江苏省南通市启东市2021-2022高一数学上学期期中试题(含解析)

江苏省南通市启东市2021-2022高一数学上学期期中试题（含解析）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．请把答案直接填涂在答题卡相应位．．．．．．置上．．
． 1.已知集合{}| 1A x x =>，{}0,1,2B =，则A B =（ ）
A. {}0
B. {}2
C. {}1,2
D. {}0,1,2
【答案】B 【解析】 【分析】
直接在集合B 中找到大于1的元素即可. 【详解】{}0,1,2B =,只有2满足大于1,故A B ={}2.
故选：B.
【点睛】本题主要考查集合的基本运算.
2.函数()f x 的定义域为（ ）
A. (],1-∞
B. (),1-∞
C. ()
(],44,1-∞--
D.
()(),44,1-∞--
【答案】C 【解析】 【分析】
由()f x =,易得10
40x x -≥⎧⎨+≠⎩
,求解即可.
【详解】由题, 10
1,440
x x x x -≥⎧⇒≤≠-⎨
+≠⎩,故定义域为()(],44,1-∞--, 故选：C.
【点睛】常见定义域：
(1)根号下大于等于0；(2)分母不为0；(3)对数函数中真数大于0.
3.已知幂函数()f x 的图象经过点()
1
2,4，则1()4
f 的值为（ ）
A.
116
B.
12
C. 2
D. 16
【答案】D 【解析】 【分析】
由题可设幂函数表达式,再代入点()
1
2,4求解参数即可算出表达式,再计算1()4
f 即可.
【详解】设()
a
f x x ,因为函数过()1
2,4,故2
122
224
a
a a -=⇒=⇒=-,所以2()f x x -=,
故2
211()41644f -⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
.
故选：D.
【点睛】已知幂函数可设()
a f x x ,仅含一个参数,故代入一个点即可求得参数a .
4.下列函数中，值域为[)0,+∞的是（ ） A. 12
y x = B. 3x
y =
C. 2log y x =
D. 1x
y x =-
【答案】A 【解析】 【分析】
直接对每个选项进行值域分析即可. 【详解】对A ：1
2
y x ==
函数单调递增,值域为[)0,+∞；
对B ：指数函数3x
y =单调递增,值域为()0,+∞； 对C ：对数函数2log y x =值域为R ； 对D ：111
1111
x
x y x x x -+===+---,值域为()(),11,-∞+∞；
故选：A.
【点睛】指数函数定义域为R ,值域为()0,+∞,对数函数定义域为()0,+∞,值域为R .幂函数需要根据指数的值来判定值域.
5.已知函数()log ()a f x x b =+的图象如图，则ab =（ ）
A. －6
B. －8
C. 6
D. 8
【答案】D 【解析】 【分析】
由图得, ()log ()a f x x b =+过(0,2)和(3,0)-,代入求解算出,a b 即可.
【详解】()log ()a f x x b =+过(0,2)和(3,0)-,故()22log 0log 331a a b
a b b b =⎧⎧=⇒⎨⎨=--=⎩⎩ ,因为
0a >且1a ≠,所以2
4a b =⎧⎨=⎩
,故8ab =. 故选：D.
【点睛】已知函数过点求参数范围,直接代入点计算参数即可.
6.二次函数2()2f x x tx =-+在[)1,+∞上最大值为3，则实数t ＝（ ） A. 33
C. 2
D. 23
【答案】B 【解析】 【分析】
先求二次函数对称轴,分析对称轴与区间的位置关系来判定在哪点处取得最大值. 【详解】对称轴x t =,判断对称轴与区间的位置关系,
当1t ≤时,2()2f x x tx =-+在区间[)1,+∞上单调递减, max ()(1)21f x f t ==-, 此时213,2t t -==,不满足1t ≤；
当1t >时,222max ()()2f x f t t t t ==-+=,此时233t t =⇒=±又1t >所以3t =. 故选：B.
【点睛】求二次函数最值问题,需要分析开口方向与对称轴和区间的位置关系,从而得到最大最小值处的取值,同时分类讨论需要注意大前提与得出的结论需要取交集.
7.已知函数()2x f x =，若()
()()0.2
22,,lo 52g a f b f c f ===，则（ ）
A. a ＜b ＜c
B. c ＜b ＜a
C. b ＜a ＜c
D. a ＜c ＜b
【答案】A 【解析】 【分析】
由于()2x f x =为增函数,故只需判断()f x 中自变量的大小关系即可. 【详解】由题,()2x f x =为增函数,且0.2
1222<=,222log 4log 5=<,故0.2
22
2log 5<<,
所以()
()()0.2
222lo 5g f f f <<,故a b c <<.
故选：A.
【点睛】本题主要考查指数函数的单调性,当()f x 为增函数时,自变量越大则函数值越大.
8.已知函数321,3,()21,3,3
x x f x x x x -⎧+≤⎪
=⎨+>⎪
-⎩满足()3f a =，则a 的值是（ ）
A. 4
B. 8
C. 10
D. 4或10
【答案】C 【解析】 【分析】
分情况3x ≤和3x >解出a 的值,并注意判断是否满足分段的标准即可. 【详解】当3a ≤时,令32134a a -+=⇒=,不满足3a ≤； 当3a >时,令21
32139103
a a a a a +=⇒+=-⇒=-,满足3a >.所以10a =. 故选：C.
【点睛】分段函数求等式时,需要注意分情况讨论,解出的值要检验是否满足定义域.
9.函数
2
12
()log (43)f x x x =-+的单调递增区间是 A. (,1)-∞ B. (,2)-∞ C. (2,)+∞ D. (3,)+∞
【答案】A 【解析】 试题分析：由
得函数的定义域为(3,)(,1)+∞⋃-∞,再根据复合函数的单调性
可知内函数的减区间即为原函数的增区间，所以f(x)的单调递增区间为(,1)-∞. 考点：复合函数的定义域，单调区间。

点评：复合函数单调性的判断方法可以同则增，异则减的原则来判断。

同是指内外函数的单调性相同，异是指内外函数的单调性相反。

在求单调区间时要注意在定义域内进行。

10.已知定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x ≥时，22
()f x x a a =--，若对任意实数x
有()()f x a f x -≤成立，则正数a 的取值范围为（ ） A. )
1
,4⎡+∞⎢⎣
B. )
1
,2⎡+∞⎢⎣
C. (
10,4⎤
⎥⎦
D. (
10,2⎤
⎥⎦
【答案】C 【解析】 【分析】
由于2
2
()f x x a a =--中带有绝对值,故考虑分情况2x a ≥和2x a <两种情况讨论函数,再根据奇函数画出()y f x =的图像,再根据()()f x a f x -≤可以考虑用平移的思想去数形结合做.
【详解】由题得, 当0x ≥时,2
2
()f x x a a
=--,故写成分段函数
222222,0(),x a a x a f x x a a x a ⎧-+-≤≤=⎨-->⎩,化简得2
22
,0()2,x x a f x x a x a
⎧-≤≤=⎨->⎩,又()y f x =为奇函数,故可画出图像：
又()f x a -可看出()y f x =往右平移a 个单位可得,若()()f x a f x -≤恒成立,则
222(2)a a a ≥--,即24a a ≤,又a 为正数,故解得1
04
a <≤
. 故选：C.
【点睛】本题有一定的难度,主要考查绝对值函数对分段函数的转换,同时()f x a -可以看成
()f x 往右平移a 个单位所得,画图进行分析即可.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．
． 11.计算：()
13
21
log 827--=____．
【答案】0； 【解析】 【分析】
将计算中的27和8分别写作3
3
273,82==,再根据指对数运算法则求解即可. 【详解】()
111
3
33332221
log 827log 2(3)3log 233027
--=-=-=-=
【点睛】本题用到的指对数运算：1
1a a
-=
,()r s rs
a a =,log log n a a M n M =. 在求解指对数函数时,把能够写成指数形式的数写成对应的指数形式方便计算.
12.已知2211
()f x x x x
-=+，则(2)f =______．
【答案】6； 【解析】 【分析】
由2
2
2112x x x x ⎛⎫+=-+ ⎪⎝
⎭可将1()f x x -中1x x -看成整体去表示2
21x x +,再代入求(2)f .
【详解】由题,211()()2f x x x x
-=-+,故2()2f x x =+,故2
(2)2+2=6f =.
【点睛】本题用到换元求函数表达式的方法.常见的形式如
22
2112x x x x ⎛⎫
+=-+ ⎪⎝
⎭；2
22121x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭
13.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，且当x ＜0时2
()1f x x =-，则当x ＞0时()f x =____．
【答案】21x -+； 【解析】 【分析】
已知奇函数一半的表达式求另一半,直接根据()()f x f x =--求解即可.
【详解】当x ＜0时2
()1f x x =-,故当0x >时, ()()f x f x =--,此时0x -<,
故22
()()[()1]1f x f x x x =--=---=-+. 故答案为：21x -+.
【点睛】若()f x 为奇函数,且当0x <时,()()f x g x =,则当0x >时,
()()()f x f x g x =--=--.
14.正数,x y 满足2232x y xy -=，则
22x y
x y
-+的值为______．
【答案】
15
； 【解析】 【
分析】
由2232x y xy -=可因式分解得出,x y 的关系,再代入
22x y
x y
-+求解即可.
【详解】由题,2232x y xy -=可得22230(3)()0x xy y x y x y --=⇒-+=,又正数,x y ,故
30x y -=,即3x y =,所以
2321
2325
x y y y x y y y --==++.
故答案为：
15
. 【点睛】本题主要考查二元函数的因式分解问题,属于基本技能题型.
15.某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚得78元．则这两筐椰子原来共有______个． 【答案】120； 【解析】 【分析】
设两筐椰子原来共有x 个,根据题目条件列出关于x 的方程求解即可.
【详解】设两筐椰子原来共有x 个,则一共卖出12x -个,其中每个买入成本价为300
x
,则售价为
3001x +,故共卖得300(12)(1)x x -+元,又赚得78元,所以300
(12)(1)30078x x
-+=+,化
简得36003001230078x x +-
-=+,即3600
90x x
-=,两边同乘x 得 29036000x x --=,因式分解(120)(30)0x x -+=,又0x >,所以120x =.
故答案为：120.
【点睛】本题属于一元方程列式求解问题,设所求量为x ,再根据题目条件列出x 的方程求解即可.
16.已知函数()2
2,
,2,.
x x m f x x x m x m +<⎧=⎨+-≥⎩若函数()f x 恰有2个不同的零点，则实数m 的取值范围是______． 【答案】[]1,0- 【解析】 【分析】
()f x 函数中包含分段的一次函数与二次函数,故先讨论对应的零点,再一同分析.逐步缩小参
数的分析范围即可.
【详解】由题意,()f x 中当x m <时, ()2f x x =+,易得零点为2x =-,
又x m ≥时函数为二次函数且开口向上,故二次函数至少有一根,否则()f x 最多仅有2x =-一个零点,所以2
2x x m +-中判别式440m +≥,即1m ≥-.
当1m =-时,22221x x m x x +-=++,此时2210x x ++=的零点为1x =-满足题意.
当1m >-时, 令2
20x x m +-=得11x =,21x =,且121x x <-<, 又 2
20()x x m x m +-=≥,故2x m ≥才能满足在定义域内有一根2x ,
1110m m m ≥⇒≥+⇒≥⇒≤.
综上所述10m -≤≤. 故答案为：[]1,0-.
【点睛】本题主要考查分段函数的零点问题,可先分析每段函数的零点,再根据定义域思考每段的零点是否存在,最后根据每段定义域内存在的零点进行列不等式运算即可,属于难题. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋2}
，{}
|[1,8]B y y x ==∈-． （1）求集合B ；
（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[0,3]B =（2）[]0,1 【解析】 【分析】
(1)根据[1,8]x ∈-,
代入y =
y 的范围即可.
(2)由A B B ⋃=可得A B ⊆,再根据区间端点的位置关系列式计算即可. 【详解】（1）因为[1,8]x ∈-,所以1[0,9]x +∈,
[0,3], 所以[0,3]B =．
（2）因为A B B ⋃=,所以A B ⊆, 因为A ＝{x |a ≤x ≤a ＋2}．
所以023a a ⎧⎨+⎩
所以0≤a ≤1,所以实数a 的取值范围为[]0,1.
【点睛】本题考查了基本的集合运算,同时也考查了根据集合之间的关系进行参数范围求解的问题,主要注意区间端点的相对大小列式. 18.已知函数()121
x
a
f x =+
+为奇函数． （1）求a 的
值，并证明()f x 是R 上的增函数；
（2）若关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0的解集非空，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）2a =-，证明见解析（2）1
3
k >- 【解析】 【分析】
(1)由奇函数在0处有定义时(0)0f =计算可得.证明()f x 在R 上为增函数时,设12x x <,再计算
12()()f x f x -,化简证明12())0(f x f x -<即可.
(2)先根据奇偶性化简为2
2
(2)(2)f t t f k t -<-,因为函数单调递增,所以若解集非空,则
2222t t k t -<-有解.再根据二次不等式恒成立的问题求解即可.
【详解】（1）因为()f x 定义在R 上的奇函数,所以(0)0f =,得2a =-.
此时,221()12121
x x x
f x -=-=++, 2112()()2112
x x
x x f x f x -----===-++,所以()f x 是奇函数,
所以2a =-．
任取12,x x ∈R,且12x x <,则1222x x <,因为 1
22112
211222()()(1)(1)2121
22
21212(22)
0,
(21)(21)
x x x x x x x x f x f x -=-
--++=-++-=<++
所以12()()f x f x <,
所以()f x 是R 上的增函数.
（2）因为()f x 为奇函数,f (t 2－2t )＋f (2t 2
－k )＜0的解集非空,
所以2
2
(2)(2)f t t f k t -<-的解集非空, 又()f x 在R 上单调递增,
所以2222t t k t -<-的解集非空, 即2320t t k
--<在R 上有解,所以>0∆得13
k >-.
【点睛】(1)单调性的证明方法：设定义域内的两个自变量12x x >,再计算()()12f x f x -, 若()()120f x f x ->,则()f x 为增函数；若()()120f x f x -<,则()f x 为减函数.计算化简到最后需要判断每项的正负,从而判断()()12f x f x -的正负.
(2) 利用单调性与奇偶性解决抽象函数不等式的问题,注意化简成12()()f x f x <的形式,
若()f x 在区间(),a a -上是增函数,则1212x x a x a a x a
<⎧⎪
-<<⎨⎪-<<⎩
,求解出交集即可.
若()f x 在区间(),a a -上是减函数,则1212x x a x a a x a
>⎧⎪
-<<⎨⎪-<<⎩
,求解出交集即可.
19.已知函数11
()1(0)2f x x x =-+>．
（1）若0m n >>时，()()f m f n =，求
11
m n
+的值； （2）若0m n >>时，函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ，求所有,m n 值．
【答案】（1）112m n
+=（2）32m =，1
2n =
【解析】 【分析】
(1)由题意可直接代入,m n ,因为11
()12
f x x
=-+中有绝对值,且绝对值内不相等,故
11
11m n
-=-即可求得.
(2)由11
()12
f x x
=-+中有绝对值,故考虑分01n m <<≤,1m n >≥和01n m <<<三种情况
考虑,分别去绝对值进行分析即可.
【详解】（1）因为()()f m f n =,所以1111
1122m n -+=-+ 所以11
11m n -=-,
所以
1111m n -=-或11
11m n
-=-,
因为0m n >>,所以
11
2m n
+=． （2）1 当01n m <<≤时,11
()2
f x x =-在[],n m 上单调递减,
因为函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ,
所以()()f n m
f m n =⎧⎨
=⎩
,两式相减得1mn =不合,舍去．
2 当1m n >≥时,31
()2f x x =-在[],n m 上单调递增,
因为函数()
f x 定义域与值域均为[],n m ,
所以()()f m m f n n =⎧⎨=⎩
,无实数解.
3 当01n m <<<时,11
,[,1],2
()31,(1,],2x n x f x x m x
⎧-∈⎪⎪=⎨
⎪-∈⎪⎩ 所以函数()f x 在[,1]n 上单调递减,在
1,]m （上单调递增． 因为函数()f x 的定义域与值域均为[],n m , 所以1(1)2n f ==,13
()22
m f ==．
综合所述,32m =
,12
n =． 【点睛】(1)关于绝对值的不等式一般分情况进行绝对值内正负的讨论,从而写成分段函数进行求解.
(2)分段函数注意定义域的问题.
20.设函数()(01)x x f x t t t t -=->≠,，3
(1)2
f -=．
（1）求t 的值；
（2）求函数()442()x x g x kf x -=++，[]0,1x ∈的最大值()h k ．
【答案】（1）2t =（2）17
33,,44
()32,.
4k k h k k ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩
【解析】 【分析】
(1)直接代入1x =-即可算得t .
(2)注意到2224422(22)+2x x x x x x ---+=+=-,故可用换元进行求解运算. 【详解】（1）因为()(01)x x f x t t t t -=->≠,,3
(1)2
f -=,
所以13
(1)2
f t t -=-=,
所以22320t t --=,所以(2)(21)0t t -+=, 因为01t t >≠,,所以2t =．
（2）2()(22)2(22)2x x x x g x k --=---+, 记22x x --3
(0)2
u u =≤≤,
则222()()22()2g x u u ku u k k ϕ==-+=-+-,
当34
k ≤
时,max 3()()2g x u ==1734k -,
当3
4
k >时,max ()(0)g x u ==2,
综上所述：17
33,,44
()32,.
4k k h k k ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩
【点睛】本题主要考查换元法与常用化简：2
22
2111()2()2t t t t t t
+
=+-=-+ 21.某市每年春节前后，由于大量的烟花炮竹的燃放，空气污染较为严重．该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现，每天空气污染的指数()f t 随时刻t (时)变化的规律满足表达式()
3()lg 1328
f t t a a =+-++，[]0,24t ∈，其中a 为空气治理调节参数，
且(0,1)a ∈．
（1）令()
3
lg 18x t =+，求x 的取值范围；
（2）若规定每天中()f t 的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过5，试求调节参数a 的取值范围． 【答案】（1）[]0,1x ∈（2）304
a <≤ 【解析】 【分析】
(1)由题意可得,直接根据定义域[]0,24t ∈,求解()
3
lg 18x t =+的范围即可.
(2)由()
[]3
lg 1,0,248x t t =+∈且()f t 的最大值作为当天的空气污染指数,所以直接根据x 的范
围简化表达式,故有()()32f t g x x a a ==-++,再根据绝对值分段讨论的方法分析函数单调性计算污染指数不超过5时参数a 的取值范围.
【详解】（1）因为()
[]3
lg 1,0,248x t t =+∈,所以[]0,1x ∈．
（2）因为42,0,
()()3222,1,x a x a f t g x x a a x a a x -++≤≤⎧==-++=⎨
++<≤⎩
所以()g x 在[]0,a 上单调递减,在(],1a 单调递增.
所以{}{}max
142,1,2
()max (0),(1)max 42,23123,0,
2a a g x g g a a a a ⎧
+≤<⎪⎪==++=⎨⎪+<<⎪⎩
所以111,0,
22425,235,
a a a a ⎧⎧
≤<<<⎪⎪⎨⎨⎪⎪+≤+≤⎩⎩或得304a <≤．
【点睛】(1) 本题属于实际应用问题,重点需要读懂题,理清自变量和函数之间的关系. (2) 关于绝对值的不等式一般分情况进行绝对值内正负的讨论,从而写成分段函数进行求解,分段函数注意定义域的问题.
22.已知函数()2(0)m
f x x x x
=+->的最小值为0．
（1）求实数m 的值；
（2）函数222()(2)2k
g x f x x k x x =-+--有6个不同零点，求实数k 的取值范围．
【答案】（1）1m =（2）1
02
k -<<
【解析】 【分析】
(1) ()2(0)m
f x x x x
=+->,中包含对勾函数的结构,故考虑根据m 的正负分析单调性,从而
确定()f x 在,(0)x m m =>
处取得最小值0f =
(2)由题目所给形式
2
2
2()(2)2k g x f x x k
x x
=-+--,故考虑设22(0)x x t t -=≠作为复合函数进行分析,再根据复合函数的零点问题进行分析即可.
【详解】（1）当0m ≤时,f (x )在()0,+∞上单调递增,所以f (x )没有最小值,不合题意； 当0m >时,在()0,+∞上任意上任取12,x x 且12x x <,
则()()121212121212()()()1x x x x m m f x f x x x x x x x --⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭
, 当120x x m <<≤时,1212()()0,()(),f x f x f x f x ->>即 ()f x 在()
0,m 是减函数；
当12m x x <<时,1212()()0,()(),f x f x f x f x -<<即 ()f x 在
(
)
,m +∞是增函数．
所以min ()()220,1f x f m m m ==-==．
（2）令2
2(0)x x t t -=≠,则t 在(,0),(1,2)-∞是减函数,在(0,1),(2,)+∞是增函数,
则()0g x =有6个不同根,得2(2)(21)0t k t k -+++=有2个不同根, 一根1(0,1)t ∈,另一根2(1,)t ∈+∞,
记2()(2)(21)u t t k t k =-+++,
则(0)210(1)12210
u k u k k =+>⎧⎨
=--++<⎩得1
02
k -<<.
【点睛】(1) 单调性的证明方法：设定义域内的两个自变量12x x >,再计算()()12f x f x -，若()()120f x f x ->，则()f x 为增函数；若()()120f x f x -<，则()f x 为减函数。

计算化简到最后需要判断每项的正负，从而判断()()12f x f x -的正负.
(2)复合二次函数(())0f g x =的根的个数问题,先根据()g x 的函数图像,判定两根1()=g x t 与
2()=g x t ,其中12,t t 为二次函数()0f t =的两根.再根据根的分布问题列式即可.。