5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(同步课件)-2024-2025学年高一数学同步精品课堂

于是得到了两角和的余弦公式，简记作(+) .
( + ) = − .
((+) )
新知探索
思考4：上面得到了两角和与差的余弦公式.我们知道，用诱导公式五(或六)可以
实现正弦、余弦的互化.你能根据(+) ，(−) 及诱导公式五(或六)，推导出用
((±) )
( ± ) = ± .
((±) )
±
( ± ) =
.
∓
((±) )
公式(+) ，(+) ，(+) 给出了任意角，的三角函数值与其和角 + 的三
角函数值之间的关系.为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式.
1
1 终边
− 终边

(1,0)

新知探索
连接1 1 ，.若把扇形绕着点旋转β角，则点，分别与点1 ，1 重合.根据
෢
෣
෢
෣
圆的旋转对称性可知，与
1 1 重合，从而 = 1 1 ，所以 = 1 1 .
注：1 (, ), 1 (, ), (( − ), ( − )).

=
−−

+−
2
2
× −




× −

=
−


= −
4
5
2
2
3
5
× (− ) =
× −


=
7 2
10


例析

4

4
思考6：由以上解答可以看到，在本题条件下有( − ) = ( + ).那么对于
任意角，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？
若 + =
+
1−∙
=
2
.
1−2
= ∙ ，
( )
= − ，
( )

.
−
( )
=
新知探索
思考8：如果要求二倍角的余弦公式(2 )仅含的正弦(余弦)，那么又可得到：
任意角，的正弦、余弦表示( + )，( − )的公式吗？


( + ) = [ − ( + )] = [( − ) − )]
2
2


= ( − ) + ( − )
2
2
= + .
因为( − ) =
(−)
，所以有：
(−)
( − ) −
( − ) =
=
（同除以）
( − ) +
=

−

2
2
= − .
于是得到了两角和的正弦公式，简记作(−) .
( − ) = − .
((−) )
思考5：你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从(±) ，(±) 出
发，推导出用任意角，的正切表示( + )，( − )的公式吗？
(3)
+ °
.
− °
1
2
解：(1)由公式(−) ，得：72°42° − 72°42° = (72° − 42°) = 30° = .
(2)由公式(+) ，得：20°70° − 20°70° = (20° + 70°) = 90° = 0.
以上这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了的三角函数与2的三角函数之间
的关系.
例析
（课本）例5.已知 2 =

解：由
4
<<
又 2 =


，得
2
2
5

，
13
4

2
< < ，求 4，�� 4， 4的值.
< 2 < .
5
，所以
13
2 = − 1 −
所以 =


3
=
−5
4
5

4
4
5
1 − (− ) 2 = ，
3
4
=− .

4

4
于是有( − ) = − =


+







= − =
−



=
−

+
下面以公式(−) 为基础来推导其他公式.
例如，比较( − )与( + ��)，并注意到 + 与 − 之间的联系：
+ = − (−)，则由公式(−) ，有
( + ) = [ − (−)] = (−) + (−) = − .
(3)由公式(+) 及 45° = 1，得：
1+ 15°
1− 15°
=
45°+ 15°
1− 45° 15°
= (45° + 15°) = 60° = 3.
新知探索
思考7：试利用公式(±) ，(±) ，(±) 推导出 2， 2， 2 的公式？
根据两点间的距离公式，得：
|| = [( − ) − 1]2 +2 ( − ) = 2 − 2( − )
|1 1 | = ( − )2 +( − )2 = 2 − 2 − 2
化简得：( − ) = + .
类似地，(−) ，(−) ，(−) 都叫做差角公式.
例析
3
5

4

4

4
（课本）例3.已知 = − ，是第四象限角，求( − )，( + )，( − )的值.
3
5
解：由 = − ，是第四象限角，
3
5
得： = 1 − 2 =
（课本）例1.利用公式(−) 证明.

2
(1)( − ) = ;

证明：(1)(
2
− ) =
(2)( − ) = −.


2

+
2
= 0 + 1 ×
=
(2)( − ) = +
系呢？下面来研究这个问题.
新知探索
思考1：如果已知任意角 ， 的正弦、余弦，能由此推出 + ， − 的正弦、
余弦吗？
下面，我们来探究 ( − )与角，的正弦、余弦之间的关系.
不妨令 ≠ 2 + , ∈ .
如图，设单位圆与 轴的正半轴相交于点 (1,0)， 以 轴非负半轴为始边作角 ， ，
5 2
( ) =
13
12
− .
13


+

=
−
+
于是得到了两角和的正切公式，简记作(+) ．
( − ) =
−
+
(−)
新知探索
( ± ) = ∓ .
=−
3
5
=− 1
1 − 2
所以( − ) = + = (− ) × (−
5
)
13
4
5
4 2
−( )
5
=− 1
+ × (−
12
)
13
=
− )的值.
3
− .
5
5 2
− (− )
13
=−
33
.
65
=
12
− .
13
新知探索
思考3：由公式(−) 出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？
= − = − .
证明：因为2 + 2 = 1，
所以 2 = 2 − 2 = (1 − 2 ) − 2 = 1 − 22 ；
2 = 2 − 2 = 2 − (1 − 2 ) = 2 2 − 1.
− ，它们的终边分别与单位圆相交于点1 ( ， )，
1 ( ， )，(( − )， ( − )).
新知探索
思考2：如果已知任意角，的正弦、余弦，能由此推出 + ， − 的正弦、
余弦吗？
下面，我们来探究 ( − )与角，的正弦、余弦之间的关系.
=
=
所以有：
+
−
（同除以 ）
+
−
于是得到了两角和的正切公式，简记作(+) ．
+
( + ) =
.
−
(+)
新知探索
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(即角，互余)，则
2
证明：因为 + =

，所以
2
=
= .

(
2
− ) = .
例析
（课本）例4.利用和(差)角公式计算下列各式的值：
(1)72°42° − 72°42°；
(2)20°70° − 20°70°；
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
复习导入
前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数进行恒等变形，可以达到化简、
求值或证明的目的.这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变
换.观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角的和(或差)的三角函数与
任意角，那么任意角与的和(或差)的三角函数与，的三角函数会有什么关
2 = ( + ) = ∙ + ∙ = 2 ∙ ；
2 = ( + ) = ∙ − ∙ = 2 − 2 ；
2 = ( + ) =
= (−1) × + 0
= −
例析
4
5

2
（课本）例2.已知 = , ∈ ( , ), = −
解：由 =
又由 =
4
，
5
∈

( , )，得：
2
=− 1
5
− ，是第三象限角，得：
13
5
, 是第三象限角，求(
13
− 2
新知探索
当 = 2 + ( ∈ )时，容易证明上式仍然成立.
所以，对于任意角，有
( − ) = + .
((−) )
此公式给出了任意角，的正弦、余弦与其差角 − 的余弦之间的关系，称为
差角的余弦公式，简记为(−) .
例析
新知探索
因为 ( + ) =
( + ) =
=
(+)
，
(+)
(+)
(+)

+


−

于是得到了两角和的正弦公式，简记作(+) .
( + ) = + .
((+) )
新知探索


( − ) = [ − ( − )] = [( − ) + )]
2
2


= ( − ) − ( − )
不妨令 ≠ + , ∈ .
如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点(, )，以轴非负半轴为始边作角，，
− ，它们的终边分别与单位圆相交于点 ( ， )，
( ， )，(( − )， ( − )).


终边