直接开平方解一元二次方程.共17页

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21.2 解一元二次方程(直接开平方法)(教学设计)

章节名称21.2 解一元二次方程（直接开平方法）编号课型新授课备课人上课时间年月日教学目标知识与技能：1)利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程。

2)利用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程。

过程与方法:回顾平方根的知识，通过对实际生活中的问题列出一元二次方程，通过整理并求解的过程，让学生初步掌握利用直接开平方解一元二次方程（形如：x2＝p(p≥0）的方法，再通过数学转换的方法，将一个一元二次方程（形如：(mx＋n)2＝p(p≥0)）“降次”为两个一元一次方程，这样就可以通过解一元一次方程来求一元二次方程的解。

情感态度与价值观：1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。

2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。

教学重点运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程。

教学难点通过平方根的意义解形如x2＝p(p≥0)的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(p ≥0)的一元二次方程。

板书设计21.2 解一元一次方程（直接开平方法）一般地，对于方程x2＝p，1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根p2xpx1-==，；2)当p＝0时，根据平方根的意义，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根。

教学过程教学环节教生活动设计意图导入新课【课前回顾】师：求下列各数的平方根 1）169 2）8125生：1）±135[多媒体展示][课前回顾]对于方程x2=p，1）当p= 4时，求方程的解？2）当p= 0时, 求方程的解？3）当p=-4时, 方程有解吗?为什么?师：尝试求解方程？生：1）x1=2, x2=﹣22）x1=x2=03）无解，当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2≥0，所以方程无解【情景导入】[多媒体展示][情景引入]一桶油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗?师：列出方程，观察方程的样式，解方程求出棱长？生：设正方体的棱长为 x dm，则一个正方体的表面积为 6x2 dm2，则列出方程为：10×6x2=1500 ，化简整理，得x2=25，据平方根的意义，得x=±5,即x1=5, x2=﹣5。

一元二次方程直接开平方法的解法

3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明
练一练 1、下列解方程的过程中，正确的是（D ）
(A)x2=-2,解方程，得x=± 2
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3,
x1= ;74x2=
1 4
(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
∵ x就是2的平方根
∴x= 2
2 2 即此一元二次方程的根为： x1=
，x2=
概括总结
什么叫直接开平方法？
像解x2=4，x2-2=0这样，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程的过程，就是把方程化为形如x2=a（a≥0）或（x+h）2=k（k≥0）的形式，然后再根据平方根的意义求解
即x1=-1，x2=1
讨论
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么点？
如果一个一元二次方程具有（x＋h）2= k（k≥0）
的形式，那么就可以用直接开平方法求解。
2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解
∴3-2x=±0.5
即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
∴x1=
Hale Waihona Puke 5 4，x2=7 4
典型例题
例3.解方程(2x－1)2=(x－2)2 分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方根，同样可以用直接开平方法求解
解：2x-1= (x 2)2
即 2x-1=±（x-2）

22.2.1直接开平方法解一元二次方程

5
(3)4 x (4) x
2
1
2 2 20x ) 10 ( x 10
梳理
像上题，通过配成完全平方式的形式解出一元二次方程的根的方法，
叫做配方法。
小技巧: 配方时, 如果二次项系数为1,方程左右两边应同时加上一次项系数的一半的平方.如果二次项系数不是1，应先化为1，再配方
1.直接开平方法用直接开平方法解一元二次方程，先把方程左边变成x的平方(或关于x的一次式的平方),右边变成一个非负常数的形式,再开平方。
化成
(mx+n)2=非负常数
(3)(x 5) 16
2
然后两边直接开平方
( 4)(x 1) 3 0
2
(5) y 4 x 4 3
2
1.直接开平方法
用直接开平方法解一元二次方程，先把方程左边变成x的平方(或关于x的一次式的平方),右边变成一个非负常数的形式,再开平方。
如果方程能化成x p 或
2
（mx n） p( p )的形式，那么 ≥ 0
2
可得x p或mx n p .
2 2 2
a=-4,b=3,c=-5
2
a=1,b=0,c=-1
2 2
(4) x 3 0; (5)2 x 3x 2 x( x 1) 1; (6) y 0
a=1,b=0,c=3 a=1,b=0,c=0
解一元二次方程化成 X2=非负常数然后两边直接开平方
（1）x2-25=0
的一次式)的平方,右边变成非负常数的
形式就可以直接开平方求解了。
方程x2+6x=2如何解？ 1、把下列各式的左边化成完全平方式

一元二次方程的解法(1)直接开平方法

已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方程可以用直接开平方法求解，且有两个
实数根，则m、n必须满足的条件是（ B ）
A.n=0
B.m、n异号
C.n是m的整数倍 D.m、n同号
C层解下列方程： 1．（4x- 5）(4x+ 5 )=3 2.(ax+b) 2=b 3. x2-2 x-7=0 4. （2x-1）2 =x2
认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正。
（ 1 y+1）2-5=0
解：
3 （
1
y+1）2=5
13
y+1= 5
31
3 y= 5 -1
（×）
y=3 5 -1 （ × ）
.
3、实力比拼
探究( x-m)2=a的解的情况。
( x－m)2=a 当a＜0时,此一元二次方程无解.
当a≥0时, x－m=± a
二.探究
根据平方根的意义你能解下列方程吗？
（1）x2=4，（2）x2-2=0
直接开平方法
利用平方根的定义用直接开平方解一元二次方程的方法
•能利用直接开平方法解的一元二次方程应满足的形式为_____________
三.应用 •能利用直接开平方法解的一元二次方程应满足的形式为_____________
初中数学九年级上册
解一元二次方程
——直接开平方法
●学习目标
• 1．理解解一元二次方程降次的转化思想； • 2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或(mx
＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程； • 3.体会类比的思想；
重点: 能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解.
难点: 探究( x－m)2=a的解的情况,具有分类讨论的意识.

人教版九年级数学上用直接开平方法解一元二次方程

一般地，对于方程x²=p，（Ⅰ）
讨论p对方程根的影响，同学们谈谈自己的想法。
（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根；
（2）当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根：x1=x2=0；
（3）当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x²≥0，所以方程（Ⅰ）无实数根.
互助探究2：
类比上面的方法，依据平方根的意义，思考：
课题
21.2.1配方法
第1课时用直接开平方法解一元二次方程
课型
新授课
共课时
第课时
教
学
目
标
知识与技能
理解直接开平方法解一元二次方程的依据，会用直接开平方法解简单的一元二次方程。
过程与方法
在理解平方根的基础上，探索解二次方程的方法，体会“降次”的必要性。
情感、态度、价值观
培养学生对数学知识的探索精神。
教学重点
4.如果实数a，b满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是．
5.解下列方程：
（1）x2=16（2）x2-0.81=0
（3）9x2=4（4）y2-144=0
6.解下列方程：
(1)(x-1)2=4 (2)(x+2)2=3
(3)(x-4)2-25=0
(4)(2x+3)2-5=0
(5)(2x-1)2=(3-x)2
（3）(x+6)²-9=0（4）3(x-1)²-6=0
解：整理，得解：整理，得3(x-1)²=6
(x+6)²=9.即(x-1)²=2
根据平方根的意义，得两边开平方，
x+6=±3，得x-1=
即x1=-3，x2=-9.即x1=，x2=
（5）x²-4x+4=5（6）9x²+5=1

一元二次方程直接开平方和因式分解法

10×6x2=1 500 由此可得 x2=25 即 ①
x1=5，x2=－5
可以验证，5和－5是方程 ① 的两根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5 dm．
方程x2+6x+9=2的左边是完全平方形式，这个方程可以化成（x+3）2=2，进行降次，得______________ x 3 2 ，所以方程的根为 3 2 ． x1=___________ 3 2 ，x2＝__________
22.2 一元二次方程的解法
22.2.1 直接开平方法和
因式分解法
问题1 一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为 6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为 2 x +2x－8 =0 方程右边化为零 (x－2)(x+4)=0 左边分解成两个一次因式的乘积 x－2=0或x+4=0 至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程两个一元一次方程的解就是原方程的 ∴ x1=2 ,x2=-4 解
快速回答：下列各方程的根分别是多少？
9 x 25 0
2
解法一 (直接开平方法):
5 x , 3 5 5 即x1 , x 2 . 3 3
2 9x －25=0
解法二：原方程可变形为
(3x+5)(3x－5)=0
3X+5=0 或 3x－5=0 5 5 x1 , x 2 . 3 3
9X2－25= (3x+5)(3x－5)

一元二次方程的解法(直接开平方法)

3 ， x2= 3 3 ， x 2= 3 .
答案：x1=
【3 】（1)x2+2x+1=3.(2)4y2-12y+9=16
【想一想】两边都含有未知数的方程,例如:(2x-3)2=(3x-2)2怎么求解? 提示:用直接开平方法求解.(2x-3)2=(3x-2)2,两边开平方得 2x-3=〒(3x-2),解得x1=-1,x2=1.
【想一想】一元二次方程ax2=b在什么情况下有解?说明ax2=b解的情况. 提示:当a,b同号或者b为0时方程有解.当a,b同号时, x 2 b ,
数,此时方程无解;当b=0时,x =0,x1=x2=0.
ab 当a,b异号时, b <0,由于任何数的平方都是非负 x ; a a 2
a
【微点拨】 1.形如x2=p的一元二次方程,只有当p≥0时,才有解. 2.一元二次方程x2=p(p≥0)总有两个根.
பைடு நூலகம்
1.解下列方程：
2
1 2 x 2 32 0 2 25 x 2 16 0 3 x 2 3 28
1 2 4 2 x 8 0 （） 2
1 2 x 32 0 2 25 x 2 16 0 2 =16，用直接开平方法解得 2 （1）变形得x 【解析】 3 x 3 28
【 2】
【例】解下列方程：
（1）25x2-36=0 【解析】
(1)变形得x2
36 6 6 6 = , x=〒 ,所以x1= 5 , x2= 5 25 5
1 2 （2 ） x 2 2 0 2
(2)变形得（x+2）2 = 4，所以x1=0 , x2=-4.
练习
(1)x2=11. (2)64x2=49. (3)9x2-25=0.

专题02 解一元二次方程(四大类型)(题型专练)(解析版)

专题02 解一元二次方程（四大类型）【题型1 解一元二次方程-直接开平方】【题型2 解一元二次方程-配方法】【题型3 解一元二次方程-公式法】【题型4 解一元二次方程-因式分解法】【题型1 解一元二次方程-直接开平方】1．（2022春•顺义区期末）方程2x2﹣8＝0的根是（）A．x＝2B．x＝﹣2C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝4，x2＝﹣4【答案】C【解答】解：2x2﹣8＝0则x2＝4，解得：x1＝2，x2＝﹣2．故选：C．2．（2022秋•丰台区期末）一元二次方程x2﹣4＝0的实数根为．【答案】x1＝2，x2＝﹣2．【解答】解：x2﹣4＝0，x2＝4，解得x1＝2，x2＝﹣2．故答案为：x1＝2，x2＝﹣2．3.（2023春•抚顺月考）解方程：（1）x2﹣81＝0；（2）4（x﹣1）2＝9．【答案】（1）x1＝9，x2＝﹣9；（2）x1＝，x2＝﹣．x2＝81，∴x＝±9，∴x1＝9，x2＝﹣9；（2）4（x﹣1）2＝9，（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，∴x1＝，x2＝﹣．4.（2022秋•清新区期中）解方程：（x﹣5）2﹣36＝0．【解答】解：∵（x﹣5）2﹣36＝0，∴（x﹣5）2＝36，∴x﹣5＝±6，∴x1＝11，x2＝﹣1．5.（2023•龙川县校级开学）（x+1）2＝25．【答案】x1＝﹣11，x2＝9．【解答】解：，∴（x+1）2＝100，x+1＝±10，∴x1＝﹣11，x2＝9．6.（2022秋•嘉定区月考）解方程：．【解答】解：，（2x﹣2）2＝48，2x﹣2＝±4，x＝1±2，7．（2020秋•邗江区校级月考）求满足条件的x值：（1）3（x﹣1）2＝12；（2）x2﹣3＝5．（2）x1＝2，x2＝﹣2．【解答】解：（1）3（x﹣1）2＝12，∴（x﹣1）2＝4，∴x﹣1＝±2，∴x1＝3，x2＝﹣1；（2）x2﹣3＝5，∴x2＝8，∴x＝，∴x1＝2，x2＝﹣2．8．（2022春•莱州市期末）解方程：9（x+1）2﹣25＝0．【答案】x1＝﹣，x2＝．【解答】解：9（x+1）2﹣25＝0，（x+1）2＝，x+1＝，x＝﹣1，∴x1＝﹣，x2＝．9．（2022•建华区二模）解方程：（x﹣2）2+＝0．【答案】x1＝，x2＝．【解答】解：（x﹣2）2+＝0，（x﹣2）2＝﹣，（x﹣2）2＝，x﹣2＝±，所以x1＝，x2＝．10．（2022秋•莲湖区校级期中）解下列方程：（1）9x2＝25；（2）6（x+2）2＝48．【答案】（1）或；（2）或．【解答】解：（1）∵9x2＝25，∴，解得：或．（2）∵6（x+2）2＝48，∴（x+2）2＝8，∴，解得：或．11．（2022秋•嘉定区校级月考）解方程：3（x﹣1）2+1＝16．【答案】x1＝1+，x2＝1﹣．【解答】解：3（x﹣1）2+1＝16，3（x﹣1）2＝15，（x﹣1）2＝5，x﹣1＝±解得：x1＝1+，x2＝1﹣．12．（2022秋•南海区期中）用适当方法解方程：2（x﹣1）2﹣18＝0．【答案】x1＝4，x2＝﹣2．【解答】解：2（x﹣1）2﹣18＝0，（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，∴x1＝4，x2＝﹣2．13．（2021秋•连平县校级期末）解方程：16（2﹣x）2﹣9＝0．【答案】，．【解答】解：16（2﹣x）2﹣9＝0移项得：16（2﹣x）2＝9，去系数得：，直接开平方得：，即或，解得：，．14．（2022秋•东台市月考）解方程：4x2﹣121＝0【答案】x1＝﹣，x2＝．【解答】解：4x2﹣121＝0，x2＝，x＝±，所以x1＝﹣，x2＝．15．（2021秋•徐汇区校级月考）解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）．【答案】x1＝8，x2＝．【解答】解：4（x+1）2＝9（x﹣2）2，∴2（x+1）＝±3（x﹣2），∴x1＝8，x2＝．16．（2021秋•浦东新区校级月考）解方程：9（x﹣1）2＝16（x+2）2．【答案】x＝﹣11或x＝﹣．【解答】解：两边直接开平方，得：3（x﹣1）＝±4（x+2），即3x﹣3＝4x+8或3x﹣3＝﹣4x﹣8，解得：x＝﹣11或x＝﹣．【题型2 解一元二次方程-配方法】17.（2022秋•滨城区校级期末）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（）A．（x+1）2＝6B．（x﹣1）2＝6C．（x+2）2＝9D．（x﹣1）2＝9【答案】B【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0，x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，∴（x﹣1）2＝6．故选：B．18.（2022秋•陵水县期末）将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，x2﹣2x＝3，x2﹣2x+1＝3+1，（x﹣1）2＝4，∴k＝4，故选：D．19.（2022秋•平顶山期末）把一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a，b的值分别是（）A．﹣3，3B．﹣3，15C．3，3D．3，15【答案】A【解答】解：方程x2﹣6x+6＝0，移项得：x2﹣6x＝﹣6，配方得：x2﹣6x+9＝3，即（x﹣3）2＝3，∵一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，∴a＝﹣3，b＝3．故选：A．20．（2022秋•海口期末）用配方法解一元二次方程x2+8x﹣9＝0，配方后所得的方程是（）A．（x+4）2＝9B．（x﹣4）2＝9C．（x+4）2＝13D．（x+4）2＝25【答案】D【解答】解：x2+8x﹣9＝0，∴x2+8x+16＝9+16，∴（x+4）2＝25．故选：D21.（2022秋•辉县市期中）解方程：x2+12x+27＝0（用配方法）．【答案】x1＝﹣9，x2＝﹣3．【解答】解：x2+12x+27＝0，x2+12x＝﹣27，x2+12x+36＝9，（x+6）2＝9，x+6＝±3，所以x1＝﹣9，x2＝﹣3．22.（2022秋•普宁市校级期中）解下列方程3x2+4x﹣1＝0（用配方法）【答案】x1＝﹣+，x2＝﹣﹣．【解答】解：∵3x2+4x﹣1＝0，∴3x2+4x＝1，则x2+x＝，∴x2+x+＝+，即（x+）2＝，∴x+＝±，∴x1＝﹣+，x2＝﹣﹣23．用配方法解方程：x2+2x﹣2＝0．【答案】x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．【解答】解：x2+2x﹣2＝0，原方程化为：x2+2x＝2，配方，得x2+2x+1＝3，即（x+1）2＝3，开方，得x+1＝±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．24．用配方法解方程：x2+10＝8x﹣1．【答案】，．【解答】解：∵x2+10＝8x﹣1，∴x2﹣8x+11＝0，∴x2﹣8x+16﹣16+11＝0，∴（x﹣4）2＝5，∴x﹣4＝，∴，．25．用配方法解方程：．【答案】x1＝3+，x2＝﹣3+．【解答】解：∵，∴x2﹣2x+5＝4+5，即（x﹣）2＝9，∴x﹣＝3或x﹣＝﹣3，∴x1＝3+，x2＝﹣3+．26．用配方法解方程：．【答案】．【解答】解：，移项得：x2+x＝，配方得：，即，开方得：，解得：．27．用配方法解方程：x2﹣8x+13＝0．【答案】x1＝+4，x2＝﹣+4．【解答】解：x2﹣8x+13＝0，移项，得：x2﹣8x＝﹣13，配方，得：x2﹣8x+16＝﹣13+16，即（x﹣4）2＝3，开方，得：x﹣4＝±，∴x1＝+4，x2＝﹣+4．28．（2022秋•南关区校级期末）解方程：x2﹣4x+3＝2．【答案】x1＝2﹣，x2＝2+．【解答】解：x2﹣4x+3＝2，方程整理得：x2﹣4x＝﹣1，配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，开方得：x﹣2＝±，解得：x1＝2﹣，x2＝2+．29．（2022秋•陈仓区期中）用配方法解方程：2x2+6x＝3．【答案】，．【解答】解：2x2+6x＝3，二次项系数化为1得，2（x2+3x）＝3，配方得：，即：，∴，∴，．30．（2022秋•普宁市校级期中）解下列方程3x2+4x﹣1＝0．（用配方法）【答案】x1＝﹣+，x2＝﹣﹣．【解答】解：∵3x2+4x﹣1＝0，∴3x2+4x＝1，则x2+x＝，∴x2+x+＝+，即（x+）2＝，∴x+＝±，∴x1＝﹣+，x2＝﹣﹣．31．（2022秋•城西区校级期中）x2﹣14x＝8（配方法）．【答案】x1＝7+，x2＝7﹣．【解答】解：x2﹣14x＝8，x2﹣14x+72＝8+72，（x﹣7）2＝57，x﹣7＝±，x1＝7+，x2＝7﹣．32．（2022秋•辉县市期中）解方程：x2+12x+27＝0（用配方法）．【答案】x1＝﹣9，x2＝﹣3．【解答】解：x2+12x+27＝0，x2+12x＝﹣27，x2+12x+36＝9，（x+6）2＝9，x+6＝±3，所以x1＝﹣9，x2＝﹣3．【题型3 解一元二次方程-公式法】33．（2023•湘潭开学）用求根公式解一元二次方程3x2﹣2＝4x时a，b，c的值是（）A．a＝3，b＝﹣2，c＝4B．a＝3，b＝﹣4，c＝2C．a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2D．a＝3，b＝4，c＝﹣2【答案】C【解答】解：∵3x2﹣2＝4x，∴3x2﹣4x﹣2＝0，∴a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2，故选：C．34．（2022秋•泉州期末）用求根公式解一元二次方程5x2﹣1﹣4x＝0时a，b，c的值是（）A．a＝5，b＝﹣1，c＝﹣4B．a＝5，b＝﹣4，c＝1C．a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1D．a＝5，b＝4，c＝1【答案】C【解答】解：∵5x2﹣1﹣4x＝0，∴5x2﹣4x﹣1＝0，则a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，故选：C．35．（2022秋•德化县期末）下面是小明同学解方程x2﹣5x＝﹣4的过程：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步），∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）．∴x＝，（第三步）．∴x1＝，x2＝（第四步）．小明是从第　一　步开始出错．【答案】一．【解答】解：原方程化为：x2﹣5x+4＝0，∴a＝1，b＝﹣5，c＝4．故答案为：一．36．用公式法解方程：x2﹣2x﹣2＝0．【答案】x1＝+2，x2＝﹣2．【解答】解：x2﹣2x﹣2＝0，这里a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝16＞0，∴x＝＝＝±2，∴x1＝+2，x2＝﹣2．37．用公式法解方程：2x2+4＝7x．【答案】x1＝，x2＝．【解答】解：2x2+4＝7x整理为2x2﹣7x+4＝0，这里：a＝2，b＝﹣7，c＝4，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×4＝49﹣32＝17＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝．38．用公式法解方程：2x2+4x﹣3＝0．【答案】x1＝，x2＝【解答】解：这里a＝2，b＝4，c＝﹣3，∵Δ＝42﹣4×2×（﹣3）＝16+24＝40＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝．39．用公式法解方程：2x2﹣1＝4x．【答案】．【解答】解：整理，得：2x2﹣4x﹣1＝0，∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，∴，∴．40．用公式法解方程：5x2﹣3x＝x+1【答案】x1＝﹣，x2＝1．【解答】解：这里a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝16+20＝36＞0，∴x＝＝，解得：x1＝﹣，x2＝1．41．用公式法解方程：x2﹣x﹣6＝0．【答案】1＝3，x2＝﹣2．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，∴，即x1＝3，x2＝﹣2．42．（2022秋•丰满区校级期末）用公式法解方程：x2+2x﹣6＝0．【答案】x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．【解答】解：这里a＝1，b＝2，c＝﹣6，∵Δ＝22﹣4×1×（﹣6）＝28＞0，∴x＝＝﹣1±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．43．（2022秋•普宁市校级期中）用公式法解方程：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1）．【答案】，．【解答】解：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1），化简为x2﹣6x+1＝0，∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4＝32＞0，∴，∴，．44.用公式法解下列方程：（1）2x2+5x﹣1＝0 （2）6x（x+1）＝5x﹣1【答案】（1）x1＝，x2＝（2）没有实数解【解答】解：（1）2x2+5x﹣1＝0，∵a＝2，b＝5，c＝﹣1，∴Δ＝52﹣4×2×（﹣1）＝33＞0，∴x＝＝，所以x1＝，x2＝；（2）6x（x+1）＝5x﹣1，整理得6x2+x+1＝0，∵a＝6，b＝1，c＝1，∴Δ＝12﹣4×6×1＝﹣23＜0，方程没有实数解．45.（2022秋•潮安区期中）解方程：2x2﹣7x+3＝0（公式法）．【解答】解：2x2﹣7x+3＝0，这里a＝2，b＝﹣7，c＝3，∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×3＝25＞0，∴x＝＝，∴x1＝3，x2＝．46.（2021秋•新兴县期中）用公式法解方程：5x2＝7﹣2x．【答案】x1＝1，x2＝﹣．【解答】解：5x2+2x﹣7＝0，∵a＝5，b＝2，c＝﹣7，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×5×（﹣7）＝144＞0，∴x＝＝＝，∴x1＝1，x2＝﹣．47.用公式法解下列方程：x2+4x+8＝2x+10【答案】，；【解答】解：（1）x2+4x+8＝2x+10，整理，得x2+2x﹣2＝0，∵a＝1，b＝2，c＝﹣2，∴，∴，；48．（2022秋•成县期中）公式法解方程：2x2﹣x﹣3＝0．【答案】x1＝，x2＝﹣．【解答】解：∵Δ＝（﹣）2+24＝3+24＝27＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝＝﹣．49．（2022秋•城西区校级期中）x2﹣7x﹣18＝0（公式法）．【答案】x1＝9，x2＝﹣2．【解答】解：x2﹣7x﹣18＝0，∵a＝1，b＝﹣7，c＝﹣18，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×（﹣18）＝121＞0，∴x＝，＝，∴x1＝9，x2＝﹣2．50．（2022秋•前郭县期中）用公式法解方程：x2﹣x﹣7＝0．【答案】x1＝，x2＝．【解答】解：这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣7，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣7）＝1+28＝29＞0，∴x＝，解得：x1＝，x2＝．【题型4 解一元二次方程-因式分解法】51．（2023•临安区一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（）A．x1＝2，x2＝1B．x1＝2，x2＝﹣2C．x1＝2，x2＝0D．x1＝2，x2＝﹣1【答案】B【解答】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0，x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，所以x1＝2，x2＝﹣2．故选：B．52．（2022秋•文山市期末）方程（x+1）（x﹣3）＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝﹣3C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝﹣3【答案】C【解答】解：∵（x+1）（x﹣3）＝0，∴x+1＝0或x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或x＝3，故选：C．53．（2023•泸县一模）方程x2＝3x的解为（）A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0，x2＝3【答案】D【解答】解：∵x2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0，则x＝0或x﹣3＝0，解得：x＝0或x＝3，故选：D．54．（2023•武清区校级模拟）解一元二次方程x2﹣2x﹣15＝0，结果正确的是（）A．x1＝﹣5，x2＝3B．x1＝5，x2＝3C．x1＝﹣5，x2＝﹣3D．x1＝5，x2＝﹣3【答案】D【解答】解：x2﹣2x﹣15＝0，分解因式得：（x﹣5）（x+3）＝0x﹣5＝0，x+3＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣3，故选：D．55．（2023春•靖西市期中）解方程2（4x﹣3）2＝3（4x﹣3）最适当的方法是（）A．直接开方法B．配方法C．公式法D．分解因式法【答案】D【解答】解：（此题用分解因式法最适当）移项得，2（4x﹣3）2﹣3（4x﹣3）＝0，∴（4x﹣3）[2（4x﹣3）﹣3]＝0，∴4x﹣3＝0或[2（4x﹣3）﹣3]＝0，∴x1＝，x2＝．故选：D．56．（2023春•萧山区期中）解下列方程：（1）x2﹣6x+1＝0；（2）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）．【答案】（1）x1＝3+2，x2＝3﹣2；（2）x1＝，x2＝4．【解答】解：（1）x2﹣6x+1＝0，x2﹣6x＝﹣1，x2﹣6x+9＝8，即（x﹣3）2＝8，∴x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，∴x1＝3+2，x2＝3﹣2；（2）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3），（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）＝0，（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）＝0，∴2x﹣3＝0或2x﹣8＝0，∴x1＝，x2＝4．57.用因式分解法解下列方程．（1）x2﹣x﹣56＝0．（2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）．【解答】解：（1）x2﹣x﹣56＝0，∴（x﹣8）（x+7）＝0，∴x﹣8＝0或x+7＝0，∴x1＝8；x2＝﹣7；（2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2），移项，得3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（3x﹣2）＝0，∴x﹣2＝0或3x﹣2＝0，∴x1＝2；x2＝．58．（2023春•海曙区期中）解下列方程：（1）x2﹣6x﹣7＝0；（2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）．【答案】（1）x1＝7，x2＝﹣1；（2）x1＝3，x2＝5．【解答】解：（1）∵x2﹣6x﹣7＝0，∴（x﹣7）（x+1）＝0，则x﹣7＝0或x+1＝0，解得x1＝7，x2＝﹣1；（2）∵（x﹣3）2＝2（x﹣3），∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣5）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣5＝0，解得x1＝3，x2＝5．59．（2023•九龙坡区校级自主招生）解方程．（1）3x（x+1）＝2（x+1）；（2）2x2﹣3x﹣5＝0．【答案】（1）x1＝﹣1，x2＝；（2）x1＝﹣1，x2＝．【解答】解：（1）∵3x（x+1）＝2（x+1），∴3x（x+1）﹣2（x+1）＝0，则（x+1）（3x﹣2）＝0，∴x+1＝0或3x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝；（2）∵2x2﹣3x﹣5＝0，∴（x+1）（2x﹣5）＝0，∴x+1＝0或2x﹣5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝．60．（2023春•海曙区期中）解下列方程：（1）x2﹣6x﹣7＝0；（2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）．【答案】（1）x1＝7，x2＝﹣1；（2）x1＝3，x2＝5．【解答】解：（1）∵x2﹣6x﹣7＝0，∴（x﹣7）（x+1）＝0，则x﹣7＝0或x+1＝0，解得x1＝7，x2＝﹣1；（2）∵（x﹣3）2＝2（x﹣3），∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣5）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣5＝0，解得x1＝3，x2＝5．61．（2022秋•江都区期末）解方程：（1）x2﹣4x﹣4＝0；（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）．【答案】（1），；（2）x1＝﹣3，x2＝﹣4．【解答】解：（1）由原方程得：x2﹣4x＝4，得x2﹣4x+4＝4+4，得（x﹣2）2＝8，得，解得，，所以，原方程的解为，；（2）由原方程得：x（x+4）+3（x+4）＝0，得（x+4）（x+3）＝0，解得x1＝﹣3，x2＝﹣4，所以，原方程的解为x1＝﹣3，x2＝﹣4．62．（2022秋•盘龙区期末）解方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0．【答案】（1）x1＝2+，x2＝2﹣；（2）x1＝2，x2＝．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3＝0，x2﹣4x＝3，x2﹣4x+4＝7，（x﹣2）2＝7，x﹣2＝±，所以x1＝2+，x2＝2﹣；（2）3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（3x﹣1）＝0，x﹣2＝0或3x﹣1＝0，所以x1＝2，x2＝．63．（2022秋•兴平市期末）解方程：（x﹣4）2＝2（x﹣4）．【答案】x1＝4，x2＝6．【解答】解：（x﹣4）2＝2（x﹣4），（x﹣4）2﹣2（x﹣4）＝0，（x﹣4）（x﹣4﹣2）＝0，（x﹣4）（x﹣6）＝0，∴x﹣4＝0或x﹣6＝0，∴x1＝4，x2＝6．。

直接开平方法解一元二次方程

直接开平方法解一元二次方程直接开平方法解形如p x =2（p ≥0）和()c b ax =+2（c ≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤:（1）把一元二次方程化为p x =2（p ≥0）或()c b ax =+2（c ≥0）的形式; （2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程;（3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.注意:（1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解;（2）对于一元二次方程p x =2,当0<p 时,方程无解;（3）对于一元二次方程()c b ax =+2: ①当0>c 时,一元二次方程有两个不相等的实数根;②当0=c 时,一元二次方程有两个相等的实数根;③当0<c 时,一元二次方程没有实数根.例1. 解下列方程:（1）022=-x ; （2）081162=-x .分析:观察到两个方程的特点,都可以化为p x =2（p ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.解:（1）22=x2±=x ∴2,221-==x x ;（2）1681,811622==x x 491681±=±=x ∴49,4921-==x x .（1）()0932=--x ; （2）()092122=--x . 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为()c b ax =+2（c ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.解:（1）()932=-x33±=-x∴33=-x 或33-=-x∴0,621==x x ;（2）()92122=-x()4312922==-x ∴23432±=±=-x ∴232=-x 或232-=-x∴232,23221-=+=x x .习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是【】（A ）032=-x （B ）()0412=--x（C ）022=+x （D ）()()2221-=+x习题2. 若()41222=-+y x ,则=+22y x _________.习题3. 若b a ,为方程()1142=+-x x 的两根,且b a >,则=b a【】（A ）5- （B ）4- （C ）1 （D ）3习题4. 解下列方程:（1）()16822=-x ; （2）()642392=-x .（1）()09142=--x ; （2）4312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x .习题6. 对于实数q p ,,我们用符号{}q p ,min 表示q p ,两数中较小的数,如{}12,1min =.（1）{}=--3,2min _________;（2）若(){}1,1min 22=-x x ,则=x _________. 习题7. 已知直角三角形的两边长y x ,满足091622=-+-y x ,求这个直角三角形第三边的长.（注意分类讨论第三边的长）。

中考数学专题练习直接开平方法解一元二次方程(含解析)

2019中考数学专题练习-直接开平方法解一元二次方程（含解析）一、单选题1.若分式的值为0，则x的值是（）A.1或-1B.1C. -1D.0【答案】B【考点】分式的值为零的条件，解一元二次方程-直接开平方法【解析】【分析】根据分子为0，同时分母不等于0时，分式值是零，即可得到结果．由题意得，解得，则x=1，故选B.【点评】解答本题的关键是熟练掌握分式值是零的条件：分子为0，同时分母不等于0．2.若25x2=16，则x的值为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】直接开平方法解一元二次方程【解析】【解答】解：25x2=16，x2= ，x=± ，故答案为：A【分析】观察次方程缺一次项，可以用直接开平方法求解或利用因式分解法求解。

3.方程的根是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】用开平方法可得【分析】将原方程变形为=4，用直接开平方法解得x=2，即= 2 ，= − 2.4.一元二次方程x2=2的解是（）A.x=2或x=﹣2B.x=2C.x=4或x=﹣4D.x=或x=﹣【答案】D【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】解：∵x2=2，∵x=±．故选：D．【分析】直接开平方解方程得出答案．5.方程x2=9的解是（）A.x1=x2=3B.x1=x2=9C.x1=3，x2=﹣3D.x1=9，x2=﹣9【答案】C【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】解：x2=9，两边开平方，得x1=3，x2=﹣3．故选C．【分析】利用直接开平方法求解即可．6.一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（）A.x-6=-4B.x-6=4C.x+6=4D.x+6=-4【答案】D【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【分析】方程两边直接开平方可达到降次的目的，进而可直接得到答案．【解答】（x+6）2=16，两边直接开平方得：x+6=±4，则：x+6=4，x+6=-4，故选：D．7.方程x2=9的解是（）A.x=9B.x=±9C.x=3D.x=±3【答案】D【考点】直接开平方法解一元二次方程【解析】【解答】解：∵x2=9，∵x=±3，故选：D．【分析】直接开平方法即可得．8.若是反比例函数，则b的值为（）A.1B.－1C.D.任意实数【答案】A【考点】直接开平方法解一元二次方程，反比例函数的定义【解析】【解答】，解得.故答案为：A.【分析】根据反比例函数的定义知，自变量次数为-1，b2-2=-1，得b=1，,又因为比例系数k≠0，得b+1≠0，得b≠-1，综合分析可得b=1。

一元二次方程的解法-直接开平方及配方法

k 2 4k 4 1
(k 2)2 1
(k 2)2 0
(k 2)2 1 0
即不论 k取何实数，多项式 k 2 4k 5
的值必定大于0
小结用配方法解一元二次方程的基本步骤： ax2+bx+c=0
1.方程两边同时除以a,得
x2+
b a
x+
c a
=0
你能用开平方法解下列方程吗? x2－10x＋ 16 = 0
你能化成(x a)2 b 的形式吗？
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方（completing the square）法.
填一填
添上一个适当的数，使下列的多项式成为一个完全平方式

5 2

-
7 2
x1 1,x2 -6
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
例3、用配方法解方程-x2＋12x-9=0
用配方法解下列方程:
x2+2x+__1_=(___x__+__1_)2
x2+4x+__4_=(___x_+___2_)2
x2+5x+

5
2

_ 2__
=(__x__52__)2
x2-2x+_1__=(__x__-_1___)2
x2-4x+__4_=(___x__-_2__)2 x2-5x+__52_=2 (___x __52___)2

4.2一元二次方程的解法(开平方)

第十四页，共17页。
练一练
4一个球的表面积是100cm2，求这个球的半径。（球的表面积s=4R2，其中R是
球半径）
第十五页，共17页。
归纳总结
1、用直接开平方法解一元二
次方程的一般步骤； 2、任意一个一元二次方程都
可以用直接开平方法解吗？
第十六页，共17页。
谢谢大家
11.06.2 生产计划
023
部
第十七页，共17页。
（2）移向，得x2=2
∵ x就是2的平方根
∴x= 2
2 2 即此一元二次方程的根为： x1=
，x2=
第三页，共17页。
概括总结
什么叫直接开平方法？
像解x2=4，x2-2=0这样，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程的过程，就是把方程化为形如x2=a（a≥0）或（x+h）2=k（k≥0）的形式，然后再根据平方根的意义求解
4 25
的平方根是___ _52 __
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；
(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
第二页，共17页。
尝试
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
解（1）∵x是4的平方根 ∴x＝±2
即此一元二次方程的解（或根）为： x1=2，x2 =－2
整体，就可以运用直接开平方法求解；
解：（1）∵x+1是2的平方根
∴x+1= 2
即x1=-1+ 2 ，x2=-1- 2
第七页，共17页。
典型例题
例2解下列方程：
⑵ （x－1）2－4 = 0
⑶ 12（3－2x）2－3 = 0 分析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解；

一元二次方程的解法

2
4.解下列一元二次方程： (1)4x2－25=0 (2)9y2－1=0
(3)4x2－5=0
(4)81y2－6=0
第 1 页
例 2：解方程：(1) (2x-1) 2=5
(2) x 2+6x=-1
解：(1)直接开平方，得：2x-1=± 5 即 2x-1= 5 ，2x-1=- 5
练习： 1.解下列一元二次方程： (1)x2=9 (2)y2=16
(3)x2=2
(4)y2=7
2.解下列一元二次方程： (1)49y2=16 (2)64x2=1
(3)16y2=5
(4)25x2=11
3.解下列一元二次方程： 2 2 (1)x －25=0 (2)y －36=0
(3)x －3=0
2
(4)y －5=0
(3)（x－2）2=7
(4)（y+3）2=5
2.解下列一元二次方程： (1)（x－2）2－49=0
(2)（y+3）2+15=16
(3) 121（x－2）2 =9
(4) 144（x－2）2 =7
第 2 页
一元二次方程的解法【定义】:只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式 2 ax +bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式。解法一 ——直接开方法适用范围:【可解部分一元二次方程】直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如 p n x2 p或(mx n)2 p( p≥0) 的方程，其解为 x p或x m 例 1：解方程：(1) x2=7 (2) 25x2=9 (3) 121x2－36=0

专题02 《直接开平方法解一元二次方程》重难点题型分类(解析版)

专题02 《直接开平方法解一元二次方程》重难点题型分类专题简介：本份资料专攻《直接开平方法解一元二次方程》中“直接开平方法解一元二次方程的条件”、“解形如的方程”、“解形如的方程”、“已知方程的根求字母的值”、“已知方程的解求另一个方程的解”、“直接开平方法解新定义问题”、重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。

考点1：直接开平方法解一元二次方程的条件方法点拨：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.1．（2021·山东·费县第二中学九年级阶段练习）若方程()24x a -=有解，则a 的取值范围是（）A ．0a ≠B ．0a ³C ．0a >D ．0a <【答案】B【分析】根据题意得到a 是非负数，由此求得a 的取值范围．【详解】解：∵（x -4）2=a 有解，∴a ≥0，故选：B ．【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，一个数的平方一定是非负数．2．（2020·浙江绍兴·一模）一元二次方程x 2＝c 有解的条件是 ( )A ．c ＜OB ．c ＞OC ．c≤0D ．c≥0【答案】D【分析】因为在x 2=c 中，左边是一个平方式，总是大于等于0，所以c 必须大于等于0．【详解】解：利用直接开平方法解方程时，本题中的被开方数c 必须为非负数，方程才有实数根．即c≥0．故选D ．【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，其解法是先将一元二次方程整理成2(0)x c c =³，然后两边同时开平方即可.3．（2020·全国·八年级课时练习）若方程（x ﹣1）2=m 有解，则m 的取值范围是（）A ．m ≤0B ．m ≥0C ．m ＜0D ．m ＞0【答案】B【分析】利用平方根的定义确定m 的范围．【详解】∵方程（x-1）2=m 有解，∴m≥0时，方程有实数解．故选B ．【点睛】考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x 2=p 或（nx+m ）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．4．（2022·全国·九年级单元测试）关于x 的方程21x a =-有实数根，则a 的取值范围为_______________________．【答案】1a ³【分析】根据平方的意义得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程21x a =-有实数根，∴a-1≥0，解得a≥1，故答案为a≥1．【点睛】本题考查了一元二次方程有根的条件，直接开平方法解一元二次方程，列出关于a 的一元一次不等式是解题的关键．5．（2020·江苏常州·九年级期中）若关于x 的一元二次方程()23x c -=有实根，则c 的值可以是_________________．(写出一个即可)【答案】1（答案不唯一）【分析】根据非负数的性质可得0c ³，于是只要使c 的值非负即可．【详解】解：若关于x 的一元二次方程()23x c -=有实根，则0c ³，所以c 的值可以是1（答案不唯一）．故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、掌握非负数的性质是关键．6．（2021·上海·九年级专题练习）如果关于x 的方程（x ﹣2）2＝m ﹣1没有实数根，那么m 的取值范围是____．【答案】m ＜1【分析】根据直接开平方法定义即可求得m 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的方程（x ﹣2）2＝m ﹣1没有实数根，∴m ﹣1＜0，解得m ＜1，所以m 的取值范围是m ＜1．故答案为：m ＜1．【点睛】考查了解一元二次方程-直接开平方法，解决本题的关键是掌握直接开平方法．考点2：解形如的方程方法点拨：两边直接开平方，即可得到方程的两个解。

2.2一元二次方程的解法直接开平方

X2+12x+36=-9+36
即 (x+6)2=27.
∴x++66== 27 或或x+x6+=6-=- 27
解得得 xxx111===--666＋＋＋333 3,,,x,xx,x2x222=2==2=-=--6-6-6-66－－6－－－333333 3
你能总结出配方法的步骤吗?
第10页，共16页。
用配方法解一元二次方程的步骤:
开平方法求解,这种解一元二次方程的方法
叫做配方法.
第8页，共16页。
(1)x2＋8x＋ 42 =(x＋4)2
(2)x2－3x＋
(
3 2
)2
=(x－
3)2
2
(3)x2－12x＋ 62 =(x－ 6)2
配方时,配上的是一次项系数一半的平方.
第9页，共16页。
x2＋12x=－9
解:方程的两边都加上36,得
解:[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+6=0,或x-4=0.
∴x1=-6, x2=4.
这两个方程是否还有其它的解法?
第2页，共16页。
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
第3页，共16页。
(1)方程x2=0.25的根是
X1=0.5, x2=-0.5
(2)方程2x2=18的根是
X1=3, x2=-3
(3)方程(x+1)2=4的根是
X1=Hale Waihona Puke , x2=-3；； .
第4页，共16页。
用开平方法解下列方程:

一元二次方程的解法直接开平方

非负数或能整理为此形式）
9
作业
▪ P30练习１（１）（２） ▪ P31练习 ▪ P37 习题１（１）（２）；
习题２（１）（２）
10
思考：（４）、（５）、（６）
适用刚才的方法吗？
4
例题讲解
▪ 例１解下列方程： ▪ （1）（x＋1）2－4＝0； ▪ （2）12（2－x）2－9＝0.
分析两个方程都可以转化为
2
＝a
的形式，从而用直接开平方法求解.
5
例１解下列方程：（1）（x＋1）2－4＝0；（2）12（2－x）2－9＝0.
练一练2
▪ 解下列方程：（1）（x＋2）2－16＝0；（2）(x－1)2－18＝0；（3）(1－3x)2＝1；（4）(2x＋3)2－25＝0.
8
课堂小节
▪ １．直接开平方法的依据是什么？（平方根） ▪ ２．何种类型的一元二次方程适合用直接
开平方法？（左边为含有未知数的平方的形式，右边为
解（1）原方程可以变形为（x＋1）2＝4，直接开平方，得 x＋1＝±2. 所以原方程的解是 x1＝1，x2＝－3.
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例１解下列方程：（1）（x＋1）2－4＝0；（2）12（2－x）2－9＝0.
解（2）原方程可以变形为
（
）2＝
，
直接开平方，得
＝±
.
所以原方程的解是 x1＝，
x2＝ .
7
22
一
元
二
次
方
程
22.2
一元二次方程的解法
直接开平方法
1
试一试
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
（1）x2＝4；（2）x2－1＝0;