导数在函数中的综合应用(高三复习,无答案)

导数在函数中的综合应用
题型一 已知函数单调性求参数范围
例1. 若函数f （x ）=x -13sin2x +a sin x 在（-∞，+∞）单调递增，求a 的取值范围
同类练1.已知函数f （x ）=x 2+a ln x ．
（1）当a =-2时，求函数f （x ）的单调区间和极值；
（2）若g （x ）=f （x ）+2x 在 [1，+∞）上是单调增函数，求实数a 的取值范围
同类练2已知函数f （x ）=13x
3−12mx 2+4x −3在区间[1，2]上是增函数，则实数m 的取值范围
题型二 利用函数单调性解不等式
例2.已知函数f （x ）满足f （x ）=f （-x ），且当x ∈（-∞，0）时，f （x ）+xf ˈ（x ）＜0成立，若a =（20.6）•f （20.6），b =（ln2）•f （ln2），c =（log 218）•f （log 218），则a ，b ，c 的大小关系是（）
A. a >b >c
B. c >b >a
C. a >c >b
D. c >a >b
同类练1.设函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′（x），g′（x）分别是f（x），g（x）的导函数，当x＜0时，f′（x）•g（x）+f（x）•g′（x）＞0且g（-3）=0，则f（x）•g（x）＜0的解集是（）
A. (−3,0)∪(0,3)
B. (−3,0)∪(3,+∞)
C. (−∞,−3)∪(3,+∞)
D. (−∞,−3)∪(0,3)
同类练2设函数f（x）=e1+|x|−1
1+x4
，则使得f（2x）＜f（1-x）成立的x的取值范围是（）
A.(−1,1
3) B. (−∞,1
3
) C. (−∞,−1) D. (−1
3
,1)
题型三含有参数函数单调性
例3已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2) e x﹣x. ，讨论f(x)的单调性
同类练1.已知函数f（x）=ln x+ax2+（2a+1）x．讨论f（x）的单调性；
同类练2已知函数f (x )=(x −2)e x +a(x −1)2，讨论f(x)的单调性；
同类练3已知函数()e ln 1x f x a x =--．设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调
区间
同类练4已知函数．讨论的单调性；
题型四 利用导数证明不等式
例4.已知函数()e ln 1x f x a x =--．证明：当1e
a ≥时，()0f x ≥．
同类练1.设函数f （x ）=ln x -x +1．
（1）讨论f （x ）的单调性；（2）证明当x ∈（1，+∞）时，1＜x−1lnx ＜x ；
1()ln f x x a x x
=
-+()f x
题型五 含参数不等式恒成立问题
例5.已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．
题型六 函数零点问题
例6.已知函数f （x ）=2sin x -x cos x -x ，f ′（x ）为f （x ）的导数．
（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．
例7.已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：
()f x '在区间(1,)2
π-存在唯一极大值点
练习1.函数x
a x x f +
=ln )(在区间),[2+∞-e 上有两个零点，求实数a 的范围
练习2.已知函数f (x )=(x -2)e x +a(x -1)2有两个零点.
求a 的取值范围；
练习3.已知函数)(ln )(ax x x x f -=有两个极值点，则a 的范围
讨论零点个数的答题模板第一步:求函数的定义域;第二步:分类讨论函数的单调性、极值；第三步:根据零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数。

此类问题处理方法
（1）直接法：分类讨论原函数单调性，极值，最值，根据零点存在定理判定极值，特殊值，极限值正负，锁定零点个数。

（2）分离法：易分离时实现参数变量全分离或半分离，原方程转化为一侧直线，一侧无参数函数的交点问题，分析新函数单调性，极值，趋势图，数形结合求解。

1.不等式恒成立（含参数函数零点问题）大致有三种思路可以处理：①分离参数（全分离）；②分离函数 （半分离）；③直接化为最值.
2.分离参数有两个缺点：①部分问题不能分离（参数次幂不整齐）；②分离后的函数求最值时，若恰好在无限接近端点处 或在无穷大时取得最值，则可能要用到极限值(洛必达法则）；其判断标准在于端点值是否恰好适合题意
3.分离函数则需要分离出来的变化函数尽可能简单.不然在观察中图像高低的时候容易造成困扰，这种依靠图像的推理方
式说服力不够强,仅供在选填题使用，解答题使用则有一定扣分风险；另外要注意优化所构造函数的结构，使得分离后函数中x x x e x
cos ,sin ,ln ,系数为常数。

4.直接化为最值则麻烦在于分类讨论，有效优化分类讨论的方式在于利用特殊值缩小参数的取值范围（寻求必要条件），
从而达到减少分类讨论的层级数，甚至避免分类讨论.若端点值恰好为不等式成立的分界点，则可利用端点出的导函数符
号来达到缩小参数范围（寻求必要条件）.综上所述，最值得推荐的思路为：先寻求必要条件，然后说明其充分性这种思 路，也就是传说中的必要充分条件法.。