第7章矩阵特征值和特征向量的数值解

3 2.689 319 6.737 850 6.747 559 0.398 562 0.998 561 1.000 000
4 1.595 686 2.379 870 2.381 309 0.670 088 0.999 396 1.000 000
5 2.680 956 6.772 616 6.723 220 0.398 761 0.999 910 1.000 000
的常用方法是迭代每一步对向量 u (k ) 规范化。引入函数 max（ u (k ) ），它表示取
向 量 u (k ) 中 按模 最大 的分 量，例 如， u (k ) =(2,-5,4)T,则 max( u (k ) )=-5,这 样
u(k) ma x(u
(k
)
)
的最大分量为
1，即完成了规范化。
7.1 幂法
(6) if mk m0 或 mk m0 (1 mk ) then 输
出 mk , vi (i 1,2,, n), 停止计算； (7) m0 mk ; k k 1; 返回第 3 步。
例 7.1.1 试用幂法求矩阵
7 3 - 2
A
3
4
-
1
- 2 -1 3
按模最大的特征值和相应的特征向量 ( 105 ) 。
k
u(k)
v(k)
0
0.4
0.5
0.6
0.666 667 0.833 33 1.000 00
1 2.833 335 7.000 06 7.166 673 0.395 349 0.976 744 1.000 00
2 1.604 652 2.372 096 2.395 352 0.669 902 0.990 291 1.000 000
| 1 || 2 || 3 | . . .| n | （7.1.1）
由于
i 1
1(i 2,3,...,n),当1 0, (x1) j
0 时有
lim k
u (k 1) j
u
(k j
)
lim
k
1k 1[1x1 1k [1x1
n
i2 n
i2
i i
( (
i 1
i 1
k 1
) xi ]
k
) xi ] j
7.1 幂法
由式（7.1.5）和式（7.1.6）有
mk
max( u(k) )
max(
Au (k 1) )
max( Aku(0) ) max( Ak !u(0) )
于是
lim k
mk
lim
1k [1x1
n i2
( i 1
)k
xi
]
k
k 1 1
max(1x1
n i2
( i 1
)k 1 xi
)
1
2 9.250 000,6.000 000,-2.750 000 1.000 000，0.648 649，-0.297 297 9.250 000
3 9.540 541,5.891 892,-3.540 541 1.000 000，0.617 564，-0.371 105 9.540 541
4 9.594 901,5.841 360,-3.730 878 1.000 000，0.608 798，-0.388 840 9.594 901
(1)k 2 x2
n i ( i )k
i3
1
xi ]
(7.1.7)
于是
lim k
u (k 2) j
u
(k j
)
lim
k
1k
2[1x1
(1)k22 x2
n i3
i
( i 1
k2
) xi
1k [1x1
(1)k2 x2
n i3
i
(
i 1
k
)
xi ] j
]
j
12
即
1
lim
k
u (k 2) j
12
u111 v111
6.380396 0.398775
15.999990
1 3.999999 , 2 1 3.999999
本题精确解 1 4, 2 4, 3 1。特征向量由式(7.1.8)得： x1 u(11) 1u(10) (12.760792 ,25.521584 ,25.521584 )T x2 u(11) 1u(10) (0,6.478376 ,6.478376 )T
8 9.605 567,5.816 808,-3.788 717 1.000 000，0.605 566，-0.394 429 9.605 567
由表 7.1.1 知， m8 m8 105 ，故取 1 m8 9.605567 ，
相应特征向量为 x1 v(8) (1.000000 ,0.605566 ,0.374429 )T 。
u
(k j
)
由式（7.1.7）可以看出 u(k) 随着 k 增大，呈现有规律摆动，于是当 k 充分大
时，有
u
(k 1)
u(k
)
1k1(1x1 (1)k12 1k (1x1 (1)k 2 x2
x2 )
)
即
u
(k
u
1)
(k 1)
1u(
1u (
k)
k)
21k
1 1
x1
(1)k1 21k1
7.1 幂法
7.1.1 幂法原理及实用幂法 幂法主要用于求矩阵按模最大的特征值和相应的特征向量。设矩阵 A 的
n 个特征值 i (i 1,2,..., n) 满足： | 1 || 2 || 3 | ... | n | （7.1.1）
相应的 n 个特征向量 xi (i 1,2,..., n) 线性无关。上述假设表明， 1 为非零单
解 由算法 7.1.1 得计算结果如表 7.1.1 所示。
表 7.1.1 例 7.1.1 计算结果
k
u(k)
v(k)
mk
0 1.000 000,1.000 000, 1.000 000 1.000 000，1.000 000，1.000 000 1.000 000
1 8.000 000,6.000 000, 0.000 000 1.000 000，0.750 000，0.000 000 8.000 000
6 1.595 133 2.380 356 2.380 446 0.670 098 0.999 962 1.000 000
7 2.680 956 6.721 644 6.721 682 0.398 774 0.999 994 1.000 000
8 1.595 102 2.380 396 2.380 402 0.670 098 0.999 997 1.000 000
2
x2
)
除去一个常因子，我们得到特征向量
x1
x2
u(k 1) u(k 1)
1u(k ) 1u(k )
例 7.1.2 试用幂法求矩阵
4 -1 1
A
16
-
2
- 2
16 - 3 -1
按模最大的特征值和相应的特征向量。 解 由算法 7.1.1 得计算结果如表 7.1.2 所示。
表 7.1.2 例 7.1.2 计算结果
本题精确值 1 9.60555127 。
对于矩阵 A 按模最大的特征值还可能有多种情况，这是对幂法做适当 修正，仍可求出结果。
设矩阵 A 的按模最大特征值是互为相反的实根，即 1 0, 2 1 ，且
| 1 || 2 || 3 | ... | n | ，由式（7.1.4）知
u ( k )
1k [1x1
7.1.2 幂法的加速收敛方法
由幂法原理可知，幂法收敛速度主要受 r 2 的大小决 1
定。当 r 接近 1 时，敛速就缓慢。加速收敛方法，容易先想 到 Aitken 加速方法。有前幂法论证可知
mk
1
c( 2 1
)k
(7.1.9)
其中，c 是与 k 无关的常数。由式（7.1.9）可得
mk1 1 mk2 1 mk 1 mk1 1
7.1 幂法
实用幂法迭代格式如下：
任取初始向量 u(0) 0 ,作迭代
mkv(k
max(u ( k ) u(k)
mk
)
) (k
0,1,2,...)
u(k1) Av(k )
(7.1.5)
则
lim
k
mk
1
lim v(k) x1
k
max(x1)
事实上，由式（7.1.5）知
v(k)
Ak ，即 max（ v(k) ）=1，故
v(k)
Ak u ( 0) max( Aku(0) )
(7.1.6)
由式（7.1.4）有
lim v(k) lim
1k [1x1
n i2
( i 1
)k
xi
]
x1
k
k
1k
max(1x1
n i2
( i 1
)k
xi )
max(x1)
实根， x1 为实特征向量。
7.1 幂法
幂法基本原理是：任取非零实向量 u (0) ，做迭代
u(k) Au(k1) Aku(0) (k 1,2,...) (7.1.2)
则
1
lim
k
u (k 1) j
u
(k j
)
(7.1.3)
这里
u
(k j
)
表示向量
u
(
k
)
的第
j
个分量。
事实上，由于 xi (i 1,2,..., n) 线性无关，故可构成 Rn 中一组基，于是
由式（7.1.4）还可知，当 k 充分大时有
u(k ) 1k1x1 这表明 u (k ) 是特征向量 x1 的一常数倍，即 u (k ) 近似于特征向量 x1 。
基于式（7.1.2）和式（7.1.3）幂法的主要缺点是：当| 1 | 1 或| 1 | 1 时，由式（7.1.4）可知， u (k ) 会发生上溢或下溢，因此不实用。克服这一缺点
的常用方法是迭代每一步对向量 u (k ) 规范化。引入函数 max（ u (k ) ），它表示取
向 量 u (k ) 中 按模 最大 的分 量，例 如， u (k ) =(2,-5,4)T,则 max( u (k ) )=-5,这 样
u(k) ma x(u
(k
)
)
的最大分量为
1，即完成了规范化。
7.1 幂法
5 9.604 074,5.824 033,-3.775 317 1.000 000，0.606 413，-0.393 095 9.604 074
6 9.605 429,5.818 746,-3.785 699 1.000 000，0.605 777，-0.394 121 9.605 429
7 9.605 572,5.817 228,-3.778 139 1.000 000，0.605 777，-0.394 369 9.605 572
9 2.680 395 6.721 574 6.721 577 0.398 775 0.999 999 1.000 000
10 1.595 099 2.380 401 2.380 401
11 6.380 396 15.999 98 15.999 98
从表 7.1.2 可以看出，u(k)，v(k)呈有规律的间隔摆动 出现，符合我们分析的最大模是互为相反实根情况，于 是从 v(k)后，继续作不规范化迭代两次，于是
j
1
7.1 幂法
由式（7.1.4）还可知，当 k 充分大时有
u(k ) 1k1x1 这表明 u (k ) 是特征向量 x1 的一常数倍，即 u (k ) 近似于特征向量 x1 。
基于式（7.1.2）和式（7.1.3）幂法的主要缺点是：当| 1 | 1 或| 1 | 1
时，由式（7.1.4）可知， u (k ) 会发生上溢或下溢，因此不实用。克服这一缺点
R(x) ( Ax, x) (x, x)
(7.1.13)
为 Rayleigh 商。特别当 (x, x) x 2 1时，式(7.1.13)有更简单 2
形式 R(x) (Ax, x) 。
对称矩阵 A 的实用幂法迭代格式如下：
任取初始向量 u(0) 0 ,作迭代
ek u(k) 2
n
有 u(0) i xi ，由式（7.1.2）可得 i 1
7.1 幂法
u(k)
Ak
n
i xi
i 1
n
i Ak xi
i 1
n
ii k xi
i 1
1k [1x1
n i ( i )k
i2
1
xi ]
(7.1.4)
主要用于求矩阵按模最大的特征值和相应的特征向量。设矩阵 A 的
n 个特征值 i (i 1,2,..., n) 满足：
k
mi
i0
算法 7.1.1 实用幂法
(1) 输入： aij (i, j 1,2,n), ui (i 1,2,), ;
(2)
k
1; m0
max
1in
(u
i
);
(3) vi ui m0 (i 1,2,, n);
n
(4) ui aijv j (i 1,2,, n); j 1
5) mk m1ianx(ui );
由此可解得
1
~
mk2
mk
( mk2 mk mk2 2mk1 mk
)2
(7.1.10)
vi
vi(k2)
vi(k )
(
vi(k
v(k 1) i
2) 2vi(k
vi(k ) 1)
vi(
k
)
)2
(i 1,2,...,n)
7.1.2 幂法的加速收敛方法
定义 7.1.1 设 A Rnn ，且 AT A, x Rn ，且 x 0 ，称