2024届“贵百河”高三上学期11月质量调研联考数学试题答案

2024届“贵百河”11月高三质量调研联考试题
数
学参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．因为3{|1}2
A x x =-<<，{|05}
B x x =<<，所以3
(0,)2
A B = ．选D
2．2
1
1z i i
=
=-+，则|32||4|z i i ++=+=．选D 3．由线面平行的判定定理得：a β⊄，b β⊂，//a b //a β⇒，但//a β不一定有//a b ，故当a β⊄，b β
⊂时，“//a b ”是“//a β”的充分不必要条件，选A
4．设该圆的标准方程是222(2)(3)x y r ++-=，双曲线2
214
x y -=的渐近线方程为20x y ±=，圆心(2,3)
-到直线20x y +=的距离为1
d =
=，圆心(2,3)-到直线20x y -=的距离为21
d d =
=>=，r ∴=，所以该圆的标准方程是22
16(2)(3)5x y ++-=，选A
5．基本事件数为44A 24=，其中物理考试与数学考试不相邻的事件有22
23A A 12=，这4个学科不同的考试
顺序中物理考试与数学考试不相邻的概率为121
242
P ==，选B 6．因为2()22x x x f x -=
+，所以2()()22x x x f x f x ---==-+，所以函数2()22x x x
f x -=+为奇函数，排除A ；0
x >时，2()022
x x
x
f x -=
>+恒成立，排除D ；当x →+∞时，根据一次函数与指数函数的增长速度，可知0y →，排除C ；选B
7．2cos sin 1αα⋅=+=a b ，2224cos (1sin )12sin sin αααα∴=-=-+，25sin 2sin 30αα∴--=，解得
3sin 5α=-或sin 1α=，当sin 1α=时，cos 0α=，满足1⋅=a b ，当3sin 5α=-时，4
cos 5α=±，而
2cos sin 1αα⋅=+=a b 或11
5
-
，选C 8．设()ln ln(9)f x x x =-，则ln(9)(9)ln(9)ln ln ()9(9)x x x x x
x f x x x x x ----=
-'=
--，912
x <<，设()(9)ln(9)ln g x x x x x =---，则()ln(9)1ln 1ln(9)ln 2g x x x x x '=-----=----，当912x <<
时，()0g x '<，所以()g x 在9(1,)2上单调递减，9
()()02
g x g >=，所以()0f x '>，即()f x 在9(1,)2
上单调递增，因为9
12342
<<<<，所以有(4)(3)(2)f f f >>，即ln 4ln 5ln 3ln 6ln 2ln 7>>，
又ln ln 4ln 5a =，ln ln 3ln 6b =，ln ln 2ln 7c =，即ln ln ln a b c >>，所以a b c >>．选C
二、多选题：本题共4小题，每小题分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选
对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．对于A ，两个变量,x y 的相关系数为r ，||r 越小，x 与y 之间的相关性越弱，故A 正确；对于B ，随
机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，由正态分布概念知若(1)P p ξ>=，则(1)(1)P P p ξξ<-=>=，又
2(10)2(1)1P P ξξ-<<+≤-=，1(10)2
P p ξ∴-<<=-，故B 错误；对于C ，在回归分析中，2R 越
接近于1，模型的拟合效果越好，所以2R 为0.99的模型比2R 为0.88的模型拟合的更好，故C 正确；对于D ，某人在10次答题中，答对题数为X ，(10,0.7)B X ，则数学期望100)7(.7E X =⨯=，说明答对7题的概率最大，故D 正确．故选ACD
10．函数()f x 的最小正周期2()36T πππ=⨯+=，故A 选项正确；因为2A =，22πωπ
==，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，又因为点(,2)3π在()f x 的图象上，所以2sin(2)23πϕ⨯+=，即2232
k ππϕπ+=+（k ∈Z ），所以26
k πϕπ=-（k ∈Z ），因为||2
πϕ<，所以6
π
ϕ=-，故B 选项不正确；由以上可得
()2sin(2)6f x x π=-
，5511()2sin(2)2sin 126666f ππππ-=-⨯-=-=≠± ，56
x π
∴=-不是()f x 的一条对称轴，故C 选项不正确；由352222
6
2
k x k πππππ+<-<+（k ∈Z ）得546
3
k x k ππππ+<<+（k ∈Z ），所以()f x 的递增区间为54(,)6
3
k k ππππ++（k ∈Z ），故D 选项正确．故选AD
11．2
2
()e x
x x f x --+'=
，令()0f x '=，解得2x =-或1x =，当2x <-或1x >时，()0f x '<，故函数()f x 在(,2)-∞-，(1,)+∞上单调递减，当21x -<<时，()0f x '>，故函数在(2,1)-上单调递增，且函数()f x 有极小值2(2)e f -=-，有极大值5
(1)e
f =，故B 选项正确；又3(3)e 0f -=>，当0x >时，()0f x >，
故()f x 在(3,2)--及(2,1)-内各有一个零点，故A 选项不正确；因为()f x 的极大值为5
(1)e
f =，所
以1t ≤，故C 选项正确；因为()f x 的极小值为2(2)e f -=-，且当0x >时，()0f x >，故D 选项正确；故选BCD
12．由椭圆22
:184
y x E +=可得a =2b =，则2c =，所以椭圆E 的长轴长为2a =A 不正确；以12||F F 为直径的圆恰好过椭圆E 的上下顶点，所以12F PF ∠为直角时，有两个点P ，
12PF F ∠
为直角时，有两个点P ，同理21PF F ∠为直角时，有两个点P ，故B 正确；12||||2PF PF a +== ，
2
12
12||||||||(
)82
PF PF PF PF +∴≤=，当且仅当12||||PF PF ==C 正确；设00(),P x y ，
0(x ≠±，(0)A -，(,0)B ，则2200184
x y +=，2200
82x y ∴=-，则PA k =
PB k =
，故20
2
01
2
8
PA PB k y k x ⋅=
=-
-，故D 正确，故选BCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．()e x f x '=，(0)1k f '==，(0)1f =，所以()f x 在0x =处的切线方程为1y x -=，即10x y -+=．14．所有的二项式系数之和为
264n =，6n ∴=，2)n x
展开式中各项的系数的绝对值之和相当于
2
)n x
展开式中各项的系数之和，令1x =得63729=，答案为729．
15．当球的半径最大时，球与圆锥底面和侧面均相切，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则
222229)l r h r r =+=+=，解得
r =，所以圆锥的体积为211
33333
V r h πππ==⨯⨯=．
16．110a =2345675168421a a a a a a ⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=8910421a a a ⇒=⇒=⇒= ，所以从5
n ≥
起后面的项构成周期数列，501051681574148S ∴=++++⨯+=，答案为50148S =．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．
（1）依题意，设数列{}n a 的前n 项和(21)n S kn n =+，数列{}n b 的前n 项和2n T kn =，0k ≠,……2分则1(41)n n n a S S k n -=-=-，277a k ∴==，1k ∴=，………………………………………………4分
221(1)21n n n b T T n n n -∴=-=--=-；…………………………………………………………………5分
（2）由（1）得41n a n =-，…………………………………………………………………6分
因为1,2,n
n n n b a n a c n +⎧=⎩
+⎨
为奇数
为偶数，所以当n 为奇数时，1n n n c a a +=+，132112342122(381)
2(41)2
n n n n n c c c a a a a a a n n --+-∴+++=++++++=
=+ ，……………8分
当n 为偶数时，2122n b n n c -==，
343
7
41
42424
2[1(2)]8222
(21)15
12n n n
n c c c --∴+++=+++=
=
-- ，…………………………………9分41321242282(41)(21)15
n
n n n c c c c c c n n U -+++++++=++
∴=- ．……………………………10分
18．（1）3sin sin sin()A b B c A B =+- sin sin cos sin cos b B c A B c B A =+-，………………………………2分
22222222211
3cos cos ()()22a b ac B bc A b a c b b c a a ∴=+-=++--+-=，……………………………4分
3a ∴=；…………………………………………………………………………………………………5分（2）在ABC ∆中有1sin 2S bc A =
，即1
sin 2bc A =， (6)
分
222
sin 2b c a A A bc
+-∴==，3A π∴=，
……………………………………………………7分
由正弦定理得：sin sin sin b c a B C A =
==
，2sin()]6sin(36
b c B B B ππ∴+=+-=+，……9分
在ABC ∆中，3
A π=，203
B π<<，1sin()12
6
B π∴<+≤，…………………………………………10分所以36b c <+≤，当3
A B C π===时，等号成立，……………………………………………………11分
故ABC ∆周长的取值范围为(6,9]．
………………………………………………………………12分
19．（1）过E 作直线//MN AB ，分别交AD ，BC 于点M ，N ，
则M ，N 是AD ，BC 的中点，MN ∴⊥平面11B BCC ，又BF ⊂平面11B BCC ，MN BF ∴⊥，
………………………2分
1BB BC = ，1BN CF ==，190B BN BCF ∠=∠=︒，1B BN BCF ∴∆≅∆，1BB N CBF ∴∠=∠，
190B NB CBF ∴∠+∠=︒，1BF B N ∴⊥，……………………4分
又1MN B N N = ，BF ∴⊥平面11A B NM ，
又EP ⊂平面11A B NM ，EP BF ∴⊥；…………………………6分
（2）由正方体知1DD ⊥平面ABCD ，且AD CD ⊥，以D 为坐标原点，DA ，DC ，
1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，
则(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(2,2,0)B ，1(2,2,2)B ，(1,1,0)E ，(0,2,1)F ，…………………7分
B B
C C
D D
A
A x
P 第19题
1
1
11
y z E F M N
设1(02)A P t t =≤≤，则(2,,2)P t ，(1,1,2)EP t ∴=- ，(1,1,1)EF =-
，
…………………8分
设平面PEF 的法向量为(,,)x y z =n ，则由00EP EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩
n n 得{
(1)20
0x t y z x y z +-+=-++=，
令z t =得3x t =-，3y =-，(3,3,)t t ∴=--n ，
…………………………………………10分
又(2,0,1)BF =-
，||
sin |cos ,|||||
BF BF BF θ⋅∴=<>==n n n
，………………11分解得：32
t =，或3t =-（舍去），所以线段1A P 的值为32
．…………………………………………12分20．（1）由题知，X 的取值可能为1，2，3，
……………………………………………………………1分
所以213
11(1)()9
C P X ===；22113
4
111(2)[1()]()18
C C P X ==-=；
221134
115
(3)[1(
)][1()]6C C P X ==--=；…………………………………………………………………3分所以X 的分布列为：
所以数学期望为115224549
()1239
18
6
18
18
E X ++=⨯+⨯+⨯==；…………………………………………6分
（2）令1i i x t =，则 y bx
a =+ ，由题知：5
1
346i i i x y ==∑，100y =，………………………………………7分所以5
15
2
2
1
534650.46100116
2901.4650.2120.4
5i i i i i x y x y
b
x x
==-⋅∑-⨯⨯==
==-⨯-∑ ，…………………………………………………9分
所以 1002900.4633.4a =-⨯=-， 29033.4y x =-，故所求的回归方程为：
290
33.4y t
=-，………10分所以，估计6t =时，15y ≈；估计7t =时，8y ≈；估计8t =时，3y ≈；估计9t ≥时，0y <；
………………………………………………………………………………11分
预测成功的总人数为5001583526+++=．
…………………………………………………………12分
21．
（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AB 的斜率212121
34
k y y x x y y -==-+，…………………………1分
直线OA 的斜率为11114y k x y =
=，直线OB 的斜率为222
24
y k x y ==，…………………………………3分
1212123
11
1444y y y y k k k +∴
+=+==；……………………………………………………………………4分（2）作与AB 平行且与C 相切的直线l ，切点为D ．由题知ABD ∆
的面积等于．………………5分
当直线AB 的斜率不存在时，直线l 为y 轴，此时||4AB =，ABD ∆
的面积1
1422
S =⨯⨯=≠，
所以直线AB 的斜率k 存在，且0k ≠，……………………………………………………………6分设直线AB 的方程为(1)y k x =-，直线l 的方程为y kx t =+，
联立24y x y kx t
⎧=⎨=+⎩得2440ky y t -+=，16160kt ∴∆=-=，1t k ∴=，………………………………7分
所以直线l 与直线AB
的距离为1||
k k d +=，…………………………………………………8分X 1
23
P
1
9
118
56
………………………………………4分
联立24y x y kx k ⎧=⎨=-⎩得2440ky y k --=，124y y k ∴+=，124y y =-， (9)
分
2122
4(1)|||k AB y y k +∴=-=，……………10分
所以ABD ∆
的面积为222324(1)(1112||2||k k S d AB k k ++====…………………11分
=1k =±，所以直线AB 的方程为10x y --=或10x y +-=．…………………12分
22．（1）2()ln ()12a x ax x x F =+-++，
则221(21)(1)1()2(2(2))ax x ax F x ax a x x x a x
-+--=-++==
+'，0x >，……………………………1分①当0a ≤时，由()0F x '>得102x <<
，由()0F x '<得1
2x >，所以()F x 在1(0,)2
上是增函数，在1
(,)2
+∞上是减函数；……………………………………………3分
②当02a <<时，
112a >，由()0F x '>得102x <<或1x a >，由()0F x '<得112x a
<<，所以()F x 在1(0,)2
，1(,)a
+∞上是增函数，在11
(,)2a
上是减函数；…………………………………5分综上，当0a ≤时，()F x 在1(0,)2
上是增函数，在1
(,)2
+∞上是减函数；
当02a <<时，()F x 在1(0,)2
，1(,)a
+∞上是增函数，在11
(,)2a
上是减函数；……………………6分
（2）21212121()()ln ln f x f x x x k x x x x ''--=
=--．要证121x x k
<<，即证211221ln ln x x x x x x -<
<-，等价于证2
122
11
11ln x x x x x x -<<，令211x
t x =>，则只要证11ln t t t -<<，由1t >知ln 0t >，故等价于证ln 1ln t t t t <-<（*）．
………………………………………………………7分
①设()1ln (1)g t t t t =--≥，则1
()10(1)g t t t
≥'=-≥，故()g t 在[1,)+∞上是增函数，
当1t >时，()1ln (1)0g t t t g =-->=，即1ln (1)t t t ->>．……………………………………………9分②设()ln (1)(1)h t t t t t =--≥，则()ln 0(1)h t t t '=≥≥，故()h t 在[1,)+∞上是增函数，
当1t >时，()ln (1)(1)0h t t t t h =-->=，即1ln (1)t t t t -<>．………………………………………11分由①②知（*）成立，即121
x x k
<
<得证．……………………………………………………………12分。