山东省实验中学等四校近年届高三数学联合考试试题理(含解析)(最新整理)

山东省实验中学等四校2019届高三联合考试
理科数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1。

已知集合,集合，则
（ ）
A 。

B 。

C 。

D.
【答案】D 【解析】 【分析】 可求出集合，，然后进行并集的运算即可．
【详解】解:，; ．
故选：．
【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性,
以及并集的运算．
2.已知复数满足(是虚数单位）,则=（ ）
A. B.
C 。

D.
【答案】A 【解析】 【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】解：由,得，
．
故选：．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念,是基础题．
{}21|A
xl o g x =<{
|B yy =A B =
(),2-∞(],2-∞()
0,2[)0,+∞A
B
{}|02A
x x =<<{}|0B y y =≥∴
[)0,A B ⋃=+∞D
z 32i z i ⋅=+
i z
23i +23i -
23i -+
23i --32i z i ⋅=+
()()2
323223i i i z i i i +-+===--∴
23z i =+A
3.已知等差数列的公差不为零,为其前项和，，且，，构成等
比数列，则（ ） A 。

15 B. —15
C 。

30 D. 25
【答案】D 【解析】 【分析】
设等差数列的公差为，由已知列关于首项与公差的方程组,求解得到首项与公差，再由等差数列的前项和公式求解．
【详解】解：设等差数列的公差为,
由题意，,解得．
∴ ．
故选：D ．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式与前项和，考查等比数列的性质，是基础题．
4。

已知正实数，，满足，则（ ） A.
B 。

C.
D 。

【答案】C 【解析】 【分析】
设，则，，，由此能推导出．
【详解】解：∵ 正实数，,满足, ∴ 设， 则，,,
{}n a n S n
39S =21a -31a -51a -5S ={}n a ()0d d ≠n
{}n a ()0d d ≠()()()12111
33921141a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+-=+-+-⎪⎩112
a d =⎧⎨=⎩5
542
51252S ⨯⨯=⨯+=n
a b
c
236l
o g al o g bl o g c ==a b c
=2
b a
c =c a b
=2
c a b =236l
o g l o g l o g a b c k ===2k
a =3
k
b =6
k
c =c a b
=a
b
c
236l
o g l o g l o g a b c ==236l
o g l o g l o g a b c k ===2
k
a =3
k
b =6
k
c =
∴ ．
故选：C ．
【点睛】本题考查命题真假的判断,考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.已知实数，满足约束条件,则目标函数
的最小值为
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
作出不等式组对应的平面区域，目标函数
的几何意义为动点到定点
的斜率，利用数形结合即可得到的最小值．
【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 目标函数
的几何意义为动点到定点的斜率， 当位于时，此时的斜率最小,此时
．
故选：B ．
【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
c a b
=x y
202201
x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
21
y z x -=
+23
-
54
-
43
-12
-
21
y z x -=+()
,M x y ()1,2D -
z
21
y z x -=+(),M x y ()1
,2D -M
11,2A ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
DA 12
5
2114
m in
z --==-+
6。

某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球表面积是( ）
A. B 。

C 。

D 。

【答案】
B 【解析】 【分析】
首先利用三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的半径，最后求出几何体的表面
积．
【详解】解:根据几何体得三视图转换为几何体为：
该几何体为：下底面为边长为2的等边三角形，有一长为2的侧棱垂直于下底面的三棱锥体，
故:,
所以：外接球的半径为： 故：外接球的表面积为：
． 故选
:B ．
【点睛】本题考查
163π283π11π323πR 27284433S R πππ==⋅=
的
知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
7。

给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ) A 。

12种 B 。

18种 C 。

24种 D 。

64种
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，分2步进行分析：①,将4人分成3组，②,甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆,将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，分2步进行分析：
①,将4人分成3组,有种分法;
②,甲不能安排木工工作,甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，
将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有种情况，
此时有种情况， 则有种不同的安排方法； 故选：C ．
【点睛】本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
8.如图中，,，平分线交△ABC 的外接圆于点，设
,，则向量（ )
A 。

B 。

C.
D 。

【答案】C
246C =2
22A =2
24⨯=6
424⨯=R
t A B C ∆2
ABC π
∠=
2A
C A B =B A C ∠
D A B a
=A C b =AD =
a b +1
2
a b
+12
a b +
23
a b +
【解析】 【分析】
根据中,的边角关系,结合圆的性质，得到四边形为菱形，所以．
【详解】解：设圆的半径为，在中，，， 所以
，
,平分线交的外接圆于点,
所以
， 则根据圆的性质, 又因为在中,，
所以四边形为菱形，所以
．
故选：C ．
【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力．属于中档题．
9.在中，，，分别为角,，的对边，若的面为
，且,则( )
A. 1 B 。

C 。

【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出的值，然后利用两角和差的正弦公式
进行求解即可．
R
t A B C ∆A B D O 1
2
A D A
B A O a b
=+=+r R
t A B C ∆2
ABC π
∠=
2A
C A B =3
BAC π
∠=
6
ACB π∠=
B A
C ∠
A B C ∆D 6A C B B A D C A D π
∠=∠=∠=
B
D C D A B ==R t A B C ∆12A B A C r O D
===A
B D O 1
2A D A B A O a b
=+=+A B C ∆a b
c
A B C A B C ∆S
()22
ab c =+-sin 4C π⎛⎫
+= ⎪⎝⎭C
【详解】解：由，
得， ∵ ，
∴ ，
即，
则，
∵ , ∴ ， ∴ ，即
,
则，
故选：D ．
【点睛】本题主要考查解三角形的应用,结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以
及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．
10。

下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是（ )
A.
B.
C.
D 。

【答案】C
()2
2
ab c =+-222
13s i n 22a b C a b c a b
⨯=+-+222
2c o s a b c a bC +-=s i n2c o s 2b C a b C a b =+i n c o s 1
C C -=2s in 16C π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
1sin 62
C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭0
C π<<56
66C πππ-<-<
66
C ππ
-=3
C π=
s i n s i n s i n c o s c o s s i n 4343434C πππππππ
⎛⎫⎛⎫
+=+=+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭12+C 1
2
13
41π-4
2π
-
【解析】
令圆的半径为1，则，故选C 。

11。

已知椭圆:，左、右焦点分别为,，为椭圆上异于长轴端点的一点，的内心为，直线交轴于点，若,则椭圆的离心率是（ ）
B.
C 。

D 。

【答案】B 【解析】 【分析】 连接和,分别运用角平分线定理和比例的性质、椭圆的定义和离心率公式，计算可得
所求值．
【详解】
解：的内心为，连接和, 可得为的平分线,即有，
，
可得，
()22'4
1
S P S ππππ--===-C
22221x y a b +=()0a b >>的1
F 2
F M 12M FF
∆I MI
x
E 2
M I
IE
=C
1
2
13
1
IF 2IF 12M FF
∆I 1
IF 2IF 1IF 12
M FF ∠1
1MF MI F E
IE
=
22MF MI F E
IE
=
1
2122M F M F M I F E F E I E ===
即有，
即有,
故选：B ．
【点睛】本题考查椭圆的定义和性质，主要是离心率的求法，考查角平分线定理的运用,以及运算能力，属于基础题．
12。

已知函数
,当时，方程有4个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B 。

C 。

D 。

【答案】A 【解析】 【分析】
由方程的解与函数图象交点的相互转化得：原方程可转化为,设方程的解为,，则方程有4个不相等的实数根等价于的图象与直线，的交点共4个，由二次方程区间根问题得：由函数的图象与直线
，的位置关系可得：，，设，则，解得：
，得解．
1
212222M F M F a F E E F c ===1
2e =
()2,0223,0x
e x
f x x
x x x ⎧>⎪=⎨⎪---≤⎩0a <()
()2
20f x f x a -+=a 158a -
≤<2
154e a e -≤≤-
158a -
<<-2
154e a e
-≤≤-220t t a -
+=2
20t t a -+=1t t =2t t =()
()2
20f x f x a -+=()t f x =1t t =2t t =()t f x =1t t =2
t t =132t -
≤<-12e t >()2
2gt t t a =-+()()30
20
02g g e g ⎧
⎪-≥⎪⎪-<⎨⎪
⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭
⎩158a -≤-<
【详解】
解：令，
则方程可转化为， 设方程的解为，, 则方程有4个不相等的实数根等价于的图象与直线，的交点共4个，
由函数的图象与直线,的位置关系可得：
,， 设
, 则，解得:， 故选：A ．
【点睛】本题考查了方程的解与函数图象交点的相互转化及二次方程区间根问题，属中档题．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.观察下列式子，
，，
，……，根据上述规律，第
()t f x =()
()220f x f x a -+=220t t a -+=2
20t t a -
+=1t t =2t t =()
()220f x f x a -+=()t f x =1t t =2t t =()t f x =1t t =2t t =132t -≤<
-22e
t >
()2
2gt t t a =-+()()3020
02g g e g ⎧⎪-≥⎪⎪-<⎨⎪⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭
⎩
158a -
≤-<1ln 23
>
11ln335>+
111
ln4357>++
n
个不等式应该为__________．
【答案】
【解析】 【分析】
根据题意,依次分析不等式的变化规律，综合可得答案． 【详解】解：根据题意，对于第一个不等式，
，则有
， 对于第二个不等式,
，则有
, 对于第三个不等式，
,则有
， 依此类推： 第个不等式为：
, 故答案为：
． 【点睛】本题考查归纳推理的应用,分析不等式的变化规律．
14。

若，则_________． 【答案】80 【解析】 【分析】
根据，利用二项式展开式的通项公式求得的值．
【详解】解:∵ ， 则， 故答案为：80．
()
111
l n 13521n n +>+++⨯+1
ln 23
>
()1
l n11211+>
⨯+11ln335>+
()11
l n213221+>+
⨯+111
ln4357>++
()111l n2135231+>++
⨯+n
()
111l n 13521n n +>+++⨯+()
111
l n 13521n n +>+++⨯+()()()()5025
125
1111a xa x a x a x -+-+++++-=2a =(
)()()()()5
5
2
5
0125112111x x a a x a x a x +=-+=+-+-++-⎡⎤⎣⎦2
a (
)()()()()5
5
2
5
0125112111x x a a x a x a x +=-+=+-+-++-⎡⎤⎣⎦33
25280a C =⋅=
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质,属于基础题．
15。

“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．"用现在的数学语言表述是：“如图
所示，一圆柱形埋在墙壁中,尺，为的中点,，寸，则圆柱底面的直径长是_________寸”．（注：l 尺=10寸)
【答案】26 【解析】 【分析】
由勾股定理,代入数据即可求得． 详解】解：∵，， ∵ 寸, ∴ 寸, 在中，∵， ∴ ，
∴ 寸， ∴ 圆柱底面直径长是寸． 故答案为：26．
【点睛】考查了学生对勾股定理的熟练应用,考查了数形结合思想,属于基础题．
1A B =D
AB A
B C D ⊥1C D
=222
O
AO D A D =+【A B C D ⊥A D B D =10A
B =5A
D =R
t A O D ∆2
2
2
O AO D A D =+()2
22
15O A O A =-+13O
A =的2
26A O =
16。

如图所示,边长为1的正三角形中，点,分别在线段,上，将沿线段进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点在线段上，则线段的最小值
为_______．
【答案】
【解析】 【分析】
设，,在中利用正弦定理得出关于的函数,从而可得的
最小值．
【详解】解：设,,则,，∴， 在中,
由正弦定理可得,
，∴
，
∴当即时，
．
故答案为
:．
【点睛】本题考查正弦定理解三角形的应用，属中档题．
三、解答题（本大题共7小题,共82。

0分） 17。

已知数列的前n 项和
，且 (1)求数列的通项公式
;
ABC M
N
AB AC A M N ∆
MN A BC AM 3
A
M x =A M N α∠=A B M ∆x αx A
M x =A M N α∠=1B M x =-1802A M B α∠=︒-260B A M α∠=-︒A B M ∆
s
i n s i n A M B M
A B M B A M =
∠∠()1sin 260x
α-=
-︒x =
2
6090α-︒=︒75α=︒x 3=3{}n a n S ()12,n n N 11a =n
a
（2)记
，为的前项和，求使
成立的的最小值.
【答案】(1)； （2）的最小值为5.
【解析】 【分析】
(1
，可知数列为等差数列，进而求出的表达式
,
再由求出的通项公式；（2)利用裂项相消求和法先求出,进而可以求出满
足题意的。

【详解】（1）由已知，数
列
为等差数列,且，，即，当时,，
又也满足上式，; （2）由（1)知,
，
由
有,
有，所以,
的最小值为5。

【点睛】裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差,然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在求和的时候正负相抵消的目的，使前n 项的和变成只剩下若干少数项的
和的方法
.常见的拆项公式:;若为等差数列，且公差d 不为0,
首项也不为0,则。

18。

如图在直角中,为直角，，，分别为，的中点，将
沿折起，使点到达点的位置，连接，
，为的中点．
11
n n n b a a +=
⋅n
T {}n b n
2n T n
≥
n 21n a
n =-n ()12,n n +≥∈N n S 1n n n a
S S -=-n a n
T n
1=∴1=1n ==2
n S n =2n ≥()2
2
1121n n n a S S nn n -=-=--=-11a =21n a n ∴
=-()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==-
⎪-+-+⎝⎭11111111112335212122121n n
T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪⎪
-+++⎝⎭⎝⎭2n T n
≥
2
42n n ≥
+()2
26
n -≥5n ≥n
∴()1111•nn
k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭{}n a 111111•n n n n a a d a a ++⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
A B C ∆B
2A
B B
C =E F
AB AC A E F
∆EF A D
BD CD M
CD
（Ⅰ）证明：面；
(Ⅱ）若，求二面角的余弦值．。

【解析】 【分析】 （Ⅰ）取中点，连结、，四边形是平行四边形,由，，得，从而，，求出，由此能证明．
（Ⅱ）以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间
直角坐标系,利用向量法能求出二面角的余弦值． 【详解】证明：(Ⅰ )取中点，连结、，
∵ ，
,
∴ 四边形是平行四边形， ∵ ,,,
∴ , ∴ ，∴， 在中，， 又∵ 为的中点，∴， 又∵ ,∴． 解:（Ⅱ）∵，，,
∴ ， 以为原点，、、所在直线分别为，,轴，建立空间直角坐标
系，
M F ⊥BCD D
E B E ⊥EM FC --DB
N MN EN E
F M N E F B E ⊥⊥E F D E
E
F B D E ⊥平面E F E N ⊥M F M N ⊥M F C D ⊥M F B C D ⊥平面E BE EF ED x y
z EM
FC --DB N
MN EN 1
2
MN BC =12
EF
BC =E
F M N E F B E ⊥⊥E F D E B EE FE ⋂=E
F B D E ⊥平面E
F E N ⊥M F M N ⊥DFC ∆
D F F C =M
CD M
F C D ⊥M FM NM =M
F B C D ⊥平面D E B E ⊥D E E F ⊥B EE FE ⋂=D
E B E
F ⊥平面E BE EF ED x y
z
设,则,，，， ∴ ，，， 设面的法向量， 则，取,得， 同理，得平面的法向量， 设二面角的平面角为，
则,
∴ 二面角
．
【点睛】本题考查面面垂直及线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角,考查基本分析求解能力，属中档题．
19。

随着科技的发展,网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人)
2B
C =()000E ，，()010F ，，()220C -，，()111M -，，()0,1,0E
F =()1,0,1F M =-()2,1,0C F =-E M
F (),,m x
y z =0
0m E F y m F M x z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩
1x =()1
,0,1m =CM F
()1
,2,1n =EM
FC --θ3
c o s 3
m n m n
θ⋅=
=⋅EM
FC --
（Ⅰ）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？
（Ⅱ）①现从所抽取女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为，求随机变量的数学期望和方差．
参考公式:
【答案】(Ⅰ）详见解析；(Ⅱ）①；②数学期望为6,方差为2.4。

【解析】 【分析】
(1）完成列联表，由列联表，得，由此能在犯错误的概率不超过0.01的
前提下认为我市市民网购与性别有关．
(2）① 由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有人，偶尔或不用网购的有
人,由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率．
② 由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，由题意，由此
能求出随机变量的数学期望和方差．
【详解】解：（1)完成列联表（单位：人）：
的X
X
()
()()()()2
2n a d b c K a b c d a c b d -=
++++49
60
2258.3336.6353K =≈>70
107
100⨯=30103100⨯
=22
⨯120
0.6
200
=100.6X B （，）
X
()E X ()D X
由列联表，得：
，
∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．
（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有人，
偶尔或不用网购的有
人，
∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：
．
② 由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，
将频率视为概率,
∴从我市市民中任意抽取一人,恰好抽到经常网购市民的概率为0.6,
由题意, ∴随机变量的数学期望， 方差D （X ）=． 【点睛】本题考查独立检验的应用,考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法,考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力,是中档题．
20.抛物线：，直线的斜率为2．
（Ⅰ)若与相切,求直线的方程；
()2
220050305070258.3336.635120*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯70
107
100
⨯=30103100
⨯
=2137373104960c c c P c +==
22
⨯120
0.6
200
=()100.6X B
，X
()100.66E
X =⨯=()100.60.42.4D
X =⨯⨯=C 2
y x =l
l
C l
（Ⅱ)若与相交于，，线段的中垂线交于,,求的
取值范围．
【答案】（Ⅰ)；(Ⅱ)。

【解析】 【分析】 （1）设直线的方程为，将直线与抛物线的方程联立，利用
求出的值，从而得出直线的方程;
(2）设点、、、，设直线的方程为,将直线的方程与抛物线的方程联立，由得出的范围，并列出韦达定理，
求出并求出线段的中点坐标,然后得出线段中垂线的方程，将直线的方程
与抛物线的方程联立,列出韦达定理并求出，然后得出的表达式，结合不等式的性
质求出这个代数式的取值范围． 【详解】解：（1）设直线的方程为，联立直线抛物线的方程
,得， ，所以,，
因此，直线的方程为； （2）设直线的方程为，设点、、、， 联立直线与抛物线的方程，得，，所以,．
由韦达定理得，． 所以，, 因为线段的中点为，所以,直线的方程为
,
l C
A B AB C P
Q
P Q
A B 2
1y x =-1,2⎛⎫+∞ ⎪
⎝⎭l
2y x b =+l C
∆=b l
()11A x
y ，()22B x y ，()33P x y ，()44Q x y ，l 2
y x b =+l
C
0∆=b
AB AB AB P Q P Q C
PQ P Q
A B l
2
y x b =+l C
22y x b
y x
=+⎧⎨=⎩2
20x x b -
-=440b ∆=+=1
b =-l 2
1y x =-l
2
y x b =+()11A x y ，()22B x y ，()33P x y ，()44Q x y ，l C
2
2y x b
y x
=+⎧⎨=⎩2
20x x b -
-=440b ∆=+>1
b >-122x
x +=12xx b =-12A
B xx =-=AB ()12
b +，P Q 15
22y x b
=-++
由
,得，由韦达定理得，
，
所以,,
所以，,
所以，的取值范围是．
【点睛】本题考查抛物线的综合问题,考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用,考查计算能力，属于中等题．
21.已知函数
，
（Ⅰ）当时,证明; （Ⅱ)已知点,点，设函数，当时，试判
断的零点个数．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ)2。

【解析】 【分析】
（Ⅰ）令，；则．易得，．即可证明；
（Ⅱ），分①,② ，③ 当时，讨
论的零点个数即可．
【详解】解：（Ⅰ )令，;
21522y x b
y x ⎧
=-++⎪⎨
⎪=⎩2
2
520x x b +--=341
2
x x +=-
3452x x b
=--34P Q x =-12P Q A
B >P Q
A B 1,2⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭()x
e f x x =
()()2l n gx x x =-0x >()()f x
g x >()(),P xx f x ,Qs i n x c o s x -（）()hx
O P O Q =⋅,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
()h x ()()()()2l n x e x f x g x x x x Φ=-=--0x >()()()2
12x
x e x x x --'Φ=20x e x -
>()()
120x e Φ≥Φ=->()()f x g x >()s i n c o s x
h
x O P O Q xx e x =⋅=-+,02x π⎡⎤∈-⎢⎥
⎣⎦0,4x π⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
,42x ππ⎛⎤∈ ⎥
⎝⎦
()h x ()()()()
2l n x
e
x f x g x x x x Φ=-=--0x >
则
．
令
, ，
易得在递减，在递增， ∴ ,∴在恒成立． ∵ 在递减，在递增． ∴ ． ∵； （Ⅱ ）∵ 点，点, ∴ , ． ① 当时，可知,∴ ∴ ，，
∴
． ∴ 在单调递增,，．
∴ 在上有一个零点， ② 当时,,，
∴ ，∴在恒成立，
∴ 在
无零点．
()()()
2
12x
x e x x x
--'Φ=
()()20x
G x e x x =->()()20x G x e x '=->()
G x ()02ln ，()2
l n +∞，()()l n 222l n 20G
xG ≥=->20x
e x ->()0+∞，()
x Φ()01，
()1+∞，()()120x e Φ
≥Φ=->()()f x
g x >()()P
x x f x ，()Q s i n xc o s x -,()s i n c o s x
h
x O P O Q xx e x =⋅=-+()()()
1s i n x x x x h x s i n x x c o s x e c o s x e s i n x e x c o s x e x '=--+-=--+,02x π⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
2
x e x x >>0x
e x ->(
)0x
e xc o s x -≥()10x
e s i n x +
≤()()()10x x h x e x c o s x e s i n x '=--+≥()
h x 02π⎡⎫
-⎪⎢⎣
⎭，()010h
=>02
h π
-<（）()h x 02π⎡⎤-⎢
⎥⎣⎦，0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
c
o s x s i n x ≥x
e x >c
o s s i n x
e x x x >()0h x >04π⎛⎤
⎥⎝⎦
，()h x ()04h x π⎛⎤ ⎥
⎝⎦在，04π⎛⎤
⎥⎝⎦
，
③ 当时,， ． ∴ 在单调递减，，．
∴ 在存在一个零点．
综上，的零点个数为2．．
【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于压轴题．
22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数），曲
线的极坐标方程为． （Ⅰ)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程； (Ⅱ）设点，直线与曲线相交于,,
求的值．
【答案】（Ⅰ）,。

【解析】 【分析】 （Ⅰ)由
(为参数)直接消去参数，可得直线的普通方程，把
两边同时乘以，结合
,可得曲线的直角坐标方程； （Ⅱ）把代入,化为关于
,42x ππ⎛⎤∈ ⎥
⎝⎦
42x ππ⎛⎤∈ ⎥
⎝⎦
当，0c
o s s i
n x x <<()()()
c o s s i n c o s s i n 0x
h x e xx x xx '=--+<()h x 04π⎛⎤
⎥⎝⎦，()42h x ππ⎛⎤ ⎥
⎝⎦
在，0
22h ππ
⎛⎫=-< ⎪⎝⎭4044h e π
ππ⎫⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎭()
h x 04π⎛⎤ ⎥⎝⎦
，()h x xOy l 112x y t
⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪
⎩t C
4c o s ρθ=
l C
()1,0P l
C
A
B
11
PA PB +
:10l x -=()22
:24Cx y -+=112x y t
⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪
⎩t t
c o s ρθ=4ρ
222
x y ρ=+x c o s ρ
θ=112x y t
⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪
⎩22
40x y x +
-=t
的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数的几何意义求解．
【详解】解：（Ⅰ ）由（为参数），消去参数，可得
．
∵,∴，即． ∴曲线的直角坐标方程为
;
（Ⅱ ）把代入，得． 设，两点对应的参数分别为，
则,． 不妨设，,
∴． 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程,考查参数方程化普通方程，明确直线参数方程中参数的几何意义是解题的关键，是中档题．
23。

已知函数． （Ⅰ)解关于的不等式；
（Ⅱ)若
恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）。

【解析】 【分析】
（I ）讨论的范围,去掉绝对值符号解不等式； （II)根据的单调性求出的最小值，得出关于的不等式，从而求出
t 112x y t
⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪
⎩t t 10x -=c o s ρθ=4
24c o s ρρθ=22
40x y x +-=()2
224x y -+=112x y t
⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪
⎩112x y t ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
2240x y x +-=2
30t -=A B
1t 2
t 12t t +123tt
=-10t <20t >12
12121111t t P
A P
B t t t t ++=+=t
()123f
x x x =-+-x
()4f x ≤()2
0f x m m -->m 111,3⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
()2,1-x ()
f x ()
f x m
m
的范围．
【详解】解:（I)当时,不等式为：，解得,故． 当时，不等式为：，解得，故1＜x ＜3， 当时，不等式为:，解得，故
．
综上，不等式的解集为．
（II ）由恒成立可得恒成立． 又
,故在上单调递减，在上单调递减，在上单调
递增， ∴的最小值为．
∴，解得． 即的最值范围是．
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，函数最值与函数恒成立问题，属于中档题．
1x ≤()1
234x x -+-≤1x ≥1x =13x <<()1234x
x -+-≤1x ≥13x <<3x ≥()1234x
x -+-≤11
3
x ≤
1133
x ≤≤
()4f x ≤111,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
()20f x m m -->()2
m m f x +
<()37,35,13
37,1x x f x x x x x -≥⎧⎪
=-+<<⎨⎪-+≤⎩()f x (],1-∞()1,3[)3,+∞()
f x ()32
f =2
2m m
+<21m -<<m
()2,1-。