不定积分和定积分

第四章 不定积分与定积分
4.1 不定积分
一、学时：
二、教学要求：
不定积分的定义：原函数、不定积分、积分基本公式、不定积分加法与数乘。

不定积分的求法； （1）理解原函数、不定积分的定义及关系；
（2）熟记不定积分的基本公式，会不定积分的加法数乘运算； （3）会换元积分法：第一换元法、第二换元法；
（4）分部积分法：理解分部积分法的推导，能用分部积分法求一些标准型不定积分。

重点：原函数、不定积分的定义及关系，不定积分的基本公式，不定积分的加法数乘运算，第一换元法、
第二换元法，分部积分法 难点：第一换元法、第二换元法，分部积分法 三、教学内容：
第二章讨论了如何求一个数的函导数（微分）问题，现在来讨论它的逆问题，即要由一个函数的已知导数（微分），求原来的函数问题，即求不定积分.
4.1.1 不定积分的概念与性质
定义1 设)(x f 是定义在某区间上的已知函数. 若存在一个函数)(x F ,对于该区间上每一点都满足：)()('x f x F =或dx x f x dF )()(=,则称)(x F 是)(x f 在该区间的一个原函数.
例如 已知x x f 2)(=,由于
2)(x x F =满足x x x F 2)'()('2== ,所以2
)(x x F =是
x x f 2)(=的一个原函数. 同理，10,1,12
2
2
+-+x x x 等也都是x x f 2)(=的原函数.
由此可知，已知函数的原函数不止一个. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则C x F +)(
()
为任意常数C 也是
)(x f 的原函数.且若)(x F ,)(x G 都是)(x f 的原函数则
()0)()()()(')()(=-='-='
-x f x f x G x F x G x F ，知C x G x F =-)()(,即它们仅相差
一个常数.因此，若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x f 的所有原函数可以表示为C x F +)(
()是任意常数C .
定义2 函数)(x f 的所有原函数，称为函数)(x f 的不定积分，记作⎰dx x f )(其中)(x f 称为被
积函数，dx x f )(称为被积表达式，x 称为积分变量，“⎰
”称为积分号.
显然，若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则由定义2可知⎰+=C x F dx x f )()(其中C 是任意常
数.
因此，求函数)(x f 的不定积分，只需求出)(x f 的一个原函数)(x F ,再加上任意常数C 即可. 例如
x dx x +
=⎰3
23 ()为任意常数C
⎰+-=C x x d x c o s s i n ()为任意常数C C e dx e x
x
+=⎰ ()为任意常数C
例1 求函数x
x f 1)(=
的不定积分
解 （1）当0>x 时，x
x 1)'(ln =
所以
()0ln 1
>+=⎰x C
x dx x
（2）当0<x 时，0>-x
[]x
x x
x x
1).(1)ln(=
'--=
'
-
所以
())0(ln 1
<+-=⎰x C
x dx x
合并（1）（2）两式得到：
)0(ln 1
≠+=⎰x C x dx
x
由不定积分的定义即可知不定积分具有如下性质： 1. 求不定积分与求导数或微分互为逆运算
（1）
[])()(x f dx x f ='
⎰
或 ()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣
⎦
⎰
（2）C x F dx x F +='⎰
)()( 或 C x F x dF +=⎰)()(
2.
()()(0)af x dx a f x dx a =≠⎰⎰
因为()
())()()(x af dx x f a dx x f a ='
='
⎰⎰，说明⎰dx x f a )(是()af x 的原函数.
3.
[]()()()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±
⎰⎰
⎰
因为
()()()
()()()()()()f x dx g x dx f x dx g x dx f x g x '
'
'
±=±=+⎰⎰⎰⎰
故有两个函数代数和的不定积分等于各个函数不定积分的代数和，这个公式可以推广到任意有限多个函数的代数和的情况.
4.1.2 基本不定积分公式
由导数的基本公式对应地可以得到下面基本不定积分公式.
（1）⎰+=C kx kdx
（C 为常数）
（2）()11
1
1
-≠++=
+⎰μμμμ
C
x
dx x
（3）C x dx x
+=⎰
ln 1
（4）C e dx e
x
x
+=⎰
（5）()10ln ≠>+=⎰a a C
a
a
dx a x
x
且
（6）⎰+=C x xdx sin cos （7）⎰+-=C x xdx cos sin
（8）C x xdx dx x
+==⎰⎰
tan sec cos 12
2
（9）C x xdx dx x
+-==⎰⎰
cot csc sin
12
2
（10）sec tan sec x xdx x C ⋅=+⎰
（11）csc cot csc x xdx x C ⋅=-+⎰
（12）C x dx x
+=+⎰
arctan 112
（13）c x dx x
+=-⎰arcsin 11
2
例2 求dx x x )52(2
++⎰
解 原式C x x x dx xdx dx x +++=
++=
⎰⎰⎰
53
1522
32
.
注意 这里三个不定积分本来应该有三个任意常数，经过代数和之后，只要用一个任意常数即已足够.下面类似情况就不特别加以说明.
例3 求
dx x x )3(-⎰
解 原式dx x dx x dx x x ⎰⎰⎰-=-=
2
1
23
23
3)3(
C x
x
+⋅+⋅
-⋅+=
++1
2
1
1
2
3
1
21131
231
C x x +-=23
25
25
2
例4 求xdx ⎰
2
tan
解 原式⎰⎰⎰-=-=
dx xdx dx x 1sec )1(sec 2
2
C x x +-=t a n
例5 设某厂生产某种商品的边际收入为 Q Q R 3300)(-='，其中Q 为该商品的产量，如果该产品可在市场上全部售出，求总收入函数.
解 因为Q Q R 3300)(-='，两边积分得 ⎰⎰-='=
dQ
Q dQ Q R Q R )3300()()
(
C Q Q +-
=2
2
3300
又因为当0=Q 时，总收入0)0(=R ，从而0=C . 所以总收入函数为2
2
3300)(Q Q Q R -
=.
4.1.3 不定积分的几何意义
若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则曲线)(x F y =称为)(x f 的一条积分曲线，将其沿y 轴方向任意平行移动，就得到积分曲线族. 在每一条积分曲线上横坐标相同的点x 处作切线，这些切线都是相互平行的，如图4.1.
x 0y
x
图 4.1
不定积分
⎰dx
x f )(在几何上就表示全体积分曲线所组成的积分曲线族，它们的方程为
C x F y +=)(.
例6 求过点()3,1且在点()y x ,
处切线斜率为2
3x 的曲线方程.
解 设所求曲线方程为)(x F y =，因为2
3)(x x F y ='='，由不定积分定义，有
C x dx x x F
+==⎰3
2
3)(
因所求的曲线过点()3,1，代入得到2=C . 于是所求的曲线方程为23
+=x y
.
4.1.4 不定积分换元法和分部积分法
利用基本不定积分公式及性质只能求一些简单的不定积分，对于比较复杂的不定积分，我们需要进一步方法，下面简单介绍第一类换元积分法、第二类换元积分法和分部积分法，详细可参阅参考书[1]、[2]. 应该指出现在许多数学软件，如Mathematica ，Matlab 等都具有求不定积分功能，读者可以借助数学软件求不定积分，也可以通过查积分表求不定积分.
1. 第一类换元积分法
例7 求⎰
+dx x )13cos(
解 选择新变量13+=x u ，则du dx u x 31),1(3
1=
-=
原式C
u du u +=⋅=
⎰sin 3
1
3
1cos
C x ++=
)13sin(3
1
第一类换元积分法主要在于选择新的变量)(x u ϕ=其中()x ϕ为连续可导的, 原不定积分转换为可以使用基本不定积分公式. 为选择好新的变量,往往把原不定积分被积表达式dx x f )(凑成微分的形式，便于使用基本公式，求出积分后，再还原为原积分变量.
例8 求dx x ⎰
+3
)42(
解 du u x d x dx
x x u ⎰⎰⎰+=++=+3
4
23
3
2
1)42(4221)42(变量代换
凑微分
＝）（
()C x C u
++=
++⋅
=
+4
1
3428
13
11
21
还原
例9 求dx xe x
⎰2
解
du
e dx
e dx xe
u
x
u x
x
⎰⎰⎰
==
2
12
12
2
2
2
变量代替凑微分
＝
C e
C e x
u
+=
+=2
2
12
1还原
2. 第二类换元积分法
第一类换元积分法是选择新变量()x u
ϕ=，但对某些不定积分，则需要作相反的代换，即令
()x t ϕ=，其中()t ϕ是连续可导的，以使积分化为能使用基本公式. 该类变量替换公式由于要求出t 关于x 的表达式，所以()x t ϕ=还须存在反函数.
例10 求dx x x ⎰+1
解 令1+=x t
，则12
-=t x ，tdt dx 2=
， 原式()dt t t tdt t t
)(2212
4
2
-=⋅⋅-=
⎰⎰
C x x C t t ++-
+=
+-=23
25
3
5
)1(3
2)1(5
23
25
2
例11 求dx x
⎰+11
解 令x t =
，则2t x =, tdt dx 2=
原式dt t
t tdt t
⎰
⎰
+=⋅+=
12211
dt t
dt t
t )111(21112⎰⎰
+-
=+-+=
()C t t ++-=1ln 2
(
)
C x x ++
-=
1ln 2
3. 分部积分法
设函数(),()u u x v v x ==有连续导数，由
()uv u v uv '''=+
得 ()u v u v u v
'''=
-
两边求不定积分，得
⎰⎰'-='vdx u uv dx v u
为便于应用，上式可写成
⎰⎰-=vdu
uv udv
这就是分部积分公式. 如果求uv dx '⎰有困难，而求u vdx '⎰
较容易时，我们就可以利用分部积分公式.
例12 求⎰xdx ln
解
⎰xdx
ln x
v x u ===
,ln 令⎰-x xd x x ln ln （利用第二个公式）
dx x x x x ⎰⋅-⋅=1
ln
C x x x +-=ln
例13 求dx xe x
⎰
解
dx e xe xde
dx xe x
x e
v x u x
x x
⎰⎰⎰-=
===,令 （利用第二公式）
C e xe x
x
+-=
例14 求sin x
e xdx ⎰
解
()()s i n s i n s i n s i n x
x
x
x
e x d x
x d
e e x e d x
==
-⎰⎰
⎰
（分部积分法） sin cos sin cos x x
x
x
e x e xdx e x xde =-
=-
⎰⎰
sin cos cos x
x
x
e x e x e d x =-+
⎰ （分部积分法） sin cos sin x
x
x
e x e x e xdx =--
⎰
由于上式右端的第三项就是所求的积分sin x
e xdx ⎰
，将它移到等式左端去，两端再同除以2，即得
()1sin sin cos 2
x x e xdx e x x C =-+⎰ 四、练习
1. 求下列不定积分
（1）5
x dx ⎰
（2）6
(2)x dx +⎰
（3）3
2
x dx -⎰
（4）1(3)dx x
+⎰
（5
）
)3
5x dx -⎰
； （6）(
)
2
2x dx -⎰
（7
）
⎰
（8）2
2()3
x dx x +⎰
2. 求下列不定积分 （1）
()3
53x dx +⎰； （2）2
(32)x dx -⎰
（3）23x
e
dx +⎰
； （4）2x
e
dx -⎰
（5）
()2
sin 2x x dx +⎰； （6
）cos ⎰；
3. 求下列不定积分 （1
）⎰
； （2
）⎰
4. 求下列不定积分 （1）
2
ln x xdx ⎰； （2）2x
xe
dx ⎰
（3）ln 3xdx ⎰； （4）cos x
e xdx ⎰
5. 若C xe
dx x f x
+=⎰-2
)(，求)(x f
6. 一曲线位于第一象限并过点()2,e ，且过曲线上任一点的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线方程.
7. 设某企业生产某产品，其边际成本C '与日产量x （千克）关系为：5C x '=+（美元/千克），其固定成本为2000美元，试求成本函数.
4.2 定积分的概念与性质
一、学时：
二、教学要求：
定积分的概念与性质：定积分概念、几何意义、基本性质
（1）解定积分的几何意义，理解其定义。

（2）了解定积分性质的简单说明（用定义简单推导或用几何直观图说明并会用这些性质）。

（3）理解定积分在解成本问题中的意义。

重点：定积分的几何意义，定积分在解成本问题中的意义 难点：定积分在解成本问题中的意义 三、教学内容：
4.2.1 定积分概念实例之一 ：面积问题
例1 如图4.2（a ）,如何求由曲线125.0)(2
+=x x f ,x 轴以及直线5,1==x x 所围成的平面
（a ）
(b)
(c) (d)
图 4.2
所求图形简称为A ，其面积不妨称为A 面积. 为了逼近A 面积我们第一步是把区间[]5,1四等分，每
个小区间的长度14
15=-=
∆x ，在每个小区间的左端点取对应的函数值作为矩形高度. 这样在曲线下方
就有4个矩形，这4个矩形面积之和称为左和4L 在一定程度逼近A 面积，但比A 面积小，如图4.2（b ）所示. 4L 具体数值计算如下：
1)4(1)3(1)2(1)1(4⋅+⋅+⋅+⋅=f f f f L
5.11525.300.225.1=+++=
现在我们在原来分割的基础上，取每个分割小区间的右端点作为矩形高度，如此我们得到覆盖住A 的4个小矩形，其面积之和称为右和4R ，也在一定程度上逼近A 面积，但比A 面积大，如图4.2（c ）所示.
4R 具体数值计算如下：
1)5(1)4(1)3(1)2(4⋅+⋅+⋅+⋅=f f f f R
5.1725.700.525.300.2=+++=
上述利用区间[]5,1四等分，构造4个矩形，用其面积来逼近图形A 面积显然是太粗糙了. 我们可以把区间
[]5,1在原来四等分基础上进一步细分，例如把区间[]5,1十六等分，构造
16个矩形来逼近图形A ，见图
4.2（d ）其右和、左和对应的结果计算如下；
25.016
15=-=
∆x
59.13)75.4()25.1()1(16=∆++∆+∆=x f x f x f L
09.15)5()50.1()25.1(16=∆++∆+∆=x f x f x f R
显然有
09.1559.131616=<<=R A L 的面积图形
为了使逼近更精确，还可以把区间[]5,1一百等分，构造100个矩形来逼近图形A ，其左和与右和通过计算机编程计算得
454.14214.14100100=<<=R A L 的面积图形
上述逼近的误差也可以估计，以100L 和100R 为例计算如下：
100
15)1()5(100100-⋅
-<-=f f L A L 面积图形逼近的误差
()24.004.025.125.7=⨯=－
100
15)1()5(100100-⋅
-<-=f f R A R 面积图形逼近的误差
()24.004.025.125.7=⨯=－
一般来说，我们可以把区间[]5,1n 等分，分点为5
1
210=<<<=n x x x x ,记
1--=∆i i i x x x ，构成左和与右和来逼近图形A 面积如下：
左和：k n
k k n n n x x f x x f x x f x x f L ∆=∆++∆+∆=∑=--)()()()(1112110
右和：k n
k k n n n x x f x x f x x f x x f R ∆=∆++∆+∆=∑=)()()()(1
2211
n
n
f f R L A R L n n
n n 2415)1()5((=
-⋅-<-=）（或面积图形）逼近的误差
或
因此，与 ∞→n 时有
图形A 的面积∑=-∞
→∞
→∆==n
k k
k n n n x x f L 1
1)(lim
lim
∑
=∞
→∞
→∆==n
k k k n n n x x f R 1
)(lim
lim
可以把上面方法进一步拓展到由连续曲线)(x f y =
()0)(≥x f ,
x 轴及直线b x a x ==,所围
成平面图形，称其为曲边梯形. 现在计算曲边梯形面积A （如图4.3）. 可以仿照上面的方法，但在区间分割及在小区间取点方式上进行改进，以使之更一般化或逼近的更好. 具体分如下四个步骤；
（1）分割 用分点b x x x x a
n n =<<<<=-110
把区间[]b a ,任意分成n 个小区间
,[,],,[],,[],,[1322110n n x x x x x x x x - 每个小区间的长度为
对应地，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形
),2,1(n i A i =∆,这里区间分割与前面不同的是每个小区间的长度不一定相等.
（2）近似代替 对于第i 个小曲边梯形i A ∆，在小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ，得到以],[1i i x x -为底 ，
)(i f ξ为高的小矩形，用小矩形的面积i i x f ∆)(ξ近似代替小曲边梯形的面积i A ∆，即
()n i x f A i
i i ,,2,1)( =∆=∆ξ
这里应当注意 此处是在区间],[1i i x x -上任意取一点i ξ，前面例子仅在],
[1i i x x -的左端点或右端点来取.
由于)(x f 在[]b a , 上连续的，不论在],[1i i x x -上取哪一点，都不影响下面所构造的和的极限.
（3）求和
得n 个小矩形面积求和，如图4.3中阶梯形的面积，即得曲边梯形面积A 的近似值如下
n n x f x f x f A ∆++∆+∆=)()()(2211ξξξ
i i n
i x f ∆=
∑
=)(1
ξ
（4）取极限
当分点数n 无限加大时，小区间中最大区间长度记为}{max 1i n
i x ∆=≤≤λ,当0→λ，时（即所有[]
b a ,)
,2,1(1n i x x x i i i =-=∆-
分割的小区间都趋于0），和式i i n
i x f ∆∑=)(1
ξ的极限便是曲边梯形的面积A ，即
i n
i i x f A ∆=∑=→1
)(l i m ξλ
注意 一般曲边梯形面积若能求得，则由任意连续曲线围成的图形面积就可以求得. 如图4.4所示，把曲线L 围成的图形分割六小块，编号为1至6号，其中2号与5号即是前面所说的曲边梯形的特例，1、3、4、6号为曲边三角形，是曲边梯形的特例.，也可以用计算曲边梯形面积的方法来计算其面积.
126
35
4
图 4.4
4.2.2 定积分概念实例之二：成本问题
例2 某公司对其产品成本变化情况，测得如下关系式
,3
500)(x x F -
=9000≤≤x （元/单位产品）
其中x 表示该产品生产的数量，)(x f 表示当产品数量为x 时再增加一个单位产品时所增加的成本（即边际函数）. 试求当产品从300件增加到900件时该公司所增加的成本C .
如同第二章有关边际函数描述那样，在经济和商务中所遇见函数自变量往往仅取正整数值，其函数值也是离散的，为数学处理上方便，我们将其连续化，转化成具有连续导数的函数来处理. 这时许多结果只能看作是近似的，但不影响对实际问题的分析. 下面叙述中，我们常略去“近似”二字.
该公司产品产量从300件增加到900件，因此将其连续化，考虑[]900,300作为考察区间，在这个区间内插入n 个分点
900
30011210=<<<<<<<=--n n i i x x x x x x x
考虑产量从1-i x 增加到i x 时所增加的成本，由于1()i f x -作为边际成本在1-i x 的值表示当产量为1-i x 时增加单位产量所增加的成本. 当产品数量增加1--=∆i i i x x x 单位时，所增加成本为11().i i f x x --∆.因此，
当产量从3000=x 增加到900=n x 时，所增加的总成本为 i n
i i x x f ∆∑=-1
1)(.
为了更精确估计，同样可设i i
x ∆=max λ，并令0→λ时，所增加的总成本C 可表示为
10
1
l i m ()n
i i i f x x λ-→=∆∑.
4.2.3 定积分的概念
前两段我们引进了两个例子涉及不同的领域，但都引导出求类型相同的和的极限问题. 还有许多实际问题诸如求直线变速运动的总路程，变力作功，水对水坝的总压力，某企业总产量、总利润、总收益、. 旋转体的体积等都可以归结为求此类型和的极限. 在数学上称之为定积分问题. 为此，抽象地给出如下数学定义.
定义1 设函数)(x f 在区间[]b a ,上有界，任意用分点
b x x x x a n n =<<<<=-110
把区间[]b a ,分成n 个小区间
],,[,],,[],,[],,[1322110n n x x x x x x x x -
在每一个小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ，作和
i n
i i x f ∆∑
=1
)(ξ
称为积分和，记小区间中最大区间长度为}{m ax 1i n
i x ∆=≤≤λ，如果当0→λ时，上述和式的极限存在，则
称函数)(x f 在区间[]b a ,上可积，并称此极限值为)(x f 在区间[]b a ,上的定积分，记为⎰b
a
dx x f )(,
即
i n
i i b
a x f dx x f ∆=∑⎰=→1
)(lim )(ξλ 其中“⎰“称做积分号，)(x f 称做被积函数，dx x f )(称做被积表达式，x 称做积分变量，区间[]
b a ,称做积分区间，a 与b 分别称做积分下限与积分上限.
根据定积分定义，前二段所举的例子中，例1中曲边梯形的面积A 是函数)0)(()(≥=x f x f y 在
[]b a ,上的定积分，即
⎰=
b
a dx
x f A )(,
例二中当产品产量从300件增加到900件时所增加的成本为dx x F C ⎰=
900
300
)(，
关于定积分的定义，有以下几点说明
（1）函数)(x f 在区间[]b a ,上可积是指定积分⎰b
a dx x f )(存在，即不论对区间[]
b a ,怎样划分及
点i ξ如何选取，当0→λ时，和式i n
i i x f ∆∑=1
)(ξ的极限值都唯一存在，可以证明（证略）在[]b a ,上连续
的函数)(x f 必定在区间[]b a ,上可积.
（2）定积分表示一个数值，它只与被积函数及积分区间[]b a ,有关，而与积分变量用何字母表示无关，下面积分变量分别用w t u x ,,,，其定积分表示式实际都是一样的.
⎰⎰⎰⎰===b
a b a b a b a dw w f dt t f du u f dx x f )()()()(
（3）在定义中曾假定b a <，为今后应用方便，规定 （i ） dx x f dx x f a
b
b
a
⎰⎰-=)()( (换限变号)
（ii ）0)(=⎰a
a
dx x f
（4）由前面叙述可知，当0)(≥x f 时，定积分⎰b
a
dx x f )(的几何意义是表示由曲线)(x f y =,
直线b x a x ==, 与x 轴所围成曲边梯形的面积，但当)(x f 在区间[]b a ,上的值有正有负时，定积分
⎰b
a
dx x f )(在几何上表示曲线)(x f y =，直线b x a x ==,与x 轴围成的在x 轴上方和下方曲边梯形面
积的代数和，其中x 轴上方的面积为正，x 轴下方的面积为负，例如由图4.5所示，则有
⎰+-=b
a S S S dx x f 321)(
图4.5
4.2.4 定积分的基本性质
下面定积分的性质均假定)(x f ,)(x g 为可积的，
性质1 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即
⎰⎰⎰±=±b
a b a b a dx
x g dx x f dx x g x f )()()]()([
此性质可推广到有限多个函数代数和情形.
性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外，即
⎰⎰=b
a b a dx x f k dx x kf )()( （k 是常数）
性质3 对任意点c ，有
⎰⎰⎰+
=
b
c c
a
b
a
dx
x f dx x f dx x f )()()(
该性质又称为定积分的积分区间可加性.
性质4 如果)(x f 在区间[]b a ,上连续，则在区间[]b a ,上至少存在一点ξ，使得
))(()(a b f dx x f b
a -=⎰ξ
该性质又称为积分中值定理.
以上性质的证明均可参见[1],[2]，这里证略. 对于积分中值定理，特别指出其几何意义是在[]b a ,上至少存在一点ξ，使得以区间[]b a ,为底边，以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积等于同底边而高为
)(ξf 的矩形面积. 见图4.6所示.
图 4.6
其中⎰-=
b
a dx
x f a
b f )(1)(ξ 又表示连续曲线)(x f 在闭区间[]b a ,上的平均高度，即函数
)(x f 在区间[]b a ,上的平均值. 这是有限个数算求平均值概念的推广，在实际中经常遇到.
例3 平均价格 已知需求函数为
x
e
x D p 05.0100)(-== （单位：元）
试求出x 在区间[]60,40平均价格的表示式. 解 在区间[]60,40平均价格记为p ，则
dx e
dx e
p x
x
⎰⎰--=⋅-=
60
4060
4005.005.0510040
601
4.3 微积分基本定理
一、学时：
二、教学要求：
微积分基本定理：变上限函数、牛顿－莱布尼兹公式 （1）了解变上限函数及牛顿－莱布尼兹公式的推导*；
（2）理解牛顿－莱布尼兹公式的实质（会用实例说明），会熟练正确的利用公式求定积分。

重点：变上限函数，牛顿－莱布尼兹公式
难点：牛顿－莱布尼兹公式的推导*
三、教学内容：
函数)(x f 在[]b a ,上的定积分是用和的极限来定义的，如果直接去求这个和的极限往往是困难的，有时甚至求不出. 如何寻找计算定积分简便而有效的方法就成为解决有关实际问题的关键.
4.3.1 基本思路
先来探讨一下寻找求定积分简便方法的基本思路. 为计算函数)(x f 在[]b a ,上的定积分
⎰b
a dx x f )(，当年的数学家避开从和的极限出发来计算，而是考虑从定积分的直观几何意义出发. 不妨设
0)(≥x f （注：对于)(x f 一般情形，以下推理和结果仍然成立）. 计算⎰b
a dx x f )(就化为求曲线)(x f y =，x 轴及直线a x =与直线
b x =所围成的曲边梯形面积. 让这个面积产生一些变化，我们
试图从面积的变化中找规律. 为此，先研究()y f x =在[],a x 上所构成曲边梯形ABxa 的面积（如图4.7（a ））.
a
x b A
B
y
x y=f(x)
(a )
y
x
y=f(x)
(b )
a
b
图 4.7
曲边梯形ABxa 的面积是x 的函数，记为()x I ，即
通常称函数()x I 为变上限定积分，为了找到()x I 变化的规律，让自变量x 取得改变量x ∆，则对应的面积函数()x I 就取得改变量
()()x a
I x f t dt
=
⎰
x x x
ξ+∆
⎰⎰∆+-
=
-∆+=∆x
x a
x
a dt t f dt t f x I x x I I )()()()(
⎰⎰⎰∆+-
+=x a x
x x x
a dt
t f dt t f dt t f )()()(
⎰∆+=
x
x x
dt t f )(
改变量I ∆即为图4.7（b ）中阴影部分面积，由积分中值定理知存在],[x x x ∆+∈ξ （注：当x ∆为负时，应为],[x x x ∆+∈ξ），使得x f I ∆⋅=∆)(ξ 由此我们可发现如下规律：
x
I f ∆∆=
)(ξ，],[x x x ∆+∈ξ
令 0→∆x 得
)()(x I x f '= ()())l i m )((0
x f f x f x =→∆ξ是连续的，有
亦即变上限定积分)(x I 是被积函数)(x f 的一个原函数. 设)(x f 的一个原函数为)(x F ，则有
C x F x I +=)()( （C 为待定常数）
由 0)(=a I 知)(a F C -= 因此 )()()(a F x F x I -= 或
⎰-=x
a a F x F dx x f )()()(
令b x =，即求得定积分⎰-=b
a
a F
b F dx x f )()()(.
4.3.2 微积分学基本定理
下面把上述思路加以整理，写为定理及证明如下：
定理1 设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，如果)(x F 是)(x f 的一个原函数，则
)()()(a F b F dx x f b
a -=⎰
证 令,)()(⎰=
x
a
dt t f x I 这是被积函数为)(x f 的变上限定积分，前一段分析中已证明
)()(x f x I ='，即变上限定积分的导数等于被积函数)(x f . 因此变上限定积分是被积函数)(x f 的一
个原函数. 由基本定理的条件，)(x F 也是)(x f 的一个原函数，因此)(x I 与)(x F 仅相差一个常数C ，即
C x F x I +=)()(
所以 C x F dt t f x
a
+=⎰)()(
令 a x
= 得 0)()(==+⎰a
a dt t f C a F
因此 )(a F C -=
所以 )()()(a F x F dt t f x
a -=⎰
再令 b x = 得
)()()(a F b F dt t f b
a
-=⎰ 或
()()(a
F b F dx x f b
a -=⎰
该公式称为牛顿——莱不尼兹公式，它揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分的联系，也为定积分⎰b
a dx x f )(的计算提供了有效的计算方法，即只需求出)(x f 在区间[]
b a ,上的一个原函数)
(x F 然后计算)()(a F b F -即可，
牛顿—莱不尼兹公式也可记为
)()()()(a F b F x F dx x f b
a b a -==⎰
例1
⎰20s i n π
x d x
解
1)0c o s ()2
c o s (|]c o s [s i n 2
2
=---=-=⎰π
π
π
o x x d x
例2 计算 dx x ⎰5
2
解
3
1253
3
5
3
3
3
5
3
5
02
=
-
=
=
⎰x
dx x
下面来求前面几节例子中所出现的定积分 例3 计算在4.2.1中例1所给的由曲线125.0)(2
+=x x f ，x 轴以及直线5,1==x x 所围成
的平面图形面积.
解 所求面积记为A 面积 则
⎰+⋅
=+=5
15
1
3
2
)3
25.0()125.0(x x
dx x A
)13
125.0(53
12525.0+⨯
-+⨯=
333.143
43==
注 这里所求的面积是准确值，而且计算非常便利. 在前面我们借助计算机为工具，构造100个小矩形来通近面积A ，也仅得到
454.14214.14<<面积A
由此可见微积分学基本定理的威力.
例4 计算在4.2.2中例2所提出的当产品产量从300件增加到900件时，公司增加的成本C. 解 在4.2.2中例2中所增加的成本已表示为和的极限，实际上是下面的定积分：
dx C x
⎰-=900
300
3)500(
900
300
2
6500⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=x x
180000)6
300
300300500()6
900
900900500(=⨯-
⨯-⨯-
⨯=（元）
例5 试求4.2.4中例3的平均价格
解
dx e
P x
⎰--
=60
4005.05
60
40
05.005
.05-⋅
=-x
e
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--
-⋅=--05.005.052
3e e ()52.81003
2
=-=--e
e
（元）
下面例子说明为了求出定积分的值，可以充分利用求不定积分的技巧如积分换元法，分部积分法等
例6 计算定积分
dx e
x 3
1
2+-⎰
解 需要求出被积函数3
+x e
的原函数，即求不定积分如下
tdt e dx e
t
x 2.3
⎰⎰=+ （利用换元法，令
t x =+3，则tdt dx t x 2,32
=-=）
dt e te tde t
t
t
⎰⎰-=⋅=2)(22 （利用分部积分法）
C e te t
t
+-=22
C e
e
x x x +-+=++3
3
232
所以定积分
112
2
2
(2)2e --=-=⎰
.
例7 奇偶函数的定积分计算 设函数()y f x =在对称区间[],a a -上连续，则有 （1）若()f x 为偶函数时，0
()2()a a
a f x dx f x dx -=⎰⎰；
（2）若()f x 为奇函数时，
()0a a
f x dx -=⎰
.
上述结论可由定积分的几何意义直观得到. 四、练习
1. 利用基本公式计算下列定积分
（1） dx x ⎰3
5
（2） ⎰π
cos xdx
（3） dx x
⎰3
4
2
sin 1π
π
（4） dx x x ⎰+
2
1
3
)1(
2. 一曲边梯形由
12
-=x y ,x 轴和直线2
1=
x ,1=x 所围成，求此曲边梯形面积.
3. 计算下列定积分 （1）
()
1
2
023x dx -⎰ （2） ()
3
013x dx π
-⎰
（3
）
30
⎰
（4）()1
2
2
sin 1x x dx +⎰
4. 计算下列定积分 （1）⎰
++
30
11dx x
x （2
）1
x ⎰
5. 利用函数奇偶性及定积分几何意义计算定积分 （1）⎰
-π
π
xdx x 3
4sin （2）⎰-++5
5
4
2
2
31sin dx x
x x x
6.计算下列定积分
（1）⎰-1
dx xe
x
（2）⎰-202cos π
xdx e
x
7. 已知需求函数为()0.0130x
p D x e
-==（单位：元），其中x 为需求量，p 为价格，试求出x 在区间
[]30,50平均价格表达式.
8. 某公司对其产品成本变化情况测得如下关系式：
()30010010004
x
f x x =-
≤≤
其中x 表示该产品生产的数量，()f
x 表示当产品数量为x 时，再增加一个单位产品时所增加的成本，
试求当产品从100件增加到1000件时，该公司所增加的成本C （单位:元）.
4.4数值积分
一、学时： 2学时
二、教学要求：
数值积分：矩形法、梯形法、抛物线法（辛卜生法） （1）理解矩形法 （2）理解梯形法
（3）掌握抛物线法（辛卜生法）求数值积分
重点：理解矩形法、梯形法、抛物线法（辛卜生法）求数值积分 难点：抛物线法（辛卜生法）求数值积分 三、教学内容：
在利用定积分解决实际问题时，通常会遇到被积函数的原函数无法用初等函数的形式给出. 例如计算等，其中被积函数没有初等形式的原函数. 这时，牛顿－莱布尼兹公式就无法使用了. 有的实际问题，被积函数是用表格或图形给出，这时也无法使用牛顿－莱布尼兹公式. 因的有必要研究定积分的近似计算问题. 我们把求定积分的近似计算值也称为数值积分.
4.4.1 矩形法
根据定积分的几何意义，矩形法就是把曲边梯形分成若干各窄曲边梯形，然后用窄矩形代替窄曲边梯形，从而求得定积分的近似值. 具体描述如下：
用分点012,,,,n
a x x x x
b == 将区间[],a b 分成n 个小区间[]1,(1,2,,)i i x x i n -= ，记
1i i i x x x -∆=-，取[]1,i i i x x ξ-∈，则
1
()()n
b i i a
i f x dx f x ξ=≈
∆∑
⎰
（1）
为便于计算，通常区间[],a b 是等分的，并取为各小区间的中点（见图4.8），则
()
121,(1,2,,)22i i
i i x x b a i x a b a i n n n
ξ-+--∆===+-=
由公式（1）有
()
()
1
21
()2n
b a
i b a i f x dx f a b a n
n
=--≈
+-∑
⎰
这就是求定积分近似值的中矩形公式，我们 把上面右端式子简记为n M .
4.4.2 梯形法
的小直边梯形，用小直边梯形的面积代替窄曲边梯形的面积（如图4.9），近而求得曲边梯形面积的近似值. 具体描述如下：
用分点012,,,,n a x x x x b == 将积分区间[],a b 分成n 等分，记()i i y f x =(1,2,,)i n = ，现在 来考察每个小区间[]1,i i x x -，以()()1,i i f x f x -
为两底，以
b a
h
-为高的梯形面积 ()()
1(1,2,,)2
i i i f x f x b a
S i n
h
-+-=
⋅=
求这n 个小梯形面积之和，就得到积分近似公式：
()()
()()()012
11
()2
n
b n
n n a
i f x f x b a f x dx S f x f x
f x n -
=⎡⎤+-≈
=⋅++++⎢
⎥⎣
⎦
∑
⎰
这就是梯形公式，其中()()i i f x f a b a n
⎡⎤=+-⎢⎥⎣
⎦
. 我们把上面右端式子简记为n T .
4.4.3 抛物线法(辛卜生法)
在数值积分中与上述中矩形公式n M 和梯形公式n T 有密切关系的是抛物线法，也称为辛卜生公式. 辛卜生公式是把积分区间2n 等分，简记为2n S . 它与中矩形公式n M 和梯形公式n T 有如下关系：
223
n n
n M T S +=
例如当2,3n =时，我们有
()()()()()401234424,34
x b a
S f x f x f x f x f x x ∆-⎡⎤=++++∆=⎣⎦ ()()()()()()()6012345642424,36
x b a
S f x f x f x f x f x f x f x x ∆-⎡⎤=++++++∆=⎣⎦一般情况表达式为
()()()()()()()()()()021*******()462b n n a
n n
n b a f x dx f x f x f x f x f x n f x f x f x S ---⎡
≈
+++++⎣⎤++++=⎦
⎰
可以证明对于不高于3次的多项式，辛卜生公式可以给出定积分准确值. 对于一般被积函数，用辛卜生方法进行数值积分通常给出比梯形法和矩形法更好的近似值.
还有一些精确度更好的定积分近似公式，被使用在各种数学计算软件中，如Mathematica ，Maple ，Matlab 等，我们将介绍如何应用数学计算软件Matlab.
例1 某公司批量生产某流行品牌的太阳镜，其每小时生产x 付太阳镜的边际成本()C x '（单位：美元/付）列在表4.1：
表 4.1
现公司从每小时生产50付太阳镜增加到每小时生产450付太阳镜，试用梯形法估计每小时生产所增加的总成本.
解 设所增加的总成本记为C ，则 ()45050
C C x dx '=
⎰
利用表4.1和梯形公式近似计算上面定积分如下：
()()()()()()()()()504504505010015020025082300350400C C C C C C C C C C ''+⎡-''''≈++++⎢
⎣
'''+++⎤⎦
(
)
21.8013.11
5016.9515.314.5014.0013.6613.4213.252
+=⋅
+++++++
5927.25= （美元）
例2 试计算下面两条曲线之间的面积：2
2
(),()1x
f x e
g x x -==-.
解 本题需要用到数学计算软件（详见第七章）. 而得到在区间[]1.131,1.131-上()()f x g x ≥，并且两条曲线之间所围成的面积A 可用定积分表示：
()2
1.13121.131
1x A e x dx --⎡⎤=
--⎣⎦
⎰
x
y
1.131
-1.131
图 4.10
2
()x
f x e
-=
2
()1g x x =-
四、练习
1. 试用辛卜生公式求解本节的例1.
2. 试用辛卜生公式求
sin x
I dx x
π
=
⎰
（分别取2,4,6n =的情形）
一、学时： 2学时
二、教学要求：
微积分基本定理：变上限函数、牛顿－莱布尼兹公式
（1）了解变上限函数及牛顿－莱布尼兹公式的推导*； （2）理解牛顿－莱布尼兹公式的实质（会用实例说明），会熟练正确的利用公式求定积分。

重点：变上限函数，牛顿－莱布尼兹公式 难点：牛顿－莱布尼兹公式的推导*
三、教学内容：
4.5 广义积分
4.6 定积分在经济问题中应用
（1）理解用极限、定积分的知识求两种类型的广义积分； （2）将定积分的方法应用于商务中有关问题的数量分析。

重点：无限区间上的广义积分、无界函数的广义积分，定积分在经济问题中应用 难点：定积分在经济问题中应用
4.5 广义积分
前面所讨论的定积分，其积分区间都是有限区间. 在实际问题中，还会经常遇到积分区间为无穷区间的积分.
定义1 设)(x f 在[)+∞
,a 上连续，取a b >，极限⎰+∞
→b
a b dx
x f )(lim 称为)(x f 在无穷区间
),[+∞a 上的积分，记做⎰∞
+a
dx x f )(，
即
⎰⎰∞
+∞
→=a
b
a b dx x f dx x f )()(lim
若上式等号右端的极限存在，则称此无穷区间上的积分⎰
∞+a
dx x f )(收敛，否则称之为发散.
类似地，定义)(x f 在无穷区间),(b -∞上的积分为
⎰⎰∞
--∞
→=b
b
a a dx x f dx x f )()(lim
若上式等号右端的极限存在，则称之收钦，否则称之发散. 函数在无穷区间),(+∞-∞上的积分定义为
()()()c c
f x d x f x d x f x d x
∞+∞-∞
-∞
=
+⎰
⎰
⎰
， 其中C 为任意实数，当上式右端两个积分都收敛时，则称之为收敛，否则称之为发散.
无穷区间上的积分也称为无穷积分或称广义积分. 例1 计算无穷积分
解
()lim lim b
b x
x
x
b b e
dx e
dx e
+∞---→+∞
→+∞
=
=
-⎰
⎰
1)11(lim =+-
=
+∞
→b
b e
为了书写方便，在计算过程中可不写极限符号，用记号+∞a
x F )
(
表示)]()([lim
a F x F x -+∞
→，这样例1可写为
110)(00=+=-=⎰∞
++∞
--x
x e dx e
例2 讨论无穷积分⎰
∞+1
1dx x
p
收敛性
解 当1=p 时，+∞==⎰
∞+∞
+1
1
||ln 1x dx x
发散 当1≠P
时，收敛
发散
，，
111
1
111
11
><⎪
⎩⎪⎨⎧-∞+=-=∞+-∞
+⎰p p p p
x
dx x
p
p。