【精选】2020届高考数学(鲁京津琼)专用精练：第十二章 模拟试卷(一)含解析

模拟试卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |2x ≥1}，则A ∩B 等于( ) A. [0,2) B ．[0,1) C ．(－1,0] D ．(－1,0) 答案 A
解析 由题意得B ＝{x |2x ≥1}＝{x |x ≥0}，又A ＝{x |－1<x <2}，∴A ∩B ＝{x |0≤x <2}＝[0,2)．故选A.
2．(2019·河北省示范高中联考)若z ＝1－i (1－i )2，则|z |等于( )
A. 2
B.22 C ．1 D.1
2
答案 B
解析 因为z ＝1－i －2i ＝1＋i 2＝12＋12i ，所以|z |＝2
2.
故选B.
3．下列函数中，既是偶函数，又在(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝2x －2－
x
B ．f (x )＝x 2－1
C ．f (x )＝x cos x
D ．f (x )＝－ln|x |
答案 D
解析 A 中，f (－x )＝2－
x －2x ＝－f (x )，不是偶函数，A 错；
B 中，f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝f (x )，是偶函数，但在(－∞，0)上单调递减，B 错；
C 中，f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，不是偶函数，C 错；
D 中，f (－x )＝－ln|－x |＝－ln|x |＝f (x )，是偶函数，且函数在(－∞，0)上单调递增，故选D. 4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝k ·2n －3，则a k 等于( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．16 答案 C
解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝k ·2n －
1；
当n ＝1时，a 1＝S 1＝2k －3＝k ·21－
1，解得k ＝3,
∴a k ＝a 3＝3·23－
1＝12.
故选C.
5．已知sin α＋cos α＝－75，2sin α－cos α＝－2
5
，则cos 2α等于( )
A.725 B ．－725 C.1625 D ．－1625 答案 A
解析 因为⎩⎨⎧
sin α＋cos α＝－7
5，2sin α－cos α＝－2
5
，所以sin α＝－3
5
，
从而cos 2α＝1－2sin 2α＝7
25
.故选A.
6．已知x 0＝π
3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的一个单调递增区间是( )
A.⎝⎛⎭⎫π6，2π3
B.⎝⎛⎭⎫
π3，5π6 C.⎝⎛⎭⎫5π6，4π3 D.⎝⎛⎭⎫2π3，π
答案 C
解析 ∵x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，∴f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝1， ∴2π3＋φ＝π
2＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝－π
6
＋2k π，k ∈Z ，
∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2k π＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
得－π6＋k π≤x ≤π
3＋k π，k ∈Z ，
令k ＝1，得5π6≤x ≤4π3
，
∴函数f (x )的一个单调递增区间为⎣⎡⎦⎤
5π6，4π3， 结合各选项可得C 符合题意． 故选C.
7．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3x －1，x <1，2x 2－ax ，x ≥1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ≤2
B ．a <2
C ．a ≥2
D ．a >2 答案 C
解析 由题意得，当x <1时，函数有一个零点x ＝1
3
；
当x ≥1时，令2x 2－ax ＝0，得x ＝a
2
，
要使函数有两个不同的零点，则只需a
2≥1，解得a ≥2.
故选C.
8．(2019·安徽省江淮名校试题)Rt △ABC 的斜边AB 等于4，点P 在以C 为圆心，1为半径的圆上，则P A →·PB →的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，52 B.⎣⎡⎦
⎤－52，5
2 C ．[－3,5] D ．[1－23，1＋23]
答案 C
解析 P A →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →) ＝PC →2＋(CA →＋CB →)·PC →＋CA →·CB →. 注意CA →·CB →＝0，PC →2＝1，|CA →＋CB →|＝4. P A →·PB →＝1＋(CA →＋CB →)·PC →.
所以当PC →与CA →＋CB →
同向时取最大值5，反向时取最小值－3.故选C. 9.⎝
⎛⎭⎫1＋x 2－2
x (1＋x )5的展开式中x 2的系数为( ) A ．1 B ．－9 C ．31 D ．－19 答案 B
解析 (1＋x )5的展开式中第k ＋1项为T k ＋1＝C k 5x k ，
其中x 2的系数，常数项，x 3的系数分别为C 25，C 05，C 35，故⎝⎛⎭⎫1＋x 2－2x (1＋x )5的展开式中x 2的系数为C 25＋C 05－2C 3
5＝－9.故选B. 10.如图，B 是AC 上一点，分别以AB ，BC ，AC 为直径作半圆．过B 作BD ⊥AC ，与半圆相交于D . AC ＝6，BD ＝22，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是( )
A.29
B.13
C.49
D.2
3 答案 C
解析 连接AD ，CD ，
可知△ACD 是直角三角形，又BD ⊥AC ，所以BD 2＝AB ·BC ，设AB ＝x (0<x <6)，则有8＝x (6－x )，得x ＝2或x ＝4，当x ＝2时，AB ＝2，BC ＝4， 由此可得图中阴影部分的面积等于 π×322－⎝⎛⎭⎫
π×122＋π×222＝2π， 故概率P ＝2π12×9π＝49.
同理，当x ＝4时，P ＝4
9.
故选C.
11.如图，已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若直线y ＝3x 与双
曲线C 交于P ，Q 两点，且四边形PF 1QF 2是矩形，则双曲线的离心率为( )
A ．5－2 5
B ．5＋2 5 C.3＋1 D.3－1 答案 C
解析 由题意，矩形的对角线长相等， 将y ＝3x 代入x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，
可得x ＝±
a 2
b 2
b 2－3a 2
，y ＝±3·
a 2
b 2
b 2－3a 2
，
∴4a 2b 2b 2－3a 2＝c 2， ∴4a 2b 2＝(b 2－3a 2)c 2， ∴4a 2(c 2－a 2)＝(c 2－4a 2)c 2， ∴e 4－8e 2＋4＝0，
∵e ＞1，∴e 2＝4＋23，∴e ＝3＋1. 故选C.
12．设正三棱锥P －ABC 的每个顶点都在半径为2的球O 的球面上，则三棱锥P －ABC 体积的最大值为( )
A.1639
B.49332
C.64327
D.934
答案 C
解析 设正△ABC 的边长为a ，中心为O ′，则|O ′A |＝3
3
a ，在Rt △OO ′A 中，由勾股定理可得|OO ′|＝
4－a 23
，
故三棱锥的高h ＝|PO ′|＝|OO ′|＋2＝ 4－a 2
3
＋2，
所以V P －ABC ＝1
3S △ABC ·h
＝13×34a 2⎝⎛⎭
⎫ 4－a 23＋2.
设
4－a 23＝t (0≤t <2)，则a 2
3
＝4－t 2，
则V (t )＝
34(4－t 2)(t ＋2)＝3
4
(－t 3－2t 2＋4t ＋8)， 所以V ′(t )＝
3
4
(－3t 2－4t ＋4)， 令V ′(t )＝0，则t ＝2
3或t ＝－2(舍)，
当t ∈⎣⎡⎭⎫0，2
3时，V ′(t )>0，V (t )单调递增； 当t ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，V ′(t )<0，V (t )单调递减． 故V (t )max ＝V ⎝⎛⎭⎫23＝64327. 故选C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝|b |＝2，则a ·(a －2b )＝________. 答案 0
解析 a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝4－2×2×2×
2
2
＝0. 14．若函数f (x )＝(a ＋1)x 3＋ax 2－2x 为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为________________________________________________________________________． 答案 x －y －2＝0
解析 f (x )＝(a ＋1)x 3＋ax 2－2x 为奇函数，则a ＝0， ∴f (x )＝x 3－2x ，
f ′(x )＝3x 2－2，∴f ′(1)＝3×12－2＝1，又f (1)＝－1，
曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0.
15．(2019·安徽省江淮名校联考)已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则a a ＋1＋b b ＋2
的最大值为________． 答案
5－22
4
解析 令x ＝a ＋1，y ＝b ＋2，则x ＋y ＝4，
所以a a ＋1＋b b ＋2＝2－⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝2－14(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝2－14⎝⎛⎭⎫3＋y x ＋2x y ≤2－3＋224 ＝
5－22
4
， 当且仅当y x ＝2x
y 时，等号成立，
此时a ＝42－5，b ＝6－4 2. 故最大值为5－22
4
.
16．设m ∈R ，若函数f (x )＝|x 3－3x －m |在x ∈[0，3]上的最大值与最小值之差为2，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－2]∪[0，＋∞) 解析 设g (x )＝x 3－3x ，x ∈[0，3]， 则g ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，
∴函数y ＝g (x )在区间[0,1)上单调递减，在区间(1，3]上单调递增． ∵g (0)＝0，g (1)＝－2，g (3)＝0，
∴函数y ＝g (x )在区间[0，3]上的值域为[－2,0]，最大值与最小值之差为2，
∴函数y ＝x 3－3x －m ，x ∈[0，3]的值域为[－2－ m ，－m ]，最大值与最小值之差也为2. ∵函数f (x )＝|x 3－3x －m |在x ∈[0，3]上的最大值与最小值之差为2，∴－2－m ≥0或－m ≤0， 解得m ≤－2或m ≥0.
∴实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪[0，＋∞)． 三、解答题(本大题共70分)
17．(10分)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝81，a 2＋a 3＝8. (1)求{a n }的通项公式；
(2)若S 3，a 14，S m 成等比数列，求S 2m .
解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧ S 9＝9a 5＝9(a 1＋4d )＝81，a 2＋a 3＝2a 1＋3d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，
d ＝2，
故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知，S n ＝n (1＋2n －1)2
＝n 2
.
∵S 3，a 14，S m 成等比数列，∴S 3·S m ＝a 214， 即9m 2＝272，解得m ＝9，故S 2m ＝182＝324.
18．(12分)如图，D 是Rt △ABC 斜边BC 上一点，AC ＝3DC .
(1)若∠DAC ＝30°，求角B 的大小；
(2)若BD ＝2DC ，且AD ＝22，求DC 的长． 解 (1)在△ABC 中，根据正弦定理， 有
AC sin ∠ADC ＝DC
sin ∠DAC
.
因为AC ＝3DC ，所以sin ∠ADC ＝3sin ∠DAC ＝32
. 又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋60°>60°， 所以∠ADC ＝120°.
于是∠C ＝180°－120°－30°＝30°，所以∠B ＝60°. (2)设DC ＝x ，则BD ＝2x ，BC ＝3x ，AC ＝3x . 于是sin B ＝AC BC ＝33，cos B ＝6
3，AB ＝6x .
在△ABD 中，由余弦定理，得 AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ， 即(22)2＝6x 2＋4x 2－2×6x ×2x ×6
3
＝2x 2 ，得x ＝2. 故DC ＝2.
19．(12分)如图，四边形ABCD 为正方形，BE ∥DF ，且AB ＝BE ＝DF ＝2
2
EC ，AB ⊥平面BCE .
(1)证明：平面AEC ⊥平面BDFE ； (2)求二面角A －FC －D 的余弦值．
(1)证明 ∵四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD .
∵AB ＝BC ＝BE ＝
2
2
EC ，∴BE 2＋BC 2＝EC 2，∴BE ⊥BC . 又∵AB ⊥平面BCE ，∴AB ⊥BE .
∵AB ∩BC ＝C ，∴BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥AC . 又BE ∩BD ＝B ，∴AC ⊥平面BDFE ， ∵AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面BDEF .
(2)解 ∵BE ⊥平面ABCD ，BE ∥DF ，∴DF ⊥平面ABCD .
以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，令AB ＝1， 则A (1,0,0)，C (0,1,0)，E (1,1,1)，F (0,0,1)， 则FC →＝(0,1，－1)，AC →
＝(－1,1,0)， 设平面AFC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧
FC →·n 1＝y 1－z 1＝0，AC →·n 1＝－x 1＋y 1＝0，
令x 1＝1，则n 1＝(1,1,1)．
易知平面FCD 的一个法向量n 2＝(1,0,0)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝33.
二面角A －FC －D 为锐角， ∴二面角A －FC －D 的余弦值为
33
. 20．(12分)某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1 200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类(不参加课外阅读)，B 类(参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时)，C 类(参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时)．调查结果如下表：
(1)求出表中x ，y 的值；
(2)根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；
(3)从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X 为抽取的这3名女生中A 类人数和C 类人数差的绝对值，求X 的均值． 附：K 2
＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
.
解 (1)设抽取的20人中，男、女生人数分别为n 1，n 2， 则⎩⎨⎧
n 1＝20×1 200
2 000
＝12，n 2
＝20×800
2 000＝8，
所以x ＝12－5－3＝4，y ＝8－3－3＝2. (2)列联表如下：
K 2
的观测值k ＝20×(4×6－2×8)212×8×14×6
＝1063
≈0.159<2.706，
所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关． (3)X 的可能取值为0,1,2,3，
则P (X ＝0)＝C 33＋C 12C 13C 1
3
C 3
8＝1956
， P (X ＝1)＝C 23C 13＋C 23C 12＋C 12C 23＋C 22C 1
3
C 3
8＝37
，
P (X ＝2)＝C 22C 13＋C 23C 13C 3
8＝314，P (X ＝3)＝C 33
C 38＝156
， 所以E (X )＝0×1956＋1×37＋2×314＋3×156＝51
56
.
21．(12分)在直角坐标系xOy 中，直线y ＝x ＋4与抛物线C ：x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，且OA ⊥OB . (1)求C 的方程；
(2)试问：在x 轴的正半轴上是否存在一点D ，使得△ABD 的外心在C 上？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)联立⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 2＝2py ，y ＝x ＋4，
得x 2－2px －8p ＝0，Δ＝4p 2＋32p >0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2p ，x 1x 2＝－8p ， 从而y 1y 2＝(x 1＋4)(x 2＋4)＝x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋16. ∵OA ⊥OB ，∴OA →·OB →
＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝2x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋16＝0，
即－16p ＋8p ＋16＝0，解得p ＝2，故C 的方程为x 2＝4y . (2)设线段AB 的中点为N (x 0，y 0)， 由(1)知，x 0＝x 1＋x 22＝2，y 0＝x 0＋4＝6，
则线段AB 的中垂线方程为y －6＝－(x －2)， 即y ＝－x ＋8.
联立⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＝4y ，y ＝－x ＋8，得x 2＋4x －32＝0，解得x ＝－8或4，
从而△ABD 的外心P 的坐标为(4,4)或(－8,16)． 假设存在点D (m ,0)(m >0)，设P 的坐标为(4,4)， ∵|AB |＝1＋12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×16＋64＝410， ∴|P A |＝|PN |2＋|AN |2＝43， 则|DP |＝(m －4)2＋16＝4 3. ∵m >0，∴m ＝4＋4 2. 若P 的坐标为(－8,16)， 则|P A |＝|PN |2＋|AN |2＝415， |DP |＝(m ＋8)2＋162>415，
则P 的坐标不可能为(－8,16)．
故在x 轴的正半轴上存在一点D (4＋42，0)，使得△ABD 的外心在C 上．
22．(12分)(2019·安徽省江淮名校联考)已知函数f (x )＝e x ＋ax 2在x ＝1处的切线方程为y ＝bx ＋1.
(1)求a ，b 的值；
(2)证明：当x >0时e x ＋2x ≥x 2＋e x ＋1.
(1)解 f ′(x )＝e x ＋2ax ，
由题设⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝e ＋a ＝b ＋1，f ′(1)＝e ＋2a ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝e －2. (2)证明 实际上是证明当x >0时，f (x )＝e x －x 2的图象在直线y ＝(e －2)x ＋1的上方．
令g (x )＝e x －x 2－(e －2)x －1，x >0，则g ′(x )＝e x －2x －e ＋2，令t (x )＝e x －2x －e ＋2，则t ′(x )＝e x －2，
所以g ′(x )在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增；g ′(x )在x ＝ln 2处取唯一的极小值．
注意到g ′(0)＝3－e>0，g ′(1)＝0，而0<ln 2<1，
所以g ′(ln 2)<0，所以g ′(0)·g ′(ln 2)<0；
又因为g ′(x )在(0，ln 2)上单调递减，
所以存在唯一的x 0∈(0，ln 2)，使g ′(x 0)＝0；
因此当x ∈(0，x 0)或x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，
当x ∈(x 0，1)时，g ′(x )<0；
所以当x ∈(0，x 0)或x ∈(1，＋∞)时，g (x )单调递增，当x ∈(x 0，1)时，g (x )单调递减； 由于g (0)＝g (1)＝0，所以g (x )＝e x －x 2－(e －2)x －1≥0，当且仅当x ＝1时等号成立． 所以当x >0时，不等式e x ＋2x ≥x 2＋e x ＋1成立．。