课时作业18

[13.3.2等边三角形]
一、选择题(每小题4分，共12分)
1．下面给出的三角形中，等边三角形的个数为(B)
①有两个角为60°的三角形；
②三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；
③一边上的高也是这一边上的中线的三角形；
④有一个角为60°的等腰三角形．
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，以AD为边画等边三角形ADE，DE交AB于点F，则有结论：①AD⊥BC；②EF＝FD：③DF＝BD.
其中正确结论的个数为(B)
A．3个B．2个
C．1个D．0个
第2题图第3题图
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，DE⊥BC于点E，
∠A＝30°，BE＝1
2，则BC的长为(B)
A．1 B．2
C．3 D．4
二、填空题(每小题4分，共12分)
4．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为
12.
解析：由平移可知A′B′＝AB＝4，∠A′B′C＝∠B＝60°，B′C＝BC－BB′＝6－2＝4，所以A′B′＝B′C，则△A′B′C为等边三角形，其周长＝4×3＝12.
第4题图第5题图
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点M，BD＝8 cm，则AC＝4 cm.
解析：由题意得AC＝1
2AD＝
1
2DB＝
1
2×8＝4(cm)．
6.如图，等边三角形ABC表示一块地，DE，EF为地块中的两条路，且D 为AB的中点，DE⊥AC，EF∥AB，现已知AE＝5 m，则地块△EFC的周长为45 m.
解析：由题意得AB＝AC＝CB＝2AD＝4AE＝20 m，所以CF＝FE＝CE＝20－5＝15(m)，故△EFC的周长为3×15＝45(m)．
三、解答题(26分)
7．(12分)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝2，求DF的长．
解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°.
∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.
∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°－∠EDC＝30°；
(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC为等边三角形．∴ED＝DC＝2，∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.
8．(14分)如图，在等边△ABC中，点D在BC边的延长线上，CE平分∠ACD，且CE＝BD.
求证：△ADE是等边三角形．
证明：由等边△ABC，及CE平分∠ACD，
可得AB＝AC，∠B＝∠ACE＝60°.
又∵CE＝BD，∴△ABD≌△ACE(SAS)．
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴∠CAE－∠CAD＝∠BAD－∠CAD，
即∠DAE＝∠BAC＝60°.
又∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形．。