物理必修2及选修3-1第一章典型例题

物理必修2及选修3-1第一章典型例题
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
《曲线运动》
1、关于曲线运动，下列说法中正确的是（）
A. 曲线运动一定是变速运动
B. 变速运动一定是曲线运动
C. 曲线运动可能是匀变速运动
D. 变加速运动一定是曲线运动
【解析】AC.曲线运动的速度方向沿曲线的切线方向，一定是变化的，所以曲线运动一定是变速运动。

变速运动可能是速度的方向不变而大小变化，则可能是直线运动。

当物体受到的合力是大小、方向不变的恒力时，物体做匀变速运动，但力的方向可能与速度方向不在一条直线上，这时物体做匀变速曲线运动。

做变加速运动的物体受到的合力可能大小不变，但方向始终与速度方向在一条直线上，这时物体做变速直线运动。

2、质点在三个恒力F1、F2、F3的共同作用下保持平衡状态，若突然撤去F1，而保持F2、F3不变，则质点（）
A．一定做匀变速运动B．一定做直线运动
C．一定做非匀变速运动D．一定做曲线运动
【解析】A.质点在恒力作用下产生恒定的加速度，加速度恒定的运动一定是匀变速运动。

由题意可知，当突然撤去F1而保持F2、F3不变时，质点受到的合力大小为F1，方向与F1相反，故一定做匀变速运动。

在撤去F1之前，质点保持平衡，有两种可能：一是质点处于静止状态，则撤去F1后，它一定做匀变速直线运动；其二是质点处于匀速直线运动状态，则撤去F1后，质点可能做直线运动（条件是F1的方向和速度方向在一条直线上），也可能做曲线运动（条件是F1的方向和速度方向不在一条直线上）。

3、关于运动的合成，下列说法中正确的是（）
A. 合运动的速度一定比分运动的速度大
B. 两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线运动
C. 两个匀变速直线运动的合运动不一定是匀变速直线运动
D. 合运动的两个分运动的时间不一定相等
【解析】C.根据速度合成的平行四边形定则可知，合速度的大小是在两分速度的和与两分速度的差之间，故合速度不一定比分速度大。

两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。

两个匀变速直线运动的合运动是否是匀变速直线运动，决定于两初速度的合速度方向是否与合加速度方向在一直线上。

如果在一直线上，合运动是匀变速直线运动；反之，是匀变速曲线运动。

根据运动的同时性，合运动的两个分运动是同时的。

4、质量m=0.2kg的物体在光滑水平面上运动，其分速度v x和v y随时间变化的图线如图所示，求：
(1)物体所受的合力。

(2)物体的初速度。

(3)判断物体运动的性质。

(4)4s末物体的速度和位移。

【解析】根据分速度v x和v y随时间变化的图线可知，物体在x轴上的分
运动是匀加速直线运动，在y轴上的分运动是匀速直线运动。

从两图线
中求出物体的加速度与速度的分量，然后再合成。

(1) 由图象可知，物体在x轴上分运动的加速度大小a x=1m/s2，在y轴上分运动的加速度为0，故物体的合加速度大小为a=1m/s2，方向沿x轴的正方向。

则物体所受的合力 F=ma=0.2×1N=0.2N，方向沿x轴的正方向。

(2) 由图象知，可得两分运动的初速度大小为 v x0=0，v y0=4m/s，故物体的初速度
2
2020040+=+=y x v v v m/s=4m/s ，方向沿y 轴正方向。

(3)根据（1）和（2）可知，物体有y 正方向的初速度，有x 正方向的合力，则物体做匀变速曲线运动。

(4) 4s 末x 和y 方向的分速度是v x =at =4m/s ，v y =4m/s ，故物体的速度为 v=
s m v v y x /24442222=+=+，方向与x 正向夹角θ，有tan θ= v y / v x =1。

x 和y 方向的分位移是 x=at 2/2=8m ，y=v y t =16m ，则物体的位移为 s=
5822=+y x m ，方向与x 正向的夹角φ ，有tan φ=y/x=2。

5、已知某船在静水中的速率为v 1＝4m/s ，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d ＝100m ，河水的流动速度为v 2＝3m/s ，方向与河岸平行。

试分析：
⑴ 欲使船以最短时间渡过河去，航向怎样最短时间是多少到达对岸的位置怎样船发生的位移是多大 ⑵ 欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样渡河所用时间是多少 【解析】 ⑴ 根据运动的独立性和等时性，当船在垂直河岸方向上的分速度v ⊥最大时，渡河所用时间最短，设船头指向上游且与上游河岸夹角为α，其合速度v 与分运动速度v 1、v 2的矢量关系如图1所示。

河水流速v 2平行于河岸，不影响渡河快慢，船在垂直河岸方向上的分速度v ⊥＝v 1sin α，则船渡河所用时间为 t ＝
α
sin 1v d 。

显然，当sin α＝1即α＝90°时，v ⊥最大，t 最小，此时船身垂直于河岸，船头始终指向正对岸，但船实际的航向斜向下游，如图2所示。

渡河的最短时间 t min ＝
1
v d
＝
100
4
s ＝25s 。

船的位移为 s ＝v t ＝
⋅+2
221v v t min ＝2
234+×25m ＝125m 。

船渡过河时已在正对岸的下游A 处，其顺水漂流的位移为
x ＝v 2t min ＝
1
2v d
v ＝
3×100
4
m ＝75m 。

⑵ 由于v 1＞v 2，故船的合速度与河岸垂直时，船的渡河距离最短。

设此时船速v 1的方向（船头的指向）斜向上游，且与河岸成θ角，如图6－34所示，则
cos θ＝
1
2
v v ＝3
4
，θ＝41°24′。

船的实际速度为 v 合＝
22
21v
v -＝42－32 m/s ＝7 m/s 。

故渡河时间 t ′＝d v 合 ＝1007 s ＝1007
7 s ≈38s 。

图6－34
图1
2图2
6、如图所示为频闪摄影方法拍摄的研究物体做平抛运动规律的照片，图中A 、B 、C 为三个同时由同一点出发的小球。

AA ′为A 球在光滑水平面上以速度v 运动的轨迹； BB ′为B 球以速度v 被水平抛出后的运动轨迹；CC ′为C 球自由下落的运动轨迹。

通过分析上述三条轨迹可得出结论： 。

【解析】观察照片，B 、C 两球在任一曝光瞬间的位置总在同一水平线上，说明平抛运动物体B 在竖直方向上的运动特点与自由落体运动相同；而A 、B 两小球在任一曝光瞬间的位置总在同一竖直线上，说明平抛运动物体B 在水平方向上的运动特点与匀速直线运动相同。

所以，得到的结论是：做平抛运动的物体在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动。

7、在研究平抛运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长L ＝1.25cm ，若小球在平抛运动途中的几个位置如图中a 、b 、c 、d 所示，则小球平抛的初速度为v 0＝ （用L 、g 表示），其值是 。

（g 取9.8m/s 2）
【解析】由水平方向上ab ＝bc ＝cd 可知，相邻两点的时间间隔相等，设为T ，竖直方向相邻两点间距之差相等，Δy ＝L ，则由 Δx ＝aT 2，得
T ＝
L
g。

时间T 内，水平方向位移为x ＝2L ，所以 v 0＝t
x ＝2Lg 8.90125.02⨯⨯=
m/s ＝0.70m/s 。

8、飞机在2km 的高空以360km/h 的速度沿水平航线匀速飞行，飞机在地面上观察者的正上方空投一包裹。

（g 取10m/s 2，不计空气阻力）
⑴ 试比较飞行员和地面观察者所见的包裹的运动轨迹。

⑵ 包裹落地处离地面观察者多远离飞机的水平距离多大
⑶ 求包裹着地时的速度大小和方向。

提示 不同的观察者所用的参照物不同，对同一物体的运动的描述一般是不同的。

【解析】 ⑴ 从飞机上投下去的包裹由于惯性，在水平方向上仍以360km/h 的速度沿原来的方向飞行，与飞机运动情况相同。

在竖直方向上同时进行自由落体运动，所以飞机上的飞行员只是看到包裹在飞机的正下方下落，包裹的轨迹是竖直直线；地面上的观察者是以地面为参照物的，他看见包裹做平抛运动，包裹的轨迹为抛物线。

⑵ 抛体在空中的时间t ＝
s 10
2000
22⨯=g h ＝20s 。

在水平方向的位移 x ＝v 0t ＝
m 206.3360⨯＝2000m ，即包裹落地位置距观察者的水平距离为2000m 。

包裹在水平方向与飞机的运动情况完全相同，所以，落地时包裹与飞机的水平距离为零。

⑶ 包裹着地时，对地面速度可分解为水平方向和竖直方向的两个分速度，
v x ＝v 0＝100m/s ，v y ＝gt ＝10×20m/s ＝200m/s ，
故包裹着地速度的大小为
v t ＝
2
22
2200100+=+y x v v m/s ＝100 5 m/s ≈224m/s 。

C ′
而 tan θ＝
x
y v v ＝
100
200
＝2，故着地速度与水平方向的夹角为θ＝arctan2。

9、如图，高h 的车厢在平直轨道上匀减速向右行驶，加速度大小为a ，车厢顶部A 点处有油滴滴下落到车厢地板上，车厢地板上的O 点位于A 点的正下方，则油滴的落地点必在O 点的 （填“左”或“右”）方，离O 点的距离为 。

【解析】因为油滴自车厢顶部A 点脱落后，由于惯性在水平方向具有与车厢相同的初速度，因此油滴做平抛运动，水平方向做匀速直线运动 x 1＝vt ，
竖直方向做自由落体运动h ＝1
2
gt 2，
又因为车厢在水平方向做匀减速直线运动，所以车厢（O 点）的位移为 x 2＝vt －1
2 at 2。

如图所示 x ＝x 1－x 2h g
a g h a at =⋅==
221212， 所以油滴落地点必在O 点的右方，离O 点的距离为 a
g
h 。

10、如图所示，两个相对斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。

若不计空气阻力，则A 、B 两个小球的运动时间之比为（ ）
A.1:1
B.4:3
C.16:9
D.9：16 【解析】D 由平抛运动的位移规律可知：
t
v x 0=
2
21gt y =
∵
x y /tan =θ ∴g v t /tan 20θ= ∴
16
9
53tan 37tan =︒︒=B A t t
11、如图在倾角为θ的斜面顶端A 处以速度V 0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B 处，设空气阻力不计，求（1）小球从A 运动到B 处所需的时间；（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？
【解析】（1）小球做平抛运动，同时受到斜面体的限制，设从小球从A 运动到B 处所需的时间为t ，
水平位移为x=V 0t 竖直位移为y=
22
1gt 由数学关系得:
g
V t t V gt θθtan 2,tan )(21002
==
（2）从抛出开始计时，经过t 1时间小球离斜面的距离达到最大,当小球的速度与斜面平行时，小球离斜面的距离达到最大。

因V y1=gt 1=V 0tan θ,所以g
V t θ
tan 01=。

A O
A x 1
x 2 x
O
12、如图所示，两个小球固定在一根长为l 的杆的两端，绕杆上的O 点做圆周运动。

当小球A 的速度为v A 时，小球B 的速度为v B ，则轴心O 到小球A 的距离是（ ） A. l v v v B A
A )(+ B.
B
A A v v l v + C.
A B A v l v v )(+ D. B
B A v l
v v )(+
【解析】B.设轴心O 到小球A 的距离为x ，因两小球固定在同一转动杆的两端，故两小球做圆周运动的角速度相同，半径分别为x 、l －x 。

根据r
v =
ω
有 x
l v
x v B A -=，解得 B A A v v l v x +=
，
13、如图所示的皮带传动装置中，右边两轮固定在一起同轴转动，图中A 、B 、C 三轮的半径关系为r A ＝r C ＝2r B ，设皮带不打滑，则三轮边缘上的一点线速度之比v A ∶v B ∶v C ＝ ，角速度之比ωA ∶ωB ∶ωC ＝ 。

【解析】A 、B 两轮由皮带带动一起转动，皮带不打滑，故A 、B 两轮边缘上各点的线速度大小相等。

B 、C 两轮固定在同一轮轴上，同轴转动，角速度相等。

由v ＝rω可知，B 、C 两轮边缘上各点的线速度大小不等，且C 轮边缘上各点的线速度是B 轮边缘上各点线速度的两倍，故有 v A ∶v B ∶v C ＝1∶1∶2。

A 、
B 两轮边缘上各点的线速度大小相等，同样由v ＝rω可知，它们的角速度与半径成反比，即 ωA ∶ωB ＝r B ∶r A ＝1∶2。

因此ωA ∶ωB ∶ω
C =1∶2∶2
14、雨伞边缘半径为r ，且高出水平地面的距离为h ，如图所示，若雨伞以角速度ω匀速旋转，使雨滴自雨伞边缘水平飞出后在地面上形成一个大圆圈，则此圆圈的半径R 为多大？
【解析】作出雨滴飞出后的三维示意图，如图所示。

雨滴飞出的速度大小 v ＝rω，在竖直方向上有h ＝1
2
gt 2，在水平方向上有 s ＝vt ，又由几何关系可得 R ＝
2
2s r +，
联立以上各式可解得雨滴在地面上形成的大圆圈的半径 R ＝ r
g
h g g 222ω+。

15、关于向心加速度，以下说法中正确的是（ ）
A. 向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B. 向心加速度的方向保持不变
C. 物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D. 物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
【解析】AD.向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向。

所以，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变。

物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向就不始终指向圆心。

16、如图所示，A 、B 两轮同绕轴O 转动，A 和C 两轮用皮带传动，A 、B 、C 三轮的半径之比为2∶3∶3，a 、b 、c 为三轮边缘上的点。

求：
⑴ 三点的线速度之比；
A B
v A v B O
A
B
C
r A
r B
r C B C
A
a
O
⑵ 三点转动的周期之比； ⑶ 三点的向心加速度之比。

【解析】⑴ 因A 、B 两轮同绕轴O 转动，所以有ωa ＝ωb ，由公式v ＝ωr 可知 v a ∶v b ＝(ωa r a )∶(ωb r b )＝r a ∶r b ＝2∶3。

因为A 和C 两轮用皮带传动，所以有 v a ＝v c ，
综上所述可知三轮上a 、b 、c 三点的线速度之比 v a ∶v b ∶v c ＝2∶3∶2。

⑵ 因为ωa ＝ωb ，所以有T a ＝T b 。

因为v a ＝v c ，根据T ＝
2πr
v
可得 T a ∶T c ＝r a ∶r c ＝2∶3，
所以三点转动的周期之比 T a ∶T b ∶T c ＝2∶2∶3。

⑶ 根据向心加速度公式a ＝v 2
R
可得三点的向心加速度之比
a a ∶a
b ∶a
c ＝
a
a
r v 2∶b
b r v 2∶c
c r v 2＝42 ∶93 ∶4
3
＝6∶9∶4。

17、如图所示，将一质量为m 的摆球用长为L 的细绳吊起，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆。

关于摆球的受力情况，下列说法中正确的是（ ）
A ．摆球受重力、拉力和向心力的作用
B ．摆球受拉力和向心力的作用
C ．摆球受重力和拉力的作用
D ．摆球受重力和向心力的作用
【解析】C.物体只受重力G 和拉力F T 的作用，而向心力F 是重力和拉力的合力，如图所示。

也可以认为向心力就是F T 沿水平方向的分力F T2，显然，F T 沿竖直方向的分力F T1与重力G 平衡。

18、如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥形筒固定不动，有两个质量相等的小球A 和B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是（ ）
A ．A 球的线速度必定大于
B 球的线速度 B ．A 球的角速度必定小于B 球的线速度
C ．A 球的运动周期必定小于B 球的运动周期
D ．A 球对筒壁的压力必定大于B 球对筒壁的压力
【解析】AB.小球A 或B 的受力情况如图，两球的向心力都来源于重力G 和支持力F N 的合力，建立坐标系，有F N1＝F N sin θ＝mg ，F N2＝F N cos θ＝F ，
所以 F ＝mg cot θ，即小球做圆周运动所需的向心力，可见A 、B
相等。

比较两者线速度大小时，由F ＝m v 2
r 可知，r 越大，v 一定较大。

比较两者角速度大小时，由F ＝mrω2可知，r 越大，ω一定较小。

比较两者的运动周期时，由F ＝mr (
2πT
)2
可知，r 越大，T 一定较大。

由受力分析图可知，小球A 和B 受到的支持力F N 都等于
mg sinθ。

F
19、一细杆与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细杆一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m ＝0.5kg ，水的重心到转轴的距离l ＝50cm 。

⑴ 若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；
⑵ 若在最高点水桶的速率v ＝3m/s ，求水对桶底的压力。

【解析】 ⑴ 以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提
供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小。

此时有 mg ＝m
l
v 20
，则所求的最
小速率为 v 0＝
gl
＝
5.010⨯m/s ＝2.24m/s 。

⑵ 在最高点，水所受重力mg 的方向竖直向下，此时水具有向下的向心加速度，处于失重状态，其向心加速度的大小由桶底对水的压力和水的重力决定。

由向心力公式F ＝m v 2
r 可知，当v 增大时，物体做圆周运动所需的向心力也随之增大，由于v ＝3m/s ＞
v 0＝2. 24m/s ，因此，当水桶在最高点时，水所受重力已不足以提供水做圆周运动所需的向心力，此时桶底对水有一向下的压力，设为F N ，则由牛顿第二定律有 F N ＋mg ＝m v 2
r
，
故 F N ＝m v 2
r
－mg N 105.0N 5
.035.02
⨯-⨯=＝4N 。

20. 如图所示为录音机在工作时的示意图，轮子1是主动轮，轮子2为从动轮，轮1和轮2就是磁带盒内的两个转盘，空带一边半径为r 1=0.5 cm ，满带一边半径为r 2=3cm ，已知主动轮转速不变，恒为n l =36r ／min ，试求：
（1）从动轮2的转速变化范围；
（2）磁带运动的速度变化范围。

解析：本题应抓住主动轮（r 1）的角速度恒定不变这一特征，再根据同一时刻两轮磁带走动的线速度相等，从磁带转动时半径的变化来求解。

（1）因为v=rω，且两轮边缘上各点的线速变相等，所以r 26022n π=r 16021
n π，即n 2=21r r n 1
当r 2=3cm 时，从动轮2的转速最小，n min =min
/3635
.0r ⨯=6r ／min.当磁带走完即r 2=0.5cm ，
r 1
=3cm 时，从动轮2的转速最大，为n 2max
=21
r r n 1
=min /365.03
r ⨯=216r ／min ，故从动轮2的转速变化
范围是6r ／min ～216r ／min 。

（2）由v=r 12πn l 得知：r 1=0.5cm 时，v 1=0.5×10-2×2π×6036
m/s=0.019m/s
r 1=3cm 时，v 2=3×10-2×2π×6036
=0.113m ／s 。

故磁带运动的速度变化范围是0.0 l 9m ／s ～0.1 1 3 m ／s 。

21. 一半径为R 的雨伞绕柄以角速度ω匀速旋转，如图所示，伞边缘距地面高h ，甩出的水滴在地面上形成一个圆，求此圆半径r 为多少
解析：雨滴飞出的速度大小为v=ωR ， ①
雨滴做平抛运动。

在竖直方向上有 h=221gt ② 在水平方向上有 S=vt ③
由几何关系知，雨滴半径 r=2
2s R + ④ 解以上几式得 r=R
g h
221ω+
22. 如图所示，一个球绕中心轴线'OO 的角速度ω做匀速圆周转动，则（ ）
A. a 、b 两点线速度相同
B. a 、b 两点角速度相同
C. 若θ=30º，则a 、b 两点的速度之比v a ：v b =3：2
D. 若θ=30º，则a 、b 两点的向心加速度之比a a ：a b =3：2
解析：由于a 、b 两点在同一球上，因此a 、b 两点的角速度ω相同，选项B 正确.而据v=ωr.可知
v a <v b ，选项A 错误.由几何关系有r a =r b ·cosθ，当θ=30º时，r a =23
r b ，则v a ：v b =3：2，选项C 正确，由
a=ω2r ，可知a a ：a b =r a ：r b =3：2，选项D 正确。

23. 如图所示，定滑轮的半径r=2cm ，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a=2m/s 2做匀加速运动，在重物由静止下落距离为1 m 的瞬间，滑轮边缘上的点的角速度ω= rad ／s ，向心加速度a= m/s 2。

（滑轮质量不计）
解析：根据机械能守恒有mgh=221mv
，v=2m ／s 。

显然，滑轮边缘上每一点的线速度也都是2m/s ，故滑轮转动的角速度，即滑轮边缘上每一点的
转动角速度为 ω=r v =02.02
rad/s=100rad ／s ，
向心加速度为 a=ω2r=1002×0.02m/s 2=200m ／s 2
24. 如图所示是生产流水线上的皮带传输装置，传输带上等间距地放着很多半成品产品。

A 轮处装有光电计数器，它可以记录通过A 处的产品数目。

已知测得轮A 、B 的半径分别为r A =20cm ，r B =l0cm ，相邻两产品距离为30cm ，lmin 内有41个产品通过A 处，求： （1）产品随传输带移动的速度大小；
（2）A 、B 轮轮缘上的两点P 、Q 及A 轮半径中点M 的线速度和角速度大小，并在图中画出线速度方向；
（3）如果A 轮是通过摩擦带动C 轮转动，且r C =5 cm ，在图中描出C 轮的转动方向，求出C 轮的角速度（假设轮不打滑）。

25. 如图所示，直径为d 的纸制圆筒以角速度ω绕垂直纸面的轴O 匀速运动（图示为
截面）。

从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒。

若子弹在圆筒旋转不到半周时，在圆周上留下a 、b 两个弹孔，已知aO 与bO 夹角为θ，求子弹的速度。

24. 解析：（1）v=t s =6030
.040⨯m/s=0.2m/s
（2）v P =v Q =0.2m ／s 。

A 轮半径上的M 点与P 点的角速度相等，故
v M =21v P =21
×0.2m ／s=0.1m/s ωP =ωM =
A
P
r v =2.02
.0rad ／s=lrad ／s ，ωQ =2ωP =2rad ／s
（3）C 轮的转动方向如图所示，如果两轮间不打滑，则它们的接触处是相对
静止的，即它们轮缘的线速度大小是相等的，所以ωC r C =ωA r A 。

C 轮的角速度ωC
=C
A r r ωA =05.02
.0·1rad ／s=4rad ／s
答案：（1）0.2m/s （2）v P =v Q =0.2m/s ，v M =0.1m/s =M W ωP =1 rad ／s ωQ =2rad ／s
（3）ωC =4rad ／s
25. 解析：设子弹速度为v ，则子弹穿过筒的时间 t=v
d
此时间内筒转过的角度 α=π—θ 据α=ωt ，得 π一θ=ωv
d
，
则子弹速度 v=θπω-d
本题中若无角度的限制，则在时间t 内转过的角度 α=2nπ+π一θ=π（2n+1）一θ
α=2nπ十π一θ=π（2n+1）一θ
则子弹速度 v=))(12(θπω-+n d
（n=0，1，2，…）
万有引力
【1】天体的质量与密度的估算 下列哪一组数据能够估算出地球的质量
A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离
B.地球表面的重力加速度与地球的半径
C.绕地球运行卫星的周期与线速度
D.地球表面卫星的周期与地球的密度 解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。

月球也是地球的一颗卫星。

设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r
根据万有引力定律：r T 4m
r Mm G 2
22π=……①得：23
2G T r 4M π=……②可见A 正确
而T
r
2v
π=
……由②③知C 正确 对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④
由于3
R 4M 3
π=
ρ……⑤结合②④⑤得： G
3T
2
π
=
ρ 可见D 错误 球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力 由2
R
Mm
G mg =得：G g R M 2=可见B 正确
【2】普通卫星的运动问题
我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。

“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h ，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是赤道平面,周期为24 h 。

问：哪颗卫星的向心加速度大哪颗卫星的线速度大若某天上午8点，“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号”下次通过该岛上空的时间应该是多少？
解析：由开普勒第三定律T 2∝r 3知：“风云二号”卫星的轨道半径较大
又根据牛顿万有引力定律r v m
ma r
Mm G 2
2==得：
2r M
G
a =，可见“风云一号”卫星的向心加速度大， r
GM v =，可见“风云一号”卫星的线速度大，
“风云一号”下次通过该岛上空，地球正好自转一周，故需要时间24h ，即第二天上午8点钟。

【探讨评价】由万有引力定律得：2
M
a G r
=，v =
ω=
2T =得：
【3】同步卫星的运动
下列关于地球同步卫星的说法中正确的是：
A 、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上
B 、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h
C 、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上
D 、不同通讯卫星运行的线速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的。

解析：同步卫星运动的周期与地球自转周期相同，T=24h ，角速度ω一定
根据万有引力定律r T
4m r mM G 2
2
2π=得知通讯卫星的运行轨道是一定的，离开地面的高度也是一定的。

地球对卫星的引力提供了卫星做圆周运动的向心力，因此同步卫星只能以地心为为圆心做圆周运动，它只能与赤道同平面且定点在赤道平面的正上方。

故B 正确，C 错误。

不同通讯卫星因轨道半径相同，速度大小相等，故无相对运动，不会相撞，A 错误。

由r v m
m a r
Mm G 2
2==知：通讯卫星运行的线速度、向心加速度大小一定。

故正确答案是：B 、D 【4】“双星”问题
天文学中把两颗距离比较近，又与其它星体距离比较远的星体叫做双星，双星的间距是一定的。

设双星的质量分别是m 1、m 2，星球球心间距为L 。

问：
⑴两星体各做什么运动？
⑵两星的轨道半径各多大？⑶两星的速度各多大？ 解析：本题主要考察双星的特点及其运动规律
⑴由于双星之间只存在相互作用的引力，质量不变，距离一定，则引力大小一定，根据牛顿第二定律知道，每个星体的加速度大小不变。

因此它们只能做匀速圆周运动。

⑵由牛顿定律22
21212
21r m r m L
m m G
ω=ω=……① 得：1221m m r r = 又L r r 21=+……②
解得：L m m m r L
m m m r 2
11
22
12
1+=
+=
……③
⑶由①得：)m m (L G
m L r Gm r v 212
2
1211+==
ω=
)m m (L G
m L r Gm r v 211
2
2122+==
ω=
【5】“两星”问题
如图是在同一平面不同轨道上运行的两颗人造地球卫星。

设它们运行的周期分别是 T 1、T 2，(T 1＜T 2)，且某时刻两卫星相距最近。

问： ⑴两卫星再次相距最近的时间是多少？
⑵两卫星相距最远的时间是多少？
解析：本题考察同一平面不同轨道上运行的两颗人造地球卫星的位置特点及其卫星的运动规律 ⑴依题意，T 1＜T 2，周期大的轨道半径大，故外层轨道运动的卫星运行一周的时间长。

设经过△t 两星再次相距最近 则它们运行的角度之差πφ
2=∆……①
π=π
-π2t T 2t T 2:
2
1即 ……② 解得：122
1T T T T t -=
⑵两卫星相距最远时，它们运行的角度之差()πφ
12+=∆k ……③
()π+=π
-π1k 2t T 2t T 2:
2
1即……④ k=0.1.2……
解得：1
22
1T T T T 21k 2t -⋅
+=
……⑤ k=0.1.2……
【6】同步卫星的发射问题
发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆形轨道1运行，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆形轨道3运行。

设轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，则卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时， ⑴比较卫星经过轨道1、2上的Q 点的加速度的大小；以及卫星经过轨道2、3上的P 点的加速度的大小
⑵设卫星在轨道1、3上的速度大小为v 1、v 3 ，在椭圆轨道上Q 、P 点的速度大小分别是v 2、v 2/，比较四个速度的大小
解析：⑴根据牛顿第二定律，卫星的加速度是由于地球吸引卫星的引力产生的。

即：
ma r
Mm
G
2=可见 卫星在轨道2、3上经过P 点的加速度大小相等；
卫星在轨道1、2上经过Q 点的加速度大小也相等；但P 点的加速度小于Q 点的加速度。

⑵1、3轨道为卫星运行的圆轨道，卫星只受地球引力做匀速圆周运动
由r v m
r
Mm G 2
2=得：r
GM
v =
可见：v 1＞v 3
由开普勒第二定律知，卫星在椭圆轨道上的运动速度大小不同，近地点Q 速度大，远地点速度小，即：v 2＞v 2/
卫星由近地轨道向椭圆轨道运动以及由椭圆轨道向同步轨道运动的过程中，引力小于向心力，
r v m
r
Mm G 22=，卫星做离心运动，因此随着轨道半径r 增大，卫星运动速度增大，它做加速运
动，可见：v 2＞v 1，v 3＞v 2/ 因此：v 2＞v 1＞v 3＞v 2/
【7】 “连续群”与“卫星群”
土星的外层有一个环，为了判断它是土星的一部分，即土星的“连续群”，还是土星的“卫星群”，可以通过测量环中各层的线速度v 与该层到土星中心的距离R 之间的关系来判断：
A 若v ∝R ，则该层是土星的连续群
B 若v 2∝R ，则该层是土星的卫星群
C 若v 2∝R ，则该层是土星的卫星群
D 若R
1
v ∝
，则该层是土星的连续群
解析:⑴该环若是土星的连续群，则它与土星有共同的自转角速度，R v ω=，因此v ∝R。