高中数学解题中圆锥曲线参数方程的应用

数理化解题研究
2021年第07期总第500期
高中数学解题中圆锥曲线参数方程的应用
吴晓平
(福建省福州延安中学350001)
摘要：应用参数方程解答高中数学圆锥曲线类型的问题，能简化解题步骤，提高解题效率，因此教学中
应为学生认真、细致地讲解各类圆锥曲线的参数方程，同时做好相关问题类型的总结，为其讲解参数方程在解 题中的具体应用，使学生感受参数方程的应用过程，积累相关的应用方法与技巧，不断提高学生的解题能力.
关键词：高中数学；圆锥曲线；参数方程;应用
中图分类号：G632 文献标识码:A 文章编号：1008 -0333(2021)07 -0006 -02
高中数学教学中，为使学生能够灵活运用圆锥曲线 参数方程解答相关的数学习题，应加强训练学生,使其苦
练基本功，打牢基础,能够实现圆锥曲线标准方程与参数
方程之间的互化.同时注重提高学生应用参数方程解答 数学习题的意识，在解题中能够快速找到相关的解题突
破口.
一、用于求解参数范围
求解参数的取值范围是高中数学常见的习题类 型.部分习题和圆锥曲线知识点结合起来,对学生的分
析、解题能力要求较高.解答该类习题要么运用圆锥曲 线参数的取值范围，构建不等式关系进行求解,要么使
用圆锥曲线的参数方程进行解答.其中运用参数方程 求解不仅易于理解,而且解题过程简单.教学中为使学
生掌握参数方程法求解参数范围问题,应注重围绕具 体的例题为学生展示具体的解题过程,使其带来解题 的启发.
2 2
例1已知椭圆方程为% 2 + y 2 -1( a > b >0),其内
a b
接矩形的最大面积取值范围为［3 b 2,4 b 2］,则椭圆的离心 率取值范围为(
).
A"；，；］
B.*；］
C. ［ ? , ； ］
D. ［ ?,：］
该题目如采用常规解法不易找到解题思路,而且求 解的过程较为繁琐，因此，可考虑使用椭圆的参数方法,
化繁为简，巧妙突破.
解析 设矩形在第一象限的顶点为P.由椭圆的参数 方程易得P 的坐标为(a cos O , b sin O ).则矩形的面积S 二
4ab cos O • sin O - 2ab sin20W2ab.又因为矩形的最大面积取
值范围为［3b 2,4b 2］,则 3b 2W2ab W4b 2，即［W b W 2 ,则
正确选项为B .
二、用于解答定值问题
定值问题在圆锥曲线中出现频率较高.很多学生由 于思维定势，常运用传统的解法,不仅花费大量的时间,
而且稍有不慎就会出错.为避免这一情况的发生,提高学
生的解题正确率，既要注重为学生讲解运用参数方程求 解定值问题的相关思路，又要设计相关的问题对学生进 行训练，使学生亲身感受参数方程的应用过程，通过不断
的出错改错,逐渐深化对圆锥曲线参数方程的理解,提高 参数方程在解题中的应用灵活度.如遇到圆锥曲线动点
相关的定值问题时，应首先考虑运用参数方程法进行
求解.
例2已知双曲线方程为%2 - y 2 -2 a 2,点P 为双曲 线上的任意一点.设点P 到两条渐进线的距离分别
为几心，则〃1・心的值为( )•
A . 1
B . a 2
C . b 2
D . c 2
该题目为双曲线的动点问题,解题中应注重运用双
曲线的参数方程设出点P 的坐标，然后运用点到直线的
收稿日期：2020 -12 -05
作者简介：吴晓平(1975. 3 -)，女，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.
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2021年第07期总第500期数理化
解题研究
距离进行分析、解答.
解析根据题意不难设出点P的坐标为(V2a sec O, 2a tan O).同时，双曲线的渐进线方程为y-±%,由点到直线的距离可得趴-2aSeC°一2atanO-a sec O-
tan O,d2-2aSeC°+2atan°-a Isec O+tan°,则心・d2
-a2sec2O-tan2O-a2.
正确答案为B.
三、用于解答最值问题
学生对求解圆锥曲线中的最值问题并不陌生.相关的解题方法也是多种多样.教学中应注重启发学生相互交流解题经验，通过对比、分析，亲身感受参数方程在解题中的便利之处.同时，围绕学生所学为学生布置求解最值问题的作业，要求其应用参数方程法解答.通过做作业能够认识到运用参数方程解答圆锥曲线问题中的不足,逐渐积累运用参数方程解题的经验与技巧,促进其解题水平的进一步提升.
例3已知抛物线方程y2-2%,在其上存在异于顶点0的两点4』,满足04丄0B,则面积的最小值为().
A.2
B.3
C.4
D.5
该题如采取常规做法需求出04,0B的长度，表示出三角形的面积，采用函数知识进行求解，计算繁琐,容易出错.如使用抛物线的参数方程，可取得事半功倍的解题效果.
解析由抛物线的标准方程，可分别求出4』两点 的坐标，即4(2112,211),B(2122,212)(s H t2,且t1-t2-0),贝V不难求出04-2t11+彳，0B-2I t21+t2.因为04丄0B,贝」t]・t2--1.所以s△伽-2t]彳2丿(1+t；)(1+t；)—丿+t2+ 2-(t1+力2)2+4 M4,当且仅当t1--t2时取等号，即A40B面积的最小值为4.
正确选项为C.
四、用于解答综合问题
圆锥曲线的一些综合问题直接考查学生运用参数方程解答问题的能力.教学中为使学生尽快找到解题思路,得出正确的解题结果，既要注重筛选、精讲相关例题，又要鼓励学生多进行训练,尤其应做好训练后的反思与总结，并将解题心得记录在错题本中.平时用好错题本，定期翻阅，时刻提醒避免犯下类似错误.
例4在平面直角坐标系%0y中,以原点0为极点,%轴的正半轴为极轴建立极坐标系，I的极坐标方程为
{%—3cos O.(O为参
y—2sin O
数,O e R).
(1)写出直线I和C的普通方程.
(2)在C上求点M,使点M到/的距离最小,并求出最小值.
该题目考查了极坐标方程、参数方程向普通方程的转化，以及参数方程求最值.
解析(1)由p(cos O+2sin O)—10,结合所学不难得出%—pcos O,y—psin O,贝卩/的方程为%+2y-10-0；由C
的参数方程{%—3cosO，将o消去可得£+扌-1.
y-2sin O94
(2)设M的坐标为(3cos a,2sin a),则由点到直线的
距离可得〃—I3cosa+4sina-10I—1I5cos(a-a0)-10I,
寸5J5
34
此时,cos a0—5,sin a0—5.当a—a0时d的值最小，最小
9o
值为J5，则3cos a—3cos a0—5,2sin a—2sin a0—§，点M 的坐标为(5,8).
运用参数方程解答圆锥曲线问题是一种很好的思路.为使学生熟练掌握、灵活应用,教学中既要注重灌输参数方程基础知识，又要引导学生进行推导，使其搞清楚参数方程的来龙去脉、相关参数表示的含义等.同时,在课堂上为学生演示如何应用参数方程解答圆锥曲线问题，使学生掌握相关的应用细节，使其真正做到融会贯通,举一反三.
参考文献：
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[5]洪朝晖.参数方程几何构造圆锥曲线轨迹探究[J].数学教学通讯,2014(33)：62-63.
[责任编辑:李璟]
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