【金版优课】高三数学人教A版选修2-1 模块综合检测1 Word版含解析

模块综合测试(一)
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若命题p ：∀x ∈R,2x 2＋1>0，则¬p 是( ) A ．∀x ∈R,2x 2＋1≤0 B ．∃x ∈R,2x 2＋1>0 C ．∃x ∈R,2x 2＋1<0 D ．∃x ∈R,2x 2＋1≤0 解析：¬p ：∃x ∈R,2x 2＋1≤0. 答案：D
2．不等式x －1
x >0成立的一个充分不必要条件是( )
A. －1<x <0或x >1
B. x <－1或0<x <1
C. x >－1
D. x >1
解析：本题主要考查充要条件的概念、简单的不等式的解法．画出直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 的图象，两图象的交点为(1,1)、(－1，－1)，依图知x －1
x >0⇔－1<x <0或x >1 (*)，显然x >1⇒(*)；但(*)x >1，故选D.
答案：D
3．[2014·西安模拟]命题“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题是( ) A ．若a ＋1≤b ，则a >b B ．若a ＋1<b ，则a >b C ．若a ＋1≤b ，则a ≤b D ．若a ＋1<b ，则a <b
解析：“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题为“若a ＋1≤b ，则a ≤b ”，故选C. 答案：C
4．[2014·山东省日照一中模考]下列命题中，为真命题的是( )
A. ∀x ∈R ，x 2－x －1>0
B. ∀α，β∈R ，sin(α＋β)<sin α＋sin β
C. 函数y ＝2sin(x ＋π5)的图象的一条对称轴是x ＝4
5
π
D. 若“∃x 0∈R ，x 2
0－ax 0＋1≤0”为假命题，则a 的取值范围为(－2,2)
解析：本题主要考查命题的判定及其相关知识的理解．因为x 2－x －1＝(x －12)2－54，所
以A 错误；当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 错误；当x ＝4π
5
时，y ＝0，故
C 错误；因为“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0”为假命题，所以“∀x ∈R ，x 2
－ax ＋1>0”为真命
题，即Δ<0，即a 2－4<0，解得－2<a <2，即a 的取值范围为(－2,2)．故选D.
答案：D
5．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2
＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的
另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )
A ．23
B ．6
C ．43
D ．12
解析：设椭圆的另一焦点为F ，由椭圆的定义知|BA |＋|BF |＝23，且|CF |＋|AC |＝23， 所以△ABC 的周长＝|BA |＋|BC |＋|AC | ＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝4 3. 答案：C
6．过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( ) A.x 22－y 2
4＝1 B.x 24－y 2
2＝1 C.y 24－x 2
2
＝1 D.y 22－x 2
4
＝1 解析：与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 22－y 2
＝λ，
由过点(2，－2)，可解得λ＝－2. 所以所求的双曲线方程为y 22－x 2
4＝1.
答案：D
7．若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双
曲线离心率的取值范围是( )
A ．e >2
B ．1<e < 2
C ．e >2
D ．1<e <2
解析：由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故c 2>a ，∴c a
>2. 答案：C
8．[2013·课标全国卷Ⅱ]一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为( )
解析：本题主要考查空间直角坐标以及三视图的有关知识．利用正方体模型，建立空间直角坐标系，根据点的坐标确定几何体形状，注意画三视图中的正视图时，是以zOx 平面为投影面，故选A.
答案：A
9．设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心
率等于( )
A.3 B ．2 C.5
D. 6
解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b
a x ，因为y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2
＋1±b a x ＝0只有一个实根，∴b 2
a 2－4＝0，∴c 2－a 2a
2＝4，
∴c 2
a 2＝5，∴e ＝ 5. 答案：C
10．已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )
A.1010
B.15
C.31010
D.35
解析：以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴和z 轴，建立如右图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1，则AA 1＝2，依题设有B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,2)，E (1,0,1)，
∴BE →＝(0，－1,1)，CD 1→
＝(0，－1,2)． ∴cos 〈BE →·CD 1→
〉＝0＋1＋22·5＝31010.
答案：C
11．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )
A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
解析：∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)． 设A (x 0，y 0)，如右图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)． ∵|AK |＝2|AF |，
又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2，
∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2
，
即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.
∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.
答案：B
12．[2013·浙江高考]如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2
＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、
B 分别是
C 1、C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )
A. 2
B. 3
C. 3
2
D.
62
解析：本题考查椭圆、双曲线的定义和简单的几何性质．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝
1(a >0，b >0) ①，点A 的坐标为(x 0，y 0)．
由题意a 2＋b 2＝3＝c 2 ②，|OA |＝|OF 1|＝3，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 20＋y 20＝3x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线C 2上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b 2 ③，联立②③解得a ＝2，所以e ＝c a ＝6
2
，故选D.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于__________．
解析：∵a ，b ，c 三向量共面，∴a ＝x b ＋y c (x ，y ∈R )， ∴(2，－1,3)＝x (－1,4，－2)＋y (7,5，λ)，∴λ＝65
7.
答案：657
14．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是__________．
解析：p 是假命题，则¬p 为真命题，¬p 为：∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0，所以有Δ＝4a 2－4a <0，即0<a <1.
答案：(0,1)
15．[2014·湖南省长沙一中月考]已知正三棱柱ABC －DEF 的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，若直线CF 上有一点N ，使MN ⊥AE ，则CN
CF
＝________.
解析：本题主要考查空间向量基本定理和数量积．设CN CF
＝m ，由于AE →＝AB →＋BE →，又CF →
＝AD →
MN →＝12BC →＋mAD →，又AE →·MN →＝0，
得12×1×1×(－12)＋4m ＝0，解得m ＝116. 答案：116
16．[2013·河北省邢台一中月考]F 1、F 2分别是双曲线x 216－y 2
9＝1的左、右焦点，P 为双
曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.
解析：本题主要考查双曲线定义及标准方程的应用．设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2⇒12×|PF 2|×r ＝12×|PF 1|×r －1
2λ×|F 1F 2|×r ⇒|PF 1|－|PF 2|＝
λ|F 1F 2|，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝4
5
.
答案：45
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2
x －3<0}，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)<0}．命
题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B .
(1)当a ＝1
2
时，p 是q 的什么条件？
(2)若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解：(1)A ＝{x |x －2
x －3<0}＝{x |2<x <3}，
当a ＝12时，B ＝{x |12<x <94}，
故p 是q 的既不充分也不必要条件．
(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B ， 由a 2＋2>a ，故B ＝{a |a <x <a 2＋2}，
∴⎩⎨⎧
a ≤2a 2＋2≥3
，解得a ≤－1或1≤a ≤2. 18．(12分)已知c >0，设p ：y ＝c x 为减函数；q ：函数f (x )＝x ＋1x >1c 在x ∈[1
2，2]上恒成
立，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求c 的取值范围．
解：由y ＝c x 为减函数，得0<c <1.
当x ∈[12，2]时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知：f (x )＝x ＋1x 在[1
2，2]上的最小值为
2，若q 真，则1c <2，即c >12.若p 真q 假，则0<c <1且c ≤12，所以0<c ≤1
2.若p 假q 真，则c ≥1
且c >12，所以c ≥1.综上：c ∈(0，1
2
]∪[1，＋∞)．
19．(12分)[2014·东北育才学校月考]如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝3，E 为BC 上一点，BE ＝2EC ，且DE ＝ 3.将梯形ABCD 沿DE 折成直二面角B －DE －C ，如图2所示．
(1)求证：平面AEC ⊥平面ABED ；
(2)设点A 关于点D 的对称点为G ，点M 在△BCE 所在平面内，且直线GM 与平面ACE 所成的角为60°，试求出点M 到点B 的最短距离．
解：(1)在图1中，由平面几何知识易知DE ⊥BC ， 在图2中，∵DE ⊥BE ，DE ⊥CE ， ∴∠BEC 是二面角B －DE －C 的平面角， ∵二面角B －DE －C 是直二面角，∴BE ⊥CE .
∵DE ∩BE ＝E ，DE ⊂平面ABED ，BE ⊂平面ABED ，∴CE ⊥平面ABED ，又CE ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面ABED .
(2)由(1)知DE ，BE ，CE 两两互相垂直，以E 为原点，分别以EB ，EC ，ED 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系E －xyz ，如图所示．则E (0,0,0)，A (1,0，3)，B (2,0,0)，C (0,1,0)，D (0,0，3)，G (－1,0，3)，EA →＝(1,0，3)，EC →
＝(0,1,0)．设平面ACE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨⎧
EA →·n ＝0EC
→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋3z ＝0
y ＝0
，取x ＝3，则z ＝－1，∴平面ACE 的一个法向量为
n ＝(3，0，－1)．
设M (x ，y,0)，则GM →
＝(x ＋1，y ，－3)． ∵直线GM 与平面ACE 所成的角为60°，
∴|GM →·n ||GM →|·|n |＝sin60°， 即
|3(x ＋1)＋3|2·(x ＋1)2＋y 2＋3
＝
3
2
，化简得y 2＝2x ， 从而有|MB |＝(x －2)2＋y 2＝
(x －2)2＋2x ＝
x 2－2x ＋4＝
(x －1)2＋3，
∴当x ＝1时，|MB |取得最小值3，即点M 到点B 的最短距离为 3.
20．(12分)已知椭圆x 29＋y 2
5＝1，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点A (1,1)为椭圆内一
点，点P 为椭圆上一点．求|P A |＋|PF 1|的最大值．
解：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， 所以|PF 1|＝6－|PF 2|，
这样|P A |＋|PF 1|＝6＋|P A |－|PF 2|.
求|P A |＋|PF 1|的最大值问题转化为6＋|P A |－|PF 2|的最大值问题， 即求|P A |－|PF 2|的最大值问题，
如图在△P AF 2中，两边之差小于第三边， 即|P A |－|PF 2|<|AF 2|，
连接AF 2并延长交椭圆于P ′点时， 此时|P ′A |－|P ′F 2|＝|AF 2|达到最大值， 易求|AF 2|＝2，
这样|P A |－|PF 2|的最大值为2， 故|P A |＋|PF 1|的最大值为6＋ 2.
21．(12分)已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，且抛物线x 2＝－42y 的焦点是椭圆M 的一个焦点，又点A (1，2)在椭圆M 上．
(1)求椭圆M 的方程；
(2)已知直线l 的方向向量为(1，2)，若直线l 与椭圆M 交于B 、C 两点，求△ABC 面积的最大值．
解：(1)由已知抛物线的焦点为(0，－2)， 故设椭圆方程为y 2a 2＋x 2
a 2－2
＝1.
将点A (1，2)代入方程得2a 2＋1
a 2－2
＝1，
整理得a 4－5a 2＋4＝0，解得a 2＝4或a 2＝1(舍去)． 故所求椭圆方程为y 24＋x 2
2＝1.
(2)设直线BC 的方程为y ＝2x ＋m ， 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，
代入椭圆方程并化简得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0， 由Δ＝8m 2－16(m 2－4)＝8(8－m 2)>0， 可得m 2<8.
由x 1＋x 2＝－2
2m ，x 1x 2＝m 2－44，
故|BC |＝3|x 1－x 2|＝
3×
16－2m 2
2.
又点A 到BC 的距离为d ＝|m |3
， 故S △ABC ＝1
2
|BC |·d ＝
m 2(16－2m 2)
4
≤1
42×2m 2＋(16－2m 2)
2＝ 2.
因此△ABC 面积的最大值为 2.
22．(12分)[2014·广东省广州六中期末考试]如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD ∥BC ，∠ABC ＝∠P AD ＝90°，侧面P AD ⊥底面ABCD .若P A ＝AB ＝BC ＝1
2
AD .
(1)求证：CD ⊥平面P AC ；
(2)侧棱P A 上是否存在点E ，使得BE ∥平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由；
(3)求二面角A －PD －C 的余弦值．
解：因为∠P AD ＝90°，所以P A ⊥AD .又因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，且侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，所以P A ⊥底面ABCD .又因为∠BAD ＝90°，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设AD ＝2，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)． (1)AP →＝(0,0,1)，AC →＝(1,1,0)，CD →
＝(－1,1,0)，
可得AP →·CD →＝0，AC →·CD →＝0，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD .又因为AP ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P AC .
(2)设侧棱P A 的中点是E ，则E (0,0，12)，BE →＝(－1,0，1
2)．设平面PCD 的法向量是n
＝(x ，y ，z )，则⎩⎨
⎧
n ·CD →
＝0
n ·
PD →＝0，因为CD →＝(－1,1,0)，PD →
＝(0,2，－1)，所以⎩⎪⎨
⎪⎧
－x ＋y ＝02y －z ＝0
，
取x ＝1，则y ＝1，z ＝2，所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(1,1,2)．所以n ·BE →
＝(1,1,2)·(－1,0，12
)＝0，所以n ⊥BE →.
因为BE ⊄平面PCD ，所以BE ∥平面PCD .
(3)由已知，AB ⊥平面P AD ，所以AB →
＝(1,0,0)为平面P AD 的一个法向量． 由(2)知，n ＝(1,1,2)为平面PCD 的一个法向量．
爱看书的康强
爱看书的康强 设二面角A －PD －C 的大小为θ，由图可知，θ为锐角，所以cos θ＝|n ·AB →||n ||AB →|
＝|(1，1，2)·(1，0，0)|6×1
＝66. 即二面角A －PD －C 的余弦值为
66
.。