金版新学案2016-2017学年(北师大版)高中数学选修2-1模块质量检测(一)含答案

模块质量检测（一)
（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．(2011·福建卷)若a∈R,则“a＝2”是“（a－1）(a－2)＝0”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
解析: 由“a＝2"可以推出“(a－1）（a－2）＝0”,但由“(a－1)(a －2)＝0”应推出“a＝1或a＝2”，不一定推出“a＝2”，故“a＝2”是“（a－1）（a－2）＝0”的充分而不必要条件．
答案：A
2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )
A．不存在x∈R,x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R,x3－x2＋1≤0
C．存在x∈R，x3－x2＋1＞0
D．对任意的x∈R,x3－x2＋1＞0
解析: 全称命题的否定是特称命题,且将结论否定，故为C.
答案: C
3．在如图正方体中，下列各式中的运算结果为向量错误!的有（)
①(错误!＋错误!）＋错误!
②(错误!＋错误!）＋错误!
③（错误!＋错误!)＋错误!
④（错误!＋错误!)＋错误!
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析: ∵（错误!＋错误!）＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!,∴①正确，
(错误!＋错误!)＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!，∴②正确，
(错误!＋错误!）＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!，∴③正确，
（错误!＋错误!）＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!，∴④正确，故选D.
答案: D
4．若a ＝（1，x,2)，b ＝（2，－1，2)，a 与b 夹角的余弦值为错误!,则x 等于（ )
A ．2
B ．－2
C ．－2或错误!
D ．2或－错误!
解析： cos 〈a ，b 〉＝错误!＝错误!＝错误!，解得x ＝－2或x ＝错误!，故选C 。

答案: C
5．如果命题“¬（p 或q ）"是假命题，则下列命题正确的是( ）
A ．p ，q 都是真命题
B ．p ，q 中至少有一个真命题
C ．p ，q 都是假命题
D ．p ，q 中至多有一个真命题
解析： 命题“¬(p 或q ）"是假命题,则命题“p 或q ”是真命题，所以p ,q 中至少有一个真命题．故选B 。

答案： B
6．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍,则m ＝( )
A ．－14
B ．－4
C ．4
D ．－错误!
解析： 双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，
∴m <0,且双曲线方程为－错误!＋y 2＝1，∴m ＝－错误!.
答案: A
7．若拋物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,
则点P的坐标为( ）
A.错误!B。

错误!
C。

错误!D。

错误!
解析：点P到准线的距离即点P(x0,y0)到焦点的距离，得｜PO|＝|PF｜，过点P所作△POF的高也是中线．
∴x0＝错误!，代入到y2＝x得y0＝±错误!,
∴P错误!。

故选B.
答案：B
8．已知a·b＝0,|a|＝2,|b｜＝3，且(3a＋2b)·(λa－b）＝0，则λ等于( )
A。

错误!B．－错误!
C．±错误!D．1
解析：由a·b＝0及（3a＋2b）·（λa－b)＝0，得3λa2＝2b2,又|a|＝2，|b｜＝3，所以λ＝错误!,故选A。

答案：A
9．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，－2),则它的离心率为( )
A.错误!B。

错误!
C。

错误! D.错误!
解析: 由题意知（4，－2）在y＝－错误!x上,即错误!＝错误!,
∴错误!＝错误!即错误!＝错误!
∴错误!＝错误!，∴e＝错误!，故选D。

答案：D
10．如右图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC,M是CC1的中点，Q是BC的中点,P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为( ）
A。

错误! B.错误!
C。

错误! D.错误!
解析：
以A为坐标原点，AC、AB、AA1所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AA1＝AB＝AC＝2，则错误!＝（0，2,1），Q（1，1,0),P(1，0,2)，错误!＝（0，－1,2)，所以错误!·错误!＝0，所以
QP与AM所成角为π2 .
答案：D
11．已知双曲线错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝错误!x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为（)
A。

错误!－错误!＝1 B.错误!－错误!＝1
C。

错误!－错误!＝1 D。

错误!－错误!＝1
解析：∵渐近线方程是y＝3x,∴错误!＝错误!.①
∵双曲线的一个焦点在y2＝24x的准线上，∴c＝6.②
又c2＝a2＋b2，③
由①②③知，a2＝9，b2＝27，
此双曲线方程为错误!－错误!＝1。

答案：B
12.
如图所示，在几何体A。

BCD中，AB⊥面BCD，BC⊥CD，且
AB＝BC＝1，CD＝2,点E为CD中点，则AE的长为（) A。

错误! B.错误!
C．2 D。

错误!
解析：A错误!＝A错误!＋B错误!＋C错误!,
∵｜A错误!|＝|B错误!｜＝1＝｜C错误!|，
且A错误!·B错误!＝A错误!·C错误!＝B错误!·C错误!＝0.
又∵A错误!2＝(A错误!＋B错误!＋C错误!)2，
∴A错误!2＝3,∴AE的长为错误!.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．（2012·菏泽十校联考）若“x∈[2，5]或x∈｛x｜x＜1或x ＞4}是假命题，则x的取值范围是________．
解析：∵x∈［2,5］或x∈｛x｜x＜1或x＞4｝是假命题，
∴x∈[2，5]为假且x∈｛x｜x＜1或x＞4}为假，
∴x∈(－∞，2）∪(5，＋∞）且x∈［1，4]，
∴x∈[1,2）．
答案: ［1，2)
14．（2012·福州高级中学期末）已知A(2，－1,1)，B(1，x,4)，C(4，－3，－5)，若向量错误!∥错误!，则x＝________。

解析：∵错误!＝（－1,x＋1,3)，错误!＝(2，－2，－6）,
且错误!∥错误!，
∴错误!＝λ错误!，
即（－1，x＋1，3)＝λ(2，－2,－6)
∴错误!解得λ＝－错误!，x＝0.
答案：0
15．已知双曲线错误!－错误!＝1(m＞0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1,则m＝________.
解析：依题意，错误!＝1，解得m＝错误!。

答案：错误!
16．（2011·唐山高二检测）已知双曲线x2－错误!＝1的左顶点为A1,右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则错误!·错误!最小值为________．
解析：A1（－1，0)，F2（2，0），设P（x,y）（x≥1）,
错误!·错误!＝（－1－x,－y)·（2－x，－y)＝x2－x－2＋y2,
又x2－错误!＝1,故y2＝3(x2－1），
于是错误!·错误!＝4x2－x－5＝4错误!2－5－错误!,
当x＝1时，取到最小值－2。

答案：－2
三、解答题(本大题共6小题,共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(10分)已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根,q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．
解析：p：Δ＝m2－4＞0，且m＞0，解得m＞2。

q：Δ＝16（m－2)2－16＜0,解得1＜m＜3.
∵“p或q”为真，“p且q”为假，
∴p、q两命题一真一假，即错误!或错误!
解得m≥3或1＜m≤2.
18．(12分）设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0，q：实数x满足x2－x－6≤0，或x2＋2x－8＞0，且¬p是¬q的必要不充分条件,求a的取值范围．
解析: 设A＝｛x｜p｝＝｛x|x2－4ax＋3a2＜0（a＜0）}
＝｛x｜3a＜x＜a(a＜0）｝，
B＝｛x|q｝＝｛x|x2－x－6≤0，或x2＋2x－8＞0｝
＝{x｜x2－x－6≤0}∪｛x|x2＋2x－8＞0｝
＝｛x|－2≤x≤3｝∪｛x｜x＜－4，或x＞2}
＝｛x｜x＜－4或x≥－2｝．
∵¬p是¬q的必要不充分条件，
∴¬q⇒¬p,且¬p⇒/ ¬q，
∴{x｜－4≤x＜－2}{x|x≤3a，或x≥a(a＜0）}，
则错误!或错误!
即－错误!≤a＜0或a≤－4。

19．(12分)（2011·南通高二检测）已知动点P与平面上两定点A(－错误!，0)，B（错误!，0）连线的斜率的积为定值－错误!.
(1）试求动点P的轨迹方程C.
（2)设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M、N两点，当｜MN|＝错误!时,求直线l的方程．
解析：（1）设点P（x，y)，则依题意有错误!·错误!＝－错误!，整理得错误!＋y2＝1。

由于x≠±错误!，所以求得的曲线C的方程为错误!＋y2＝1(x≠±错误!)．
（2）由错误!，消去y得：(1＋2k2）x2＋4kx＝0.
解得x1＝0,x2＝错误!.(x1，x2分别为M，N的横坐标）
由|MN|＝错误!|x1－x2|＝错误!错误!＝错误!错误!，
解得k＝±1.
所以直线l的方程x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
20。

(12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD,PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.
(1)求证：PC⊥BC;
(2)求点A到平面PBC的距离．
解析： 方法一:（1）证明:因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC .
由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC 。

又PD ∩DC ＝D ,PD ⊂平面PCD ，
DC ⊂平面PCD ,所以BC ⊥平面PCD 。

因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC .
(2)连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°。

从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1.
由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1,
得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13
S △ABC ·PD ＝错误!。

因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ,所以PD ⊥DC 。

又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝错误!＝错误!.
由PC ⊥BC ,BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝错误!.
由V ＝错误!S △PBC h ＝错误!·错误!·h ＝错误!,得h ＝错误!。

因此，点A 到平面PBC 的距离为错误!.
方法二:建立如图所示空间直角坐标系D －xyz ，则P （0，0，1），C (0,1，0)，B (1,1，0)．
（1)证明：错误!＝（0，1，－1）,错误!＝(－1,0，0)．
∵错误!·错误!＝0×（－1)＋1×0＋(－1）×0＝0，
∴PC ⊥BC 。

(2）设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z ）,则有错误!
即错误!令y ＝1得n ＝(0，1，1）．
又因为A(1，－1,0)，AB→＝(0，2,0)，所以点A到平面PBC的距离d＝错误!＝错误!＝错误!。

21．（12分）（2011·北京卷）已知椭圆G:错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)的离心率为错误!，右焦点为（2错误!，0），斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（－3，2）．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
解析：（1）由已知得c＝22，错误!＝错误!,
解得a＝2错误!。

又b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆G的方程为x2
12
＋错误!＝1.
(2）设直线l的方程为y＝x＋m,
由错误!得，4x2＋6mx＋3m2－12＝0 ①
设A,B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2)（x1＜x2)，AB的中点为E(x0,y0）,
则x0＝错误!＝－错误!，
y0＝x0＋m＝错误!。

因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.
所以PE的斜率k＝错误!＝－1,解得m＝2.
此时方程①为4x2＋12x＝0，
解得x1＝－3，x2＝0，所以y1＝－1，y2＝2，所以|AB｜＝3错误!.
此时，点P(－3,2)到直线AB:x－y＋2＝0的距离d＝错误!＝错误!,所以△PAB的面积S＝错误!｜AB｜·d＝错误!。

22．(12分)，如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB,∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1.
（1）设P为AC的中点，证明：在AB上存在一点Q，使PQ
⊥OA，并计算AB
AQ的值；
(2）求二面角O－AC－B的平面角的余弦值．
解析：(1)证明：取O为坐标原点,分别以OA,OC所在直线为x轴,z轴，建立空间直角坐标系O－xyz(如图所示）则A(1,0,0),C（0,0，1)，B错误!，
∵P为AC的中点，
∴P错误!.
设错误!＝λ错误!，且λ∈（0,1),错误!＝错误!，
∴错误!＝错误!＋错误!＝(1，0,0)＋λ错误!
＝错误!，
∴错误!＝错误!－错误!＝错误!，
∵PQ⊥OA，∴错误!·错误!＝0，
即错误!－错误!λ＝0，λ＝错误!，
因此存在点Q错误!，使得PQ⊥OA且错误!＝3。

(2）记平面ABC的法向量为n＝（n1，n2，n3)，
则由n⊥错误!，n⊥错误!，且错误!＝（1,0，－1)，得错误!，故可取n ＝(1，3，1),又平面OAC的法向量为e＝(0,1,0)，于是cos〈n，e〉＝错误!，所以所求二面角的余弦值为错误!。