大学物理-质点和质点系的动量定理

二
质点系的动量定理
质点系
对两质点分别应用 质点动量定理：
t2
F1
F21 F12
m1
F2
m2
( F1 F12 )dt m1v1 m1v10 t1 t2 (F2 F21 )dt m2 v2 m2 v20
t1
8
3-1 质点和质点系的动量定理
x
设t时刻，己有x长一段落到桌上，此时系统总动量
p ( l x )v
dp 2 v ( l x ) g dt
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3-1 质点和质点系的动量定理
t时刻，系统受合外力
根据动量定理:
F (l x) g
桌对绳的冲力
dp 2 v (l x) g F (l x) g dt
t1
6
t1 t2
t1 t2
某方向受到冲量，该方向上动量就增加．
3-1 质点和质点系的动量定理 (3)动量定理的适用条件： 一切惯性参照系; 对非惯性参照系，在考虑了惯性力之后，动 量定理成立。 (4)单质点的动量守恒定理：单质点受到的合外 力为0时，其动量守恒。
mv1 mv2
7
3-1 质点和质点系的动量定理
t1 (F1 F12 )dt m1v1 m1v10 t2 t1 (F2 F21 )dt m2 v2 m2 v20 因内力 F12 F21 0， 故将两式相加后得： t2 ( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )

I (m v ) m v 2 m v 1
由 A B ， I mv mv x Bx Ax
mv B mv A cos 450 0.683kg m / s
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3-1 质点和质点系的动量定理
I y 0 mv Ay mv A sin 450 0.283kg m / s
f ' f 149 N ,
_
方向与图中 f 相反.
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3-1 质点和质点系的动量定理
例2：一长为l，密度均匀的柔软链条，其单位长度
的质量为，将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若 用手握住链条的一端，以加速度a从静止匀加速上提。 当链条端点离地面的高度为x时，求手提力的大小。
解：以链条为系统，向上为X正向，地面为原点 建立坐标系。 X t时刻，系统总动量 p xv v a dx dv dp d(xv) v x x dt dt dt dt
小和方向.(不计相对传送带静止的煤粉质量) 解:煤粉自料斗口下落,接触传送带前具有竖直向下的 速度
v0 2 gh
设煤粉与A相互作用的 t 时间内,落于传送带上的煤 粉质量为
m qm t
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3-1 质点和质点系的动量定理 设A对煤粉的平均作用力为 f,由动量定理写分量形式
—
f x t mv 0
柔绳对桌面的冲力 F F 即：
M 2 F v v 而v 2 2 gx F 2Mgx / L L
2
而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L 所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
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证明二：
3-1 质点和质点系的动量定理 o x
取如图坐标，设t时刻已有x长的 柔绳落至桌面，随后的dt 时间内将有 质量为 dx（Mdx/L)的柔绳以dx/dt 的速率碰到桌面而停止，它的动量变 化为：
t2
t1

t2
t1
n n ex F dt mi vi mi vi 0 i 1 i 1
9
3-1 质点和质点系的动量定理

t2
t1
n n ex F dt mi vi mi vi 0 p p0 i 1 i 1
作用于系统的合外力的冲量等于系统 动量的增量——质点系动量定理
动能、功、动能定理、机械能守恒
2
3-1 质点和质点系的动量定理
一
冲量
质点的动量定理
dt
dp 由F ma 可得：F
t2 冲量（矢量） I Fdt
t1
3
3-1 质点和质点系的动量定理
dp d (mv) 微分形式 F dt dt t2 I Fdt mv2 mv1 积分形式
t 越小，则 F 越大
mv1
F
mv2
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3-1 质点和质点系的动量定理
例1 一质量为0.05 kg、 速率为10 m·-1的刚球，以与 s 钢板法线呈45º 角的方向撞击 在钢板上，并以相同的速率 和角度弹回来．设碰撞时间 为0.05 s．求在此时间内钢板 所受到的平均冲力．
x

v ax
2
O
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3-1 质点和质点系的动量定理 系统动量对时间的变化率为：
dp 2 v ax 2ax ax 3ax dt
t时刻，系统受合外力
F xg根据动量定理，得到源自X F a

x
O
xg
N
dp F xg 3ax dt
F xg 3xa
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f y t 0 mv0） （
将 m qm t 代入得
f y qm v0
f x qm v
2 y


f
f f 149 N
2 x
f 与 x 轴正方向夹角为
arctg f y / f x） 57。 （ 4
0
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3-1 质点和质点系的动量定理 由牛顿第三定律煤粉对A的作用力
kg m / s
冲量的单位：
Ns
5
3-1 质点和质点系的动量定理
(2)动量的矢量性
t2 I Fdt mv2 mv1
t1
I x Fx dt mv2 x mv1x
分量表示 说明
t2
I y Fy dt mv2 y mv1 y I z Fz dt mv2 z mv1z
x
dp vdm vdx
根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：
dp vdx F ＝ ＝－v 2 dt dt
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3-1 质点和质点系的动量定理 柔绳对桌面的冲力 F F 即：
M 2 F v v L 2 而v 2 gx F 2Mgx / L
2
已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L 所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
(l x) g
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例3、
3-1 质点和质点系的动量定理 o 一质量均匀分布的柔软细 x
绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水 平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将 落在桌面上。试证明：在绳下落的过程 中，任意时刻作用于桌面的压力，等于 已落到桌面上的绳重量的三倍。 证明：取如图坐标，设绳长为 l .
3-1 质点和质点系的动量定理
三大 守恒定律
动量守恒定律 动能转换与守恒定律 角动量守恒定律 物理学大厦 的基石
1
3-1 质点和质点系的动量定理
力的瞬时效应
加速度 a
F (t )对 t积累 I , p F 对 r 积累 W , E
力的累积效应
动量、冲量 、动量定理、动量守恒
t2
t
（2） F 为变力
t2 I Fdt F (t2 t1 ) F t1
O
F
t1
t2
t
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3-1 质点和质点系的动量定理
动量定理常应用于碰撞问题
t1 mv2 mv1 F t2 t1 t2 t1
注意
t2
Fdt
在 p 一定时
mv
冲量大小：
2 2 I I x I y 0.739 N s
冲量方向:
tg
Iy Ix
202.5
0
(与轴正向夹角)
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A
3-1 质点和质点系的动量定理
例：如图，用传送带A输送煤粉，料斗口在A上方高h 处，煤粉自料斗口自由落在A上。设料斗口连续卸煤
的流量为 qm 40kg / s ，A以 v 2m / s 的水平速度匀 速向右移动。求装煤的过程中，煤粉对A的作用力大
mv1
O
mv2
y
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3-1 质点和质点系的动量定理
I Ft P2 P 1 mv1 I x mv2 x mv1x x mv cos (mv cos ) mv2 2mv cos I y mv2 y mv1 y y mv sin mv sin 0 2 2 I x I y 2mv cos F 14.1 N t t F' F 方向与 Ox 轴正向相同．
ex F F1 F2 FN I p p0
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3-1 质点和质点系的动量定理
注意
区分外力和内力
内力仅能改变系统内某个物体的 动量，但不能改变系统的总动量.
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3-1 质点和质点系的动量定理
讨论 （1） F 为恒力
F
I Ft
O
t1
解
由动量定理得：
O
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3-1 质点和质点系的动量定理 例：一质点的运动轨迹如图所示。已知质点的质量为
20g，在二位置处的速率都是20 m / s ， v A 与x轴成 0 45 角， v y 垂直于y轴。求质点由A点到B点这段时间
内，作用在质点上外力的总冲量。 解：由动量定理知质点所受外力的总冲量
t1
动量定理 在给定的时间间隔内，外力 作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内 动量的增量．
4
3-1 质点和质点系的动量定理
讨论：
(1)冲量、动量、动量定理的数学表述 冲量 动量
t2 I t F dt 1 P mv
动量定理的积分形式
动量定理的积分形式 动量的单位：
t2 I t Fdt P2 P1 1 dI Fdt