2014届高考数学一轮复习效果监测《平面向量、复数》

【一轮效果监测】2014届高考数学一轮复习检测：《平面向量、复数》
(时间:120分钟满分:150分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.(2013年高考天津卷)i是虚数单位，复数等于( B )
(A)2+i (B)2-i
(C)-2+i (D)-2-i
解析:===2-i.故选B.
2.已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论不正确的是( D )
(A)e1在e2方向上的投影为cos θ
(B)=
(C)(e1+e2)⊥(e1-e2)
(D)e1·e2=1
解析:由题可知e1·e2=|e1|·|e2|cos θ=cos θ，则D项错误.故选D.
3.设a，b是两个非零向量，则下列选项正确的是( C )
(A)若|a-b|=|a|-|b|，则a⊥b
(B)若a⊥b，则|a-b|=|a|+|b|
(C)若|a-b|=|a|-|b|，则a，b共线
(D)若a，b平行，则|a+b|=|a|+|b|
解析:若|a-b|=|a|-|b|，则a，b共线，所以选项A是错误的;若a⊥b，则以a，b为邻边构成长方形的对角线的长不可能等于两个邻边长的和，所以选项B是错误的;若a，b平行，则a，b的方向可能相同，也可能相反，如果a，b的方向相反，则|a-b|=|a|+|b|，所以选项D 是错误的.故选C.
4.(2013皖北协作区联考)复数=x+yi(x，y∈R，i为虚数单位)，则x+y等于( C )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:因为===2i=x+yi，
所以x=0，y=2，x+y=2.
故选C.
5.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，=(2，4)，=(1，3)，则等于( C )
(A)(2，4) (B)(3，5)
(C)(-3，-5) (D)(-2，-4)
解析:因为==-=(1，3)-(2，4)=(-1，-1)，
所以=-=(-1，-1)-(2，4)=(-3，-5)，故选C.
6.若向量a=(x-1，2)，b=(4，y)相互垂直，则9x+3y的最小值为( D )
(A)12 (B)2(C)3(D)6
解析:由题可得4(x-1)+2y=0，
即2x+y=2，
9x+3y=32x+3y≥2=2=6.故选D.
7.已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
=，则点P一定为三角形ABC的( B )
(A)AB边中线的中点
(B)AB边中线的三等分点(非重心)
(C)重心
(D)AB边的中点
解析:取AB边的中点M，则+=2，
由=可得
3=3+2，
∴=，
即点P为三角形ABC中AB边上的中线的非重心的一个三等分点.故选B.
8.(2013安徽淮南质检)已知向量、满足||=||=1，·=0，=λ+μ
(λ、μ∈R)，若M为AB的中点，并且||=1，则点(λ，μ)在( D )
(A)以为圆心，半径为1的圆上
(B)以为圆心，半径为1的圆上
(C)以为圆心，半径为1的圆上
(D)以为圆心，半径为1的圆上
解析:由于M是AB的中点，
∴△AOM中，=(+)，
∴||=|-|==1，
∴=1，
∴+=1，故选D.
9.设a、b、c是单位向量，且a·b=0，则(a-c)·(b-c)的最小值为( D )
(A)-2 (B)-2 (C)-1 (D)1-
解析:依题意，设a=(1，0)，b=(0，1)，c=(sin θ，cos θ)，
则a-c=(1-sin θ，-cos θ)，
b-c=(-sin θ，1-cos θ)，
所以(a-c)·(b-c)
=-sin θ(1-sin θ)-cos θ(1-cos θ)
=1-(sin θ+cos θ)
=1-sin，
则其最小值是1-，故选D.
10.已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么·的最小值为( D )
(A)-4+(B)-3+
(C)-4+2(D)-3+2
解析:如图所示，设PA=PB=k，
∠APO=α，∠APB=β，
则sin α=，
cos α=，
cos β=cos 2α=，
∴·=k2cos β=k2·.
设t=k2+1，则t>1，
∴·==
=t+-3≥2-3，
当且仅当t=时取等号.
故选D.
11.设A、B、C是同一直线上的三个点，且=(-2，m)，=(n，1)，=(5，-1)，若⊥
，则实数m，n的值分别为( C )
(A)或(B)或
(C)或(D)或
解析:由题意知=-=(n+2，1-m)，=(5-n，-2)，
∵A、B、C三点共线，
∴-2(n+2)=(1-m)(5-n).①
又⊥，
∴-2n+m=0，②
由①②得或
故选C.
12.(2013年高考广东卷)对任意两个非零的平面向量α和β，定义
α。

β=.若两个非零的平面向量a、b满足a与b的夹角θ∈，且a。

b和b。

a都
在集合｛n∈Z｝中，则a。

b等于( D )
(A)(B)(C)1 (D)
解析:a。

b==cos θ=cos θ，b。

a=cos θ，
因为|a|>0，|b|>0，0<cos θ<，
且a。

b、b。

a∈｛n∈Z｝，
所以cos θ=(n∈Z)，cos θ=(m∈Z)，
其中m、n∈N*，两式相乘，得=cos2θ，
因为0<cos θ<，所以0<cos2θ<，
得到0<m·n<2，故m=n=1，
即a。

b=，故选D.
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.(2013北京西城二模)已知复数z满足(1-i)·z=1，则z= .
解析:由题意得z===+i.
答案:+i
14.(2013苏锡常镇四市二调)若复数z满足-2=i(1+i)(i为虚数单位)，则z= . 解析:因为=1+i，
所以z=1-i.
答案:1-i
15.(2013年高考浙江卷)在△ABC中，M是线段BC的中点，AM=3，BC=10，则·= . 解析:如图所示，=+=-，
=+=+，
∴·=·=-
=32-×102=-16.
答案:-16
16.已知两个单位向量和，它们的夹角为120°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧
上变动.若=x+y，其中x、y∈R，则x+y的最大值为.
解析:由题意知，||=||=||=1，向量、的夹角为120°，
∴=(x+y)2=x2+y2+2xy·cos 120°
=x2+y2-xy=(x+y)2-3xy
≥(x+y)2-3·
=(x+y)2(当且仅当x=y时等号成立)，
即1≥(x+y)2，∴(x+y)2≤4，
∴x+y的最大值为2.
答案:2
三、解答题(共74分)
17.(本小题满分12分)
已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
解:由(z1-2)(1+i)=1-i得z1-2=，
即z1=+2=+2=2-i.
设z2=a+2i(a∈R)，
则z1· z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.
又z1·z2是实数，
∴4-a=0，∴a=4.
∴z2=4+2i.
18.(本小题满分12分)
如图所示，在△ABC中，在AC上取点N，使得AN=AC，在AB上取点M，使得AM=AB，在BN 的延长线上取点P，使得NP=BN，在CM的延长线上取点Q，使得MQ=λCM时，=，试
确定λ的值.
解:∵=-
=(+)
=，
又=-=+λ，
∵=，
∴+λ=，
即λ=(-)=.
∴λ=.
19.(本小题满分12分)
(2013南充市第一次适应性考试)已知m、x∈R，向量a=(x，-m)，b=((m+1)x，x).
(1)当m>0时，若|a|<|b|，求x的取值范围;
(2)若a·b>1-m对任意实数x恒成立，求m的取值范围.
解:(1)|a|2=x2+m2，|b|2=(m+1)2x2+x2，
因为|a|<|b|，
所以|a|2<|b|2.
从而x2+m2<(m+1)2x2+x2.
因为m>0，
所以<x2，
解得x<-或x>.
(2)a·b=(m+1)x2-mx.
由题意，得(m+1)x2-mx>1-m对任意的实数x恒成立，
即(m+1)x2-mx+m-1>0对任意的实数x恒成立.
当m+1=0，
即m=-1时，显然不成立.
从而
解得
所以m>.
20.(本小题满分12分)
(2013自贡模拟)设平面直角坐标系中，O为原点，N为动点，||=6，=，过点M
作MM1⊥y轴于M1，过N作NN1⊥x轴于点N1，=+，记点T的轨迹为曲线C.求曲线
C的方程.
解:设T(x，y)，
点N(x1，y1)，
则N1(x1，0).
又=，
即==（x1，y1）∴M1 （0，y1），（x1，0），=(0，y1).
于是=+=（x1， y1)，
即(x，y)= （x1， y1)，
即
由||=6，
得+=36，
∴5x2+y2=36.
故所求曲线C的轨迹方程为5x2+y2=36.
21.(本小题满分12分)
已知复数z1=sin 2x+ti，z2=m+(m-cos 2x)i(i为虚数单位，t、m、x∈R)，且z1=z2.
(1)若t=0且0<x<π，求x的值;
(2)设t=f(x)，已知当x=α时，t=，
试求cos的值.
解:(1)因为z1=z2，
所以
所以t=sin 2x-cos 2x，
若t=0，则sin 2x-cos 2x=0，
得tan 2x=.
因为0<x<π，
所以0<2x<2π，
所以2x=或2x=，
所以x=或x=.
(2)因为t=f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin，
因为当x=α时，t=，
所以2sin=，sin=-.
所以cos=cos 2=2cos2-1=
2sin2-1=2-1=-.
22.(本小题满分14分)
已知O为坐标原点，向量=(sin α，1)，=(cos α，0)，=(-sin α，2)，点P满
足=.
(1)记函数f(α)=·，α∈，讨论函数f(α)的单调性，并求其值域;
(2)若O、P、C三点共线，求|+|的值.
解:(1)=(cos α-sin α，-1)，设=(x，y)，
则=(x-cos α，y).
由=得x=2cos α-sin α，y=-1，
故=(2cos α-sin α，-1).
=(sin α-cosα，1)，=(2sin α，-1)，
f(α)=·=(sin α-cos α，1)·(2sin α，-1)=
2sin2α-2sin αcos α-1=-(sin 2α+cos 2α)=
-sin，
又α∈，
故0<2α+<，
当0<2α+≤，即-<α≤时，f(α)单调递减;
当<2α+<，即<α<时，f(α)单调递增，
故函数f(α)的单调递增区间为，
单调递减区间为，
因为sin∈，
故函数f(α)的值域为[-，1).
(2)由(1)知=(2cos α-sin α，-1)，=(-sin α，2)，
由O、P、C三点共线可得
(-1)×(-sin α)=2×(2cos α-sin α)，
得tan α=.
sin 2α===.
∴|+|==
=.。