2021-2022年九年级数学下期末模拟试卷带答案(2)

一、选择题
1．下列命题：①任意三点确定一个圆；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的弦相等；④长度相等的弧是等弧．其中真命题的有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2．如图，AB 是⊙O 的直径，∠BOD =120°，点C 为弧BD 的中点，AC 交OD 于点E ，DE =1，则AE 的长为（ ）
A ．3
B ．5
C ．23
D ．25 3．如图，30MAN ∠=︒，O 是MAN ∠内部一点，O 与MAN ∠的边AN 相切于点B ，与边AM 相交于点C ，D ，52AB =，作O
E CD ⊥于E ，3OB OE =，则弦CD 的长是（ ）
A ．22
B ．23
C ．4
D ．26
4．如图，四边形OABC 是平行四边形，以点O 为圆心，OA 为半径的⊙O 与BC 相切于点B ，CO 的延长线交⊙O 于点E ，连接AE ，若AB =2，则图中阴影的面积为（ ）．
A ．2π
B ．π
C ．22π
D 2π 5．对于二次函数2y x bx c =++(b ，c 是常数）中自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：
x
1- 0 1 2 3 4 y 10 5 2 1 2
5
下列结论错误的是（ ）
A ．函数图像开口向上
B ．当5x =时，10y =
C ．当2x >时，y 随x 的增大而增大．
D ．方程20x bx c ++=有两个不相等的实数
根
6．如图在平面直角坐标系中，点A 在抛物线245y x x =-+上运动.过点A 作AC x ⊥轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，则对角线BD 的最小值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
7．已知抛物线2y x bx c =-++的顶点在直线y=3x+1上，且该抛物线与y 轴的交点的纵坐标为n ，则n 的最大值为（ ）
A ．134
B ．154
C ．238
D ．258
8．已知二次函数24y x x m =-+的图象与x 轴有两个交点，若其中一个交点的横坐标为1，则另一个交点的横坐标为（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．2
D ．3 9．在Rt ABC △中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的余弦值（ ） A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．扩大4倍 D ．没有变化 10．如图，ABC ∆是等边三角形，点,D
E 分别在边,BC AC 上，且,BD CE AD =与BE 相交于点
F ．若7,1AF DF ==，则ABC ∆的边长等于（ ）
A 572
B 582
C 582
D 57211．如图，边长为3AOB 的顶点B 在x 轴的正半轴上，点C 为AOB 的中心，将AOB 绕点O 以每秒60︒的速度逆时针旋转，则第2021秒，AOB 的中心C 的对应点2021C 的坐标为（ ）
A ．()0,2-
B ．()3,1-
C ．()1,3
D ．()1,3- 12．在ΔABC 中，∠C ＝90º，AB ＝5，BC ＝3，则cos A 的值是（ ）
A ．34
B ．43
C ．35
D ．45
二、填空题
13．如图，在矩形ABCD 中，∠DBC=30º，DC=2，E 为AD 上一点，以点D 为圆心，以DE 为半径画弧，交BC 于点F ，若CF=CD ，则图中的阴影部分面积为______________．（结果保留π）
14．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设半径为1的圆的面积与其内接正n 边形的面积差为n ∆．如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，则182ΔΔ-=___________．
15．抛物线()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为
()4,0-，对称轴为1x =-，则0y >时，x 的取值范围________．
16．如图，抛物线y ＝x 2+1与双曲线y ＝k x 的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式 k x
+x 2+1＜0的解集是_______
17．如图，抛物线()()1244y x x =+-与x 轴交于A B 、两点，P 是以点()0,3C 为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 上靠近点A 的三等分点，连结OQ ，则线段OQ 的最大值是__________．
18．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC 的顶点A C 、的坐标分别是()0,3、3,0．90ACB ∠=︒，2AC BC =，反比例函数()0k y x x
=
>的图象经过点B ，则k 的值为________．
19．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 的中点，BAC ∠的平分线交CD 于点E ，22CE =ACE △沿AC 对折，得到ACF ，点G 为AE 的中
点，连结FG ，GB ．则四边形CFGB 的面积为_________．
20．如图，将矩形纸片ABCD 沿过点C 的直线折叠，使得点B 落在矩形内点B '处，折痕为CE ．
（1）点B '恰好为AC 中点时，AE BE 的值为______． （2）点B '在AC 上且D 、B '、E 在同一条直线上时，
AE BE 的值为______． 21．如图，ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则tan ACB ∠等于________．
22．如图，直角坐标系原点O 为Rt ABC ∆斜边AB 的中点，()90,5,0ACB A ∠=︒-，且1tan 2A =，反比例函数(0)k y k x
=≠经过点C ，则k 的值是_______．
三、解答题
23．如图，AB 是O 的直径，AD 是O 的弦，点F 是DA 延长线上的一点，过O 上
一点C 作O 的切线交DF 于点E ，AC 平分FAB ∠．
（1）求证：CE DF ⊥；
（2）若2,4AE CE ==，求O 的半径． 24．如图，O 的直径4AB cm =，AM 和BN 是它的两条切线，DE 与O 相切于点E ，并与AM ，BN 分别相交于D ，C 两点，设AD x =，BC y =，求y 关于x 的函数表达式，并在坐标系中画出它的图像．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过点(0,3)A -和点(3,0)B ，该抛物线的顶点为C ．
（1）求抛物线和直线AB 的解析式；
（2）连结,AC BC ，求CAB △的面积．
26．已知二次函数223(0)y mx mx m m =-->的图像与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B
左侧），顶点为C．
（1）求A，B两点的坐标；
BC AC，若ABC为等边三角形，求m的值．
（2）连接,
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
依次判断真假命题即可，可以通过找到相应的反例，去论证命题的正确性．
【详解】
解：①假命题，当三点在同一条直线上时，就不能确定一个圆了，故此项错误；
②真命题，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故此项正确；
③假命题，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故此项错误；
④假命题，在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故此项错误；
综上所述，②正确．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了确定圆的条件，垂径定理及圆周角定理等圆的一些基本的知识，解答此题的关键掌握理解圆的定义及性质．
2．A
解析：A
【分析】
连接AD，可证∠ODA=∠OAD=∠AOD=60°，根据弧中点，得出∠DAC=30°，△ADE是直角三角形，用勾股定理求AE即可．
【详解】
解：连接AD ，
∵∠BOD =120°，AB 是⊙O 的直径，
∴∠AOD =60°，
∵OA=OD ，
∴∠OAD =∠ODA =60°，
∵点C 为弧BD 的中点，
∴∠CAD =∠BAC =30°，
∴∠AED =90°，
∵DE =1，
∴AD=2DE=2，
AE =2222213AD DE -=-=，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了圆周角的性质、勾股定理，解题关键是通过连接弦构造直角三角形，并通过弧相等导出30°角．
3．C
解析：C
【分析】
延长BO 交AM 点F ，计算BF ，后计算OB ，OC ，OE ，最后，运用垂径定理计算即可.
【详解】
如图，延长BO 交AM 点F ，连接OC ，
∵O 与MAN ∠的边AN 相切，
∴∠ABF=90°，
∵30MAN ∠=︒，52AB =
∴BF=563
，∠AFB=60°，∠FOE=30°， 设EF=x ，则OF=2x ，3x ， ∵3OB OE =
， ∴OB=3x ，
∴5x=56， ∴x=6， ∴OB=3x=6，OE=3x =2，
∵OE CD ⊥，
∴在直角三角形OCE 中， CE=2262OC OE -=-=2，
根据垂径定理，得CD=2CE=4，
故选C.
【点睛】
本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，垂径定理，会用延长线段BO 构造特殊的直角三角形是解题的关键.
4．A
解析：A
【分析】
连接OB ，根据平行四边形的判定及平行线的性质得出2OF ⊥BE 于F ，根据=()OBE OEA OBE S S S
S S ---阴扇扇OEA 求解即可．
【详解】 解：连接OB ，∴OB=OE=OA ，
∵BC 与⊙O 相切于B ，
∴OB ⊥BC ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BC ∥OA ，OC ∥AB ，
∴∠BOA=∠OBC=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，OA=OB=2，即r=2， 作OF ⊥BE 于F ， ∵OA ∥BC ，
∴∠COB=∠OBA=45°，
∴∠EOB=180°-∠COB=180°-45°=135°，
∴2135(2)34OBE S ππ==扇形，112sin 22sin(135)22OBE S ab C ==⨯⨯⋅︒=，245(2)13604
OEA S ππ==扇形， ∴=()OBE OEA OBE S S S
S S ---阴扇扇OEA =32124242
ππ--+=21=42ππ， 故选A ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线． 5．D
解析：D
【分析】
根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：由表格可得，当x ＜2时，y 随x 的值增大而减小；当x ＞2时，y 随x 的值增大而增大，
该函数开口向上，故选项A 、C 不符合题意；
∴点（−1，10）的对称点是（5，10），
∴点（5，10）在该函数的图象上，故选项B 不符合题意；
由表格可得，该抛物线开口向上，且最小值是1，则该抛物线与x 轴没有交点， ∴方程20x bx c ++=无实数根，故选项D 符合题意．
故选：D ．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的
关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．D
解析：D
【分析】
先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（2，1），再根据矩形的性质得BD ＝AC ，由于AC 的长等于点A 的纵坐标，所以当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为2，从而得到BD 的最小值．
【详解】
解：∵y ＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，1），
∵四边形ABCD 为矩形，
∴BD ＝AC ，
而AC ⊥x 轴，
∴AC 的长等于点A 的纵坐标，
当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD 的最小值为1．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质．
7．A
解析：A
【分析】
将抛物线顶点坐标代入一次函数解析式，求出b 与c 的关系，再根据抛物线与y 轴交点的纵坐标为c ，即n c =，再利用二次函数的性质即可解答．
【详解】
抛物线2y x bx c =-++的顶点在3+1y x =上，抛物线2y x bx c =-++的顶点标为（2b 、2
4
b c +） ∴23142
b b
c +=+ 2
3124
b b
c ∴=+- 抛物线与y 轴交点的纵坐标为c
n c ∴=
2
3124
b b n ∴=+-
()21136944
n b b ∴=--++ ()2113344
n b ∴=--+ n ∴的最大值为
134 故选：A ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，函数图像上点坐标的特征，熟练掌握二次函数性质是解题关键．
8．D
解析：D
【分析】
函数的对称轴为：x=-
22b a =，一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（3，0），即可求解．
【详解】
解：∵二次函数y=x 2-4x+m 中a=1，b=-4，
∴函数的对称轴为：x=-22b a
=， ∵一个交点的坐标为（1，0）与另一个交点的坐标关于对称轴对称，
∴另一个交点的坐标为（3，0），即另一个交点的横坐标为3．
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 9．D
解析：D
【分析】
根据三角函数的定义和分数的基本性质联手解答即可．
【详解】
如图，cosA=BC AB
， 根据分数的基本性质，得
BC AB =22BC AB
， ∴余弦值不变，
故选D ．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义及其分数的基本性质，熟练掌握函数的定义，灵活运用分数的基本性质是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
先证明△ABD ≅△BCE ，推出∠BDA=∠FDB ，BE= DA=8，再证明△BDA ~△FDB ，利用相似三角形的性质求得BD=CE=22，作EG ⊥BC
于G ，根据解直角三角形的知识即可求解
【详解】
∵ABC ∆是等边三角形，，
∴AB=BC ，∠ABD=∠C=60︒，
在△ABD 和△BCE 中，60AB BC ABD C BD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△ABD ≅△BCE ，
∴∠BAD=∠CBE ，BE= DA=1+7=8，
∵∠BDA=∠FDB ，
∴△BDA ~△FDB ，
∴BD DA FD BD =，即171BD BD
+=， ∴BD=22，则CE=BD=22，
作EG ⊥BC 于G ，
∵∠C=60︒，
∴CG=CE ⋅1cos602222︒=⨯=，EG=CE ⋅3sin 60226︒=⨯=， 在Rt △BEG 中，BG=()22228658BE EG -=-
=，
∴BC= BG+ CG=582+，
故选：C
【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，等边三角形各边长相等、各内角为60°的性质．关键是利用了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质求解，有一定的综合性．
11．B
解析：B
【分析】
通过计算画出第2021秒，AOB 的位置，过C′作C′D ⊥x 轴于点D ，连接OC′，BC′，求出DC′的长，即可求解．
【详解】
∵360°÷60°=6，
∴
AOB 的位置6秒一循环，而2021=6×336+5，
∴第2021秒，AOB 的位置如图所示， 设点C 的对应点C′，过C′作C′D ⊥x 轴于点D ，连接OC′，BC′，则∠DOC′=30°，
OD=DB=3，
∴DC′=OD∙tan ∠DOC′=3×tan30°=3×
3=1， ∴C′()3,1-． 故选B ．
【点睛】
本题主要考查图形于=与坐标，等边三角形的性质，锐角三角函数，找到图形的变化规律，画出图形，是解题的关键．
12．D
解析：D
利用勾股定理可求出AC 的长，根据余弦函数的定义即可得答案．
【详解】
∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=22AB BC -=4， ∴cosA=AC AB =45． 故选：D ．
【点睛】
考查勾股定理及锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的余弦是角的邻边与斜边的比；熟练掌握各三角函数的定义是解题的关键.
二、填空题
13．【分析】连接由矩形ABCD 分别求解再求解从而可得答案【详解】解：连接矩形ABCD 故答案为：【点睛】本题考查的是矩形的性质等腰直角三角形的性质含的直角三角形的性质勾股定理的应用扇形的面积掌握以上知识是 解析：432.π-- 【分析】
连接DF ，由矩形ABCD ，30,2,DBC DC CF ∠=︒==分别求解,,,EDF DF BC ∠ 再求解43,,2DFC ABCD DEF S S S
π===矩形扇形，从而可得答案．
【详解】
解：连接DF ，
矩形ABCD ，30,2,DBC DC CF ∠=︒==
2290,4,45,2222,ADC BD DFC FDC DF ∴∠=︒=∠=∠=︒=+=
224223,904545,BC EDF ∴=-=∠=︒-︒=︒
(24522123243,,2223602
DFC ABCD DEF S S S ππ⨯∴=====⨯⨯=矩形扇形， 432.S π∴=-阴影
故答案为：32.π-
本题考查的是矩形的性质，等腰直角三角形的性质，含30的直角三角形的性质，勾股定理的应用，扇形的面积，掌握以上知识是解题的关键．
14．【分析】由题意△8-△12=（S 圆-S 八边形）-（S 圆-S 十二边形）=S 十二边形-S 八边形由此计算即可【详解】解：如图由题意△8-△12=（S 圆-S 八边形）-（S 圆-S 十二边形）=S 十二边形-S 八边 解析：322- 【分析】
由题意△8-△12=（S 圆-S 八边形）-（S 圆-S 十二边形）=S 十二边形-S 八边形，由此计算即可．
【详解】
解：如图，由题意，△8-△12=（S 圆-S 八边形）-（S 圆-S 十二边形）
=S 十二边形-S 八边形
=12×12×1×1×sin30°-8×12
×1×1×sin45° =3-22．
故答案为：3-22．
【点睛】
本题考查正多边形和圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15．或【分析】根据抛物线与x 轴的一个交点坐标和对称轴由抛物线的对称性可求抛物线与x 轴的另一个交点再根据抛物线的增减性可求当y ＜0时x 的取值范围【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）与x 轴的一
解析：4x <-或2x >
【分析】
根据抛物线与x 轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x 轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y ＜0时，x 的取值范围．
【详解】
解：∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴的一个交点坐标为（-4，0），对称轴为x=-1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（2，0），
由图象可知，当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜-4或x ＞2．
故答案为：x ＜-4或x ＞2．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点．
16．-1<x<0【分析】如图作抛物线y＝x2＋m关于x轴对称的抛物线y＝−x2−m 设抛物线y＝−x2−m与y＝的交点为A′由对称性可知A与A′关于原点对称推出A′点的横坐标为−1由图象可知＜−x2−m时
解析：-1<x<0
【分析】
如图作抛物线y＝x2＋m关于x轴对称的抛物线y＝−x2−m，设抛物线y＝−x2−m与y＝k
x
的
交点为A′，由对称性可知，A与A′关于原点对称，推出A′点的横坐标为−1，由图象可知k x
＜−x2−m时，x的取值范围为−1＜x＜0，由此即可解决问题．
【详解】
解：如图作抛物线y＝x2＋m关于x轴对称的抛物线y＝−x2−m，设抛物线y＝−x2−m与y＝k
x
的交点为A′，
由对称性可知，A与A′关于原点对称（两个抛物线、一个反比例函数的图象关于原点成中心对称），
∴A′点的横坐标为−1，
由图象可知k
x
＜−x2−m时，x的取值范围为−1＜x＜0，
∴k
x
＋x2＋m＜0的解集为−1＜x＜0.
故答案为：−1＜x＜0
【点睛】
本题考查二次函数与不等式、轴对称变换、中心对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
17．【分析】当BCP三点共线且C在BP之间时BP最大连接PB此时
△OAQ∽△BAP且相似比为1:3由此即可求得求出BP的最大值即可求解【详解】解：如下图所示连接BP当BCP三点共线且C在BP之间时BP最
解析：7 3
【分析】
当B、C、P三点共线，且C在BP之间时，BP最大，连接PB，此时△OAQ∽△BAP，且相
似比为1:3，由此即可求得13
=
OQ BP ，求出BP 的最大值即可求解． 【详解】 解：如下图所示，连接BP ，当B 、C 、P 三点共线，且C 在BP 之间时，BP 最大，
令()()12404=+-=y x x ，求得1224，==x x ， ∴B(4,0)，A(-2,0)， ∵21===63AO AQ AB AP
，且∠QAO=∠PAB ， ∴△OAQ ∽△BAP ， ∴13
=OQ BP ，故只要BP 最大，则OQ 就最大， 此时BP 最大值为：224327++=BC CP ， ∴OQ 的最大值为：
73． 【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点坐标，相似三角形的性质和判定，本题的关键是根据圆的基本性质，确定BP 的最大值，进而求解．
18．【分析】过作于求解再求解证明由可得再求解从而可得答案【详解】解：过作于由故答案为：【点睛】本题考查的是勾股定理的应用等腰直角三角形的判定与性质锐角三角函数的应用利用待定系数法求解反比例函数的解析式掌 解析：27.4
【分析】
过B 作BH OC ⊥于,H 求解2232,AC OA OC =+=
再求解32,2
BC = 证明,CH BH = 由cos ,CH BCH BC ∠= 2,32= 再求解3,2CH = 339,3,222
BH OH ==+= 从而可得答案． 【详解】
解：过B 作BH OC ⊥于,H 90,BHC AOC ∴∠=︒=∠
()()0,3,3,0,A B
3,OA OC ∴==
2232,AC OA OC ∴=+=
2,AC BC =
322
BC ∴= 90,45,ACB ACO ∴∠=︒∠=︒
45,BCH CBH ∠=︒=∠
,CH BH ∴=
由cos ,CH BCH BC
∠= 2232=
3,2
CH ∴= 339,3,222
BH OH ∴==+= 93,,22B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
3927.224k xy ∴==⨯= 故答案为：
27.4
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，掌握以上知识是解题的关键． 19．【分析】如图连接交于连接解直角三角形求出再根据求解即可【详解】解：如图连接交于连接是由翻折得到平分故答案为：【点睛】本题考查翻折变换解直角三角形等腰直角三角形的判定和性质三角形中线的性质等知识解题的 解析：1262+ 【分析】
如图，连接EF 交AC 于T ，连接BE ．解直角三角形求出CT ，ET ，DE ，AD ，CD ，AC ，再根据
()11222
AFG AGB AFC ACB AEC EFC AEB CFGB ABCE S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆=--=+-
--四边形四边形求解即可． 【详解】
解：如图，连接EF 交AC 于T ，连接BE ．
ACF ∆是由ACE ∆翻折得到，
EF AC ∴⊥，
90ACB ∠=︒，CA CB =，AD DB =，
CD AB ∴⊥，1452
ACD ACB ∠=∠=︒， 90CTE ∠=︒，
45ECT CET ∴∠=∠=︒，
22CT ET ∴===， ED AD ⊥，ET AC ⊥，AE 平分CAD ∠，
2ET ED ∴==，
222AD CD ∴==+224AC BC ==，
AG EG =，
AFG EFG S S ∆∆∴=，ABG EBG S S ∆∆=，
AFG AGB CFGB ABCF S S S S ∆∆∴=--四边形四边形
11(2)22
AFC ACB AEC EFC AEB S S S S S ∆∆∆∆∆=+---
211111114)2)[22)(422222222
=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯
12=+，
故答案为：12+
【点睛】
本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求四边形面积，属于中考常考题型．
20．【分析】（1）根据三角形的面积推出边的比即可得到结果；（2）根据余弦的定义和勾股定理即可得到结果；【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形∴∠B=90°当点恰好为中点时则设则由题知：∴∴∵△ABC 和△E
【分析】
（1）根据三角形的面积推出边的比即可得到结果；
（2）根据余弦的定义和勾股定理即可得到结果；
【详解】
（1）∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B=90°，
当点B '恰好为AC 中点时，2AC BC =
，则AB =
， 设BC x =，则2AC x =
，=
AB ， 由题知：EB AC '⊥，
∴△△△AEB B CE EBC S S S ''==，
∴△△2AEC EBC S S =，
∵△ABC 和△EBC 的高都是BC ，
设BC x =， ∴△△2AEC EBC
S AE BE S ==； 故答案是2．
（2）点B '在AC 上且D 、B '、E 在同一条直线上时，
设AB a ，BC b =，BE x =，
∵B E AC '⊥，
∴B D AC '⊥， ∴cos CD B C ACD AC CD
'∠==，
∴
a b
=，
4422a b a b =+，可得到：22b a =，
∴)()2
22b x a x -+=-，
∴22222222a b b x a ax x +-++=-+，
∴2222ax b =-，
∴)
2221ax a =--，
)
221ax a =--，
22222ax a a =-
+，
解得：x =，
∴AE a a a =-
=，
∴12
AE BE +=；
． 【点睛】
本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，结合余弦的定义计算是解题的关键．
21．3【分析】根据勾股定理以及网格结构可以求得ACABBCCD 的长然后根据等积法求得AE 的长再根据勾股定理可得到CE 的长然后根据正切函数的定义即可得到的值【详解】解：如图作CD ⊥AB 于点D 作AE ⊥BC 于
解析：3
【分析】
根据勾股定理以及网格结构，可以求得AC 、AB 、BC 、CD 的长，然后根据等积法求得AE 的长，再根据勾股定理可得到CE 的长，然后根据正切函数的定义即可得到tan ACB ∠的值．
【详解】
解：如图，作CD ⊥AB 于点D ，作AE ⊥BC 于点E ，
由已知可得，
，AB=5，，CD=3，
∵S △ABC =12AB•CD=12
BC•AE ，
∴AE=5335AB CD BC ⨯== ∴CE=2222(10)31AC AE -=-=
∴tan ∠ACB=
3AE CE
=， 故答案为：3．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22．【分析】作CD ⊥AB 于点D 由可设BC=xAC=2x 根据勾股定理即可求出BC 和AC 的值利用面积法求出CD 的值再利用勾股定理求出BD 的值得到点C 的坐标然后可求出k 的值【详解】如图作CD ⊥AB 于点D ∵为斜
解析：12
【分析】
作CD ⊥AB 于点D ．由1tan 2
A =可设BC=x ，AC=2x ，根据勾股定理即可求出BC 和AC 的值，利用面积法求出CD 的值，再利用勾股定理求出BD 的值，得到点C 的坐标，然后可求出k 的值．
【详解】
如图，作CD ⊥AB 于点D ．
∵()5,0A -，O 为Rt ABC ∆斜边AB 的中点，
∴()5,0B ，
∴OB=5，AB=10．
∵1tan 2A ==BC AC
， ∴可设BC=x ，AC=2x ，由勾股定理得
x 2+(2x)2=102，
∴x=25， ∴BC=25，AC=45，
∵1122
AC BC AB CD ⋅=⋅， ∴254510CD ⨯=，
∴CD=4，
∴BD=()22222542BC CD -=-=，
∴OD=5-2=3，
∴C(3，4)．
反比例函数(0)k y k x
=
≠经过点C ， ∴k=3×4=12．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了勾股定理，面积法求线段的长，锐角三角函数的定义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，求出点C 的坐标是解答本题的关键． 三、解答题
23．（1）见解析；（2）5．
【分析】
（1）连接BC 、OC ，根据切线及等腰三角形的性质得到∠B ＝∠ACE ，根据圆周角定理得到∠ACB ＝90°，利用直角三角形性质及角平分线定义可得∠ACE ＋∠CAE ＝90°，即可求出∠CEA ＝90°，则结论得证；
（2）根据勾股定理求出AC ，利用∠ACB ＝∠CEA ＝90°，∠B ＝∠ACE ，证明
△ACB ∽△AEC ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可求出
O 的半径．
【详解】
（1）证明：连接BC 、OC ，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCA＋∠ACE＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA＋∠OCB＝90°，
∴∠OCB＝∠ACE，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB，
∴∠B＝∠ACE，
∴∠B＋∠CAB＝90°，
∴∠ACE＋∠CAB＝90°，
∵AC平分∠FAB，
∴∠CAE＝∠CAB，
∴∠ACE＋∠CAE＝90°，
∴∠CEA＝90°，
∴CE⊥DF；
（2）解：∵∠CEA＝90°，
∴AC
==
∵∠ACB＝∠CEA＝90°，∠B＝∠ACE，
∴△ACB∽△AEC，
∴AB AC
AC AE
=，
2
=，
解得AB＝10，
∴⊙O的半径为5．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，掌握圆的切线的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24．
4
y
x
=（x＞0）；作图见解析；
【分析】
做辅助线构造直角三角形，运用勾股定理及切线的性质定理可求出y关于x的函数解析式，再运用描点法做出函数图像即可；
【详解】
如图，过点D作DF BC
⊥，
∵AD 、BC 分别是圆O 的切线，
∴90OAD OBF ∠=∠=︒，
又∵DF BC ⊥，
∴四边形ABFD 是矩形，
∴
4DF AB cm ==，BF AD =， ∵AD 、BC 、DC 分别是圆O 的切线， ∴DE DA x ==，CE CB y ==，CF y x =-，
∴DC x y =+， 由勾股定理得：222DC DF CF =+，
即()()2
224x y y x +=-+， 整理得：4xy =， ∴4y x
=， ∴y 关于x 的函数解析式为4y x
=
（x ＞0）； 如图，做图像：当1x =时，4y =；2x =时，2y =；4x =时，1y =； 过点()1,4，()2,2，()4,1，
在平面直角坐标系内连线可得函数图像，
【点睛】
本题主要考查了切线的性质和反比例函数的解析式求解和作图，准确分析判断是解题的关键．
25．（1）y=x 2-2x-3；y=x-3；（2）3
【分析】
（1）利用待定系数法求抛物线和直线AB 的解析式；
（2）过C 点作CD ∥y 轴交AB 于D ，如图，把一般式配成顶点式得到C （1，-4），再确定D 点坐标，然后利用三角形面积公式计算．
【详解】
解：（1）把A （0，-3）和B （3，0）代入y=ax 2
-2x+c 得3960c a c =-⎧⎨-+=⎩， 解得：13a c =⎧⎨=-⎩
， ∴抛物线的解析式为y=x 2-2x-3；
把A （0，-3）和B （3，0）代入y=kx+b 得330
b k b =-⎧⎨+=⎩， 解得：13
k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为y=x-3；
（2）过C 点作CD ∥y 轴交AB 于D ，如图，
∵y=x 2-2x-3=（x-1）2-4，
∴C （1，-4），
当x=1时，y=x-3=-2，则D （1，-2），
∴△CAB 的面积=12
×3×（-2+4）=3．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
26．（1）(1,0)A -，(3,0)B ；（2）32
m =
【分析】
（1）把y=0代入，解方程即可；
（2）求出顶点坐标，过C 作CD AB ⊥于D ，求出CD 即可．
【详解】
解：（1）2230mx mx m --=，
∵0m >，方程两边同时除以m 得，
2230x x --=
解得，13x =，21x =-
∴A ，B 两点的坐标分别为：(1,0)A -，(3,0)B ．
（2）抛物线223(0)y mx mx m m =-->的顶点横坐标为：212m x m
-=-
=， 把x=1代入223y mx mx m =--得，y=-4m ， 抛物线的顶点C 的坐标为：(1,4)C m -
由（1）得，AB=4，过C 作CD AB ⊥于D ， ∵
ABC 为等边三角形，
∴AD=2，AC=4， ∴22224223CD AC AD =-=-=
∵点C 在第四象限，
∴43m =∴3m =
． 【点睛】 本题考查求二次函数与x 轴交点，等边三角形的性质，解题关键是熟练的解一元二次方程，根据已知条件，找到坐标与线段的关系．。