆∆=；②AOB FOE ∆∆∽；③DCE CDF ∆∆≌；④AC BD =.其中正确的结论是 .
三、解答题
F E D
C B
A o
x
y
1.(2010兰州) 如图，P 1是反比例函数
)0(＞k x k y 在第一象限图像上的一点，点A 1
的坐标为(2，0)．
（1）当点P 1的横坐标逐渐增大时，△P 1OA 1的面积 将如何变化？
（2）若△P 1OA 1与△P 2A 1A 2均为等边三角形，求
此反比例函数的解析式及A 2点的坐标．
2.（2010内蒙呼和浩特）在平面直角坐标系中，函数y ＝m
x
（x ＞0，m 是常数）的图像经
过点A （1，4）、点B （a ，b ），其中a ＞1.
过点A 作x 中的垂线，垂足为C ，过点B
作y 轴的垂线，垂足为D ，AC 与BD 相交
于点M ，连结AD 、DC 、CB 与AB .
（1）求m 的值；
（2）求证：DC ∥AB ；
（3）当AD ＝BC 时，求直线AB 的函数解析式.
【答案】解：（1）∵点A （1，4）在函数y ＝m x
的图像上， ∴4＝1
m ，得m ＝4.……………………………2分
（2）∵点B （a ，b ）在函数y ＝m x 的图像上，∴ab ＝4. 又∵AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥y 轴于D 交AC 于M ，
∴AC ⊥BD 于M
∴M （1，b ），D （0，b ），C （1，0）
∴tan ∠BAC ＝BM AM ＝14a b
--＝1a ab b --＝1b ，tan ∠DCM ＝DM MC ＝1
b ……………4分
∴tan ∠BAC ＝tan ∠DCM ，
所以锐角∠BAC ＝∠DCM ，DC ∥AB………………………………………………6分
（3）设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b
∵AB ∥CD ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形或等腰梯形.
① 四边形ABCD 是平行四边形时，AC
与BD 互相平分，
又∵AC ⊥BD ，∴B （2，2）
∴422k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得26k b =-⎧⎨=⎩
∴直线AB 的解析式为：y ＝－2x ＋6.………………8分
②当四边形ABCD 是等腰梯形时，
BD 与AC 相等且垂直，∵AC ＝BD ＝4，
∴B （4，1）
∴同理可求直线AB 的解析式为y ＝－x ＋
5.…………………10分
3.（2010年福建省泉州）我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形.你
可以利用这一结论解决问题.如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x 轴所在的直线绕着原点O 逆时针旋转α度角后的图形.若它与反比例函数x y 3
=的图
象分别交于第一、三象限的点B 、D ，已知点)0,(m A -、)0,(m C .
（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD 的形状一定是;
（2）①当点B 为)1,(p 时，四边形ABCD 是矩形，试求p 、α、和m 有值；
②观察猜想：对①中的m 值，能使四边形ABCD 为矩形的点B 共有几个？(不必说理)
（3）试探究：四边形ABCD 能不能是菱形？若能, 直接写出B 点的坐标, 若不能, 说明理由.
【答案】解：（1）平行四边形
…………（3分） （2）①∵点)1,(p B 在x y 3=
的图象上，∴p 31= ∴3=p ………………………………（4
分）
过B 作E x BE 轴于⊥，则13==
，BE OE 在BOE Rt ∆中，3
331tan ===OE BE α α=30° ∴2=OB
又∵点B 、D 是正比例函数与反比例函数图象的交点， ∴点B 、D 关于原点O 成中心对称∴OB =OD =2
∵四边形ABCD 为矩形，且)0,(m A -)0,(m C
∴2====OD OC OB OA ∴2=m ；
②能使四边形ABCD 为矩形的点B 共有2个；
（3）四边形ABCD 不能是菱形.
法一：∵点A 、C 的坐标分别为)0,(m -、)0,(m
∴四边形ABCD 的对角线AC 在x 轴上.
又∵点B 、D 分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点.
∴对角线AC 与BD 不可能垂直.
∴四边形ABCD 不能是菱形
法二：若四边形ABCD 为菱形，则对角线AC ⊥BD ，且AC 与BD 互相平分，
因为点A 、C 的坐标分别为（－m ，0）、（m ，0）
所以点A 、C 关于原点O 对称，且AC 在x 轴上. 所以BD 应在y 轴上，这与“点B 、D 分别在第一、三象限”矛盾，所以四边形ABCD 不可能为菱形.
4.（2010广西柳州）如图，过点P (－4，3)作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线x
k y =（k ≥2）于E 、F 两点．
（1）点E 的坐标是________，点F 的坐标是________；（均用含k 的式子表示）
（2）判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论；
（3）记OEF PEF S S S ∆∆-=，S 是否有最小值？若有，求出其最
小值；若没有，请说明理由．
解：（1）E （－4，－4k ），F （3
k ，3） ……3分
（2）（证法一）结论：EF ∥AB
证明：∵P （－4，3）∴E （－4，－4
k ），F （3
k ，3）， 即得：PE =3+4k ，PF =3
k +4 …
∵1212433+=+=k k PE PA ，1212344+=+=k k PF PB ∠APB =∠EPF
∴△PAB ∽△PEF ∴∠PAB =∠PEF ∴EF ∥AB
（证法二）结论：EF ∥AB
证明：∵P （－4，3）∴E （－4，－4
k ），F （3
k ，3）， 即得：PE =3+4k ，PF =3
k +4 … 在Rt △PAB 中，tan ∠PAB =3
4=PA PB 在Rt △PEF
中，tan ∠PEF =344
343=++=k k PE PF ∴tan ∠PAB = tan ∠PEF ∴∠PAB =∠PEF ∴ EF ∥AB
（3）（方法一）S 有最小值
∵k S S S S FBO EAO PAOB PEDF +=++=∆∆12矩形四边形
∴k S S S S PEF PEF PEDF EOF +-=-=∆∆∆12四边形
由（2）知，)43
)(43(2121++=⋅⋅=∆k k PF PE S PEF ∴S =k S S S PEF OEF PEF --=-∆∆∆122 =3)6(1211222-+=+k k k 又∵k ≥2，此时S 的值随k 值
增大而增大，
∴当k =2时，37=最小S ∴S 的最小值是3
7 （方法二）S 有最小值．
分别过点E 、F 作PF 、PE 的平行线，交点为P ′．由（2）
知，P ′⎪⎭
⎫ ⎝⎛-43k k ， ∵四边形PEP ′为矩形，∴S △P ′EF = S △PEF
∴S =S △PEF － S △OEF = S △P ′EF － S △OEF = S △OME +S 矩形OMP ′N + S △ONF =21222k k k ++=22k +k =3)6(12
12-+k 又∵k ≥2，此时S 的值随k 值增大而增大，
∴当k =2时，S 最小=37∴S 的最小值是3
7． 5.（2010 四川绵阳）如图，已知正比例函数y = ax （a ≠0）的图象与反比例函致x k y =（k ≠0）的图象的一个交点为A （－1，2－k 2），另—个交点为B ，且A 、B 关于原点O 对称，D 为OB 的
中点，过点D 的线段OB 的垂直平分线与x
轴、y 轴分别交于C 、E ．
（1）写出反比例函数和正比例函数的解析式；
（2）试计算△COE 的面积是△ODE 面积的多少倍．
【答案】（1）由图知k ＞0，a ＞0．∵点A （－1，2－k 2）在
x
k
y =
图象上， ∴ 2－k 2 =－k ，即k 2－k －2 = 0，解得
k = 2（k =－1舍去），得反比例函数为
x
y 2=
． 此时A （－1，－2），代人y = ax ，解得a = 2，∴正比例函数为y = 2x ．
（2）过点B 作BF ⊥x 轴于F ．∵A （－1，－2）与B 关于原点对称，
∴B （1，2），即OF = 1，BF = 2，得OB =
5．
由图，易知Rt △OBF ∽Rt △OCD ，∴OB : OC = OF :
OD ，而OD = OB ∕2 =5∕2，
∴OC = OB · OD ∕OF = 2.5．由Rt △COE ∽Rt △ODE 得
5)5
225()(2
2=⨯==∆∆OD OC S S ODE COE ， 所以△COE 的面积是△ODE 面积的5倍．
7.（2010湖北荆州）已知：关于x 的一元二次方程
()01222=+-+k x k x 的两根21,x x 满足02
22
1=-x x ，双曲线x
k
y 4=
(x ＞
0)经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 交于C （如图），求OBC △S ．
【答案】解：()01222=+-+k x k x 有两根 ∴()041222≥--=∆k k
即4
1≤k
由02221=-x x 得：()()02121=+-x x x x
当021=+x x 时，()012=--k 解得2
1=k ，不合题意，舍去
当021=-x x 时，21x x =，()041222=--=∆k k 解得：4
1=k 符合题意
∴双曲线的解析式为：x
y 1=
过D 作DE ⊥OA 于E ，则
2
1121S S OCA ODE =⨯=
=∆∆ ∵DE ⊥OA ，BA ⊥OA ∴DE ∥AB ∴△ODE ∽△OBA
∴42
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=∆∆OD OB S S ODE OBA ∴221
4=⨯=∆OBA
S ∴2
32
12=-=-=∆∆∆OCA OBA OBC S S S
8．（2010北京）已知反比例函数y = k x
的
图像经过点A （—3，1）
（1）试确定此反比例函数的解析式．
（2）点O 是坐标原点，将线段OA 绕点O 顺时针旋转
30°得到线段OB ，判断点B 是否在反比例函数的图像上，并说明理由．
（3）已知点P（m，m+6）也在此反比例函数的图
像上（其中m＜0），过p点作x轴的的垂线，交x
轴于点M，若线段PM上存在一点Q，使得
，设Q点的纵坐标为n，求n2△OQM的面积是1
2
－n+q的值．
【答案】解：（1）由题意德
解得k=
∴反比例函数的解析式为y=
-
x
（2）过点A作x轴的垂线交x轴于点C，在Rt△AOC 中，OC，AC=1
可得OA
，∠AOC=30°
过点B做x轴的垂线交x轴于点D，在Rt△BOD中，可得，BD，OD=1
∴点B坐标（－1，）将x=－1代入y=
-中，得
x
y．
∴点B（－1，）在反比例函数y=
-的图像上．
x
（3）由y=
-得xy=
x
∵点P（m，m+6）在反比例函数的y=
的图像
上，m＜0
∴m（m+6 ）=∴
210
m++=∵PQ⊥x轴∴Q点的坐标（m，n）
∵△OQM的面积为1
2∴1
2
OM.QM=1
2
∵m＜0 ∴m.n=－1 ∴
22220
m n n
++=
∴
21
n-=-∴298
n++=．
9.（2011广东广州市）已知Rt△ABC的斜边AB在平面直
角坐标系的x轴上，点C（1，3）在反比例函数y = k
x的图
象上，且sin∠BAC= 3 5．
（1）求k的值和边AC的长；（2）求点B的坐标．
【答案】（1）把C（1，3）代入y = k
x得
k=3
设斜边AB上的高为CD，则sin∠BAC=CD AC=
3
5
∵C（1，3）∴CD=3，∴AC=5
（2）分两种情况，当点B在点A右侧时，如图1有：AD=52－32=4，AO=4－1=3
∵△ACD ∽ABC ∴AC 2=AD ·AB ∴AB =AC 2AD
=
254
∴OB =AB －
AO =254－3=134
此时B 点坐标为（
134
，0）
图1 图2
当点B 在点A 左侧时，如图2此时AO =4＋1=5OB = AB －AO =254－5=54
此时B 点坐标为（－54，0）所以点B 的坐标为（13
4，0）或
（－5
4
，0）．
10.（2011山东聊城）如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象交反比例函数42m y x
-=（x >0）图象于点
A 、
B ，交x 轴于点
C ．
O x
y
B A C
D x y
B A C
D O。