2024-2025年北师大版数学必修第一册7.2.1古典概型的概率计算公式(带答案)

2．1 古典概型的概率计算公式
必备知识基础练
知识点一 古典概型的判断 1．下列概率模型：
①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点； ②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环； ③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲； ④一只使用中的灯泡的寿命长短；
⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．
其中属于古典概型的是________． 知识点二 古典概型样本空间的确定
2．有两个质地均匀的正四面体(四个面为全等的正三角形)的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x ，y )表示结果，其中x 表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y 表示第2个正四面体玩具朝下的点数．求：
(1)这个试验的样本空间； (2)事件“朝下点数之和大于3”； (3)事件“朝下点数相等”；
(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”．
知识点三 古典概型的计算及简单应用
3．若甲，乙，丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为( ) A ．13 B ．23
26
4．袋中有红、黄、白色球各1个，每次任取一个，有放回地抽取三次，求基本事件的个数，并计算下列事件的概率．
(1)三次抽取的颜色各不相同； (2)三次抽取的颜色不全相同； (3)三次取出的球无红色．
关键能力综合练
1．下列试验中是古典概型的是( )
A.在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C ．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的
D ．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 2．下列概率模型中，是古典概型的个数为( ) ①从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率； ②从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率； ③某篮球运动员投篮一次命中的概率；
④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3．现有三张卡片，正面分别标有数字1，2，3，背面完全相同，将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是( )
A ．13
B ．12
36
4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A ．310
B ．15
C ．110
D ．120
5．将数据1，3，5，7，9 这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为( )
A ．15
B ．310
C ．25
D ．12
6．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为 ________．
7．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{1，2，3}中随机选取一个数为b ，则
b ＞a 的概率是________．
8．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________．
9．(易错题)任意掷两枚骰子，计算出现点数之和为偶数的概率．
核心素养升级练
1．(多选题)一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是( )
A ．任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是1
2
B ．每次抽取1件，不放回抽取两次，样本点总数为16
C ．每次抽取1件，不放回抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是1
2
D ．每次抽取1件，有放回抽取两次，样本点总数为16
2．(学科素养—数据分析)某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
(2)求这5天的平均发芽率；
(3)从3月1日至3月5日中任选2天，记前面一天发芽的种子数为m ，后面一天发芽
的种子数为n ，用(m ，n )的形式列出所有样本点，并求满足“⎩
⎪⎨⎪⎧25≤m ≤30，25≤n ≤30 ”的概率．
§2 古典概型
2．1 古典概型的概率计算公式
必备知识基础练
1．答案：③
解析：①不属于古典概型，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于古典概型，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于古典概型，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于古典概型，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于古典概型，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．
2．解析：(1)这个试验的样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(2)设事件“朝下点数之和大于3”为事件A ，则A ＝{(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(3)设事件“朝下点数相等”为事件B ，则B ＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}． (4)设事件“朝下点数之差的绝对值小于2”为事件C ，则C ＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}．
3．答案：B
解析：甲，乙，丙三名学生随机站成一排，共有6个样本点：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，其中甲站在边上的样本点有4个，故所求的概率为P ＝46 ＝23
.
4．解析：则基本事件的个数n ＝27.
(1)记事件A 为“三次抽取的颜色各不相同”，则A 包含的基本事件数为6，所以P (A )
＝627 ＝29
. (2)记事件B 为“三次抽取的颜色不全相同”，则B 包含的基本事件数为27－3＝24，所以P (B )＝2427 ＝8
9
.
(3)记事件C 为“三次取出的球无红色”，则C 包含的基本事件数为8，所以P (C )＝8
27
.
关键能力综合练
1．答案：B
解析：对于A ，发芽与不发芽概率不同；对于B ，任取一球的概率相同，均为1
4 ；对于
C ，基本事件有无限个；对于
D ，由于受射击运动员水平的影响，命中10环，命中9环，…，命中0环的概率不等．因而选B.
2．答案：A
解析：古典概型的概率特点是样本空间的样本点数是有限个，并且每个样本点发生的概率是等可能的，故②是古典概型，④由于硬币质地不均匀，故不是古典概型．故选A.
3．答案：C
解析：将1，2，3三个数字排序，则偶数2可能排在任意一个位置，其中2排在第一位或第三位为甲获胜，2排在第二位为乙获胜，故甲获胜的概率为23
.
4．答案：C
解析：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，共10个样本点，其中这3个数能构成一组勾股数的只有{3，4，5}，∴所求概率为
1
10
，选C. 5．答案：C
解析：从5个数中随机删去两个数有(1，3)，(1，5)，(1，7)，(1，9)，(3，5)，(3，7)，(3，9)，(5，7)，(5，9)，(7，9) 共10种方法，
要使剩下数据的平均数大于5，删去的两个数可以是(1，3)，(1，5)，(1，7)，(3，5)共有4种，
所以剩下数据的平均数大于5的概率为P ＝410 ＝2
5 ，故选C.
6．答案：1
3
解析：该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以能获得食物的概率为26 ＝1
3 .
7．答案：1
5
解析：抽取的a ，b 组合有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)共15个样本点，其中(1，2)，(1，3)，(2，3)共3个样本点满足b ＞a ，故所求概率为315 ＝1
5
.
8．答案：1
5
解析：一次取出2根竹竿，则试验的样本空间的样本点共有(2.5，2.6)，(2.5，2.7)，(2.5，2.8)，(2.5，2.9)，(2.6，2.7)，(2.6，2.8)，(2.6，2.9)，(2.7，2.8)，(2.7，2.9)，(2.8，2.9)10个，它们的长度恰好相差0.3 m 的样本点有(2.5，2.8)，(2.6，2.9)2个，故所求概率为P ＝210 ＝15
.
9．易错分析：本题容易误认为点数之和为奇数有5种情况，为偶数有6种情况，所以点数之和为偶数的概率为6
11
.事实上11种情况并非等可能的，不属于古典概型．
解析：如图，可知样本空间的样本点共有36个，事件A 表示“点数之和为偶数”，A 包含18个样本点，故P (A )＝1836 ＝1
2
.
核心素养升级练
1．答案：ACD
解析：记4件产品分别为1，2，3，a ，其中a 表示次品．在A 中，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a )，(2，3)，(2，a )，(3，a )}，“恰有一件次品”的样本点为(1，a )，(2，a )，(3，a )，因此其概率P ＝36 ＝1
2 ，A 正确；在B 中，每次抽取1件，不放回抽取两
次，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a )，(2，1)，(2，3)，(2，a )，(3，1)，(3，2)，
(3，a )，(a ，1)，(a ，2)，(a ，3)}，因此n (Ω)＝12，B 错误；在C 中，“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6，其概率为1
2 ，C 正确；在D 中，每次抽取1件，有放回抽取
两次，样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，a )，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，
a )，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，a )，(a ，1)，(a ，2)，(a ，3)，(a ，a )}，因此n (Ω)
＝16，D 正确．故选ACD.
2．解析：(1)因为16<23<25<26<30，所以这5天发芽数的中位数是25. (2)这5天的平均发芽率为23＋25＋30＋26＋16
100＋100＋100＋100＋100
×100%＝24%.
(3)用(x ，y )表示所求样本点，则有(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，
30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，共10个样本点．记“⎩
⎪⎨⎪⎧25≤m ≤30，
25≤n ≤30 ”
为事件A ，则事件A 包含的样本点为(25，30)，(25，26)，(30，26)，共有3个样本点．所
以P (A )＝310 ，即事件“⎩⎪⎨⎪⎧25≤m ≤30，25≤n ≤30
”的概率为3
10 .。